Bánh răng và hệ bánh răng
- Bánh răng ăn khớp
- n1·N1 = n2·N2
- Mômen xoắn
- T2 = T1·(N2/N1)·η
- Công suất
- P = T·ω, ω = 2π·n/60
- Hệ bánh răng ghép
- tỉ số truyền tổng = tích các tỉ số truyền từng cấp
Thiết kế máy: gói ôn nước rút
Bảng công thức, các bước phương pháp chính cho từng chủ đề và 12 bài tập, kèm lời giải đầy đủ ở cuối.
1Công thức và phương pháp
Xoắn của trục
- Ứng suất tiếp
- τ = T·r/J
- Trục đặc
- J = πd⁴/32
- Trục rỗng
- J = π(D⁴ − d⁴)/32
- Góc xoắn
- φ = TL/(GJ)
- Công suất
- P = T·ω = 2πnT/60
Phương pháp
- Tìm mômen quán tính độc cực: J = πd⁴/32 cho trục đặc.
- Ứng suất tiếp ở bề mặt: τ = T·r/J, với r là bán kính ngoài.
- Góc xoắn: φ = TL/(GJ) theo radian.
- Nếu cho công suất, hãy tìm mômen xoắn trước bằng P = T·ω, ω = 2πn/60.
Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suất
- Tâm
- C = (σx + σy)/2
- Bán kính
- R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
- Ứng suất chính
- σ1,2 = C ± R
- Phương chính
- tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
- Mặt phẳng nghiêng
- σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ
Phương pháp
- Tính tâm của vòng tròn Mohr: C = (σx + σy)/2.
- Tính bán kính: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
- Các ứng suất chính là C ± R và ứng suất tiếp lớn nhất trong mặt phẳng là R.
- Các góc trên vòng tròn gấp đôi các góc trên phần tử: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).
Ứng suất và biến dạng dọc trục
- Ứng suất pháp
- σ = F/A
- Biến dạng
- ε = ΔL/L
- Định luật Hooke
- σ = E·ε
- Độ giãn dài
- ΔL = FL/(EA)
- Biến dạng nhiệt
- εT = α·ΔT
Mất ổn định cột
- Tải Euler
- Pcr = π²EI/(KL)²
- Hệ số chiều dài tính toán
- K = 1 khớp–khớp, 0,5 ngàm–ngàm, 0,7 ngàm–khớp, 2 ngàm–tự do
- Ứng suất tới hạn
- σcr = Pcr/A
- Độ mảnh
- λ = KL/r, r = √(I/A)
Dao động cơ học
- Tần số riêng
- ωn = √(k/m), fn = ωn/(2π)
- Từ độ võng tĩnh
- ωn = √(g/δst)
- Cản tới hạn
- cc = 2√(km) = 2mωn
- Hệ số cản
- ζ = c/cc
- Tần số có cản
- ωd = ωn√(1 − ζ²)
- Giảm lượng logarit
- δ = (1/n)·ln(x0/xn), ζ = δ/√(4π² + δ²)
- Lò xo song song
- k = k1 + k2
- Lò xo nối tiếp
- 1/k = 1/k1 + 1/k2
2Bài tập
1.Bánh răng và hệ bánh răngTrung bình
Hai trục song song cách nhau 100 mm. Chúng phải được nối bằng một cặp bánh răng trụ răng thẳng có mô-đun 2,5 mm và tỉ số giảm tốc 4 : 1. Bánh răng lớn phải có bao nhiêu răng N2?
a = 100 mmm = 2,5 mmi = 4
N2 =
2.Bánh răng và hệ bánh răngKhó
Một động cơ 4 kW ở 1450 rpm dẫn động bánh răng A (20 răng), ăn khớp với bánh răng B (80 răng). Bánh răng C (45 răng) trên cùng trục với B dẫn động bánh răng D (60 răng) trên trục ra. Mỗi cặp ăn khớp có hiệu suất 95%. Tìm mô-men đầu ra Tout.
P = 4 kWnin = 1450 rpmA = 20B = 80C = 45D = 60ηmesh = 95%
Tout = N·m
3.Xoắn của trụcTrung bình
Một trục đặc thép được ngàm vào tường và bị xoắn bởi mômen xoắn T ở đầu tự do. Tìm góc xoắn φ của đầu tự do, theo độ.
T = 250 N·md = 40 mmL = 3 mG = 80 GPa
φ = °
4.Xoắn của trụcKhó
Một trục đặc phải truyền 5 kW ở 300 rpm mà ứng suất tiếp không vượt quá 80 MPa. Tìm đường kính nhỏ nhất d thỏa mãn.
P = 5 kWN = 300 rpmτallow = 80 MPa
d = mm
5.Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suấtTrung bình
Một điểm có σₓ = 0 MPa và σᵧ = 40 MPa. Ứng suất cắt τxy (độ lớn) có thể lớn đến mức nào trước khi ứng suất chính lớn nhất đạt 70 MPa?
σx = 0 MPaσy = 40 MPaσ1 = 70 MPa
τxy = MPa
6.Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suấtKhó
Một bể hình trụ thành mỏng có đường kính trong 1200 mm và chiều dày thành 8 mm chứa khí ở áp suất dư 1,5 MPa. Nó được làm từ tấm thép hàn theo một đường hàn xoắn ốc nghiêng 40° so với trục của hình trụ. Tìm độ lớn của ứng suất cắt |τn| tác dụng dọc theo đường hàn.
D = 1200 mmt = 8 mmp = 1,5 MPaα = 40°
|τn| = MPa
7.Ứng suất và biến dạng dọc trụcTrung bình
Một thanh thép (đường kính 25 mm, E = 200 GPa) nằm trong một ống làm bằng đồng thanh (đường kính ngoài 120 mm, đường kính trong 70 mm, E = 110 GPa). Cả hai dài 500 mm và bị nén cùng nhau giữa các tấm cứng bởi 150 kN. Tìm độ co ngắn δ.
P = 150 kNthanh: Ø25 mm, E = 200 GPaống: Ø120/Ø70 mm, E = 110 GPaL = 500 mm
δ = mm
8.Ứng suất và biến dạng dọc trụcKhó
Thanh bậc được ngàm vào tường và chịu tải ở đầu tự do. Tìm tổng độ giãn dài δ.
P = 80 kNđoạn 1: Ø30 mm, 1 m, nhôm (E = 70 GPa)đoạn 2: Ø20 mm, 1,5 m, nhôm (E = 70 GPa)
δ = mm
9.Mất ổn định cộtTrung bình
Một cột dài L làm bằng thép được ngàm ở chân và tự do ở đỉnh. Dùng công thức Euler, tìm tải trọng oằn tới hạn Pcr của nó.
L = 2,5 mE = 200 GPa (thép)b × h = 50 × 80 mm
Pcr = kN
10.Mất ổn định cộtKhó
Một cột tròn đặc dài L làm bằng thép được ngàm ở chân và tự do ở đỉnh. Nó phải chịu 45 kN với hệ số an toàn 2 chống oằn. Tìm đường kính nhỏ nhất d.
P = 45 kNn = 2L = 2 mE = 200 GPa (thép)
d = mm
11.Dao động cơ họcTrung bình
Một vật 150 kg trên lò xo có độ cứng 25 kN/m có bộ cản nhớt cho hệ số cản 0,7. Tìm tần số riêng có cản fd của dao động tự do theo Hz.
m = 150 kgk = 25 kN/mζ = 0,7
fd = Hz
12.Dao động cơ họcKhó
Một vật 10 kg treo vào lò xo k₃ = 30 kN/m. Đầu trên của k₃ được gắn vào một thanh cứng treo bằng hai lò xo đặt cạnh nhau, k₁ = 10 kN/m và k₂ = 60 kN/m; thanh giữ nằm ngang. Bỏ qua lực cản và khối lượng của các lò xo và thanh. Tìm tần số riêng fn của dao động thẳng đứng theo Hz.
m = 10 kgk1 = 10 kN/mk2 = 60 kN/mk3 = 30 kN/m
fn = Hz
3Dung dịch
1.Bánh răng và hệ bánh răng
Đáp số: N2 = 64
Gear geometry: the module m sets the tooth size. A gear with N teeth has a pitch diameter d = m·N, two meshing gears have the same module, and their centre distance is a = (d₁ + d₂)/2 = m·(N₁ + N₂)/2. The pitch-line speed is v = π·d·n/60, and the tangential tooth force follows from the torque: Ft = 2T/d.
Tổng số răng
N1 + N2 = 2a/m = 2·100/2,5 = 80
Chia theo tỉ số
N1 = 80/(1 + 4) = 16
N2 = 4·16 = 64
Đáp số
N2 = 64
2.Bánh răng và hệ bánh răng
Đáp số: Tout = 126,8 N·m
Gear trains: meshing gears have the same speed at the teeth, so n₁·N₁ = n₂·N₂: the gear with fewer teeth turns faster. Gears on one shaft turn at the same speed. Power is passed on (minus losses), so torque goes up when speed goes down: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, and P = T·ω with ω = 2π·n/60.
Tốc độ ra
nout = 1450·(20/80)·(45/60) = 271,9 rpm
ωout = 2π·271,9/60 = 28,47 rad/s
Công suất và mô-men đầu ra
Pout = 4000·0,95² = 3610 W
Tout = Pout/ωout = 3610/28,47 = 126,8 N·m
Đáp số
Tout = 126,8 N·m
3.Xoắn của trục
Đáp số: φ = 2,137 °
Xoắn thanh tròn: ứng suất tiếp tăng tuyến tính từ không ở tâm đến τmax = T·r/J ở bề mặt, với J = πd⁴/32 cho trục đặc và J = π(do⁴ − di⁴)/32 cho trục rỗng. Góc xoắn là φ = TL/(GJ) tính bằng radian. Công suất và mômen xoắn liên hệ với nhau qua P = T·ω.
Mômen quán tính độc cực của mặt cắt
J = π·40⁴/32 = 251327 mm⁴
Góc xoắn
φ = TL/(GJ) = 250·1000·3000/(80000·251327) = 0,0373 rad
φ = 0,0373·180/π = 2,137°
Đáp số
φ = 2,137°
4.Xoắn của trục
Đáp số: d = 21,64 mm
Xoắn thanh tròn: ứng suất tiếp tăng tuyến tính từ không ở tâm đến τmax = T·r/J ở bề mặt, với J = πd⁴/32 cho trục đặc và J = π(do⁴ − di⁴)/32 cho trục rỗng. Góc xoắn là φ = TL/(GJ) tính bằng radian. Công suất và mômen xoắn liên hệ với nhau qua P = T·ω.
Mômen xoắn
ω = 2πN/60 = 2π·300/60 = 31,42 rad/s
T = P/ω = 5000/31,42 = 159,2 N·m
Đường kính từ ứng suất cho phép
d = ∛(16T/(π·τallow)) = ∛(16·159155/(π·80)) = 21,64 mm
Đáp số
d = 21,64 mm
Trong thực tế bạn sẽ làm tròn lên kích thước tiêu chuẩn kế tiếp.
5.Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suất
Đáp số: τxy = 45,83 MPa
Biến đổi ứng suất phẳng: trên một mặt xoay góc θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Vòng tròn Mohr cho thấy tất cả các mặt cùng lúc: tâm của nó ở C = (σₓ + σᵧ)/2 và bán kính là R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Các ứng suất chính là C ± R, và ứng suất tiếp lớn nhất trong mặt phẳng là R.
Bán kính cần thiết
C = (0 + 40)/2 = 20 MPa
R = σ1 − C = 70 − 20 = 50 MPa
Ứng suất tiếp
τxy = √(R² − ((σₓ − σᵧ)/2)²) = √(50² − 20²) = 45,83 MPa
Đáp số
τxy = 45,83 MPa
6.Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suất
Đáp số: |τn| = 27,7 MPa
Biến đổi ứng suất phẳng: trên một mặt xoay góc θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Vòng tròn Mohr cho thấy tất cả các mặt cùng lúc: tâm của nó ở C = (σₓ + σᵧ)/2 và bán kính là R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Các ứng suất chính là C ± R, và ứng suất tiếp lớn nhất trong mặt phẳng là R. Hình trụ thành mỏng: ứng suất vòng σh = pr/t và ứng suất dọc trục σa = pr/(2t); đó là các ứng suất chính trong thành.
Các ứng suất trong thành
r = 1200/2 = 600 mm
σh = pr/t = 1,5·600/8 = 112,5 MPa
σa = pr/(2t) = 56,25 MPa
Biến đổi sang đường hàn
Lấy x dọc theo trục (σa) và y theo chiều vòng (σh). Pháp tuyến của đường hàn tạo góc 90° − α với trục.
|τn| = (112,5 − 56,25)·sin 40°·cos 40° = 27,7 MPa
Đáp số
|τn| = 27,7 MPa
7.Ứng suất và biến dạng dọc trục
Đáp số: δ = 0,08162 mm
Hai vật liệu: khi nối tiếp (cái này sau cái kia) mỗi đoạn chịu cùng một lực và các độ giãn dài cộng lại: δ = P·Σ L/(E·A). Khi song song (cạnh nhau giữa các tấm cứng) cả hai phần co lại cùng một lượng, nên biến dạng của chúng bằng nhau: phần cứng hơn nhận phần tải lớn hơn, Pi = P·EiAi/ΣEA, và σi = Ei·ε. Một thanh bị giữ giữa hai vách cứng với tải đặt tại chỗ nối là siêu tĩnh: hai đoạn chia tải theo tỉ lệ độ cứng k = EA/L của chúng.
Diện tích
Ar = π·25²/4 = 490,9 mm²
At = π(120² − 70²)/4 = 7461 mm²
Độ cứng dọc trục kết hợp
ΣEA = 200·10³·490,9 + 110·10³·7461 = 9,189 × 10⁸ N
Độ co ngắn
δ = 150000·500/9,189 × 10⁸ = 0,08162 mm
Đáp số
δ = 0,08162 mm
8.Ứng suất và biến dạng dọc trục
Đáp số: δ = 7,074 mm
Cấu kiện chịu tải dọc trục: mỗi đoạn lăng trụ tuân theo δ = PL/(AE). Với các cấu kiện nối tiếp, độ giãn dài cộng lại.
Cùng một lực trong cả hai đoạn
Đầu tự do chịu lực P, nên mọi mặt cắt của thanh đều chịu cùng một lực dọc trục P. Chỉ có diện tích và vật liệu thay đổi.
A1 = π·30²/4 = 706,9 mm², A2 = π·20²/4 = 314,2 mm²
σ1 = 113,2 MPa
σ2 = 254,6 MPa
Cộng độ giãn dài của các đoạn
δ1 = σ1L1/E1 = 113,2·1000/70000 = 1,617 mm
δ2 = σ2L2/E2 = 254,6·1500/70000 = 5,457 mm
δ = δ1 + δ2 = 7,074 mm
Đáp số
δ = 7,074 mm
9.Mất ổn định cột
Đáp số: Pcr = 65,8 kN
Mất ổn định Euler: một cột mảnh mất ổn định tại Pcr = π²EI/(KL)², trong đó KL là chiều dài tính toán: K = 1 cho khớp–khớp, 2 cho ngàm–tự do, 0,7 cho ngàm–khớp và 0,5 cho ngàm–ngàm. Cột oằn quanh trục có I nhỏ nhất. Công thức đúng với cột mảnh, có ứng suất tới hạn thấp hơn ứng suất chảy.
Mômen quán tính nhỏ nhất của mặt cắt
Hình chữ nhật oằn quanh trục yếu, dùng kích thước nhỏ hơn lập phương.
Imin = h·b³/12 = 80·50³/12 = 833333 mm⁴
Chiều dài tính toán
KL = 2·2500 = 5000 mm
Tải trọng tới hạn
Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·833333/5000² = 65797 N = 65,8 kN
Đáp số
Pcr = 65,8 kN
10.Mất ổn định cột
Đáp số: d = 62,09 mm
Mất ổn định Euler: một cột mảnh mất ổn định tại Pcr = π²EI/(KL)², trong đó KL là chiều dài tính toán: K = 1 cho khớp–khớp, 2 cho ngàm–tự do, 0,7 cho ngàm–khớp và 0,5 cho ngàm–ngàm. Cột oằn quanh trục có I nhỏ nhất. Công thức đúng với cột mảnh, có ứng suất tới hạn thấp hơn ứng suất chảy.
Tải trọng tới hạn yêu cầu
Pcr = n·P = 2·45000 = 90000 N
KL = 2·2000 = 4000 mm
Giải tìm đường kính
d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·90000·4000²/(π³·200000))^(1/4) = 62,09 mm
Đáp số
d = 62,09 mm
Kiểm tra: độ mảnh KL/r là 257,7, nên cột là mảnh và công thức Euler áp dụng được.
11.Dao động cơ học
Đáp số: fd = 1,467 Hz
Dao động tự do của hệ vật–lò xo: tần số riêng không cản là ωn = √(k/m) theo rad/s, và fn = ωn/(2π) theo Hz. Một bộ cản nhớt c cho hệ số cản ζ = c/cc, với cản tới hạn cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn. Hệ cản dưới tới hạn (ζ < 1) dao động ở ωd = ωn·√(1 − ζ²). Các lò xo song song cộng lại, k = k₁ + k₂; các lò xo nối tiếp cộng theo nghịch đảo, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.
Tần số riêng không cản
ωn = √(25000/150) = 12,91 rad/s
fn = 12,91/(2π) = 2,055 Hz
Tần số riêng có cản
fd = fn·√(1 − ζ²) = 2,055·√(1 − 0,7²) = 1,467 Hz
Đáp số
fd = 1,467 Hz
12.Dao động cơ học
Đáp số: fn = 7,293 Hz
Dao động tự do của hệ vật–lò xo: tần số riêng không cản là ωn = √(k/m) theo rad/s, và fn = ωn/(2π) theo Hz. Một bộ cản nhớt c cho hệ số cản ζ = c/cc, với cản tới hạn cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn. Hệ cản dưới tới hạn (ζ < 1) dao động ở ωd = ωn·√(1 − ζ²). Các lò xo song song cộng lại, k = k₁ + k₂; các lò xo nối tiếp cộng theo nghịch đảo, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.
Độ cứng tương đương
Chỉ k1 và k2 song song. Cặp đó nối tiếp với k3, nên gộp chúng theo nghịch đảo.
k12 = 10 + 60 = 70 kN/m
keq = 70·30/(70 + 30) = 21 kN/m
Tần số riêng
ωn = √(21000/10) = 45,83 rad/s
fn = 45,83/(2π) = 7,293 Hz
Đáp số
fn = 7,293 Hz
ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design