Thiết kế máy: gói ôn nước rút

Bảng công thức, các bước phương pháp chính cho từng chủ đề và 12 bài tập, kèm lời giải đầy đủ ở cuối.

Bài mớiQuay lại môn học

Trong cửa sổ in, hãy chọn “Lưu dưới dạng PDF” để giữ một bản trên thiết bị của bạn.

1Công thức và phương pháp

Bánh răng và hệ bánh răng

Bánh răng ăn khớp
n1·N1 = n2·N2
Mômen xoắn
T2 = T1·(N2/N1)·η
Công suất
P = T·ω, ω = 2π·n/60
Hệ bánh răng ghép
tỉ số truyền tổng = tích các tỉ số truyền từng cấp

Xoắn của trục

Ứng suất tiếp
τ = T·r/J
Trục đặc
J = πd⁴/32
Trục rỗng
J = π(D⁴ − d⁴)/32
Góc xoắn
φ = TL/(GJ)
Công suất
P = T·ω = 2πnT/60

Phương pháp

  1. Tìm mômen quán tính độc cực: J = πd⁴/32 cho trục đặc.
  2. Ứng suất tiếp ở bề mặt: τ = T·r/J, với r là bán kính ngoài.
  3. Góc xoắn: φ = TL/(GJ) theo radian.
  4. Nếu cho công suất, hãy tìm mômen xoắn trước bằng P = T·ω, ω = 2πn/60.

Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suất

Tâm
C = (σx + σy)/2
Bán kính
R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
Ứng suất chính
σ1,2 = C ± R
Phương chính
tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
Mặt phẳng nghiêng
σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ

Phương pháp

  1. Tính tâm của vòng tròn Mohr: C = (σx + σy)/2.
  2. Tính bán kính: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
  3. Các ứng suất chính là C ± R và ứng suất tiếp lớn nhất trong mặt phẳng là R.
  4. Các góc trên vòng tròn gấp đôi các góc trên phần tử: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Ứng suất và biến dạng dọc trục

Ứng suất pháp
σ = F/A
Biến dạng
ε = ΔL/L
Định luật Hooke
σ = E·ε
Độ giãn dài
ΔL = FL/(EA)
Biến dạng nhiệt
εT = α·ΔT

Mất ổn định cột

Tải Euler
Pcr = π²EI/(KL)²
Hệ số chiều dài tính toán
K = 1 khớp–khớp, 0,5 ngàm–ngàm, 0,7 ngàm–khớp, 2 ngàm–tự do
Ứng suất tới hạn
σcr = Pcr/A
Độ mảnh
λ = KL/r, r = √(I/A)

Dao động cơ học

Tần số riêng
ωn = √(k/m), fn = ωn/(2π)
Từ độ võng tĩnh
ωn = √(g/δst)
Cản tới hạn
cc = 2√(km) = 2mωn
Hệ số cản
ζ = c/cc
Tần số có cản
ωd = ωn√(1 − ζ²)
Giảm lượng logarit
δ = (1/n)·ln(x0/xn), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Lò xo song song
k = k1 + k2
Lò xo nối tiếp
1/k = 1/k1 + 1/k2

2Bài tập

1.Bánh răng và hệ bánh răngTrung bình
N1​ = 24N2​ = 80

Một động cơ 1,1 kW chạy ở 1440 rpm dẫn động một bánh răng nhỏ có 24 răng, ăn khớp với một bánh răng có 80 răng. Cặp bánh răng có hiệu suất 97%. Tìm mômen xoắn ra T2 trên trục bánh răng.

P = 1,1 kWn1 = 1440 rpmN1 = 24N2 = 80η = 97%
T2 = N·m
2.Bánh răng và hệ bánh răngKhó
A = 16B = 80C = 32D = 60

Trong một hệ bánh răng ghép, bánh răng A (16 răng) trên trục vào quay 1500 rpm dẫn động bánh răng B (80 răng). Bánh răng C (32 răng) được cố định trên cùng trục với B và dẫn động bánh răng D (60 răng) trên trục ra. Tìm tốc độ ra nout.

nin = 1500 rpmA = 16B = 80C = 32D = 60
nout = rpm
3.Xoắn của trụcTrung bình
d = 20 mmT = 40 N·m250 mmφ = 0,94°

Trong một thí nghiệm xoắn, một mẫu đặc đường kính 20 mm bị xoắn bởi mô-men xoắn 40 N·m. Hai đầu của một đoạn đo dài 250 mm quay 0,94° so với nhau (vật liệu vẫn còn đàn hồi). Tìm mô-đun cắt G của vật liệu.

T = 40 N·md = 20 mmL = 250 mmφ = 0,94°
G = GPa
4.Xoắn của trụcKhó
Td = ?

Một trục đặc phải truyền 30 kW ở 500 rpm mà ứng suất tiếp không vượt quá 60 MPa. Tìm đường kính nhỏ nhất d thỏa mãn.

P = 30 kWN = 500 rpmτallow = 60 MPa
d = mm
5.Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suấtTrung bình
σx​ = 10σy​ = −40τxy​ = −50MPa

Một điểm trong chi tiết chịu tải có σₓ = 10 MPa, σᵧ = −40 MPa và τₓᵧ = −50 MPa (kéo là dương). Tìm ứng suất tiếp lớn nhất trong mặt phẳng τmax.

σx = 10 MPaσy = −40 MPaτxy = −50 MPa
τmax = MPa
6.Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suấtKhó
σx​ = −40σy​ = 120τxy​ = 20MPa

Một điểm trong chi tiết chịu tải có σₓ = −40 MPa, σᵧ = 120 MPa và τₓᵧ = 20 MPa (kéo là dương). Tìm ứng suất tiếp τθ trên một mặt có pháp tuyến xoay 60° ngược chiều kim đồng hồ so với trục x (dương cùng chiều với τₓᵧ).

σx = −40 MPaσy = 120 MPaτxy = 20 MPaθ = 60°
τθ = MPa
7.Ứng suất và biến dạng dọc trụcTrung bình
Ø 10 mmĐồng2,5 mP = 30 kN

Tìm biến dạng dọc trục ε trong thanh đồng, tính bằng microstrain (µε = 10⁻⁶).

P = 30 kNd = 10 mmL = 2,5 mE = 117 GPa
ε = µε
8.Ứng suất và biến dạng dọc trụcKhó
P = ?Ø40120 GPaØ100/50500 mm

Một thanh thép (đường kính 40 mm, E = 200 GPa, ứng suất cho phép 250 MPa) nằm trong một ống làm bằng đồng (đường kính ngoài 100 mm, đường kính trong 50 mm, E = 120 GPa, ứng suất cho phép 70 MPa). Chúng bị nén cùng nhau giữa các tấm cứng. Tìm tải lớn nhất Pmax.

thanh: Ø40 mm, E = 200 GPa, σallow = 250 MPaống: Ø100/Ø50 mm, E = 120 GPa, σallow = 70 MPa
Pmax = kN
9.Mất ổn định cộtTrung bình
PL = 1,5 md = 50 mmmặt cắt ngang

Một cột dài L làm bằng nhôm được hai đầu khớp. Dùng công thức Euler, tìm tải trọng oằn tới hạn Pcr của nó.

L = 1,5 mE = 70 GPa (nhôm)d = 50 mm
Pcr = kN
10.Mất ổn định cộtKhó
PL = 5 md = 80 mmmặt cắt ngang

Một cột dài L làm bằng thép được hai đầu khớp. Tìm độ mảnh của nó và ứng suất oằn tới hạn σcr theo công thức Euler.

L = 5 mE = 200 GPa (thép)d = 80 mm
σcr = MPa
11.Dao động cơ họcTrung bình
k = 8 kN/mc = 50 N·s/mm = 12 kg

Một vật 12 kg được đỡ bởi một lò xo có độ cứng 8 kN/m và một bộ cản nhớt có hệ số cản 50 N·s/m. Tìm hệ số cản ζ.

m = 12 kgk = 8 kN/mc = 50 N·s/m
ζ =
12.Dao động cơ họcKhó
k1​ = 5k2​ = 80m = 5 kg

Một vật 5 kg treo vào hai lò xo đặt cạnh nhau (song song), có độ cứng k₁ = 5 kN/m và k₂ = 80 kN/m. Vật giữ nằm ngang. Bỏ qua cản và khối lượng của các lò xo. Tìm tần số riêng fn của dao động thẳng đứng theo Hz.

m = 5 kgk1 = 5 kN/mk2 = 80 kN/m
fn = Hz

3Dung dịch

1.Bánh răng và hệ bánh răng

Đáp số: T2 = 23,59 N·m

Hệ bánh răng: các bánh răng ăn khớp có cùng tốc độ tại răng, nên n₁·N₁ = n₂·N₂: bánh răng có ít răng hơn quay nhanh hơn. Các bánh răng trên cùng một trục quay cùng tốc độ. Công suất được truyền đi (trừ tổn thất), nên mômen xoắn tăng khi tốc độ giảm: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, và P = T·ω với ω = 2π·n/60.

Mômen xoắn động cơ

ω₁ = 2π·1440/60 = 150,8 rad/s
T1 = P/ω₁ = 1100/150,8 = 7,295 N·m

Mômen xoắn ra

T2 = 7,295·80/24·0,97 = 23,59 N·m

Đáp số

T2 = 23,59 N·m
2.Bánh răng và hệ bánh răng

Đáp số: nout = 160 rpm

Hệ bánh răng: các bánh răng ăn khớp có cùng tốc độ tại răng, nên n₁·N₁ = n₂·N₂: bánh răng có ít răng hơn quay nhanh hơn. Các bánh răng trên cùng một trục quay cùng tốc độ. Công suất được truyền đi (trừ tổn thất), nên mômen xoắn tăng khi tốc độ giảm: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, và P = T·ω với ω = 2π·n/60.

Cấp thứ nhất

nB = 1500·16/80 = 300 rpm = nC

Cấp thứ hai

nout = 300·32/60 = 160 rpm

Đáp số

nout = 160 rpm

tỉ số truyền tổng = 9,375 : 1

3.Xoắn của trục

Đáp số: G = 38,8 GPa

Xoắn thanh tròn: ứng suất tiếp tăng tuyến tính từ không ở tâm đến τmax = T·r/J ở bề mặt, với J = πd⁴/32 cho trục đặc và J = π(do⁴ − di⁴)/32 cho trục rỗng. Góc xoắn là φ = TL/(GJ) tính bằng radian. Công suất và mômen xoắn liên hệ với nhau qua P = T·ω.

Mô-men quán tính độc cực và góc

J = π·20⁴/32 = 15708 mm⁴
φ = 0,94·π/180 = 0,01641 rad

Mô đun trượt

T = 40 N·m = 40000 N·mm
G = TL/(Jφ) = 40000·250/(15708·0,01641) = 38804 MPa
G = 38,8 GPa

Đáp số

G = 38,8 GPa

So sánh: thép ≈ 80 GPa, đồng thau ≈ 39 GPa, nhôm ≈ 26 GPa.

4.Xoắn của trục

Đáp số: d = 36,5 mm

Xoắn thanh tròn: ứng suất tiếp tăng tuyến tính từ không ở tâm đến τmax = T·r/J ở bề mặt, với J = πd⁴/32 cho trục đặc và J = π(do⁴ − di⁴)/32 cho trục rỗng. Góc xoắn là φ = TL/(GJ) tính bằng radian. Công suất và mômen xoắn liên hệ với nhau qua P = T·ω.

Mômen xoắn

ω = 2πN/60 = 2π·500/60 = 52,36 rad/s
T = P/ω = 30000/52,36 = 573 N·m

Đường kính từ ứng suất cho phép

d = ∛(16T/(π·τallow)) = ∛(16·572958/(π·60)) = 36,5 mm

Đáp số

d = 36,5 mm

Trong thực tế bạn sẽ làm tròn lên kích thước tiêu chuẩn kế tiếp.

5.Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suất

Đáp số: τmax = 55,9 MPa

Biến đổi ứng suất phẳng: trên một mặt xoay góc θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Vòng tròn Mohr cho thấy tất cả các mặt cùng lúc: tâm của nó ở C = (σₓ + σᵧ)/2 và bán kính là R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Các ứng suất chính là C ± R, và ứng suất tiếp lớn nhất trong mặt phẳng là R.

στxyCτmax​

Bán kính vòng tròn Mohr

τmax = R = √(((10 − −40)/2)² + −50²) = 55,9 MPa

Đáp số

τmax = 55,9 MPa
6.Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suất

Đáp số: τθ = 59,28 MPa

Biến đổi ứng suất phẳng: trên một mặt xoay góc θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Vòng tròn Mohr cho thấy tất cả các mặt cùng lúc: tâm của nó ở C = (σₓ + σᵧ)/2 và bán kính là R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Các ứng suất chính là C ± R, và ứng suất tiếp lớn nhất trong mặt phẳng là R.

Phương trình biến đổi

τθ = −−80·0,866 + 20·−0,5 = 59,28 MPa

Đáp số

τθ = 59,28 MPa
7.Ứng suất và biến dạng dọc trục

Đáp số: ε = 3265 µε

Định luật Hooke: trong giới hạn đàn hồi σ = E·ε. Kết hợp với σ = P/A và ε = δ/L ta được δ = PL/(AE).

Ứng suất

A = π·10²/4 = 78,54 mm²
σ = P/A = 30·1000/78,54 = 382 MPa

Biến dạng (định luật Hooke)

E for đồng = 117 GPa = 117000 MPa.

ε = σ/E = 382/117000 = 0,003265 = 3265 µε

Đáp số

ε = 3265 µε
8.Ứng suất và biến dạng dọc trục

Đáp số: Pmax = 558,9 kN

Hai vật liệu: khi nối tiếp (cái này sau cái kia) mỗi đoạn chịu cùng một lực và các độ giãn dài cộng lại: δ = P·Σ L/(E·A). Khi song song (cạnh nhau giữa các tấm cứng) cả hai phần co lại cùng một lượng, nên biến dạng của chúng bằng nhau: phần cứng hơn nhận phần tải lớn hơn, Pi = P·EiAi/ΣEA, và σi = Ei·ε. Một thanh bị giữ giữa hai vách cứng với tải đặt tại chỗ nối là siêu tĩnh: hai đoạn chia tải theo tỉ lệ độ cứng k = EA/L của chúng.

Diện tích

Ar = π·40²/4 = 1257 mm²
At = π(100² − 50²)/4 = 5890 mm²

Độ cứng dọc trục kết hợp

ΣEA = 200·10³·1257 + 120·10³·5890 = 9,582 × 10⁸ N

Biến dạng quyết định

ε = min(0,00125, 0,0005833) = 0,0005833 (đồng)

Tải lớn nhất

Pmax = 0,0005833·9,582 × 10⁸ = 558942 N = 558,9 kN

Đáp số

Pmax = 558,9 kN
9.Mất ổn định cột

Đáp số: Pcr = 94,2 kN

Mất ổn định Euler: một cột mảnh mất ổn định tại Pcr = π²EI/(KL)², trong đó KL là chiều dài tính toán: K = 1 cho khớp–khớp, 2 cho ngàm–tự do, 0,7 cho ngàm–khớp và 0,5 cho ngàm–ngàm. Cột oằn quanh trục có I nhỏ nhất. Công thức đúng với cột mảnh, có ứng suất tới hạn thấp hơn ứng suất chảy.

Mômen quán tính nhỏ nhất của mặt cắt

Mặt cắt tròn có cùng I đối với mọi trục.

I = πd⁴/64 = π·50⁴/64 = 306796 mm⁴

Chiều dài tính toán

KL = 1·1500 = 1500 mm

Tải trọng tới hạn

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·306796/1500² = 94203 N = 94,2 kN

Đáp số

Pcr = 94,2 kN
10.Mất ổn định cột

Đáp số: σcr = 31,58 MPa

Mất ổn định Euler: một cột mảnh mất ổn định tại Pcr = π²EI/(KL)², trong đó KL là chiều dài tính toán: K = 1 cho khớp–khớp, 2 cho ngàm–tự do, 0,7 cho ngàm–khớp và 0,5 cho ngàm–ngàm. Cột oằn quanh trục có I nhỏ nhất. Công thức đúng với cột mảnh, có ứng suất tới hạn thấp hơn ứng suất chảy.

Mômen quán tính nhỏ nhất của mặt cắt

Mặt cắt tròn có cùng I đối với mọi trục.

I = πd⁴/64 = π·80⁴/64 = 2,011 × 10⁶ mm⁴

Bán kính quán tính và độ mảnh

A = 5027 mm²
r = √(I/A) = √(2,011 × 10⁶/5027) = 20 mm
KL = 1·5000 = 5000 mm
KL/r = 5000/20 = 250

Ứng suất tới hạn

σcr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/250² = 31,58 MPa

Đáp số

σcr = 31,58 MPa
11.Dao động cơ học

Đáp số: ζ = 0,08069

Dao động tự do của hệ vật–lò xo: tần số riêng không cản là ωn = √(k/m) theo rad/s, và fn = ωn/(2π) theo Hz. Một bộ cản nhớt c cho hệ số cản ζ = c/cc, với cản tới hạn cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn. Hệ cản dưới tới hạn (ζ < 1) dao động ở ωd = ωn·√(1 − ζ²). Các lò xo song song cộng lại, k = k₁ + k₂; các lò xo nối tiếp cộng theo nghịch đảo, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Cản tới hạn

cc = 2·√(k·m) = 2·√(8000·12) = 619,7 N·s/m

Hệ số cản

ζ = c/cc = 50/619,7 = 0,08069

Đáp số

ζ = 0,08069

ζ < 1, nên hệ cản dưới tới hạn và dao động khi tắt dần.

12.Dao động cơ học

Đáp số: fn = 20,75 Hz

Dao động tự do của hệ vật–lò xo: tần số riêng không cản là ωn = √(k/m) theo rad/s, và fn = ωn/(2π) theo Hz. Một bộ cản nhớt c cho hệ số cản ζ = c/cc, với cản tới hạn cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn. Hệ cản dưới tới hạn (ζ < 1) dao động ở ωd = ωn·√(1 − ζ²). Các lò xo song song cộng lại, k = k₁ + k₂; các lò xo nối tiếp cộng theo nghịch đảo, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Độ cứng tương đương

Các lò xo đặt cạnh nhau có chung độ võng và cộng các lực, nên độ cứng đơn giản cộng lại: k = k1 + k2.

keq = 5 + 80 = 85 kN/m

Tần số riêng

ωn = √(85000/5) = 130,4 rad/s
fn = 130,4/(2π) = 20,75 Hz

Đáp số

fn = 20,75 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design