Bánh răng và hệ bánh răng
- Bánh răng ăn khớp
- n1·N1 = n2·N2
- Mômen xoắn
- T2 = T1·(N2/N1)·η
- Công suất
- P = T·ω, ω = 2π·n/60
- Hệ bánh răng ghép
- tỉ số truyền tổng = tích các tỉ số truyền từng cấp
Thiết kế máy: gói ôn nước rút
Bảng công thức, các bước phương pháp chính cho từng chủ đề và 12 bài tập, kèm lời giải đầy đủ ở cuối.
1Công thức và phương pháp
Xoắn của trục
- Ứng suất tiếp
- τ = T·r/J
- Trục đặc
- J = πd⁴/32
- Trục rỗng
- J = π(D⁴ − d⁴)/32
- Góc xoắn
- φ = TL/(GJ)
- Công suất
- P = T·ω = 2πnT/60
Phương pháp
- Tìm mômen quán tính độc cực: J = πd⁴/32 cho trục đặc.
- Ứng suất tiếp ở bề mặt: τ = T·r/J, với r là bán kính ngoài.
- Góc xoắn: φ = TL/(GJ) theo radian.
- Nếu cho công suất, hãy tìm mômen xoắn trước bằng P = T·ω, ω = 2πn/60.
Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suất
- Tâm
- C = (σx + σy)/2
- Bán kính
- R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
- Ứng suất chính
- σ1,2 = C ± R
- Phương chính
- tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
- Mặt phẳng nghiêng
- σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ
Phương pháp
- Tính tâm của vòng tròn Mohr: C = (σx + σy)/2.
- Tính bán kính: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
- Các ứng suất chính là C ± R và ứng suất tiếp lớn nhất trong mặt phẳng là R.
- Các góc trên vòng tròn gấp đôi các góc trên phần tử: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).
Ứng suất và biến dạng dọc trục
- Ứng suất pháp
- σ = F/A
- Biến dạng
- ε = ΔL/L
- Định luật Hooke
- σ = E·ε
- Độ giãn dài
- ΔL = FL/(EA)
- Biến dạng nhiệt
- εT = α·ΔT
Mất ổn định cột
- Tải Euler
- Pcr = π²EI/(KL)²
- Hệ số chiều dài tính toán
- K = 1 khớp–khớp, 0,5 ngàm–ngàm, 0,7 ngàm–khớp, 2 ngàm–tự do
- Ứng suất tới hạn
- σcr = Pcr/A
- Độ mảnh
- λ = KL/r, r = √(I/A)
Dao động cơ học
- Tần số riêng
- ωn = √(k/m), fn = ωn/(2π)
- Từ độ võng tĩnh
- ωn = √(g/δst)
- Cản tới hạn
- cc = 2√(km) = 2mωn
- Hệ số cản
- ζ = c/cc
- Tần số có cản
- ωd = ωn√(1 − ζ²)
- Giảm lượng logarit
- δ = (1/n)·ln(x0/xn), ζ = δ/√(4π² + δ²)
- Lò xo song song
- k = k1 + k2
- Lò xo nối tiếp
- 1/k = 1/k1 + 1/k2
2Bài tập
1.Bánh răng và hệ bánh răngTrung bình
Một động cơ 11 kW quay ở 960 rpm dẫn động một bánh răng nhỏ có 24 răng và mô-đun 4 mm. Tìm lực vòng Ft trên các răng của bánh răng nhỏ.
P = 11 kWn = 960 rpmN1 = 24m = 4 mm
Ft = N
2.Bánh răng và hệ bánh răngKhó
Trong một hệ bánh răng ghép, bánh răng A (18 răng) trên trục vào quay ở 1440 rpm và dẫn động bánh răng B (32 răng). Bánh răng C (16 răng) được gắn cố định trên cùng trục với B và dẫn động bánh răng D trên trục ra. Trục ra phải quay ở 432 rpm. Bánh răng D phải có bao nhiêu răng ND?
nin = 1440 rpmA = 18B = 32C = 16nout = 432 rpm
ND =
3.Xoắn của trụcTrung bình
Một trục đặc nhôm được ngàm vào tường và bị xoắn bởi mômen xoắn T ở đầu tự do. Tìm góc xoắn φ của đầu tự do, theo độ.
T = 750 N·md = 25 mmL = 0,5 mG = 26 GPa
φ = °
4.Xoắn của trụcKhó
Một trục rỗng phải truyền 20 kW ở 1000 rpm. Đường kính trong của nó bằng 0,6 lần đường kính ngoài, và ứng suất cắt không được vượt quá 50 MPa. Tìm đường kính ngoài nhỏ nhất do.
P = 20 kWN = 1000 rpmdi/do = 0,6τallow = 50 MPa
do = mm
5.Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suấtTrung bình
Một điểm có σₓ = 120 MPa, σᵧ = −30 MPa và τₓᵧ = 30 MPa (kéo là dương). Tìm góc θs, trong khoảng từ −90° đến 90°, từ trục x đến pháp tuyến của mặt có ứng suất cắt đạt giá trị dương lớn nhất +R (ứng suất cắt dương cùng chiều với τₓᵧ).
σx = 120 MPaσy = −30 MPaτxy = 30 MPa
θs = °
6.Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suấtKhó
Một điểm trong chi tiết chịu tải có σₓ = 80 MPa, σᵧ = 80 MPa và τₓᵧ = 20 MPa (kéo là dương). Tìm ứng suất tiếp τθ trên một mặt có pháp tuyến xoay 30° ngược chiều kim đồng hồ so với trục x (dương cùng chiều với τₓᵧ).
σx = 80 MPaσy = 80 MPaτxy = 20 MPaθ = 30°
τθ = MPa
7.Ứng suất và biến dạng dọc trụcTrung bình
Một thanh gồm một đoạn thép (đường kính 25 mm, chiều dài 400 mm, E = 200 GPa) nối đầu với đầu với một đoạn làm bằng đồng (đường kính 40 mm, chiều dài 500 mm, E = 120 GPa). Nó được ngàm một đầu và bị kéo ở đầu kia. Tìm tải dọc trục P làm nó giãn tổng cộng 0,3 mm.
đoạn 1: thép, Ø25 mm, 400 mm, E = 200 GPađoạn 2: đồng, Ø40 mm, 500 mm, E = 120 GPaδ = 0,3 mm
P = kN
8.Ứng suất và biến dạng dọc trụcKhó
Thanh bậc được ngàm vào tường và chịu tải ở đầu tự do. Tìm ứng suất pháp lớn nhất σmax trong thanh.
P = 75 kNđoạn 1: Ø40 mm, 2 m, đồng thau (E = 100 GPa)đoạn 2: Ø20 mm, 1 m, đồng (E = 117 GPa)
σmax = MPa
9.Mất ổn định cộtTrung bình
Một cột dài L làm bằng thép được ngàm cả hai đầu. Dùng công thức Euler, tìm tải trọng oằn tới hạn Pcr của nó.
L = 1,5 mE = 200 GPa (thép)b × h = 25 × 100 mm
Pcr = kN
10.Mất ổn định cộtKhó
Một cột dài L làm bằng nhôm được ngàm ở chân và khớp ở đỉnh. Tìm độ mảnh của nó và ứng suất oằn tới hạn σcr theo công thức Euler.
L = 2 mE = 70 GPa (nhôm)d = 20 mm
σcr = MPa
11.Dao động cơ họcTrung bình
Trong một thí nghiệm dao động tự do của hệ vật–lò xo có cản, một đỉnh độ dời 50 mm được theo sau 3 chu kỳ sau bởi đỉnh 34,3 mm. Tìm hệ số cản ζ.
x0 = 50 mmx3 = 34,3 mmn = 3
ζ =
12.Dao động cơ họcKhó
Một vật 100 kg treo vào lò xo k₃ = 60 kN/m. Đầu trên của k₃ được gắn vào một thanh cứng treo bằng hai lò xo đặt cạnh nhau, k₁ = 20 kN/m và k₂ = 50 kN/m; thanh giữ nằm ngang. Bỏ qua lực cản và khối lượng của các lò xo và thanh. Tìm tần số riêng fn của dao động thẳng đứng theo Hz.
m = 100 kgk1 = 20 kN/mk2 = 50 kN/mk3 = 60 kN/m
fn = Hz
3Dung dịch
1.Bánh răng và hệ bánh răng
Đáp số: Ft = 2280 N
Gear geometry: the module m sets the tooth size. A gear with N teeth has a pitch diameter d = m·N, two meshing gears have the same module, and their centre distance is a = (d₁ + d₂)/2 = m·(N₁ + N₂)/2. The pitch-line speed is v = π·d·n/60, and the tangential tooth force follows from the torque: Ft = 2T/d.
Mô-men trên bánh răng nhỏ
ω = 2π·960/60 = 100,5 rad/s
T = P/ω = 11000/100,5 = 109,4 N·m
Đường kính vòng chia
d = m·N = 4·24 = 96 mm
Lực vòng
Ft = 2T/d = 2·109,4/0,096 = 2280 N
Đáp số
Ft = 2280 N
2.Bánh răng và hệ bánh răng
Đáp số: ND = 30
Gear trains: meshing gears have the same speed at the teeth, so n₁·N₁ = n₂·N₂: the gear with fewer teeth turns faster. Gears on one shaft turn at the same speed. Power is passed on (minus losses), so torque goes up when speed goes down: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, and P = T·ω with ω = 2π·n/60.
Tốc độ của trục trung gian
nB = nC = 1440·18/32 = 810 rpm
Số răng của bánh răng D
ND = C·nC/nout = 16·810/432 = 30
Đáp số
ND = 30
3.Xoắn của trục
Đáp số: φ = 21,55 °
Xoắn thanh tròn: ứng suất tiếp tăng tuyến tính từ không ở tâm đến τmax = T·r/J ở bề mặt, với J = πd⁴/32 cho trục đặc và J = π(do⁴ − di⁴)/32 cho trục rỗng. Góc xoắn là φ = TL/(GJ) tính bằng radian. Công suất và mômen xoắn liên hệ với nhau qua P = T·ω.
Mômen quán tính độc cực của mặt cắt
J = π·25⁴/32 = 38350 mm⁴
Góc xoắn
φ = TL/(GJ) = 750·1000·500/(26000·38350) = 0,3761 rad
φ = 0,3761·180/π = 21,55°
Đáp số
φ = 21,55°
4.Xoắn của trục
Đáp số: do = 28,17 mm
Xoắn thanh tròn: ứng suất tiếp tăng tuyến tính từ không ở tâm đến τmax = T·r/J ở bề mặt, với J = πd⁴/32 cho trục đặc và J = π(do⁴ − di⁴)/32 cho trục rỗng. Góc xoắn là φ = TL/(GJ) tính bằng radian. Công suất và mômen xoắn liên hệ với nhau qua P = T·ω.
Mômen xoắn
ω = 2πN/60 = 2π·1000/60 = 104,7 rad/s
T = P/ω = 20000/104,7 = 191 N·m
Đường kính ngoài từ ứng suất cho phép
T = 191 N·m = 190986 N·mm
1 − k⁴ = 1 − 0,6⁴ = 0,8704
do = ∛(16T/(π·τallow·(1 − k⁴))) = ∛(16·190986/(π·50·0,8704)) = 28,17 mm
di = 0,6·28,17 = 16,9 mm
Đáp số
do = 28,17 mm
Một trục đặc sẽ cần d = 26,89 mm; trục rỗng lớn hơn một chút nhưng nhẹ hơn nhiều.
5.Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suất
Đáp số: θs = −34,1 °
Biến đổi ứng suất phẳng: trên một mặt xoay góc θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Vòng tròn Mohr cho thấy tất cả các mặt cùng lúc: tâm của nó ở C = (σₓ + σᵧ)/2 và bán kính là R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Các ứng suất chính là C ± R, và ứng suất tiếp lớn nhất trong mặt phẳng là R.
Góc trên vòng tròn
Trên vòng tròn Mohr, điểm trên cùng (+R) lệch 90° so với điểm chính σ₁; trên phân tố đó là 45°.
cos 2θs = 30/80,78 = 0,3714, sin 2θs = −75/80,78 = −0,9285
2θs = atan2(−75, 30) = −68,2°
Góc trên phần tử
θs = −34,1°
kiểm tra: θs − θp = −34,1 − 10,9 = −45°
Đáp số
θs = −34,1°
Góc dương là ngược chiều kim đồng hồ.
6.Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suất
Đáp số: τθ = 10 MPa
Biến đổi ứng suất phẳng: trên một mặt xoay góc θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Vòng tròn Mohr cho thấy tất cả các mặt cùng lúc: tâm của nó ở C = (σₓ + σᵧ)/2 và bán kính là R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Các ứng suất chính là C ± R, và ứng suất tiếp lớn nhất trong mặt phẳng là R.
Phương trình biến đổi
τθ = −0·0,866 + 20·0,5 = 10 MPa
Đáp số
τθ = 10 MPa
7.Ứng suất và biến dạng dọc trục
Đáp số: P = 40,59 kN
Hai vật liệu: khi nối tiếp (cái này sau cái kia) mỗi đoạn chịu cùng một lực và các độ giãn dài cộng lại: δ = P·Σ L/(E·A). Khi song song (cạnh nhau giữa các tấm cứng) cả hai phần co lại cùng một lượng, nên biến dạng của chúng bằng nhau: phần cứng hơn nhận phần tải lớn hơn, Pi = P·EiAi/ΣEA, và σi = Ei·ε. Một thanh bị giữ giữa hai vách cứng với tải đặt tại chỗ nối là siêu tĩnh: hai đoạn chia tải theo tỉ lệ độ cứng k = EA/L của chúng.
Diện tích
A₁ = 490,9 mm², A₂ = 1257 mm²
Các độ mềm
L₁/(E₁A₁) = 400/(200000·490,9) = 4,074 × 10⁻⁶ mm/N
L₂/(E₂A₂) = 500/(120000·1257) = 3,316 × 10⁻⁶ mm/N
Tải
P = 0,3/7,39 × 10⁻⁶ = 40595 N = 40,59 kN
Đáp số
P = 40,59 kN
8.Ứng suất và biến dạng dọc trục
Đáp số: σmax = 238,7 MPa
Cấu kiện chịu tải dọc trục: mỗi đoạn lăng trụ tuân theo δ = PL/(AE). Với các cấu kiện nối tiếp, độ giãn dài cộng lại.
Cùng một lực trong cả hai đoạn
Đầu tự do chịu lực P, nên mọi mặt cắt của thanh đều chịu cùng một lực dọc trục P. Chỉ có diện tích và vật liệu thay đổi.
A1 = π·40²/4 = 1257 mm², A2 = π·20²/4 = 314,2 mm²
σ1 = 59,68 MPa
σ2 = 238,7 MPa
Ứng suất lớn nhất
Đoạn mảnh hơn có diện tích nhỏ hơn, nên chịu ứng suất lớn hơn.
σmax = 238,7 MPa
Đáp số
σmax = 238,7 MPa
9.Mất ổn định cột
Đáp số: Pcr = 456,9 kN
Mất ổn định Euler: một cột mảnh mất ổn định tại Pcr = π²EI/(KL)², trong đó KL là chiều dài tính toán: K = 1 cho khớp–khớp, 2 cho ngàm–tự do, 0,7 cho ngàm–khớp và 0,5 cho ngàm–ngàm. Cột oằn quanh trục có I nhỏ nhất. Công thức đúng với cột mảnh, có ứng suất tới hạn thấp hơn ứng suất chảy.
Mômen quán tính nhỏ nhất của mặt cắt
Hình chữ nhật oằn quanh trục yếu, dùng kích thước nhỏ hơn lập phương.
Imin = h·b³/12 = 100·25³/12 = 130208 mm⁴
Chiều dài tính toán
KL = 0,5·1500 = 750 mm
Tải trọng tới hạn
Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·130208/750² = 456926 N = 456,9 kN
Đáp số
Pcr = 456,9 kN
10.Mất ổn định cột
Đáp số: σcr = 8,812 MPa
Mất ổn định Euler: một cột mảnh mất ổn định tại Pcr = π²EI/(KL)², trong đó KL là chiều dài tính toán: K = 1 cho khớp–khớp, 2 cho ngàm–tự do, 0,7 cho ngàm–khớp và 0,5 cho ngàm–ngàm. Cột oằn quanh trục có I nhỏ nhất. Công thức đúng với cột mảnh, có ứng suất tới hạn thấp hơn ứng suất chảy.
Mômen quán tính nhỏ nhất của mặt cắt
Mặt cắt tròn có cùng I đối với mọi trục.
I = πd⁴/64 = π·20⁴/64 = 7854 mm⁴
Bán kính quán tính và độ mảnh
A = 314,2 mm²
r = √(I/A) = √(7854/314,2) = 5 mm
KL = 0,7·2000 = 1400 mm
KL/r = 1400/5 = 280
Ứng suất tới hạn
σcr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/280² = 8,812 MPa
Đáp số
σcr = 8,812 MPa
11.Dao động cơ học
Đáp số: ζ = 0,01999
Dao động tự do của hệ vật–lò xo: tần số riêng không cản là ωn = √(k/m) theo rad/s, và fn = ωn/(2π) theo Hz. Một bộ cản nhớt c cho hệ số cản ζ = c/cc, với cản tới hạn cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn. Hệ cản dưới tới hạn (ζ < 1) dao động ở ωd = ωn·√(1 − ζ²). Các lò xo song song cộng lại, k = k₁ + k₂; các lò xo nối tiếp cộng theo nghịch đảo, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.
Giảm lượng logarit
δ = (1/3)·ln(50/34,3) = 0,1256
Hệ số cản
ζ = δ/√(4π² + δ²) = 0,1256/√(39,48 + 0,01578) = 0,01999
Đáp số
ζ = 0,01999
12.Dao động cơ học
Đáp số: fn = 2,861 Hz
Dao động tự do của hệ vật–lò xo: tần số riêng không cản là ωn = √(k/m) theo rad/s, và fn = ωn/(2π) theo Hz. Một bộ cản nhớt c cho hệ số cản ζ = c/cc, với cản tới hạn cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn. Hệ cản dưới tới hạn (ζ < 1) dao động ở ωd = ωn·√(1 − ζ²). Các lò xo song song cộng lại, k = k₁ + k₂; các lò xo nối tiếp cộng theo nghịch đảo, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.
Độ cứng tương đương
Chỉ k1 và k2 song song. Cặp đó nối tiếp với k3, nên gộp chúng theo nghịch đảo.
k12 = 20 + 50 = 70 kN/m
keq = 70·60/(70 + 60) = 32,31 kN/m
Tần số riêng
ωn = √(32308/100) = 17,97 rad/s
fn = 17,97/(2π) = 2,861 Hz
Đáp số
fn = 2,861 Hz
ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design