Thiết kế máy: gói ôn nước rút

Bảng công thức, các bước phương pháp chính cho từng chủ đề và 12 bài tập, kèm lời giải đầy đủ ở cuối.

Bài mới Quay lại môn học

Trong cửa sổ in, hãy chọn “Lưu dưới dạng PDF” để giữ một bản trên thiết bị của bạn.

1Công thức và phương pháp

Bánh răng và hệ bánh răng

Bánh răng ăn khớp: n₁·N₁ = n₂·N₂
Mômen xoắn: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Công suất: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Hệ bánh răng ghép: tỉ số truyền tổng = tích các tỉ số truyền từng cấp

Xoắn của trục

Ứng suất tiếp: τ = T·r/J
Trục đặc: J = πd⁴/32
Trục rỗng: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Góc xoắn: φ = TL/(GJ)
Công suất: P = T·ω = 2πnT/60

Phương pháp

Tìm mômen quán tính độc cực: J = πd⁴/32 cho trục đặc.
Ứng suất tiếp ở bề mặt: τ = T·r/J, với r là bán kính ngoài.
Góc xoắn: φ = TL/(GJ) theo radian.
Nếu cho công suất, hãy tìm mômen xoắn trước bằng P = T·ω, ω = 2πn/60.

Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suất

Tâm: C = (σ_x + σ_y)/2
Bán kính: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Ứng suất chính: σ_1,2 = C ± R
Phương chính: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Mặt phẳng nghiêng: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Phương pháp

Tính tâm của vòng tròn Mohr: C = (σx + σy)/2.
Tính bán kính: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Các ứng suất chính là C ± R và ứng suất tiếp lớn nhất trong mặt phẳng là R.
Các góc trên vòng tròn gấp đôi các góc trên phần tử: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Ứng suất và biến dạng dọc trục

Ứng suất pháp: σ = F/A
Biến dạng: ε = ΔL/L
Định luật Hooke: σ = E·ε
Độ giãn dài: ΔL = FL/(EA)
Biến dạng nhiệt: ε_T = α·ΔT

Mất ổn định cột

Tải Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Hệ số chiều dài tính toán: K = 1 khớp–khớp, 0,5 ngàm–ngàm, 0,7 ngàm–khớp, 2 ngàm–tự do
Ứng suất tới hạn: σ_cr = P_cr/A
Độ mảnh: λ = KL/r, r = √(I/A)

Dao động cơ học

Tần số riêng: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
Từ độ võng tĩnh: ω_n = √(g/δ_st)
Cản tới hạn: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Hệ số cản: ζ = c/c_c
Tần số có cản: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Giảm lượng logarit: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Lò xo song song: k = k₁ + k₂
Lò xo nối tiếp: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Bài tập

1.Bánh răng và hệ bánh răngTrung bình

Một puli 200 mm ở 1440 vòng/phút dẫn động một puli 450 mm bằng dây đai với độ trượt 4 %. Tìm tốc độ n₂ của puli bị dẫn.

n₁ = 1440 rpmd₁ = 200 mmd₂ = 450 mms = 4 %

n₂ = rpm

2.Bánh răng và hệ bánh răngKhó

Một dây đai hở nối puli 160 mm và puli 250 mm có tâm cách nhau 800 mm. Tìm góc ôm θ trên puli nhỏ hơn, theo độ.

d₁ = 160 mmd₂ = 250 mmC = 800 mm

θ = °

3.Xoắn của trụcTrung bình

Một trục rỗng nhôm (đường kính ngoài 50 mm, đường kính trong 38 mm, chiều dài 0,5 m) được ngàm một đầu và bị xoắn bởi mô-men xoắn 250 N·m ở đầu kia. Tìm góc xoắn φ theo độ.

T = 250 N·md_o = 50 mmd_i = 38 mmL = 0,5 mG = 26 GPa

φ = °

4.Xoắn của trụcKhó

Một trục đặc phải truyền 30 kW ở 300 rpm mà ứng suất tiếp không vượt quá 60 MPa. Tìm đường kính nhỏ nhất d thỏa mãn.

P = 30 kWN = 300 rpmτ_allow = 60 MPa

d = mm

5.Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suấtTrung bình

Một điểm trong một tấm mỏng ở trạng thái ứng suất phẳng: σₓ = 120 MPa, σᵧ = 90 MPa và τₓᵧ = −30 MPa, với σ_z = 0. Tìm ứng suất cắt lớn nhất tuyệt đối τ_abs tại điểm đó (xét mọi mặt trong không gian ba chiều).

σ_x = 120 MPaσ_y = 90 MPaτ_xy = −30 MPaσ_z = 0

τ_abs = MPa

6.Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suấtKhó

Một trục đặc đường kính 40 mm chịu một lực nén dọc trục 70 kN cùng với mô-men xoắn 400 N·m. Tại bề mặt của trục, hãy tìm ứng suất cắt lớn nhất trong mặt phẳng τ_max.

d = 40 mmF = −70 kNT = 400 N·m

τ_max = MPa

7.Ứng suất và biến dạng dọc trụcTrung bình

Một thanh thép (đường kính 20 mm, E = 200 GPa) nằm trong một ống làm bằng đồng thanh (đường kính ngoài 100 mm, đường kính trong 70 mm, E = 110 GPa). Cả hai dài 400 mm và bị nén cùng nhau giữa các tấm cứng bởi 50 kN. Tìm độ co ngắn δ.

P = 50 kNthanh: Ø20 mm, E = 200 GPaống: Ø100/Ø70 mm, E = 110 GPaL = 400 mm

δ = mm

8.Ứng suất và biến dạng dọc trụcKhó

Một đoạn thép (đường kính 30 mm, chiều dài 600 mm, E = 200 GPa) và một đoạn làm bằng đồng thau (đường kính 40 mm, chiều dài 500 mm, E = 100 GPa) được nối đầu với đầu và ngàm giữa hai vách cứng. Một tải dọc trục 100 kN tác dụng tại chỗ nối, hướng về phía đoạn 2. Tìm độ lớn ứng suất σ₂ trong đoạn 2.

đoạn 1: thép, Ø30 mm, 600 mm, E = 200 GPađoạn 2: đồng thau, Ø40 mm, 500 mm, E = 100 GPaP = 100 kN

σ₂ = MPa

9.Mất ổn định cộtTrung bình

Một cột dài L làm bằng thép được ngàm cả hai đầu. Dùng công thức Euler, tìm tải trọng oằn tới hạn P_cr của nó.

L = 4 mE = 200 GPa (thép)d = 80 mm

P_cr = kN

10.Mất ổn định cộtKhó

Một cột dài L làm bằng nhôm được ngàm ở chân và khớp ở đỉnh. Tìm độ mảnh của nó và ứng suất oằn tới hạn σ_cr theo công thức Euler.

L = 1,5 mE = 70 GPa (nhôm)d = 20 mm

σ_cr = MPa

11.Dao động cơ họcTrung bình

Một vật 100 kg được đỡ bởi một lò xo có độ cứng 40 kN/m và một bộ cản nhớt có hệ số cản 800 N·s/m. Tìm hệ số cản ζ.

m = 100 kgk = 40 kN/mc = 800 N·s/m

ζ =

12.Dao động cơ họcKhó

Một vật 50 kg treo vào hai lò xo đặt cạnh nhau (song song), có độ cứng k₁ = 50 kN/m và k₂ = 25 kN/m. Vật giữ nằm ngang. Tìm độ cứng tương đương k_eq của hệ lò xo theo kN/m.

m = 50 kgk₁ = 50 kN/mk₂ = 25 kN/m

k_eq = kN/m

3Dung dịch

1.Bánh răng và hệ bánh răng

Đáp số: n₂ = 614,4 rpm

Truyền động đai: khi không trượt, cả hai puli có cùng tốc độ mép v = π·d·n/60, nên n₁·d₁ = n₂·d₂ và tỉ số tốc độ là d₂/d₁. Độ trượt s làm puli bị dẫn chậm hơn một chút: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s). Công suất truyền là P = (T₁ − T₂)·v, với T₁ là lực căng ở nhánh căng và T₂ ở nhánh chùng. Ma sát giới hạn tỉ số các lực căng: T₁/T₂ = e^μθ, trong đó θ là góc ôm tính theo radian trên puli nhỏ hơn; với đai hở θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)) với khoảng cách tâm C.

Tốc độ khi không trượt

1440·200/450 = 640 rpm

Khi có trượt

n₂ = 640·0,96 = 614,4 rpm

Đáp số

n₂ = 614,4 rpm

2.Bánh răng và hệ bánh răng

Đáp số: θ = 173,6 °

Góc của dây đai

asin(0,05625) = 3,225°

Góc ôm

θ = 180 − 2·3,225 = 173,6°

Đáp số

θ = 173,6°

3.Xoắn của trục

Đáp số: φ = 0,6737 °

Xoắn thanh tròn: ứng suất tiếp tăng tuyến tính từ không ở tâm đến τ_max = T·r/J ở bề mặt, với J = πd⁴/32 cho trục đặc và J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 cho trục rỗng. Góc xoắn là φ = TL/(GJ) tính bằng radian. Công suất và mômen xoắn liên hệ với nhau qua P = T·ω.

Mômen quán tính độc cực của mặt cắt

J = π(50⁴ − 38⁴)/32 = 408885 mm⁴

Góc xoắn

T = 250 N·m = 250000 N·mm

L = 0,5 m = 500 mm

G = 26 GPa = 26000 MPa

φ = TL/(GJ) = 250000·500/(26000·408885) = 0,01176 rad

φ = 0,01176·180/π = 0,6737°

Đáp số

φ = 0,6737°

4.Xoắn của trục

Đáp số: d = 43,28 mm

Mômen xoắn

ω = 2πN/60 = 2π·300/60 = 31,42 rad/s

T = P/ω = 30000/31,42 = 954,9 N·m

Đường kính từ ứng suất cho phép

d = ∛(16T/(π·τ_allow)) = ∛(16·954930/(π·60)) = 43,28 mm

Đáp số

d = 43,28 mm

Trong thực tế bạn sẽ làm tròn lên kích thước tiêu chuẩn kế tiếp.

5.Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suất

Đáp số: τ_abs = 69,27 MPa

Biến đổi ứng suất phẳng: trên một mặt xoay góc θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Vòng tròn Mohr cho thấy tất cả các mặt cùng lúc: tâm của nó ở C = (σₓ + σᵧ)/2 và bán kính là R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Các ứng suất chính là C ± R, và ứng suất tiếp lớn nhất trong mặt phẳng là R. Trong không gian ba chiều, ứng suất cắt lớn nhất tuyệt đối là (σ_max − σ_min)/2 trên cả ba ứng suất chính; trong ứng suất phẳng, ứng suất thứ ba bằng không.

Các ứng suất chính trong mặt phẳng

C = 105 MPa, R = √(15² + (−30)²) = 33,54 MPa

σ₁ = 138,5 MPa, σ₂ = 71,46 MPa, σ_z = 0

Vòng tròn lớn nhất trong ba vòng tròn

τ = max(|σ₁ − σ₂|, |σ₁|, |σ₂|)/2 = max(67,08, 138,5, 71,46)/2 = 69,27 MPa

Đáp số

τ_abs = 69,27 MPa

Ở đây vòng tròn ngoài mặt phẳng quyết định: giá trị lớn nhất tuyệt đối lớn hơn giá trị lớn nhất trong mặt phẳng R.

6.Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suất

Đáp số: τ_max = 42,3 MPa

Các ứng suất tại bề mặt

σ = F/A = −70000/(π·40²/4) = −70000/1257 = −55,7 MPa

τ = 16T/(πd³) = 16·400000/(π·40³) = 31,83 MPa

Vòng tròn Mohr

C = σ/2 = −27,85 MPa

R = √((−27,85)² + 31,83²) = 42,3 MPa

Đáp số

τ_max = 42,3 MPa

7.Ứng suất và biến dạng dọc trục

Đáp số: δ = 0,03973 mm

Hai vật liệu: khi nối tiếp (cái này sau cái kia) mỗi đoạn chịu cùng một lực và các độ giãn dài cộng lại: δ = P·Σ L/(E·A). Khi song song (cạnh nhau giữa các tấm cứng) cả hai phần co lại cùng một lượng, nên biến dạng của chúng bằng nhau: phần cứng hơn nhận phần tải lớn hơn, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, và σ_i = E_i·ε. Một thanh bị giữ giữa hai vách cứng với tải đặt tại chỗ nối là siêu tĩnh: hai đoạn chia tải theo tỉ lệ độ cứng k = EA/L của chúng.

Diện tích

A_r = π·20²/4 = 314,2 mm²

A_t = π(100² − 70²)/4 = 4006 mm²

Độ cứng dọc trục kết hợp

ΣEA = 200·10³·314,2 + 110·10³·4006 = 5,034 × 10⁸ N

Độ co ngắn

δ = 50000·400/5,034 × 10⁸ = 0,03973 mm

Đáp số

δ = 0,03973 mm

8.Ứng suất và biến dạng dọc trục

Đáp số: σ₂ = 41,07 MPa

Các độ cứng

k₁ = 200000·706,9/600 = 235619 N/mm

k₂ = 100000·1257/500 = 251327 N/mm

Phần của đoạn 2

F₂ = 100000·251327/486947 = 51613 N

Ứng suất

σ₂ = 51613/1257 = 41,07 MPa (nén)

Đáp số

σ₂ = 41,07 MPa

9.Mất ổn định cột

Đáp số: P_cr = 992,2 kN

Mất ổn định Euler: một cột mảnh mất ổn định tại P_cr = π²EI/(KL)², trong đó KL là chiều dài tính toán: K = 1 cho khớp–khớp, 2 cho ngàm–tự do, 0,7 cho ngàm–khớp và 0,5 cho ngàm–ngàm. Cột oằn quanh trục có I nhỏ nhất. Công thức đúng với cột mảnh, có ứng suất tới hạn thấp hơn ứng suất chảy.

Mômen quán tính nhỏ nhất của mặt cắt

Mặt cắt tròn có cùng I đối với mọi trục.

I = πd⁴/64 = π·80⁴/64 = 2,011 × 10⁶ mm⁴

Chiều dài tính toán

KL = 0,5·4000 = 2000 mm

Tải trọng tới hạn

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·2,011 × 10⁶/2000² = 992201 N = 992,2 kN

Đáp số

P_cr = 992,2 kN

10.Mất ổn định cột

Đáp số: σ_cr = 15,67 MPa

Mômen quán tính nhỏ nhất của mặt cắt

Mặt cắt tròn có cùng I đối với mọi trục.

I = πd⁴/64 = π·20⁴/64 = 7854 mm⁴

Bán kính quán tính và độ mảnh

A = 314,2 mm²

r = √(I/A) = √(7854/314,2) = 5 mm

KL = 0,7·1500 = 1050 mm

KL/r = 1050/5 = 210

Ứng suất tới hạn

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/210² = 15,67 MPa

Đáp số

σ_cr = 15,67 MPa

11.Dao động cơ học

Đáp số: ζ = 0,2

Dao động tự do của hệ vật–lò xo: tần số riêng không cản là ω_n = √(k/m) theo rad/s, và f_n = ω_n/(2π) theo Hz. Một bộ cản nhớt c cho hệ số cản ζ = c/c_c, với cản tới hạn c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. Hệ cản dưới tới hạn (ζ < 1) dao động ở ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). Các lò xo song song cộng lại, k = k₁ + k₂; các lò xo nối tiếp cộng theo nghịch đảo, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Cản tới hạn

c_c = 2·√(k·m) = 2·√(40000·100) = 4000 N·s/m

Hệ số cản

ζ = c/c_c = 800/4000 = 0,2

Đáp số

ζ = 0,2

ζ < 1, nên hệ cản dưới tới hạn và dao động khi tắt dần.

12.Dao động cơ học

Đáp số: k_eq = 75 kN/m

Độ cứng tương đương

Các lò xo đặt cạnh nhau có chung độ võng và cộng các lực, nên độ cứng đơn giản cộng lại: k = k₁ + k₂.

k_eq = 50 + 25 = 75 kN/m

Đáp số

k_eq = 75 kN/m

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design