Bánh răng và hệ bánh răng
- Bánh răng ăn khớp
- n1·N1 = n2·N2
- Mômen xoắn
- T2 = T1·(N2/N1)·η
- Công suất
- P = T·ω, ω = 2π·n/60
- Hệ bánh răng ghép
- tỉ số truyền tổng = tích các tỉ số truyền từng cấp
Thiết kế máy: gói ôn nước rút
Bảng công thức, các bước phương pháp chính cho từng chủ đề và 12 bài tập, kèm lời giải đầy đủ ở cuối.
1Công thức và phương pháp
Xoắn của trục
- Ứng suất tiếp
- τ = T·r/J
- Trục đặc
- J = πd⁴/32
- Trục rỗng
- J = π(D⁴ − d⁴)/32
- Góc xoắn
- φ = TL/(GJ)
- Công suất
- P = T·ω = 2πnT/60
Phương pháp
- Tìm mômen quán tính độc cực: J = πd⁴/32 cho trục đặc.
- Ứng suất tiếp ở bề mặt: τ = T·r/J, với r là bán kính ngoài.
- Góc xoắn: φ = TL/(GJ) theo radian.
- Nếu cho công suất, hãy tìm mômen xoắn trước bằng P = T·ω, ω = 2πn/60.
Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suất
- Tâm
- C = (σx + σy)/2
- Bán kính
- R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
- Ứng suất chính
- σ1,2 = C ± R
- Phương chính
- tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
- Mặt phẳng nghiêng
- σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ
Phương pháp
- Tính tâm của vòng tròn Mohr: C = (σx + σy)/2.
- Tính bán kính: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
- Các ứng suất chính là C ± R và ứng suất tiếp lớn nhất trong mặt phẳng là R.
- Các góc trên vòng tròn gấp đôi các góc trên phần tử: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).
Ứng suất và biến dạng dọc trục
- Ứng suất pháp
- σ = F/A
- Biến dạng
- ε = ΔL/L
- Định luật Hooke
- σ = E·ε
- Độ giãn dài
- ΔL = FL/(EA)
- Biến dạng nhiệt
- εT = α·ΔT
Mất ổn định cột
- Tải Euler
- Pcr = π²EI/(KL)²
- Hệ số chiều dài tính toán
- K = 1 khớp–khớp, 0,5 ngàm–ngàm, 0,7 ngàm–khớp, 2 ngàm–tự do
- Ứng suất tới hạn
- σcr = Pcr/A
- Độ mảnh
- λ = KL/r, r = √(I/A)
Dao động cơ học
- Tần số riêng
- ωn = √(k/m), fn = ωn/(2π)
- Từ độ võng tĩnh
- ωn = √(g/δst)
- Cản tới hạn
- cc = 2√(km) = 2mωn
- Hệ số cản
- ζ = c/cc
- Tần số có cản
- ωd = ωn√(1 − ζ²)
- Giảm lượng logarit
- δ = (1/n)·ln(x0/xn), ζ = δ/√(4π² + δ²)
- Lò xo song song
- k = k1 + k2
- Lò xo nối tiếp
- 1/k = 1/k1 + 1/k2
2Bài tập
1.Bánh răng và hệ bánh răngTrung bình
Một động cơ 5,5 kW chạy ở 1440 rpm dẫn động một bánh răng nhỏ có 20 răng, ăn khớp với một bánh răng có 40 răng. Cặp bánh răng có hiệu suất 96%. Tìm mômen xoắn ra T2 trên trục bánh răng.
P = 5,5 kWn1 = 1440 rpmN1 = 20N2 = 40η = 96%
T2 = N·m
2.Bánh răng và hệ bánh răngKhó
Trong một bộ bánh răng hành tinh, bánh răng mặt trời có 24 răng và mỗi bánh răng hành tinh có 12 răng. Vành răng ngoài được giữ cố định và bánh mặt trời được dẫn động ở 1800 rpm. Tìm tốc độ nc của cần dẫn hành tinh.
Ns = 24Np = 12ns = 1800 rpm
nc = rpm
3.Xoắn của trụcTrung bình
Trong một thí nghiệm xoắn, một mẫu đặc đường kính 15 mm bị xoắn bởi mô-men xoắn 20 N·m. Hai đầu của một đoạn đo dài 250 mm quay 1,48° so với nhau (vật liệu vẫn còn đàn hồi). Tìm mô-đun cắt G của vật liệu.
T = 20 N·md = 15 mmL = 250 mmφ = 1,48°
G = GPa
4.Xoắn của trụcKhó
Một trục đặc phải truyền 50 kW ở 3000 rpm mà ứng suất tiếp không vượt quá 75 MPa. Tìm đường kính nhỏ nhất d thỏa mãn.
P = 50 kWN = 3000 rpmτallow = 75 MPa
d = mm
5.Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suấtTrung bình
Một điểm có σₓ = 100 MPa và σᵧ = 60 MPa. Ứng suất cắt τxy (độ lớn) có thể lớn đến mức nào trước khi ứng suất chính lớn nhất đạt 110 MPa?
σx = 100 MPaσy = 60 MPaσ1 = 110 MPa
τxy = MPa
6.Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suấtKhó
Một trục đặc đường kính 40 mm chịu một mô-men uốn 500 N·m cùng với mô-men xoắn 1500 N·m. Tại bề mặt trên, nơi ứng suất uốn là kéo và lớn nhất, hãy tìm ứng suất cắt lớn nhất trong mặt phẳng τmax.
d = 40 mmM = 500 N·mT = 1500 N·m
τmax = MPa
7.Ứng suất và biến dạng dọc trụcTrung bình
Tìm độ giãn dài δ của thanh đồng thau dưới tải trọng dọc trục.
P = 45 kNd = 30 mmL = 1 mE = 100 GPa
δ = mm
8.Ứng suất và biến dạng dọc trụcKhó
Một đoạn thép (đường kính 40 mm, chiều dài 600 mm, E = 200 GPa) và một đoạn làm bằng đồng thanh (đường kính 50 mm, chiều dài 300 mm, E = 110 GPa) được nối đầu với đầu và ngàm giữa hai vách cứng. Một tải dọc trục 50 kN tác dụng tại chỗ nối, hướng về phía đoạn 2. Tìm độ lớn ứng suất σ2 trong đoạn 2.
đoạn 1: thép, Ø40 mm, 600 mm, E = 200 GPađoạn 2: đồng thanh, Ø50 mm, 300 mm, E = 110 GPaP = 50 kN
σ2 = MPa
9.Mất ổn định cộtTrung bình
Một cột dài L làm bằng thép được ngàm ở chân và tự do ở đỉnh. Dùng công thức Euler, tìm tải trọng oằn tới hạn Pcr của nó.
L = 1,5 mE = 200 GPa (thép)d = 25 mm
Pcr = kN
10.Mất ổn định cộtKhó
Một cột tròn đặc dài L làm bằng thép được ngàm ở chân và khớp ở đỉnh. Nó phải chịu 30 kN với hệ số an toàn 2,5 chống oằn. Tìm đường kính nhỏ nhất d.
P = 30 kNn = 2,5L = 5 mE = 200 GPa (thép)
d = mm
11.Dao động cơ họcTrung bình
Một vật 25 kg được đỡ bởi một lò xo có độ cứng 12 kN/m và một bộ cản nhớt có hệ số cản 440 N·s/m. Tìm hệ số cản ζ.
m = 25 kgk = 12 kN/mc = 440 N·s/m
ζ =
12.Dao động cơ họcKhó
Một vật 100 kg treo vào lò xo k₃ = 30 kN/m. Đầu trên của k₃ được gắn vào một thanh cứng treo bằng hai lò xo đặt cạnh nhau, k₁ = 60 kN/m và k₂ = 50 kN/m; thanh giữ nằm ngang. Bỏ qua lực cản và khối lượng của các lò xo và thanh. Tìm tần số riêng fn của dao động thẳng đứng theo Hz.
m = 100 kgk1 = 60 kN/mk2 = 50 kN/mk3 = 30 kN/m
fn = Hz
3Dung dịch
1.Bánh răng và hệ bánh răng
Đáp số: T2 = 70,03 N·m
Hệ bánh răng: các bánh răng ăn khớp có cùng tốc độ tại răng, nên n₁·N₁ = n₂·N₂: bánh răng có ít răng hơn quay nhanh hơn. Các bánh răng trên cùng một trục quay cùng tốc độ. Công suất được truyền đi (trừ tổn thất), nên mômen xoắn tăng khi tốc độ giảm: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, và P = T·ω với ω = 2π·n/60.
Mômen xoắn động cơ
ω₁ = 2π·1440/60 = 150,8 rad/s
T1 = P/ω₁ = 5500/150,8 = 36,47 N·m
Mômen xoắn ra
T2 = 36,47·40/20·0,96 = 70,03 N·m
Đáp số
T2 = 70,03 N·m
2.Bánh răng và hệ bánh răng
Đáp số: nc = 600 rpm
Bộ bánh răng hành tinh: tốc độ của bánh mặt trời, vành răng và cần dẫn liên hệ với nhau bởi phương trình Willis (ns − nc)/(nr − nc) = −Nr/Ns: nhìn từ cần dẫn, bộ truyền là một hệ bánh răng thông thường với các bánh hành tinh là bánh trung gian. Giữ cố định một phần tử biến bộ truyền thành bộ giảm tốc có một tỉ số truyền.
Số răng của vành răng
Nr = Ns + 2·Np = 24 + 2·12 = 48
Phương trình Willis khi vành răng cố định
Đặt nr = 0 và giải tìm tốc độ cần dẫn.
(1800 − nc)/(0 − nc) = −48/24
nc = ns·Ns/(Ns + Nr) = 1800·24/72 = 600 rpm
Đáp số
nc = 600 rpm
Cần dẫn quay cùng chiều với bánh mặt trời.
3.Xoắn của trục
Đáp số: G = 38,95 GPa
Xoắn thanh tròn: ứng suất tiếp tăng tuyến tính từ không ở tâm đến τmax = T·r/J ở bề mặt, với J = πd⁴/32 cho trục đặc và J = π(do⁴ − di⁴)/32 cho trục rỗng. Góc xoắn là φ = TL/(GJ) tính bằng radian. Công suất và mômen xoắn liên hệ với nhau qua P = T·ω.
Mô-men quán tính độc cực và góc
J = π·15⁴/32 = 4970 mm⁴
φ = 1,48·π/180 = 0,02583 rad
Mô đun trượt
T = 20 N·m = 20000 N·mm
G = TL/(Jφ) = 20000·250/(4970·0,02583) = 38946 MPa
G = 38,95 GPa
Đáp số
G = 38,95 GPa
So sánh: thép ≈ 80 GPa, đồng thau ≈ 39 GPa, nhôm ≈ 26 GPa.
4.Xoắn của trục
Đáp số: d = 22,11 mm
Xoắn thanh tròn: ứng suất tiếp tăng tuyến tính từ không ở tâm đến τmax = T·r/J ở bề mặt, với J = πd⁴/32 cho trục đặc và J = π(do⁴ − di⁴)/32 cho trục rỗng. Góc xoắn là φ = TL/(GJ) tính bằng radian. Công suất và mômen xoắn liên hệ với nhau qua P = T·ω.
Mômen xoắn
ω = 2πN/60 = 2π·3000/60 = 314,2 rad/s
T = P/ω = 50000/314,2 = 159,2 N·m
Đường kính từ ứng suất cho phép
d = ∛(16T/(π·τallow)) = ∛(16·159155/(π·75)) = 22,11 mm
Đáp số
d = 22,11 mm
Trong thực tế bạn sẽ làm tròn lên kích thước tiêu chuẩn kế tiếp.
5.Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suất
Đáp số: τxy = 22,36 MPa
Biến đổi ứng suất phẳng: trên một mặt xoay góc θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Vòng tròn Mohr cho thấy tất cả các mặt cùng lúc: tâm của nó ở C = (σₓ + σᵧ)/2 và bán kính là R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Các ứng suất chính là C ± R, và ứng suất tiếp lớn nhất trong mặt phẳng là R.
Bán kính cần thiết
C = (100 + 60)/2 = 80 MPa
R = σ1 − C = 110 − 80 = 30 MPa
Ứng suất tiếp
τxy = √(R² − ((σₓ − σᵧ)/2)²) = √(30² − 20²) = 22,36 MPa
Đáp số
τxy = 22,36 MPa
6.Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suất
Đáp số: τmax = 125,8 MPa
Biến đổi ứng suất phẳng: trên một mặt xoay góc θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Vòng tròn Mohr cho thấy tất cả các mặt cùng lúc: tâm của nó ở C = (σₓ + σᵧ)/2 và bán kính là R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Các ứng suất chính là C ± R, và ứng suất tiếp lớn nhất trong mặt phẳng là R.
Các ứng suất tại bề mặt
σ = 32M/(πd³) = 32·500000/(π·40³) = 79,58 MPa
τ = 16T/(πd³) = 16·1500000/(π·40³) = 119,4 MPa
Vòng tròn Mohr
C = σ/2 = 39,79 MPa
R = √(39,79² + 119,4²) = 125,8 MPa
Đáp số
τmax = 125,8 MPa
7.Ứng suất và biến dạng dọc trục
Đáp số: δ = 0,6366 mm
Định luật Hooke: trong giới hạn đàn hồi σ = E·ε. Kết hợp với σ = P/A và ε = δ/L ta được δ = PL/(AE).
Ứng suất
A = π·30²/4 = 706,9 mm²
σ = P/A = 45·1000/706,9 = 63,66 MPa
Biến dạng (định luật Hooke)
E for đồng thau = 100 GPa = 100000 MPa.
ε = σ/E = 63,66/100000 = 0,0006366 = 636,6 µε
Độ giãn dài
δ = ε·L = 0,0006366·1000 mm = 0,6366 mm
Đáp số
δ = 0,6366 mm
8.Ứng suất và biến dạng dọc trục
Đáp số: σ2 = 16,1 MPa
Hai vật liệu: khi nối tiếp (cái này sau cái kia) mỗi đoạn chịu cùng một lực và các độ giãn dài cộng lại: δ = P·Σ L/(E·A). Khi song song (cạnh nhau giữa các tấm cứng) cả hai phần co lại cùng một lượng, nên biến dạng của chúng bằng nhau: phần cứng hơn nhận phần tải lớn hơn, Pi = P·EiAi/ΣEA, và σi = Ei·ε. Một thanh bị giữ giữa hai vách cứng với tải đặt tại chỗ nối là siêu tĩnh: hai đoạn chia tải theo tỉ lệ độ cứng k = EA/L của chúng.
Các độ cứng
k₁ = 200000·1257/600 = 418879 N/mm
k₂ = 110000·1963/300 = 719948 N/mm
Phần của đoạn 2
F2 = 50000·719948/1,139 × 10⁶ = 31609 N
Ứng suất
σ2 = 31609/1963 = 16,1 MPa (nén)
Đáp số
σ2 = 16,1 MPa
9.Mất ổn định cột
Đáp số: Pcr = 4,205 kN
Mất ổn định Euler: một cột mảnh mất ổn định tại Pcr = π²EI/(KL)², trong đó KL là chiều dài tính toán: K = 1 cho khớp–khớp, 2 cho ngàm–tự do, 0,7 cho ngàm–khớp và 0,5 cho ngàm–ngàm. Cột oằn quanh trục có I nhỏ nhất. Công thức đúng với cột mảnh, có ứng suất tới hạn thấp hơn ứng suất chảy.
Mômen quán tính nhỏ nhất của mặt cắt
Mặt cắt tròn có cùng I đối với mọi trục.
I = πd⁴/64 = π·25⁴/64 = 19175 mm⁴
Chiều dài tính toán
KL = 2·1500 = 3000 mm
Tải trọng tới hạn
Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·19175/3000² = 4205 N = 4,205 kN
Đáp số
Pcr = 4,205 kN
10.Mất ổn định cột
Đáp số: d = 55,49 mm
Mất ổn định Euler: một cột mảnh mất ổn định tại Pcr = π²EI/(KL)², trong đó KL là chiều dài tính toán: K = 1 cho khớp–khớp, 2 cho ngàm–tự do, 0,7 cho ngàm–khớp và 0,5 cho ngàm–ngàm. Cột oằn quanh trục có I nhỏ nhất. Công thức đúng với cột mảnh, có ứng suất tới hạn thấp hơn ứng suất chảy.
Tải trọng tới hạn yêu cầu
Pcr = n·P = 2,5·30000 = 75000 N
KL = 0,7·5000 = 3500 mm
Giải tìm đường kính
d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·75000·3500²/(π³·200000))^(1/4) = 55,49 mm
Đáp số
d = 55,49 mm
Kiểm tra: độ mảnh KL/r là 252,3, nên cột là mảnh và công thức Euler áp dụng được.
11.Dao động cơ học
Đáp số: ζ = 0,4017
Dao động tự do của hệ vật–lò xo: tần số riêng không cản là ωn = √(k/m) theo rad/s, và fn = ωn/(2π) theo Hz. Một bộ cản nhớt c cho hệ số cản ζ = c/cc, với cản tới hạn cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn. Hệ cản dưới tới hạn (ζ < 1) dao động ở ωd = ωn·√(1 − ζ²). Các lò xo song song cộng lại, k = k₁ + k₂; các lò xo nối tiếp cộng theo nghịch đảo, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.
Cản tới hạn
cc = 2·√(k·m) = 2·√(12000·25) = 1095 N·s/m
Hệ số cản
ζ = c/cc = 440/1095 = 0,4017
Đáp số
ζ = 0,4017
ζ < 1, nên hệ cản dưới tới hạn và dao động khi tắt dần.
12.Dao động cơ học
Đáp số: fn = 2,444 Hz
Dao động tự do của hệ vật–lò xo: tần số riêng không cản là ωn = √(k/m) theo rad/s, và fn = ωn/(2π) theo Hz. Một bộ cản nhớt c cho hệ số cản ζ = c/cc, với cản tới hạn cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn. Hệ cản dưới tới hạn (ζ < 1) dao động ở ωd = ωn·√(1 − ζ²). Các lò xo song song cộng lại, k = k₁ + k₂; các lò xo nối tiếp cộng theo nghịch đảo, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.
Độ cứng tương đương
Chỉ k1 và k2 song song. Cặp đó nối tiếp với k3, nên gộp chúng theo nghịch đảo.
k12 = 60 + 50 = 110 kN/m
keq = 110·30/(110 + 30) = 23,57 kN/m
Tần số riêng
ωn = √(23571/100) = 15,35 rad/s
fn = 15,35/(2π) = 2,444 Hz
Đáp số
fn = 2,444 Hz
ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design