Thiết kế máy: gói ôn nước rút

Bảng công thức, các bước phương pháp chính cho từng chủ đề và 12 bài tập, kèm lời giải đầy đủ ở cuối.

Bài mới Quay lại môn học

Trong cửa sổ in, hãy chọn “Lưu dưới dạng PDF” để giữ một bản trên thiết bị của bạn.

1Công thức và phương pháp

Bánh răng và hệ bánh răng

Bánh răng ăn khớp: n₁·N₁ = n₂·N₂
Mômen xoắn: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Công suất: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Hệ bánh răng ghép: tỉ số truyền tổng = tích các tỉ số truyền từng cấp

Xoắn của trục

Ứng suất tiếp: τ = T·r/J
Trục đặc: J = πd⁴/32
Trục rỗng: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Góc xoắn: φ = TL/(GJ)
Công suất: P = T·ω = 2πnT/60

Phương pháp

Tìm mômen quán tính độc cực: J = πd⁴/32 cho trục đặc.
Ứng suất tiếp ở bề mặt: τ = T·r/J, với r là bán kính ngoài.
Góc xoắn: φ = TL/(GJ) theo radian.
Nếu cho công suất, hãy tìm mômen xoắn trước bằng P = T·ω, ω = 2πn/60.

Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suất

Tâm: C = (σ_x + σ_y)/2
Bán kính: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Ứng suất chính: σ_1,2 = C ± R
Phương chính: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Mặt phẳng nghiêng: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Phương pháp

Tính tâm của vòng tròn Mohr: C = (σx + σy)/2.
Tính bán kính: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Các ứng suất chính là C ± R và ứng suất tiếp lớn nhất trong mặt phẳng là R.
Các góc trên vòng tròn gấp đôi các góc trên phần tử: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Ứng suất và biến dạng dọc trục

Ứng suất pháp: σ = F/A
Biến dạng: ε = ΔL/L
Định luật Hooke: σ = E·ε
Độ giãn dài: ΔL = FL/(EA)
Biến dạng nhiệt: ε_T = α·ΔT

Mất ổn định cột

Tải Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Hệ số chiều dài tính toán: K = 1 khớp–khớp, 0,5 ngàm–ngàm, 0,7 ngàm–khớp, 2 ngàm–tự do
Ứng suất tới hạn: σ_cr = P_cr/A
Độ mảnh: λ = KL/r, r = √(I/A)

Dao động cơ học

Tần số riêng: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
Từ độ võng tĩnh: ω_n = √(g/δ_st)
Cản tới hạn: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Hệ số cản: ζ = c/c_c
Tần số có cản: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Giảm lượng logarit: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Lò xo song song: k = k₁ + k₂
Lò xo nối tiếp: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Bài tập

1.Bánh răng và hệ bánh răngTrung bình

Hai trục song song cách nhau 270 mm. Chúng phải được nối bằng một cặp bánh răng trụ răng thẳng có mô-đun 3 mm và tỉ số giảm tốc 5 : 1. Bánh răng lớn phải có bao nhiêu răng N₂?

a = 270 mmm = 3 mmi = 5

N₂ =

2.Bánh răng và hệ bánh răngKhó

Trong một hệ bánh răng ghép, bánh răng A (25 răng) trên trục vào quay 2900 rpm dẫn động bánh răng B (48 răng). Bánh răng C (18 răng) được cố định trên cùng trục với B và dẫn động bánh răng D (30 răng) trên trục ra. Tìm tốc độ ra n_out.

n_in = 2900 rpmA = 25B = 48C = 18D = 30

n_out = rpm

3.Xoắn của trụcTrung bình

Một trục đặc nhôm được ngàm vào tường và bị xoắn bởi mômen xoắn T ở đầu tự do. Tìm góc xoắn φ của đầu tự do, theo độ.

T = 500 N·md = 40 mmL = 1,2 mG = 26 GPa

φ = °

4.Xoắn của trụcKhó

Một trục đặc phải truyền 75 kW ở 1000 rpm mà ứng suất tiếp không vượt quá 80 MPa. Tìm đường kính nhỏ nhất d thỏa mãn.

P = 75 kWN = 1000 rpmτ_allow = 80 MPa

d = mm

5.Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suấtTrung bình

Một điểm có σₓ = 80 MPa, σᵧ = 40 MPa và τₓᵧ = −60 MPa (kéo là dương). Tìm góc θ_s, trong khoảng từ −90° đến 90°, từ trục x đến pháp tuyến của mặt có ứng suất cắt đạt giá trị dương lớn nhất +R (ứng suất cắt dương cùng chiều với τₓᵧ).

σ_x = 80 MPaσ_y = 40 MPaτ_xy = −60 MPa

θ_s = °

6.Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suấtKhó

Một điểm trong một tấm mỏng ở trạng thái ứng suất phẳng: σₓ = 120 MPa, σᵧ = 10 MPa và τₓᵧ = 20 MPa (σ_z = 0). Tìm ứng suất tương đương von Mises σ_vM.

σ_x = 120 MPaσ_y = 10 MPaτ_xy = 20 MPa

σ_vM = MPa

7.Ứng suất và biến dạng dọc trụcTrung bình

Một thanh gồm một đoạn thép (đường kính 30 mm, chiều dài 300 mm, E = 200 GPa) nối đầu với đầu với một đoạn làm bằng nhôm (đường kính 50 mm, chiều dài 400 mm, E = 70 GPa). Nó được ngàm một đầu và bị kéo ở đầu kia. Tìm tải dọc trục P làm nó giãn tổng cộng 0,2 mm.

đoạn 1: thép, Ø30 mm, 300 mm, E = 200 GPađoạn 2: nhôm, Ø50 mm, 400 mm, E = 70 GPaδ = 0,2 mm

P = kN

8.Ứng suất và biến dạng dọc trụcKhó

Thanh bậc được ngàm vào tường và chịu tải ở đầu tự do. Tìm ứng suất pháp lớn nhất σ_max trong thanh.

P = 15 kNđoạn 1: Ø40 mm, 1 m, đồng thau (E = 100 GPa)đoạn 2: Ø12 mm, 2 m, đồng (E = 117 GPa)

σ_max = MPa

9.Mất ổn định cộtTrung bình

Một cột dài L làm bằng thép được ngàm ở chân và tự do ở đỉnh. Dùng công thức Euler, tìm tải trọng oằn tới hạn P_cr của nó.

L = 5 mE = 200 GPa (thép)d = 80 mm

P_cr = kN

10.Mất ổn định cộtKhó

Một cột dài L làm bằng thép được ngàm ở chân và khớp ở đỉnh. Tìm độ mảnh của nó và ứng suất oằn tới hạn σ_cr theo công thức Euler.

L = 3 mE = 200 GPa (thép)d = 80 mm

σ_cr = MPa

11.Dao động cơ họcTrung bình

Một vật 5 kg trên lò xo có độ cứng 150 kN/m có bộ cản nhớt cho hệ số cản 0,4. Tìm tần số riêng có cản f_d của dao động tự do theo Hz.

m = 5 kgk = 150 kN/mζ = 0,4

f_d = Hz

12.Dao động cơ họcKhó

Một vật 5 kg treo vào hai lò xo nối đầu với đầu (nối tiếp): lò xo trên có k₁ = 80 kN/m và lò xo dưới có k₂ = 20 kN/m. Bỏ qua cản và khối lượng của các lò xo. Tìm tần số riêng f_n của dao động thẳng đứng theo Hz.

m = 5 kgk₁ = 80 kN/mk₂ = 20 kN/m

f_n = Hz

3Dung dịch

1.Bánh răng và hệ bánh răng

Đáp số: N₂ = 150

Gear geometry: the module m sets the tooth size. A gear with N teeth has a pitch diameter d = m·N, two meshing gears have the same module, and their centre distance is a = (d₁ + d₂)/2 = m·(N₁ + N₂)/2. The pitch-line speed is v = π·d·n/60, and the tangential tooth force follows from the torque: F_t = 2T/d.

Tổng số răng

N₁ + N₂ = 2a/m = 2·270/3 = 180

Chia theo tỉ số

N₁ = 180/(1 + 5) = 30

N₂ = 5·30 = 150

Đáp số

N₂ = 150

2.Bánh răng và hệ bánh răng

Đáp số: n_out = 906,3 rpm

Hệ bánh răng: các bánh răng ăn khớp có cùng tốc độ tại răng, nên n₁·N₁ = n₂·N₂: bánh răng có ít răng hơn quay nhanh hơn. Các bánh răng trên cùng một trục quay cùng tốc độ. Công suất được truyền đi (trừ tổn thất), nên mômen xoắn tăng khi tốc độ giảm: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, và P = T·ω với ω = 2π·n/60.

Cấp thứ nhất

n_B = 2900·25/48 = 1510 rpm = n_C

Cấp thứ hai

n_out = 1510·18/30 = 906,3 rpm

Đáp số

n_out = 906,3 rpm

tỉ số truyền tổng = 3,2 : 1

3.Xoắn của trục

Đáp số: φ = 5,261 °

Xoắn thanh tròn: ứng suất tiếp tăng tuyến tính từ không ở tâm đến τ_max = T·r/J ở bề mặt, với J = πd⁴/32 cho trục đặc và J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 cho trục rỗng. Góc xoắn là φ = TL/(GJ) tính bằng radian. Công suất và mômen xoắn liên hệ với nhau qua P = T·ω.

Mômen quán tính độc cực của mặt cắt

J = π·40⁴/32 = 251327 mm⁴

Góc xoắn

φ = TL/(GJ) = 500·1000·1200/(26000·251327) = 0,09182 rad

φ = 0,09182·180/π = 5,261°

Đáp số

φ = 5,261°

4.Xoắn của trục

Đáp số: d = 35,72 mm

Mômen xoắn

ω = 2πN/60 = 2π·1000/60 = 104,7 rad/s

T = P/ω = 75000/104,7 = 716,2 N·m

Đường kính từ ứng suất cho phép

d = ∛(16T/(π·τ_allow)) = ∛(16·716197/(π·80)) = 35,72 mm

Đáp số

d = 35,72 mm

Trong thực tế bạn sẽ làm tròn lên kích thước tiêu chuẩn kế tiếp.

5.Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suất

Đáp số: θ_s = −80,78 °

Góc trên vòng tròn

Trên vòng tròn Mohr, điểm trên cùng (+R) lệch 90° so với điểm chính σ₁; trên phân tố đó là 45°.

cos 2θ_s = −60/63,25 = −0,9487, sin 2θ_s = −20/63,25 = −0,3162

2θ_s = atan2(−20, −60) = −161,6°

Góc trên phần tử

θ_s = −80,78°

kiểm tra: θ_s − θ_p = −80,78 − (−35,78) = −45°

Đáp số

θ_s = −80,78°

Góc dương là ngược chiều kim đồng hồ.

6.Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suất

Đáp số: σ_vM = 120,4 MPa

Biến đổi ứng suất phẳng: trên một mặt xoay góc θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Vòng tròn Mohr cho thấy tất cả các mặt cùng lúc: tâm của nó ở C = (σₓ + σᵧ)/2 và bán kính là R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Các ứng suất chính là C ± R, và ứng suất tiếp lớn nhất trong mặt phẳng là R. Tiêu chuẩn chảy: von Mises dự đoán vật liệu chảy khi σ_vM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²) đạt σ_Y; Tresca khi ứng suất cắt lớn nhất tuyệt đối đạt σ_Y/2.

Ứng suất chính

C = 65 MPa, R = 58,52 MPa

σ₁ = 123,5 MPa, σ₂ = 6,477 MPa, σ₃ = 0

Von Mises

σ_vM = √(123,5² − 123,5·6,477 + 6,477²) = 120,4 MPa

Đáp số

σ_vM = 120,4 MPa

7.Ứng suất và biến dạng dọc trục

Đáp số: P = 39,74 kN

Hai vật liệu: khi nối tiếp (cái này sau cái kia) mỗi đoạn chịu cùng một lực và các độ giãn dài cộng lại: δ = P·Σ L/(E·A). Khi song song (cạnh nhau giữa các tấm cứng) cả hai phần co lại cùng một lượng, nên biến dạng của chúng bằng nhau: phần cứng hơn nhận phần tải lớn hơn, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, và σ_i = E_i·ε. Một thanh bị giữ giữa hai vách cứng với tải đặt tại chỗ nối là siêu tĩnh: hai đoạn chia tải theo tỉ lệ độ cứng k = EA/L của chúng.

Diện tích

A₁ = 706,9 mm², A₂ = 1963 mm²

Các độ mềm

L₁/(E₁A₁) = 300/(200000·706,9) = 2,122 × 10⁻⁶ mm/N

L₂/(E₂A₂) = 400/(70000·1963) = 2,91 × 10⁻⁶ mm/N

Tải

P = 0,2/5,032 × 10⁻⁶ = 39743 N = 39,74 kN

Đáp số

P = 39,74 kN

8.Ứng suất và biến dạng dọc trục

Đáp số: σ_max = 132,6 MPa

Cấu kiện chịu tải dọc trục: mỗi đoạn lăng trụ tuân theo δ = PL/(AE). Với các cấu kiện nối tiếp, độ giãn dài cộng lại.

Cùng một lực trong cả hai đoạn

Đầu tự do chịu lực P, nên mọi mặt cắt của thanh đều chịu cùng một lực dọc trục P. Chỉ có diện tích và vật liệu thay đổi.

A₁ = π·40²/4 = 1257 mm², A₂ = π·12²/4 = 113,1 mm²

σ₁ = 11,94 MPa

σ₂ = 132,6 MPa

Ứng suất lớn nhất

Đoạn mảnh hơn có diện tích nhỏ hơn, nên chịu ứng suất lớn hơn.

σ_max = 132,6 MPa

Đáp số

σ_max = 132,6 MPa

9.Mất ổn định cột

Đáp số: P_cr = 39,69 kN

Mất ổn định Euler: một cột mảnh mất ổn định tại P_cr = π²EI/(KL)², trong đó KL là chiều dài tính toán: K = 1 cho khớp–khớp, 2 cho ngàm–tự do, 0,7 cho ngàm–khớp và 0,5 cho ngàm–ngàm. Cột oằn quanh trục có I nhỏ nhất. Công thức đúng với cột mảnh, có ứng suất tới hạn thấp hơn ứng suất chảy.

Mômen quán tính nhỏ nhất của mặt cắt

Mặt cắt tròn có cùng I đối với mọi trục.

I = πd⁴/64 = π·80⁴/64 = 2,011 × 10⁶ mm⁴

Chiều dài tính toán

KL = 2·5000 = 10000 mm

Tải trọng tới hạn

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·2,011 × 10⁶/10000² = 39688 N = 39,69 kN

Đáp số

P_cr = 39,69 kN

10.Mất ổn định cột

Đáp số: σ_cr = 179 MPa

Mômen quán tính nhỏ nhất của mặt cắt

Mặt cắt tròn có cùng I đối với mọi trục.

I = πd⁴/64 = π·80⁴/64 = 2,011 × 10⁶ mm⁴

Bán kính quán tính và độ mảnh

A = 5027 mm²

r = √(I/A) = √(2,011 × 10⁶/5027) = 20 mm

KL = 0,7·3000 = 2100 mm

KL/r = 2100/20 = 105

Ứng suất tới hạn

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/105² = 179 MPa

Đáp số

σ_cr = 179 MPa

11.Dao động cơ học

Đáp số: f_d = 25,27 Hz

Dao động tự do của hệ vật–lò xo: tần số riêng không cản là ω_n = √(k/m) theo rad/s, và f_n = ω_n/(2π) theo Hz. Một bộ cản nhớt c cho hệ số cản ζ = c/c_c, với cản tới hạn c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. Hệ cản dưới tới hạn (ζ < 1) dao động ở ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). Các lò xo song song cộng lại, k = k₁ + k₂; các lò xo nối tiếp cộng theo nghịch đảo, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Tần số riêng không cản

ω_n = √(150000/5) = 173,2 rad/s

f_n = 173,2/(2π) = 27,57 Hz

Tần số riêng có cản

f_d = f_n·√(1 − ζ²) = 27,57·√(1 − 0,4²) = 25,27 Hz

Đáp số

f_d = 25,27 Hz

12.Dao động cơ học

Đáp số: f_n = 9,003 Hz

Độ cứng tương đương

Các lò xo nối tiếp chịu cùng một lực và cộng độ võng, nên chúng gộp theo nghịch đảo: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

1/k_eq = 1/80 + 1/20 → k_eq = 80·20/(80 + 20) = 16 kN/m

Tần số riêng

ω_n = √(16000/5) = 56,57 rad/s

f_n = 56,57/(2π) = 9,003 Hz

Đáp số

f_n = 9,003 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design