Bánh răng và hệ bánh răng
- Bánh răng ăn khớp
- n1·N1 = n2·N2
- Mômen xoắn
- T2 = T1·(N2/N1)·η
- Công suất
- P = T·ω, ω = 2π·n/60
- Hệ bánh răng ghép
- tỉ số truyền tổng = tích các tỉ số truyền từng cấp
Thiết kế máy: gói ôn nước rút
Bảng công thức, các bước phương pháp chính cho từng chủ đề và 12 bài tập, kèm lời giải đầy đủ ở cuối.
1Công thức và phương pháp
Xoắn của trục
- Ứng suất tiếp
- τ = T·r/J
- Trục đặc
- J = πd⁴/32
- Trục rỗng
- J = π(D⁴ − d⁴)/32
- Góc xoắn
- φ = TL/(GJ)
- Công suất
- P = T·ω = 2πnT/60
Phương pháp
- Tìm mômen quán tính độc cực: J = πd⁴/32 cho trục đặc.
- Ứng suất tiếp ở bề mặt: τ = T·r/J, với r là bán kính ngoài.
- Góc xoắn: φ = TL/(GJ) theo radian.
- Nếu cho công suất, hãy tìm mômen xoắn trước bằng P = T·ω, ω = 2πn/60.
Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suất
- Tâm
- C = (σx + σy)/2
- Bán kính
- R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
- Ứng suất chính
- σ1,2 = C ± R
- Phương chính
- tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
- Mặt phẳng nghiêng
- σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ
Phương pháp
- Tính tâm của vòng tròn Mohr: C = (σx + σy)/2.
- Tính bán kính: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
- Các ứng suất chính là C ± R và ứng suất tiếp lớn nhất trong mặt phẳng là R.
- Các góc trên vòng tròn gấp đôi các góc trên phần tử: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).
Ứng suất và biến dạng dọc trục
- Ứng suất pháp
- σ = F/A
- Biến dạng
- ε = ΔL/L
- Định luật Hooke
- σ = E·ε
- Độ giãn dài
- ΔL = FL/(EA)
- Biến dạng nhiệt
- εT = α·ΔT
Mất ổn định cột
- Tải Euler
- Pcr = π²EI/(KL)²
- Hệ số chiều dài tính toán
- K = 1 khớp–khớp, 0,5 ngàm–ngàm, 0,7 ngàm–khớp, 2 ngàm–tự do
- Ứng suất tới hạn
- σcr = Pcr/A
- Độ mảnh
- λ = KL/r, r = √(I/A)
Dao động cơ học
- Tần số riêng
- ωn = √(k/m), fn = ωn/(2π)
- Từ độ võng tĩnh
- ωn = √(g/δst)
- Cản tới hạn
- cc = 2√(km) = 2mωn
- Hệ số cản
- ζ = c/cc
- Tần số có cản
- ωd = ωn√(1 − ζ²)
- Giảm lượng logarit
- δ = (1/n)·ln(x0/xn), ζ = δ/√(4π² + δ²)
- Lò xo song song
- k = k1 + k2
- Lò xo nối tiếp
- 1/k = 1/k1 + 1/k2
2Bài tập
1.Bánh răng và hệ bánh răngTrung bình
Một puli 160 mm ở 2880 vòng/phút dẫn động một puli 200 mm bằng dây đai với độ trượt 2,5 %. Tìm tốc độ n2 của puli bị dẫn.
n1 = 2880 rpmd1 = 160 mmd2 = 200 mms = 2,5 %
n2 = rpm
2.Bánh răng và hệ bánh răngKhó
Trong một hệ bánh răng ghép, bánh răng A (16 răng) trên trục vào quay 3000 rpm dẫn động bánh răng B (50 răng). Bánh răng C (12 răng) được cố định trên cùng trục với B và dẫn động bánh răng D (60 răng) trên trục ra. Tìm tốc độ ra nout.
nin = 3000 rpmA = 16B = 50C = 12D = 60
nout = rpm
3.Xoắn của trụcTrung bình
Một trục đặc nhôm được ngàm vào tường và bị xoắn bởi mômen xoắn T ở đầu tự do. Tìm góc xoắn φ của đầu tự do, theo độ.
T = 400 N·md = 40 mmL = 3 mG = 26 GPa
φ = °
4.Xoắn của trụcKhó
Một trục đặc nhôm đường kính 30 mm được ngàm vào các tường cứng ở cả hai đầu A và B. Một mô-men xoắn 400 N·m đặt tại C, cách A 0,5 m và cách B 1,2 m. Tìm ứng suất cắt lớn nhất τmax trong trục.
d = 30 mmT0 = 400 N·ma = 0,5 mb = 1,2 m
τmax = MPa
5.Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suấtTrung bình
Một điểm trong chi tiết chịu tải có σₓ = −20 MPa, σᵧ = −20 MPa và τₓᵧ = −60 MPa (kéo là dương). Tìm góc θp từ trục x đến phương của ứng suất chính lớn nhất, trong khoảng −90° đến 90°.
σx = −20 MPaσy = −20 MPaτxy = −60 MPa
θp = °
6.Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suấtKhó
Một điểm trong chi tiết chịu tải có σₓ = −70 MPa, σᵧ = 30 MPa và τₓᵧ = 10 MPa (kéo là dương). Tìm ứng suất pháp σθ trên một mặt có pháp tuyến xoay 30° ngược chiều kim đồng hồ so với trục x.
σx = −70 MPaσy = 30 MPaτxy = 10 MPaθ = 30°
σθ = MPa
7.Ứng suất và biến dạng dọc trụcTrung bình
Tìm biến dạng dọc trục ε trong thanh thép, tính bằng microstrain (µε = 10⁻⁶).
P = 60 kNd = 25 mmL = 2,5 mE = 200 GPa
ε = µε
8.Ứng suất và biến dạng dọc trụcKhó
Một thanh thép (đường kính 25 mm, E = 200 GPa, ứng suất cho phép 200 MPa) nằm trong một ống làm bằng đồng thanh (đường kính ngoài 120 mm, đường kính trong 70 mm, E = 110 GPa, ứng suất cho phép 50 MPa). Chúng bị nén cùng nhau giữa các tấm cứng. Tìm tải lớn nhất Pmax.
thanh: Ø25 mm, E = 200 GPa, σallow = 200 MPaống: Ø120/Ø70 mm, E = 110 GPa, σallow = 50 MPa
Pmax = kN
9.Mất ổn định cộtTrung bình
Một cột dài L làm bằng thép được ngàm ở chân và khớp ở đỉnh. Dùng công thức Euler, tìm tải trọng oằn tới hạn Pcr của nó.
L = 2 mE = 200 GPa (thép)d = 25 mm
Pcr = kN
10.Mất ổn định cộtKhó
Một cột dài L làm bằng thép được ngàm ở chân và khớp ở đỉnh. Tìm độ mảnh của nó và ứng suất oằn tới hạn σcr theo công thức Euler.
L = 2,5 mE = 200 GPa (thép)d = 30 mm
σcr = MPa
11.Dao động cơ họcTrung bình
Một vật 12 kg trên lò xo có độ cứng 15 kN/m có bộ cản nhớt cho hệ số cản 0,5. Tìm tần số riêng có cản fd của dao động tự do theo Hz.
m = 12 kgk = 15 kN/mζ = 0,5
fd = Hz
12.Dao động cơ họcKhó
Một vật 10 kg treo vào hai lò xo nối đầu với đầu (nối tiếp): lò xo trên có k₁ = 100 kN/m và lò xo dưới có k₂ = 80 kN/m. Tìm độ cứng tương đương keq của hệ lò xo theo kN/m.
m = 10 kgk1 = 100 kN/mk2 = 80 kN/m
keq = kN/m
3Dung dịch
1.Bánh răng và hệ bánh răng
Đáp số: n2 = 2246 rpm
Truyền động đai: khi không trượt, cả hai puli có cùng tốc độ mép v = π·d·n/60, nên n₁·d₁ = n₂·d₂ và tỉ số tốc độ là d₂/d₁. Độ trượt s làm puli bị dẫn chậm hơn một chút: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s). Công suất truyền là P = (T₁ − T₂)·v, với T₁ là lực căng ở nhánh căng và T₂ ở nhánh chùng. Ma sát giới hạn tỉ số các lực căng: T₁/T₂ = eμθ, trong đó θ là góc ôm tính theo radian trên puli nhỏ hơn; với đai hở θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)) với khoảng cách tâm C.
Tốc độ khi không trượt
2880·160/200 = 2304 rpm
Khi có trượt
n2 = 2304·0,975 = 2246 rpm
Đáp số
n2 = 2246 rpm
2.Bánh răng và hệ bánh răng
Đáp số: nout = 192 rpm
Hệ bánh răng: các bánh răng ăn khớp có cùng tốc độ tại răng, nên n₁·N₁ = n₂·N₂: bánh răng có ít răng hơn quay nhanh hơn. Các bánh răng trên cùng một trục quay cùng tốc độ. Công suất được truyền đi (trừ tổn thất), nên mômen xoắn tăng khi tốc độ giảm: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, và P = T·ω với ω = 2π·n/60.
Cấp thứ nhất
nB = 3000·16/50 = 960 rpm = nC
Cấp thứ hai
nout = 960·12/60 = 192 rpm
Đáp số
nout = 192 rpm
tỉ số truyền tổng = 15,63 : 1
3.Xoắn của trục
Đáp số: φ = 10,52 °
Xoắn thanh tròn: ứng suất tiếp tăng tuyến tính từ không ở tâm đến τmax = T·r/J ở bề mặt, với J = πd⁴/32 cho trục đặc và J = π(do⁴ − di⁴)/32 cho trục rỗng. Góc xoắn là φ = TL/(GJ) tính bằng radian. Công suất và mômen xoắn liên hệ với nhau qua P = T·ω.
Mômen quán tính độc cực của mặt cắt
J = π·40⁴/32 = 251327 mm⁴
Góc xoắn
φ = TL/(GJ) = 400·1000·3000/(26000·251327) = 0,1836 rad
φ = 0,1836·180/π = 10,52°
Đáp số
φ = 10,52°
4.Xoắn của trục
Đáp số: τmax = 53,26 MPa
Xoắn thanh tròn: ứng suất tiếp tăng tuyến tính từ không ở tâm đến τmax = T·r/J ở bề mặt, với J = πd⁴/32 cho trục đặc và J = π(do⁴ − di⁴)/32 cho trục rỗng. Góc xoắn là φ = TL/(GJ) tính bằng radian. Công suất và mômen xoắn liên hệ với nhau qua P = T·ω. Khi cả hai đầu bị ngàm, tĩnh học chỉ cho TA + TB = T₀; phương trình thứ hai là điều kiện tương thích (góc xoắn của hai phần bằng nhau tại tiết diện chịu tải).
Cân bằng và tương thích
TA + TB = 400
TA·a = TB·b
TA = 400·1,2/1,7 = 282,4 N·m
TB = 400·0,5/1,7 = 117,6 N·m
Ứng suất tiếp lớn nhất
Mô-men xoắn lớn hơn trong hai mô-men quyết định (cùng đường kính).
τmax = 16·282353/(π·30³) = 53,26 MPa
Đáp số
τmax = 53,26 MPa
5.Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suất
Đáp số: θp = −45 °
Biến đổi ứng suất phẳng: trên một mặt xoay góc θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Vòng tròn Mohr cho thấy tất cả các mặt cùng lúc: tâm của nó ở C = (σₓ + σᵧ)/2 và bán kính là R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Các ứng suất chính là C ± R, và ứng suất tiếp lớn nhất trong mặt phẳng là R.
Góc trên vòng tròn
Điểm x nằm ở góc 2θp so với trục σ trên vòng tròn Mohr; góc phần tư suy ra từ dấu của σₓ − σᵧ và τₓᵧ.
2θp = atan2(2·−60, −20 − −20) = −90°
Góc trên phần tử
θp = −45°
Đáp số
θp = −45°
Góc dương là ngược chiều kim đồng hồ.
6.Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suất
Đáp số: σθ = −36,34 MPa
Biến đổi ứng suất phẳng: trên một mặt xoay góc θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Vòng tròn Mohr cho thấy tất cả các mặt cùng lúc: tâm của nó ở C = (σₓ + σᵧ)/2 và bán kính là R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Các ứng suất chính là C ± R, và ứng suất tiếp lớn nhất trong mặt phẳng là R.
Phương trình biến đổi
σθ = −20 + −50·0,5 + 10·0,866 = −36,34 MPa
Đáp số
σθ = −36,34 MPa
7.Ứng suất và biến dạng dọc trục
Đáp số: ε = 611,2 µε
Định luật Hooke: trong giới hạn đàn hồi σ = E·ε. Kết hợp với σ = P/A và ε = δ/L ta được δ = PL/(AE).
Ứng suất
A = π·25²/4 = 490,9 mm²
σ = P/A = 60·1000/490,9 = 122,2 MPa
Biến dạng (định luật Hooke)
E for thép = 200 GPa = 200000 MPa.
ε = σ/E = 122,2/200000 = 0,0006112 = 611,2 µε
Đáp số
ε = 611,2 µε
8.Ứng suất và biến dạng dọc trục
Đáp số: Pmax = 417,7 kN
Hai vật liệu: khi nối tiếp (cái này sau cái kia) mỗi đoạn chịu cùng một lực và các độ giãn dài cộng lại: δ = P·Σ L/(E·A). Khi song song (cạnh nhau giữa các tấm cứng) cả hai phần co lại cùng một lượng, nên biến dạng của chúng bằng nhau: phần cứng hơn nhận phần tải lớn hơn, Pi = P·EiAi/ΣEA, và σi = Ei·ε. Một thanh bị giữ giữa hai vách cứng với tải đặt tại chỗ nối là siêu tĩnh: hai đoạn chia tải theo tỉ lệ độ cứng k = EA/L của chúng.
Diện tích
Ar = π·25²/4 = 490,9 mm²
At = π(120² − 70²)/4 = 7461 mm²
Độ cứng dọc trục kết hợp
ΣEA = 200·10³·490,9 + 110·10³·7461 = 9,189 × 10⁸ N
Biến dạng quyết định
ε = min(0,001, 0,0004545) = 0,0004545 (đồng thanh)
Tải lớn nhất
Pmax = 0,0004545·9,189 × 10⁸ = 417689 N = 417,7 kN
Đáp số
Pmax = 417,7 kN
9.Mất ổn định cột
Đáp số: Pcr = 19,31 kN
Mất ổn định Euler: một cột mảnh mất ổn định tại Pcr = π²EI/(KL)², trong đó KL là chiều dài tính toán: K = 1 cho khớp–khớp, 2 cho ngàm–tự do, 0,7 cho ngàm–khớp và 0,5 cho ngàm–ngàm. Cột oằn quanh trục có I nhỏ nhất. Công thức đúng với cột mảnh, có ứng suất tới hạn thấp hơn ứng suất chảy.
Mômen quán tính nhỏ nhất của mặt cắt
Mặt cắt tròn có cùng I đối với mọi trục.
I = πd⁴/64 = π·25⁴/64 = 19175 mm⁴
Chiều dài tính toán
KL = 0,7·2000 = 1400 mm
Tải trọng tới hạn
Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·19175/1400² = 19311 N = 19,31 kN
Đáp số
Pcr = 19,31 kN
10.Mất ổn định cột
Đáp số: σcr = 36,26 MPa
Mất ổn định Euler: một cột mảnh mất ổn định tại Pcr = π²EI/(KL)², trong đó KL là chiều dài tính toán: K = 1 cho khớp–khớp, 2 cho ngàm–tự do, 0,7 cho ngàm–khớp và 0,5 cho ngàm–ngàm. Cột oằn quanh trục có I nhỏ nhất. Công thức đúng với cột mảnh, có ứng suất tới hạn thấp hơn ứng suất chảy.
Mômen quán tính nhỏ nhất của mặt cắt
Mặt cắt tròn có cùng I đối với mọi trục.
I = πd⁴/64 = π·30⁴/64 = 39761 mm⁴
Bán kính quán tính và độ mảnh
A = 706,9 mm²
r = √(I/A) = √(39761/706,9) = 7,5 mm
KL = 0,7·2500 = 1750 mm
KL/r = 1750/7,5 = 233,3
Ứng suất tới hạn
σcr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/233,3² = 36,26 MPa
Đáp số
σcr = 36,26 MPa
11.Dao động cơ học
Đáp số: fd = 4,873 Hz
Dao động tự do của hệ vật–lò xo: tần số riêng không cản là ωn = √(k/m) theo rad/s, và fn = ωn/(2π) theo Hz. Một bộ cản nhớt c cho hệ số cản ζ = c/cc, với cản tới hạn cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn. Hệ cản dưới tới hạn (ζ < 1) dao động ở ωd = ωn·√(1 − ζ²). Các lò xo song song cộng lại, k = k₁ + k₂; các lò xo nối tiếp cộng theo nghịch đảo, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.
Tần số riêng không cản
ωn = √(15000/12) = 35,36 rad/s
fn = 35,36/(2π) = 5,627 Hz
Tần số riêng có cản
fd = fn·√(1 − ζ²) = 5,627·√(1 − 0,5²) = 4,873 Hz
Đáp số
fd = 4,873 Hz
12.Dao động cơ học
Đáp số: keq = 44,44 kN/m
Dao động tự do của hệ vật–lò xo: tần số riêng không cản là ωn = √(k/m) theo rad/s, và fn = ωn/(2π) theo Hz. Một bộ cản nhớt c cho hệ số cản ζ = c/cc, với cản tới hạn cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn. Hệ cản dưới tới hạn (ζ < 1) dao động ở ωd = ωn·√(1 − ζ²). Các lò xo song song cộng lại, k = k₁ + k₂; các lò xo nối tiếp cộng theo nghịch đảo, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.
Độ cứng tương đương
Các lò xo nối tiếp chịu cùng một lực và cộng độ võng, nên chúng gộp theo nghịch đảo: 1/k = 1/k1 + 1/k2.
1/keq = 1/100 + 1/80 → keq = 100·80/(100 + 80) = 44,44 kN/m
Đáp số
keq = 44,44 kN/m
ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design