Thiết kế máy: gói ôn nước rút

Bảng công thức, các bước phương pháp chính cho từng chủ đề và 12 bài tập, kèm lời giải đầy đủ ở cuối.

Bài mớiQuay lại môn học

Trong cửa sổ in, hãy chọn “Lưu dưới dạng PDF” để giữ một bản trên thiết bị của bạn.

1Công thức và phương pháp

Bánh răng và hệ bánh răng

Bánh răng ăn khớp
n1·N1 = n2·N2
Mômen xoắn
T2 = T1·(N2/N1)·η
Công suất
P = T·ω, ω = 2π·n/60
Hệ bánh răng ghép
tỉ số truyền tổng = tích các tỉ số truyền từng cấp

Xoắn của trục

Ứng suất tiếp
τ = T·r/J
Trục đặc
J = πd⁴/32
Trục rỗng
J = π(D⁴ − d⁴)/32
Góc xoắn
φ = TL/(GJ)
Công suất
P = T·ω = 2πnT/60

Phương pháp

  1. Tìm mômen quán tính độc cực: J = πd⁴/32 cho trục đặc.
  2. Ứng suất tiếp ở bề mặt: τ = T·r/J, với r là bán kính ngoài.
  3. Góc xoắn: φ = TL/(GJ) theo radian.
  4. Nếu cho công suất, hãy tìm mômen xoắn trước bằng P = T·ω, ω = 2πn/60.

Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suất

Tâm
C = (σx + σy)/2
Bán kính
R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
Ứng suất chính
σ1,2 = C ± R
Phương chính
tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
Mặt phẳng nghiêng
σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ

Phương pháp

  1. Tính tâm của vòng tròn Mohr: C = (σx + σy)/2.
  2. Tính bán kính: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
  3. Các ứng suất chính là C ± R và ứng suất tiếp lớn nhất trong mặt phẳng là R.
  4. Các góc trên vòng tròn gấp đôi các góc trên phần tử: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Ứng suất và biến dạng dọc trục

Ứng suất pháp
σ = F/A
Biến dạng
ε = ΔL/L
Định luật Hooke
σ = E·ε
Độ giãn dài
ΔL = FL/(EA)
Biến dạng nhiệt
εT = α·ΔT

Mất ổn định cột

Tải Euler
Pcr = π²EI/(KL)²
Hệ số chiều dài tính toán
K = 1 khớp–khớp, 0,5 ngàm–ngàm, 0,7 ngàm–khớp, 2 ngàm–tự do
Ứng suất tới hạn
σcr = Pcr/A
Độ mảnh
λ = KL/r, r = √(I/A)

Dao động cơ học

Tần số riêng
ωn = √(k/m), fn = ωn/(2π)
Từ độ võng tĩnh
ωn = √(g/δst)
Cản tới hạn
cc = 2√(km) = 2mωn
Hệ số cản
ζ = c/cc
Tần số có cản
ωd = ωn√(1 − ζ²)
Giảm lượng logarit
δ = (1/n)·ln(x0/xn), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Lò xo song song
k = k1 + k2
Lò xo nối tiếp
1/k = 1/k1 + 1/k2

2Bài tập

1.Bánh răng và hệ bánh răngTrung bình
N1​ = 30N2​ = 40

Một động cơ 15 kW chạy ở 2900 rpm dẫn động một bánh răng nhỏ có 30 răng, ăn khớp với một bánh răng có 40 răng. Cặp bánh răng có hiệu suất 98%. Tìm mômen xoắn T1 trên trục động cơ.

P = 15 kWn1 = 2900 rpmN1 = 30N2 = 40η = 98%
T1 = N·m
2.Bánh răng và hệ bánh răngKhó
A = 30B = 40C = 12D = 32

Một động cơ 2,2 kW ở 1440 rpm dẫn động bánh răng A (30 răng), ăn khớp với bánh răng B (40 răng). Bánh răng C (12 răng) trên cùng trục với B dẫn động bánh răng D (32 răng) trên trục ra. Mỗi cặp ăn khớp có hiệu suất 95%. Tìm mô-men đầu ra Tout.

P = 2,2 kWnin = 1440 rpmA = 30B = 40C = 12D = 32ηmesh = 95%
Tout = N·m
3.Xoắn của trụcTrung bình
T = 1000 N·md = 50 mmL = 0,5 mφ = ?

Một trục đặc thép được ngàm vào tường và bị xoắn bởi mômen xoắn T ở đầu tự do. Tìm góc xoắn φ của đầu tự do, theo độ.

T = 1000 N·md = 50 mmL = 0,5 mG = 80 GPa
φ = °
4.Xoắn của trụcKhó
d = ?15 kW, 500 rpm

Một trục đặc nhôm truyền 15 kW ở 500 rpm. Ứng suất cắt không được vượt quá 75 MPa và góc xoắn không được vượt quá 0,5° trên mỗi m chiều dài. Tìm đường kính nhỏ nhất d thỏa mãn cả hai giới hạn.

P = 15 kWN = 500 rpmτallow = 75 MPaθallow = 0,5°/mG = 26 GPa
d = mm
5.Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suấtTrung bình
σx​ = −40σy​ = 70τxy​ = −30MPa

Một điểm có σₓ = −40 MPa, σᵧ = 70 MPa và τₓᵧ = −30 MPa (kéo là dương). Phân tố được xoay 40° ngược chiều kim đồng hồ. Tìm ứng suất pháp σy′ trên các mặt của phân tố đã xoay vuông góc với trục y′ sau khi xoay.

σx = −40 MPaσy = 70 MPaτxy = −30 MPaθ = 40°
σy′ = MPa
6.Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suấtKhó
σx​ = −50σy​ = 80τxy​ = −10MPa

Một điểm trong chi tiết chịu tải có σₓ = −50 MPa, σᵧ = 80 MPa và τₓᵧ = −10 MPa (kéo là dương). Tìm ứng suất pháp σθ trên một mặt có pháp tuyến xoay 45° theo chiều kim đồng hồ so với trục x.

σx = −50 MPaσy = 80 MPaτxy = −10 MPaθ = -45°
σθ = MPa
7.Ứng suất và biến dạng dọc trụcTrung bình
P = ?12500 mm500 mmØ20Ø30δ = 0,3 mm

Một thanh gồm một đoạn thép (đường kính 20 mm, chiều dài 500 mm, E = 200 GPa) nối đầu với đầu với một đoạn làm bằng đồng thanh (đường kính 30 mm, chiều dài 500 mm, E = 110 GPa). Nó được ngàm một đầu và bị kéo ở đầu kia. Tìm tải dọc trục P làm nó giãn tổng cộng 0,3 mm.

đoạn 1: thép, Ø20 mm, 500 mm, E = 200 GPađoạn 2: đồng thanh, Ø30 mm, 500 mm, E = 110 GPaδ = 0,3 mm
P = kN
8.Ứng suất và biến dạng dọc trụcKhó
Ø 40 mmĐồng2 mØ 20 mmThép1,5 mP = 75 kN

Thanh bậc được ngàm vào tường và chịu tải ở đầu tự do. Tìm ứng suất pháp lớn nhất σmax trong thanh.

P = 75 kNđoạn 1: Ø40 mm, 2 m, đồng (E = 117 GPa)đoạn 2: Ø20 mm, 1,5 m, thép (E = 200 GPa)
σmax = MPa
9.Mất ổn định cộtTrung bình
PL = 3 m40 × 60 mmmặt cắt ngang

Một cột dài L làm bằng thép được hai đầu khớp. Dùng công thức Euler, tìm tải trọng oằn tới hạn Pcr của nó.

L = 3 mE = 200 GPa (thép)b × h = 40 × 60 mm
Pcr = kN
10.Mất ổn định cộtKhó
P = 35 kNL = 2,5 md = ?mặt cắt ngang

Một cột tròn đặc dài L làm bằng thép được ngàm cả hai đầu. Nó phải chịu 35 kN với hệ số an toàn 3 chống oằn. Tìm đường kính nhỏ nhất d.

P = 35 kNn = 3L = 2,5 mE = 200 GPa (thép)
d = mm
11.Dao động cơ họcTrung bình
k = 4 kN/mζ = 0,35m = 25 kg

Một vật 25 kg trên lò xo có độ cứng 4 kN/m có bộ cản nhớt cho hệ số cản 0,35. Tìm tần số riêng có cản fd của dao động tự do theo Hz.

m = 25 kgk = 4 kN/mζ = 0,35
fd = Hz
12.Dao động cơ họcKhó
k1​ = 80k2​ = 25m = 10 kg

Một vật 10 kg treo vào hai lò xo nối đầu với đầu (nối tiếp): lò xo trên có k₁ = 80 kN/m và lò xo dưới có k₂ = 25 kN/m. Bỏ qua cản và khối lượng của các lò xo. Tìm tần số riêng fn của dao động thẳng đứng theo Hz.

m = 10 kgk1 = 80 kN/mk2 = 25 kN/m
fn = Hz

3Dung dịch

1.Bánh răng và hệ bánh răng

Đáp số: T1 = 49,39 N·m

Hệ bánh răng: các bánh răng ăn khớp có cùng tốc độ tại răng, nên n₁·N₁ = n₂·N₂: bánh răng có ít răng hơn quay nhanh hơn. Các bánh răng trên cùng một trục quay cùng tốc độ. Công suất được truyền đi (trừ tổn thất), nên mômen xoắn tăng khi tốc độ giảm: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, và P = T·ω với ω = 2π·n/60.

Mômen xoắn động cơ

ω₁ = 2π·2900/60 = 303,7 rad/s
T1 = P/ω₁ = 15000/303,7 = 49,39 N·m

Đáp số

T1 = 49,39 N·m
2.Bánh răng và hệ bánh răng

Đáp số: Tout = 46,82 N·m

Gear trains: meshing gears have the same speed at the teeth, so n₁·N₁ = n₂·N₂: the gear with fewer teeth turns faster. Gears on one shaft turn at the same speed. Power is passed on (minus losses), so torque goes up when speed goes down: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, and P = T·ω with ω = 2π·n/60.

Tốc độ ra

nout = 1440·(30/40)·(12/32) = 405 rpm
ωout = 2π·405/60 = 42,41 rad/s

Công suất và mô-men đầu ra

Pout = 2200·0,95² = 1986 W
Tout = Pout/ωout = 1986/42,41 = 46,82 N·m

Đáp số

Tout = 46,82 N·m
3.Xoắn của trục

Đáp số: φ = 0,5836 °

Xoắn thanh tròn: ứng suất tiếp tăng tuyến tính từ không ở tâm đến τmax = T·r/J ở bề mặt, với J = πd⁴/32 cho trục đặc và J = π(do⁴ − di⁴)/32 cho trục rỗng. Góc xoắn là φ = TL/(GJ) tính bằng radian. Công suất và mômen xoắn liên hệ với nhau qua P = T·ω.

Mômen quán tính độc cực của mặt cắt

J = π·50⁴/32 = 613592 mm⁴

Góc xoắn

φ = TL/(GJ) = 1000·1000·500/(80000·613592) = 0,01019 rad
φ = 0,01019·180/π = 0,5836°

Đáp số

φ = 0,5836°
4.Xoắn của trục

Đáp số: d = 59,88 mm

Xoắn thanh tròn: ứng suất tiếp tăng tuyến tính từ không ở tâm đến τmax = T·r/J ở bề mặt, với J = πd⁴/32 cho trục đặc và J = π(do⁴ − di⁴)/32 cho trục rỗng. Góc xoắn là φ = TL/(GJ) tính bằng radian. Công suất và mômen xoắn liên hệ với nhau qua P = T·ω.

Mômen xoắn

ω = 2πN/60 = 2π·500/60 = 52,36 rad/s
T = P/ω = 15000/52,36 = 286,5 N·m

Đường kính theo điều kiện bền

T = 286,5 N·m = 286479 N·mm
dτ = ∛(16·286479/(π·75)) = 26,89 mm

Đường kính theo điều kiện cứng

θ = 0,5·π/180/1000 = 8,727 × 10⁻⁶ rad/mm
G = 26 GPa = 26000 MPa
dφ = (32·286479/(π·26000·8,727 × 10⁻⁶))1/4 = 59,88 mm

Đường kính quyết định

Cả hai giới hạn đều phải thỏa, nên đường kính lớn hơn quyết định.

d = max(26,89, 59,88) = 59,88 mm

Đáp số

d = 59,88 mm

Ở đây điều kiện cứng quyết định.

5.Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suất

Đáp số: σy′ = 54,09 MPa

Biến đổi ứng suất phẳng: trên một mặt xoay góc θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Vòng tròn Mohr cho thấy tất cả các mặt cùng lúc: tâm của nó ở C = (σₓ + σᵧ)/2 và bán kính là R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Các ứng suất chính là C ± R, và ứng suất tiếp lớn nhất trong mặt phẳng là R.

Phương trình biến đổi cho mặt y′

σy′ = 15 − (−55)·0,1736 − (−30)·0,9848 = 54,09 MPa

Kiểm tra

Tổng các ứng suất pháp không thay đổi khi xoay.

σx′ = −24,09 MPa, σx′ + σy′ = 30 = σx + σy

Đáp số

σy′ = 54,09 MPa
6.Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suất

Đáp số: σθ = 25 MPa

Biến đổi ứng suất phẳng: trên một mặt xoay góc θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Vòng tròn Mohr cho thấy tất cả các mặt cùng lúc: tâm của nó ở C = (σₓ + σᵧ)/2 và bán kính là R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Các ứng suất chính là C ± R, và ứng suất tiếp lớn nhất trong mặt phẳng là R.

Phương trình biến đổi

σθ = 15 + −65·0 + −10·−1 = 25 MPa

Đáp số

σθ = 25 MPa
7.Ứng suất và biến dạng dọc trục

Đáp số: P = 20,85 kN

Hai vật liệu: khi nối tiếp (cái này sau cái kia) mỗi đoạn chịu cùng một lực và các độ giãn dài cộng lại: δ = P·Σ L/(E·A). Khi song song (cạnh nhau giữa các tấm cứng) cả hai phần co lại cùng một lượng, nên biến dạng của chúng bằng nhau: phần cứng hơn nhận phần tải lớn hơn, Pi = P·EiAi/ΣEA, và σi = Ei·ε. Một thanh bị giữ giữa hai vách cứng với tải đặt tại chỗ nối là siêu tĩnh: hai đoạn chia tải theo tỉ lệ độ cứng k = EA/L của chúng.

Diện tích

A₁ = 314,2 mm², A₂ = 706,9 mm²

Các độ mềm

L₁/(E₁A₁) = 500/(200000·314,2) = 7,958 × 10⁻⁶ mm/N
L₂/(E₂A₂) = 500/(110000·706,9) = 6,431 × 10⁻⁶ mm/N

Tải

P = 0,3/1,439 × 10⁻⁵ = 20850 N = 20,85 kN

Đáp số

P = 20,85 kN
8.Ứng suất và biến dạng dọc trục

Đáp số: σmax = 238,7 MPa

Cấu kiện chịu tải dọc trục: mỗi đoạn lăng trụ tuân theo δ = PL/(AE). Với các cấu kiện nối tiếp, độ giãn dài cộng lại.

Cùng một lực trong cả hai đoạn

Đầu tự do chịu lực P, nên mọi mặt cắt của thanh đều chịu cùng một lực dọc trục P. Chỉ có diện tích và vật liệu thay đổi.

A1 = π·40²/4 = 1257 mm², A2 = π·20²/4 = 314,2 mm²
σ1 = 59,68 MPa
σ2 = 238,7 MPa

Ứng suất lớn nhất

Đoạn mảnh hơn có diện tích nhỏ hơn, nên chịu ứng suất lớn hơn.

σmax = 238,7 MPa

Đáp số

σmax = 238,7 MPa
9.Mất ổn định cột

Đáp số: Pcr = 70,18 kN

Mất ổn định Euler: một cột mảnh mất ổn định tại Pcr = π²EI/(KL)², trong đó KL là chiều dài tính toán: K = 1 cho khớp–khớp, 2 cho ngàm–tự do, 0,7 cho ngàm–khớp và 0,5 cho ngàm–ngàm. Cột oằn quanh trục có I nhỏ nhất. Công thức đúng với cột mảnh, có ứng suất tới hạn thấp hơn ứng suất chảy.

Mômen quán tính nhỏ nhất của mặt cắt

Hình chữ nhật oằn quanh trục yếu, dùng kích thước nhỏ hơn lập phương.

Imin = h·b³/12 = 60·40³/12 = 320000 mm⁴

Chiều dài tính toán

KL = 1·3000 = 3000 mm

Tải trọng tới hạn

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·320000/3000² = 70184 N = 70,18 kN

Đáp số

Pcr = 70,18 kN
10.Mất ổn định cột

Đáp số: d = 36,07 mm

Mất ổn định Euler: một cột mảnh mất ổn định tại Pcr = π²EI/(KL)², trong đó KL là chiều dài tính toán: K = 1 cho khớp–khớp, 2 cho ngàm–tự do, 0,7 cho ngàm–khớp và 0,5 cho ngàm–ngàm. Cột oằn quanh trục có I nhỏ nhất. Công thức đúng với cột mảnh, có ứng suất tới hạn thấp hơn ứng suất chảy.

Tải trọng tới hạn yêu cầu

Pcr = n·P = 3·35000 = 105000 N
KL = 0,5·2500 = 1250 mm

Giải tìm đường kính

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·105000·1250²/(π³·200000))^(1/4) = 36,07 mm

Đáp số

d = 36,07 mm

Kiểm tra: độ mảnh KL/r là 138,6, nên cột là mảnh và công thức Euler áp dụng được.

11.Dao động cơ học

Đáp số: fd = 1,886 Hz

Dao động tự do của hệ vật–lò xo: tần số riêng không cản là ωn = √(k/m) theo rad/s, và fn = ωn/(2π) theo Hz. Một bộ cản nhớt c cho hệ số cản ζ = c/cc, với cản tới hạn cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn. Hệ cản dưới tới hạn (ζ < 1) dao động ở ωd = ωn·√(1 − ζ²). Các lò xo song song cộng lại, k = k₁ + k₂; các lò xo nối tiếp cộng theo nghịch đảo, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Tần số riêng không cản

ωn = √(4000/25) = 12,65 rad/s
fn = 12,65/(2π) = 2,013 Hz

Tần số riêng có cản

fd = fn·√(1 − ζ²) = 2,013·√(1 − 0,35²) = 1,886 Hz

Đáp số

fd = 1,886 Hz
12.Dao động cơ học

Đáp số: fn = 6,946 Hz

Dao động tự do của hệ vật–lò xo: tần số riêng không cản là ωn = √(k/m) theo rad/s, và fn = ωn/(2π) theo Hz. Một bộ cản nhớt c cho hệ số cản ζ = c/cc, với cản tới hạn cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn. Hệ cản dưới tới hạn (ζ < 1) dao động ở ωd = ωn·√(1 − ζ²). Các lò xo song song cộng lại, k = k₁ + k₂; các lò xo nối tiếp cộng theo nghịch đảo, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Độ cứng tương đương

Các lò xo nối tiếp chịu cùng một lực và cộng độ võng, nên chúng gộp theo nghịch đảo: 1/k = 1/k1 + 1/k2.

1/keq = 1/80 + 1/25 → keq = 80·25/(80 + 25) = 19,05 kN/m

Tần số riêng

ωn = √(19048/10) = 43,64 rad/s
fn = 43,64/(2π) = 6,946 Hz

Đáp số

fn = 6,946 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design