Thiết kế máy: gói ôn nước rút

Bảng công thức, các bước phương pháp chính cho từng chủ đề và 12 bài tập, kèm lời giải đầy đủ ở cuối.

Bài mới Quay lại môn học

Trong cửa sổ in, hãy chọn “Lưu dưới dạng PDF” để giữ một bản trên thiết bị của bạn.

1Công thức và phương pháp

Bánh răng và hệ bánh răng

Bánh răng ăn khớp: n₁·N₁ = n₂·N₂
Mômen xoắn: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Công suất: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Hệ bánh răng ghép: tỉ số truyền tổng = tích các tỉ số truyền từng cấp

Xoắn của trục

Ứng suất tiếp: τ = T·r/J
Trục đặc: J = πd⁴/32
Trục rỗng: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Góc xoắn: φ = TL/(GJ)
Công suất: P = T·ω = 2πnT/60

Phương pháp

Tìm mômen quán tính độc cực: J = πd⁴/32 cho trục đặc.
Ứng suất tiếp ở bề mặt: τ = T·r/J, với r là bán kính ngoài.
Góc xoắn: φ = TL/(GJ) theo radian.
Nếu cho công suất, hãy tìm mômen xoắn trước bằng P = T·ω, ω = 2πn/60.

Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suất

Tâm: C = (σ_x + σ_y)/2
Bán kính: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Ứng suất chính: σ_1,2 = C ± R
Phương chính: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Mặt phẳng nghiêng: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Phương pháp

Tính tâm của vòng tròn Mohr: C = (σx + σy)/2.
Tính bán kính: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Các ứng suất chính là C ± R và ứng suất tiếp lớn nhất trong mặt phẳng là R.
Các góc trên vòng tròn gấp đôi các góc trên phần tử: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Ứng suất và biến dạng dọc trục

Ứng suất pháp: σ = F/A
Biến dạng: ε = ΔL/L
Định luật Hooke: σ = E·ε
Độ giãn dài: ΔL = FL/(EA)
Biến dạng nhiệt: ε_T = α·ΔT

Mất ổn định cột

Tải Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Hệ số chiều dài tính toán: K = 1 khớp–khớp, 0,5 ngàm–ngàm, 0,7 ngàm–khớp, 2 ngàm–tự do
Ứng suất tới hạn: σ_cr = P_cr/A
Độ mảnh: λ = KL/r, r = √(I/A)

Dao động cơ học

Tần số riêng: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
Từ độ võng tĩnh: ω_n = √(g/δ_st)
Cản tới hạn: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Hệ số cản: ζ = c/c_c
Tần số có cản: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Giảm lượng logarit: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Lò xo song song: k = k₁ + k₂
Lò xo nối tiếp: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Bài tập

1.Bánh răng và hệ bánh răngTrung bình

Một trục vít 2 đầu mối quay ở 960 rpm và dẫn động một bánh vít có 50 răng. Tìm tốc độ n_w của bánh vít.

z = 2N_w = 50n = 960 rpm

n_w = rpm

2.Bánh răng và hệ bánh răngKhó

Trong một hệ bánh răng ghép, bánh răng A (32 răng) trên trục vào quay 1500 rpm dẫn động bánh răng B (40 răng). Bánh răng C (12 răng) được cố định trên cùng trục với B và dẫn động bánh răng D (16 răng) trên trục ra. Tìm tốc độ ra n_out.

n_in = 1500 rpmA = 32B = 40C = 12D = 16

n_out = rpm

3.Xoắn của trụcTrung bình

Một trục rỗng nhôm (đường kính ngoài 80 mm, đường kính trong 56 mm, chiều dài 1,2 m) được ngàm một đầu và bị xoắn bởi mô-men xoắn 400 N·m ở đầu kia. Tìm góc xoắn φ theo độ.

T = 400 N·md_o = 80 mmd_i = 56 mmL = 1,2 mG = 26 GPa

φ = °

4.Xoắn của trụcKhó

Một trục rỗng phải truyền 50 kW ở 1500 rpm. Đường kính trong của nó bằng 0,6 lần đường kính ngoài, và ứng suất cắt không được vượt quá 40 MPa. Tìm đường kính ngoài nhỏ nhất d_o.

P = 50 kWN = 1500 rpmd_i/d_o = 0,6τ_allow = 40 MPa

d_o = mm

5.Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suấtTrung bình

Một điểm trong chi tiết chịu tải có σₓ = 100 MPa, σᵧ = −30 MPa và τₓᵧ = −20 MPa (kéo là dương). Tìm ứng suất tiếp lớn nhất trong mặt phẳng τ_max.

σ_x = 100 MPaσ_y = −30 MPaτ_xy = −20 MPa

τ_max = MPa

6.Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suấtKhó

Một trục đặc đường kính 20 mm chịu một lực kéo dọc trục 90 kN cùng với mô-men xoắn 400 N·m. Tại bề mặt của trục, hãy tìm ứng suất chính lớn nhất σ₁.

d = 20 mmF = 90 kNT = 400 N·m

σ₁ = MPa

7.Ứng suất và biến dạng dọc trụcTrung bình

Tìm độ giãn dài δ của thanh nhôm dưới tải trọng dọc trục.

P = 80 kNd = 20 mmL = 2 mE = 70 GPa

δ = mm

8.Ứng suất và biến dạng dọc trụcKhó

Thanh bậc được ngàm vào tường và chịu tải ở đầu tự do. Tìm tổng độ giãn dài δ.

P = 75 kNđoạn 1: Ø35 mm, 0,5 m, đồng thau (E = 100 GPa)đoạn 2: Ø16 mm, 1 m, thép (E = 200 GPa)

δ = mm

9.Mất ổn định cộtTrung bình

Một cột dài L làm bằng nhôm được ngàm ở chân và tự do ở đỉnh. Dùng công thức Euler, tìm tải trọng oằn tới hạn P_cr của nó.

L = 2 mE = 70 GPa (nhôm)d = 60 mm

P_cr = kN

10.Mất ổn định cộtKhó

Một cột dài L làm bằng thép được ngàm cả hai đầu. Tìm độ mảnh của nó và ứng suất oằn tới hạn σ_cr theo công thức Euler.

L = 6 mE = 200 GPa (thép)d = 25 mm

σ_cr = MPa

11.Dao động cơ họcTrung bình

Trong một thí nghiệm dao động tự do của hệ vật–lò xo có cản, một đỉnh độ dời 50 mm được theo sau một chu kỳ sau bởi đỉnh 30,2 mm. Tìm hệ số cản ζ.

x₀ = 50 mmx₁ = 30,2 mmn = 1

ζ =

12.Dao động cơ họcKhó

Một vật 100 kg treo vào lò xo k₃ = 12 kN/m. Đầu trên của k₃ được gắn vào một thanh cứng treo bằng hai lò xo đặt cạnh nhau, k₁ = 25 kN/m và k₂ = 5 kN/m; thanh giữ nằm ngang. Bỏ qua lực cản và khối lượng của các lò xo và thanh. Tìm tần số riêng f_n của dao động thẳng đứng theo Hz.

m = 100 kgk₁ = 25 kN/mk₂ = 5 kN/mk₃ = 12 kN/m

f_n = Hz

3Dung dịch

1.Bánh răng và hệ bánh răng

Đáp số: n_w = 38,4 rpm

Gear trains: meshing gears have the same speed at the teeth, so n₁·N₁ = n₂·N₂: the gear with fewer teeth turns faster. Gears on one shaft turn at the same speed. Power is passed on (minus losses), so torque goes up when speed goes down: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, and P = T·ω with ω = 2π·n/60.

Tốc độ bánh vít

n_w = n·z/N_w = 960·2/50 = 38,4 rpm

Đáp số

n_w = 38,4 rpm

2.Bánh răng và hệ bánh răng

Đáp số: n_out = 900 rpm

Hệ bánh răng: các bánh răng ăn khớp có cùng tốc độ tại răng, nên n₁·N₁ = n₂·N₂: bánh răng có ít răng hơn quay nhanh hơn. Các bánh răng trên cùng một trục quay cùng tốc độ. Công suất được truyền đi (trừ tổn thất), nên mômen xoắn tăng khi tốc độ giảm: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, và P = T·ω với ω = 2π·n/60.

Cấp thứ nhất

n_B = 1500·32/40 = 1200 rpm = n_C

Cấp thứ hai

n_out = 1200·12/16 = 900 rpm

Đáp số

n_out = 900 rpm

tỉ số truyền tổng = 1,667 : 1

3.Xoắn của trục

Đáp số: φ = 0,3462 °

Xoắn thanh tròn: ứng suất tiếp tăng tuyến tính từ không ở tâm đến τ_max = T·r/J ở bề mặt, với J = πd⁴/32 cho trục đặc và J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 cho trục rỗng. Góc xoắn là φ = TL/(GJ) tính bằng radian. Công suất và mômen xoắn liên hệ với nhau qua P = T·ω.

Mômen quán tính độc cực của mặt cắt

J = π(80⁴ − 56⁴)/32 = 3,056 × 10⁶ mm⁴

Góc xoắn

T = 400 N·m = 400000 N·mm

L = 1,2 m = 1200 mm

G = 26 GPa = 26000 MPa

φ = TL/(GJ) = 400000·1200/(26000·3,056 × 10⁶) = 0,006042 rad

φ = 0,006042·180/π = 0,3462°

Đáp số

φ = 0,3462°

4.Xoắn của trục

Đáp số: d_o = 35,98 mm

Mômen xoắn

ω = 2πN/60 = 2π·1500/60 = 157,1 rad/s

T = P/ω = 50000/157,1 = 318,3 N·m

Đường kính ngoài từ ứng suất cho phép

T = 318,3 N·m = 318310 N·mm

1 − k⁴ = 1 − 0,6⁴ = 0,8704

d_o = ∛(16T/(π·τ_allow·(1 − k⁴))) = ∛(16·318310/(π·40·0,8704)) = 35,98 mm

d_i = 0,6·35,98 = 21,59 mm

Đáp số

d_o = 35,98 mm

Một trục đặc sẽ cần d = 34,35 mm; trục rỗng lớn hơn một chút nhưng nhẹ hơn nhiều.

5.Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suất

Đáp số: τ_max = 68,01 MPa

Biến đổi ứng suất phẳng: trên một mặt xoay góc θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Vòng tròn Mohr cho thấy tất cả các mặt cùng lúc: tâm của nó ở C = (σₓ + σᵧ)/2 và bán kính là R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Các ứng suất chính là C ± R, và ứng suất tiếp lớn nhất trong mặt phẳng là R.

Bán kính vòng tròn Mohr

τ_max = R = √(((100 − −30)/2)² + −20²) = 68,01 MPa

Đáp số

τ_max = 68,01 MPa

6.Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suất

Đáp số: σ₁ = 435,4 MPa

Các ứng suất tại bề mặt

σ = F/A = 90000/(π·20²/4) = 90000/314,2 = 286,5 MPa

τ = 16T/(πd³) = 16·400000/(π·20³) = 254,6 MPa

Vòng tròn Mohr

C = σ/2 = 143,2 MPa

R = √(143,2² + 254,6²) = 292,2 MPa

σ₁ = C + R = 435,4 MPa

σ₂ = C − R = −148,9 MPa

Đáp số

σ₁ = 435,4 MPa

7.Ứng suất và biến dạng dọc trục

Đáp số: δ = 7,276 mm

Định luật Hooke: trong giới hạn đàn hồi σ = E·ε. Kết hợp với σ = P/A và ε = δ/L ta được δ = PL/(AE).

Ứng suất

A = π·20²/4 = 314,2 mm²

σ = P/A = 80·1000/314,2 = 254,6 MPa

Biến dạng (định luật Hooke)

E for nhôm = 70 GPa = 70000 MPa.

ε = σ/E = 254,6/70000 = 0,003638 = 3638 µε

Độ giãn dài

δ = ε·L = 0,003638·2000 mm = 7,276 mm

Đáp số

δ = 7,276 mm

8.Ứng suất và biến dạng dọc trục

Đáp số: δ = 2,255 mm

Cấu kiện chịu tải dọc trục: mỗi đoạn lăng trụ tuân theo δ = PL/(AE). Với các cấu kiện nối tiếp, độ giãn dài cộng lại.

Cùng một lực trong cả hai đoạn

Đầu tự do chịu lực P, nên mọi mặt cắt của thanh đều chịu cùng một lực dọc trục P. Chỉ có diện tích và vật liệu thay đổi.

A₁ = π·35²/4 = 962,1 mm², A₂ = π·16²/4 = 201,1 mm²

σ₁ = 77,95 MPa

σ₂ = 373 MPa

Cộng độ giãn dài của các đoạn

δ₁ = σ₁L₁/E₁ = 77,95·500/100000 = 0,3898 mm

δ₂ = σ₂L₂/E₂ = 373·1000/200000 = 1,865 mm

δ = δ₁ + δ₂ = 2,255 mm

Đáp số

δ = 2,255 mm

9.Mất ổn định cột

Đáp số: P_cr = 27,47 kN

Mất ổn định Euler: một cột mảnh mất ổn định tại P_cr = π²EI/(KL)², trong đó KL là chiều dài tính toán: K = 1 cho khớp–khớp, 2 cho ngàm–tự do, 0,7 cho ngàm–khớp và 0,5 cho ngàm–ngàm. Cột oằn quanh trục có I nhỏ nhất. Công thức đúng với cột mảnh, có ứng suất tới hạn thấp hơn ứng suất chảy.

Mômen quán tính nhỏ nhất của mặt cắt

Mặt cắt tròn có cùng I đối với mọi trục.

I = πd⁴/64 = π·60⁴/64 = 636173 mm⁴

Chiều dài tính toán

KL = 2·2000 = 4000 mm

Tải trọng tới hạn

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·636173/4000² = 27470 N = 27,47 kN

Đáp số

P_cr = 27,47 kN

10.Mất ổn định cột

Đáp số: σ_cr = 8,567 MPa

Mômen quán tính nhỏ nhất của mặt cắt

Mặt cắt tròn có cùng I đối với mọi trục.

I = πd⁴/64 = π·25⁴/64 = 19175 mm⁴

Bán kính quán tính và độ mảnh

A = 490,9 mm²

r = √(I/A) = √(19175/490,9) = 6,25 mm

KL = 0,5·6000 = 3000 mm

KL/r = 3000/6,25 = 480

Ứng suất tới hạn

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/480² = 8,567 MPa

Đáp số

σ_cr = 8,567 MPa

11.Dao động cơ học

Đáp số: ζ = 0,07999

Dao động tự do của hệ vật–lò xo: tần số riêng không cản là ω_n = √(k/m) theo rad/s, và f_n = ω_n/(2π) theo Hz. Một bộ cản nhớt c cho hệ số cản ζ = c/c_c, với cản tới hạn c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. Hệ cản dưới tới hạn (ζ < 1) dao động ở ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). Các lò xo song song cộng lại, k = k₁ + k₂; các lò xo nối tiếp cộng theo nghịch đảo, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Giảm lượng logarit

δ = (1/1)·ln(50/30,2) = 0,5042

Hệ số cản

ζ = δ/√(4π² + δ²) = 0,5042/√(39,48 + 0,2542) = 0,07999

Đáp số

ζ = 0,07999

12.Dao động cơ học

Đáp số: f_n = 1,473 Hz

Độ cứng tương đương

Chỉ k₁ và k₂ song song. Cặp đó nối tiếp với k₃, nên gộp chúng theo nghịch đảo.

k₁₂ = 25 + 5 = 30 kN/m

k_eq = 30·12/(30 + 12) = 8,571 kN/m

Tần số riêng

ω_n = √(8571/100) = 9,258 rad/s

f_n = 9,258/(2π) = 1,473 Hz

Đáp số

f_n = 1,473 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design