Bánh răng và hệ bánh răng
- Bánh răng ăn khớp
- n1·N1 = n2·N2
- Mômen xoắn
- T2 = T1·(N2/N1)·η
- Công suất
- P = T·ω, ω = 2π·n/60
- Hệ bánh răng ghép
- tỉ số truyền tổng = tích các tỉ số truyền từng cấp
Thiết kế máy: gói ôn nước rút
Bảng công thức, các bước phương pháp chính cho từng chủ đề và 12 bài tập, kèm lời giải đầy đủ ở cuối.
1Công thức và phương pháp
Xoắn của trục
- Ứng suất tiếp
- τ = T·r/J
- Trục đặc
- J = πd⁴/32
- Trục rỗng
- J = π(D⁴ − d⁴)/32
- Góc xoắn
- φ = TL/(GJ)
- Công suất
- P = T·ω = 2πnT/60
Phương pháp
- Tìm mômen quán tính độc cực: J = πd⁴/32 cho trục đặc.
- Ứng suất tiếp ở bề mặt: τ = T·r/J, với r là bán kính ngoài.
- Góc xoắn: φ = TL/(GJ) theo radian.
- Nếu cho công suất, hãy tìm mômen xoắn trước bằng P = T·ω, ω = 2πn/60.
Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suất
- Tâm
- C = (σx + σy)/2
- Bán kính
- R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
- Ứng suất chính
- σ1,2 = C ± R
- Phương chính
- tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
- Mặt phẳng nghiêng
- σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ
Phương pháp
- Tính tâm của vòng tròn Mohr: C = (σx + σy)/2.
- Tính bán kính: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
- Các ứng suất chính là C ± R và ứng suất tiếp lớn nhất trong mặt phẳng là R.
- Các góc trên vòng tròn gấp đôi các góc trên phần tử: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).
Ứng suất và biến dạng dọc trục
- Ứng suất pháp
- σ = F/A
- Biến dạng
- ε = ΔL/L
- Định luật Hooke
- σ = E·ε
- Độ giãn dài
- ΔL = FL/(EA)
- Biến dạng nhiệt
- εT = α·ΔT
Mất ổn định cột
- Tải Euler
- Pcr = π²EI/(KL)²
- Hệ số chiều dài tính toán
- K = 1 khớp–khớp, 0,5 ngàm–ngàm, 0,7 ngàm–khớp, 2 ngàm–tự do
- Ứng suất tới hạn
- σcr = Pcr/A
- Độ mảnh
- λ = KL/r, r = √(I/A)
Dao động cơ học
- Tần số riêng
- ωn = √(k/m), fn = ωn/(2π)
- Từ độ võng tĩnh
- ωn = √(g/δst)
- Cản tới hạn
- cc = 2√(km) = 2mωn
- Hệ số cản
- ζ = c/cc
- Tần số có cản
- ωd = ωn√(1 − ζ²)
- Giảm lượng logarit
- δ = (1/n)·ln(x0/xn), ζ = δ/√(4π² + δ²)
- Lò xo song song
- k = k1 + k2
- Lò xo nối tiếp
- 1/k = 1/k1 + 1/k2
2Bài tập
1.Bánh răng và hệ bánh răngTrung bình
Một động cơ 3 kW ở 960 rpm dẫn động một trục vít 2 đầu mối. Bánh vít có 36 răng và bộ truyền có hiệu suất 60%. Tìm mô-men đầu ra Tw trên trục bánh vít.
z = 2Nw = 36n = 960 rpmP = 3 kWη = 60%
Tw = N·m
2.Bánh răng và hệ bánh răngKhó
Một động cơ 11 kW ở 2900 rpm dẫn động bánh răng A (24 răng), ăn khớp với bánh răng B (30 răng). Bánh răng C (32 răng) trên cùng trục với B dẫn động bánh răng D (50 răng) trên trục ra. Mỗi cặp ăn khớp có hiệu suất 96%. Tìm mô-men đầu ra Tout.
P = 11 kWnin = 2900 rpmA = 24B = 30C = 32D = 50ηmesh = 96%
Tout = N·m
3.Xoắn của trụcTrung bình
Một trục rỗng nhôm (đường kính ngoài 40 mm, đường kính trong 28 mm, chiều dài 1,5 m) được ngàm một đầu và bị xoắn bởi mô-men xoắn 100 N·m ở đầu kia. Tìm góc xoắn φ theo độ.
T = 100 N·mdo = 40 mmdi = 28 mmL = 1,5 mG = 26 GPa
φ = °
4.Xoắn của trụcKhó
Một trục đặc phải truyền 50 kW ở 750 rpm mà ứng suất tiếp không vượt quá 60 MPa. Tìm đường kính nhỏ nhất d thỏa mãn.
P = 50 kWN = 750 rpmτallow = 60 MPa
d = mm
5.Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suấtTrung bình
Một điểm trong chi tiết chịu tải có σₓ = −20 MPa, σᵧ = 40 MPa và τₓᵧ = −30 MPa (kéo là dương). Tìm ứng suất tiếp lớn nhất trong mặt phẳng τmax.
σx = −20 MPaσy = 40 MPaτxy = −30 MPa
τmax = MPa
6.Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suấtKhó
Một điểm trong chi tiết chịu tải có σₓ = 160 MPa, σᵧ = 10 MPa và τₓᵧ = 50 MPa (kéo là dương). Tìm ứng suất pháp σθ trên một mặt có pháp tuyến xoay 60° ngược chiều kim đồng hồ so với trục x.
σx = 160 MPaσy = 10 MPaτxy = 50 MPaθ = 60°
σθ = MPa
7.Ứng suất và biến dạng dọc trụcTrung bình
Tìm độ giãn dài δ của thanh đồng dưới tải trọng dọc trục.
P = 35 kNd = 10 mmL = 1,5 mE = 117 GPa
δ = mm
8.Ứng suất và biến dạng dọc trụcKhó
Thanh bậc được ngàm vào tường và chịu tải ở đầu tự do. Tìm tổng độ giãn dài δ.
P = 120 kNđoạn 1: Ø35 mm, 1,5 m, nhôm (E = 70 GPa)đoạn 2: Ø20 mm, 1,5 m, thép (E = 200 GPa)
δ = mm
9.Mất ổn định cộtTrung bình
Một cột dài L làm bằng nhôm được ngàm ở chân và khớp ở đỉnh. Dùng công thức Euler, tìm tải trọng oằn tới hạn Pcr của nó.
L = 1 mE = 70 GPa (nhôm)b × h = 20 × 60 mm
Pcr = kN
10.Mất ổn định cộtKhó
Một cột dài L làm bằng thép được ngàm cả hai đầu. Tìm độ mảnh của nó và ứng suất oằn tới hạn σcr theo công thức Euler.
L = 1,5 mE = 200 GPa (thép)d = 30 mm
σcr = MPa
11.Dao động cơ họcTrung bình
Một vật 25 kg được đỡ bởi một lò xo có độ cứng 10 kN/m và một bộ cản nhớt có hệ số cản 500 N·s/m. Tìm hệ số cản ζ.
m = 25 kgk = 10 kN/mc = 500 N·s/m
ζ =
12.Dao động cơ họcKhó
Một vật 10 kg treo vào lò xo k₃ = 25 kN/m. Đầu trên của k₃ được gắn vào một thanh cứng treo bằng hai lò xo đặt cạnh nhau, k₁ = 50 kN/m và k₂ = 5 kN/m; thanh giữ nằm ngang. Bỏ qua lực cản và khối lượng của các lò xo và thanh. Tìm tần số riêng fn của dao động thẳng đứng theo Hz.
m = 10 kgk1 = 50 kN/mk2 = 5 kN/mk3 = 25 kN/m
fn = Hz
3Dung dịch
1.Bánh răng và hệ bánh răng
Đáp số: Tw = 322,3 N·m
Gear trains: meshing gears have the same speed at the teeth, so n₁·N₁ = n₂·N₂: the gear with fewer teeth turns faster. Gears on one shaft turn at the same speed. Power is passed on (minus losses), so torque goes up when speed goes down: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, and P = T·ω with ω = 2π·n/60.
Tốc độ bánh vít
nw = n·z/Nw = 960·2/36 = 53,33 rpm
Mômen xoắn ra
ωw = 2π·53,33/60 = 5,585 rad/s
Tw = η·P/ωw = 0,6·3000/5,585 = 322,3 N·m
Đáp số
Tw = 322,3 N·m
2.Bánh răng và hệ bánh răng
Đáp số: Tout = 65,2 N·m
Gear trains: meshing gears have the same speed at the teeth, so n₁·N₁ = n₂·N₂: the gear with fewer teeth turns faster. Gears on one shaft turn at the same speed. Power is passed on (minus losses), so torque goes up when speed goes down: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, and P = T·ω with ω = 2π·n/60.
Tốc độ ra
nout = 2900·(24/30)·(32/50) = 1485 rpm
ωout = 2π·1485/60 = 155,5 rad/s
Công suất và mô-men đầu ra
Pout = 11000·0,96² = 10138 W
Tout = Pout/ωout = 10138/155,5 = 65,2 N·m
Đáp số
Tout = 65,2 N·m
3.Xoắn của trục
Đáp số: φ = 1,731 °
Xoắn thanh tròn: ứng suất tiếp tăng tuyến tính từ không ở tâm đến τmax = T·r/J ở bề mặt, với J = πd⁴/32 cho trục đặc và J = π(do⁴ − di⁴)/32 cho trục rỗng. Góc xoắn là φ = TL/(GJ) tính bằng radian. Công suất và mômen xoắn liên hệ với nhau qua P = T·ω.
Mômen quán tính độc cực của mặt cắt
J = π(40⁴ − 28⁴)/32 = 190984 mm⁴
Góc xoắn
T = 100 N·m = 100000 N·mm
L = 1,5 m = 1500 mm
G = 26 GPa = 26000 MPa
φ = TL/(GJ) = 100000·1500/(26000·190984) = 0,03021 rad
φ = 0,03021·180/π = 1,731°
Đáp số
φ = 1,731°
4.Xoắn của trục
Đáp số: d = 37,81 mm
Xoắn thanh tròn: ứng suất tiếp tăng tuyến tính từ không ở tâm đến τmax = T·r/J ở bề mặt, với J = πd⁴/32 cho trục đặc và J = π(do⁴ − di⁴)/32 cho trục rỗng. Góc xoắn là φ = TL/(GJ) tính bằng radian. Công suất và mômen xoắn liên hệ với nhau qua P = T·ω.
Mômen xoắn
ω = 2πN/60 = 2π·750/60 = 78,54 rad/s
T = P/ω = 50000/78,54 = 636,6 N·m
Đường kính từ ứng suất cho phép
d = ∛(16T/(π·τallow)) = ∛(16·636620/(π·60)) = 37,81 mm
Đáp số
d = 37,81 mm
Trong thực tế bạn sẽ làm tròn lên kích thước tiêu chuẩn kế tiếp.
5.Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suất
Đáp số: τmax = 42,43 MPa
Biến đổi ứng suất phẳng: trên một mặt xoay góc θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Vòng tròn Mohr cho thấy tất cả các mặt cùng lúc: tâm của nó ở C = (σₓ + σᵧ)/2 và bán kính là R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Các ứng suất chính là C ± R, và ứng suất tiếp lớn nhất trong mặt phẳng là R.
Bán kính vòng tròn Mohr
τmax = R = √(((−20 − 40)/2)² + −30²) = 42,43 MPa
Đáp số
τmax = 42,43 MPa
6.Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suất
Đáp số: σθ = 90,8 MPa
Biến đổi ứng suất phẳng: trên một mặt xoay góc θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Vòng tròn Mohr cho thấy tất cả các mặt cùng lúc: tâm của nó ở C = (σₓ + σᵧ)/2 và bán kính là R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Các ứng suất chính là C ± R, và ứng suất tiếp lớn nhất trong mặt phẳng là R.
Phương trình biến đổi
σθ = 85 + 75·−0,5 + 50·0,866 = 90,8 MPa
Đáp số
σθ = 90,8 MPa
7.Ứng suất và biến dạng dọc trục
Đáp số: δ = 5,713 mm
Định luật Hooke: trong giới hạn đàn hồi σ = E·ε. Kết hợp với σ = P/A và ε = δ/L ta được δ = PL/(AE).
Ứng suất
A = π·10²/4 = 78,54 mm²
σ = P/A = 35·1000/78,54 = 445,6 MPa
Biến dạng (định luật Hooke)
E for đồng = 117 GPa = 117000 MPa.
ε = σ/E = 445,6/117000 = 0,003809 = 3809 µε
Độ giãn dài
δ = ε·L = 0,003809·1500 mm = 5,713 mm
Đáp số
δ = 5,713 mm
8.Ứng suất và biến dạng dọc trục
Đáp số: δ = 5,537 mm
Cấu kiện chịu tải dọc trục: mỗi đoạn lăng trụ tuân theo δ = PL/(AE). Với các cấu kiện nối tiếp, độ giãn dài cộng lại.
Cùng một lực trong cả hai đoạn
Đầu tự do chịu lực P, nên mọi mặt cắt của thanh đều chịu cùng một lực dọc trục P. Chỉ có diện tích và vật liệu thay đổi.
A1 = π·35²/4 = 962,1 mm², A2 = π·20²/4 = 314,2 mm²
σ1 = 124,7 MPa
σ2 = 382 MPa
Cộng độ giãn dài của các đoạn
δ1 = σ1L1/E1 = 124,7·1500/70000 = 2,673 mm
δ2 = σ2L2/E2 = 382·1500/200000 = 2,865 mm
δ = δ1 + δ2 = 5,537 mm
Đáp số
δ = 5,537 mm
9.Mất ổn định cột
Đáp số: Pcr = 56,4 kN
Mất ổn định Euler: một cột mảnh mất ổn định tại Pcr = π²EI/(KL)², trong đó KL là chiều dài tính toán: K = 1 cho khớp–khớp, 2 cho ngàm–tự do, 0,7 cho ngàm–khớp và 0,5 cho ngàm–ngàm. Cột oằn quanh trục có I nhỏ nhất. Công thức đúng với cột mảnh, có ứng suất tới hạn thấp hơn ứng suất chảy.
Mômen quán tính nhỏ nhất của mặt cắt
Hình chữ nhật oằn quanh trục yếu, dùng kích thước nhỏ hơn lập phương.
Imin = h·b³/12 = 60·20³/12 = 40000 mm⁴
Chiều dài tính toán
KL = 0,7·1000 = 700 mm
Tải trọng tới hạn
Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·40000/700² = 56398 N = 56,4 kN
Đáp số
Pcr = 56,4 kN
10.Mất ổn định cột
Đáp số: σcr = 197,4 MPa
Mất ổn định Euler: một cột mảnh mất ổn định tại Pcr = π²EI/(KL)², trong đó KL là chiều dài tính toán: K = 1 cho khớp–khớp, 2 cho ngàm–tự do, 0,7 cho ngàm–khớp và 0,5 cho ngàm–ngàm. Cột oằn quanh trục có I nhỏ nhất. Công thức đúng với cột mảnh, có ứng suất tới hạn thấp hơn ứng suất chảy.
Mômen quán tính nhỏ nhất của mặt cắt
Mặt cắt tròn có cùng I đối với mọi trục.
I = πd⁴/64 = π·30⁴/64 = 39761 mm⁴
Bán kính quán tính và độ mảnh
A = 706,9 mm²
r = √(I/A) = √(39761/706,9) = 7,5 mm
KL = 0,5·1500 = 750 mm
KL/r = 750/7,5 = 100
Ứng suất tới hạn
σcr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/100² = 197,4 MPa
Đáp số
σcr = 197,4 MPa
11.Dao động cơ học
Đáp số: ζ = 0,5
Dao động tự do của hệ vật–lò xo: tần số riêng không cản là ωn = √(k/m) theo rad/s, và fn = ωn/(2π) theo Hz. Một bộ cản nhớt c cho hệ số cản ζ = c/cc, với cản tới hạn cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn. Hệ cản dưới tới hạn (ζ < 1) dao động ở ωd = ωn·√(1 − ζ²). Các lò xo song song cộng lại, k = k₁ + k₂; các lò xo nối tiếp cộng theo nghịch đảo, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.
Cản tới hạn
cc = 2·√(k·m) = 2·√(10000·25) = 1000 N·s/m
Hệ số cản
ζ = c/cc = 500/1000 = 0,5
Đáp số
ζ = 0,5
ζ < 1, nên hệ cản dưới tới hạn và dao động khi tắt dần.
12.Dao động cơ học
Đáp số: fn = 6,598 Hz
Dao động tự do của hệ vật–lò xo: tần số riêng không cản là ωn = √(k/m) theo rad/s, và fn = ωn/(2π) theo Hz. Một bộ cản nhớt c cho hệ số cản ζ = c/cc, với cản tới hạn cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn. Hệ cản dưới tới hạn (ζ < 1) dao động ở ωd = ωn·√(1 − ζ²). Các lò xo song song cộng lại, k = k₁ + k₂; các lò xo nối tiếp cộng theo nghịch đảo, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.
Độ cứng tương đương
Chỉ k1 và k2 song song. Cặp đó nối tiếp với k3, nên gộp chúng theo nghịch đảo.
k12 = 50 + 5 = 55 kN/m
keq = 55·25/(55 + 25) = 17,19 kN/m
Tần số riêng
ωn = √(17188/10) = 41,46 rad/s
fn = 41,46/(2π) = 6,598 Hz
Đáp số
fn = 6,598 Hz
ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design