Thiết kế máy: gói ôn nước rút

Bảng công thức, các bước phương pháp chính cho từng chủ đề và 12 bài tập, kèm lời giải đầy đủ ở cuối.

Bài mớiQuay lại môn học

Trong cửa sổ in, hãy chọn “Lưu dưới dạng PDF” để giữ một bản trên thiết bị của bạn.

1Công thức và phương pháp

Bánh răng và hệ bánh răng

Bánh răng ăn khớp
n1·N1 = n2·N2
Mômen xoắn
T2 = T1·(N2/N1)·η
Công suất
P = T·ω, ω = 2π·n/60
Hệ bánh răng ghép
tỉ số truyền tổng = tích các tỉ số truyền từng cấp

Xoắn của trục

Ứng suất tiếp
τ = T·r/J
Trục đặc
J = πd⁴/32
Trục rỗng
J = π(D⁴ − d⁴)/32
Góc xoắn
φ = TL/(GJ)
Công suất
P = T·ω = 2πnT/60

Phương pháp

  1. Tìm mômen quán tính độc cực: J = πd⁴/32 cho trục đặc.
  2. Ứng suất tiếp ở bề mặt: τ = T·r/J, với r là bán kính ngoài.
  3. Góc xoắn: φ = TL/(GJ) theo radian.
  4. Nếu cho công suất, hãy tìm mômen xoắn trước bằng P = T·ω, ω = 2πn/60.

Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suất

Tâm
C = (σx + σy)/2
Bán kính
R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
Ứng suất chính
σ1,2 = C ± R
Phương chính
tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
Mặt phẳng nghiêng
σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ

Phương pháp

  1. Tính tâm của vòng tròn Mohr: C = (σx + σy)/2.
  2. Tính bán kính: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
  3. Các ứng suất chính là C ± R và ứng suất tiếp lớn nhất trong mặt phẳng là R.
  4. Các góc trên vòng tròn gấp đôi các góc trên phần tử: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Ứng suất và biến dạng dọc trục

Ứng suất pháp
σ = F/A
Biến dạng
ε = ΔL/L
Định luật Hooke
σ = E·ε
Độ giãn dài
ΔL = FL/(EA)
Biến dạng nhiệt
εT = α·ΔT

Mất ổn định cột

Tải Euler
Pcr = π²EI/(KL)²
Hệ số chiều dài tính toán
K = 1 khớp–khớp, 0,5 ngàm–ngàm, 0,7 ngàm–khớp, 2 ngàm–tự do
Ứng suất tới hạn
σcr = Pcr/A
Độ mảnh
λ = KL/r, r = √(I/A)

Dao động cơ học

Tần số riêng
ωn = √(k/m), fn = ωn/(2π)
Từ độ võng tĩnh
ωn = √(g/δst)
Cản tới hạn
cc = 2√(km) = 2mωn
Hệ số cản
ζ = c/cc
Tần số có cản
ωd = ωn√(1 − ζ²)
Giảm lượng logarit
δ = (1/n)·ln(x0/xn), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Lò xo song song
k = k1 + k2
Lò xo nối tiếp
1/k = 1/k1 + 1/k2

2Bài tập

1.Bánh răng và hệ bánh răngTrung bình
N1​ = 32N2​ = 80

Một động cơ 11 kW chạy ở 1440 rpm dẫn động một bánh răng nhỏ có 32 răng, ăn khớp với một bánh răng có 80 răng. Cặp bánh răng có hiệu suất 96%. Tìm mômen xoắn T1 trên trục động cơ.

P = 11 kWn1 = 1440 rpmN1 = 32N2 = 80η = 96%
T1 = N·m
2.Bánh răng và hệ bánh răngKhó
A = 60B = 72C = 16D = 45

Trong một hệ bánh răng ghép, bánh răng A (60 răng) trên trục vào quay 3000 rpm dẫn động bánh răng B (72 răng). Bánh răng C (16 răng) được cố định trên cùng trục với B và dẫn động bánh răng D (45 răng) trên trục ra. Tìm tốc độ ra nout.

nin = 3000 rpmA = 60B = 72C = 16D = 45
nout = rpm
3.Xoắn của trụcTrung bình
T = 1000 N·md = 50 mmL = 1,2 mφ = ?

Một trục đặc đồng thau được ngàm vào tường và bị xoắn bởi mômen xoắn T ở đầu tự do. Tìm góc xoắn φ của đầu tự do, theo độ.

T = 1000 N·md = 50 mmL = 1,2 mG = 39 GPa
φ = °
4.Xoắn của trụcKhó
d = ?5 kW, 300 rpm

Một trục đặc đồng thau truyền 5 kW ở 300 rpm. Ứng suất cắt không được vượt quá 75 MPa và góc xoắn không được vượt quá 0,5° trên mỗi m chiều dài. Tìm đường kính nhỏ nhất d thỏa mãn cả hai giới hạn.

P = 5 kWN = 300 rpmτallow = 75 MPaθallow = 0,5°/mG = 39 GPa
d = mm
5.Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suấtTrung bình
σx​ = 80σy​ = −10τxy​ = 10MPa

Một điểm có σₓ = 80 MPa, σᵧ = −10 MPa và τₓᵧ = 10 MPa (kéo là dương). Phân tố được xoay 40° ngược chiều kim đồng hồ. Tìm ứng suất pháp σy′ trên các mặt của phân tố đã xoay vuông góc với trục y′ sau khi xoay.

σx = 80 MPaσy = −10 MPaτxy = 10 MPaθ = 40°
σy′ = MPa
6.Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suấtKhó
σx​ = 140σy​ = 80τxy​ = 50MPa

Một điểm trong chi tiết chịu tải có σₓ = 140 MPa, σᵧ = 80 MPa và τₓᵧ = 50 MPa (kéo là dương). Tìm ứng suất pháp σθ trên một mặt có pháp tuyến xoay 30° ngược chiều kim đồng hồ so với trục x.

σx = 140 MPaσy = 80 MPaτxy = 50 MPaθ = 30°
σθ = MPa
7.Ứng suất và biến dạng dọc trụcTrung bình
Ø 16 mmĐồng2 mP = 95 kN

Tìm độ giãn dài δ của thanh đồng dưới tải trọng dọc trục.

P = 95 kNd = 16 mmL = 2 mE = 117 GPa
δ = mm
8.Ứng suất và biến dạng dọc trụcKhó
Ø 40 mmThép2 mØ 16 mmNhôm1,5 mP = 30 kN

Thanh bậc được ngàm vào tường và chịu tải ở đầu tự do. Tìm tổng độ giãn dài δ.

P = 30 kNđoạn 1: Ø40 mm, 2 m, thép (E = 200 GPa)đoạn 2: Ø16 mm, 1,5 m, nhôm (E = 70 GPa)
δ = mm
9.Mất ổn định cộtTrung bình
PL = 1,5 m40 × 80 mmmặt cắt ngang

Một cột dài L làm bằng nhôm được ngàm ở chân và tự do ở đỉnh. Dùng công thức Euler, tìm tải trọng oằn tới hạn Pcr của nó.

L = 1,5 mE = 70 GPa (nhôm)b × h = 40 × 80 mm
Pcr = kN
10.Mất ổn định cộtKhó
PL = 6 md = 30 mmmặt cắt ngang

Một cột dài L làm bằng thép được ngàm cả hai đầu. Tìm độ mảnh của nó và ứng suất oằn tới hạn σcr theo công thức Euler.

L = 6 mE = 200 GPa (thép)d = 30 mm
σcr = MPa
11.Dao động cơ họcTrung bình
tx30 mm3 chu kỳ4,5 mm

Trong một thí nghiệm dao động tự do của hệ vật–lò xo có cản, một đỉnh độ dời 30 mm được theo sau 3 chu kỳ sau bởi đỉnh 4,5 mm. Tìm hệ số cản ζ.

x0 = 30 mmx3 = 4,5 mmn = 3
ζ =
12.Dao động cơ họcKhó
k1​ = 80k2​ = 25m = 50 kg

Một vật 50 kg treo vào hai lò xo đặt cạnh nhau (song song), có độ cứng k₁ = 80 kN/m và k₂ = 25 kN/m. Vật giữ nằm ngang. Bỏ qua cản và khối lượng của các lò xo. Tìm tần số riêng fn của dao động thẳng đứng theo Hz.

m = 50 kgk1 = 80 kN/mk2 = 25 kN/m
fn = Hz

3Dung dịch

1.Bánh răng và hệ bánh răng

Đáp số: T1 = 72,95 N·m

Hệ bánh răng: các bánh răng ăn khớp có cùng tốc độ tại răng, nên n₁·N₁ = n₂·N₂: bánh răng có ít răng hơn quay nhanh hơn. Các bánh răng trên cùng một trục quay cùng tốc độ. Công suất được truyền đi (trừ tổn thất), nên mômen xoắn tăng khi tốc độ giảm: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, và P = T·ω với ω = 2π·n/60.

Mômen xoắn động cơ

ω₁ = 2π·1440/60 = 150,8 rad/s
T1 = P/ω₁ = 11000/150,8 = 72,95 N·m

Đáp số

T1 = 72,95 N·m
2.Bánh răng và hệ bánh răng

Đáp số: nout = 888,9 rpm

Hệ bánh răng: các bánh răng ăn khớp có cùng tốc độ tại răng, nên n₁·N₁ = n₂·N₂: bánh răng có ít răng hơn quay nhanh hơn. Các bánh răng trên cùng một trục quay cùng tốc độ. Công suất được truyền đi (trừ tổn thất), nên mômen xoắn tăng khi tốc độ giảm: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, và P = T·ω với ω = 2π·n/60.

Cấp thứ nhất

nB = 3000·60/72 = 2500 rpm = nC

Cấp thứ hai

nout = 2500·16/45 = 888,9 rpm

Đáp số

nout = 888,9 rpm

tỉ số truyền tổng = 3,375 : 1

3.Xoắn của trục

Đáp số: φ = 2,873 °

Xoắn thanh tròn: ứng suất tiếp tăng tuyến tính từ không ở tâm đến τmax = T·r/J ở bề mặt, với J = πd⁴/32 cho trục đặc và J = π(do⁴ − di⁴)/32 cho trục rỗng. Góc xoắn là φ = TL/(GJ) tính bằng radian. Công suất và mômen xoắn liên hệ với nhau qua P = T·ω.

Mômen quán tính độc cực của mặt cắt

J = π·50⁴/32 = 613592 mm⁴

Góc xoắn

φ = TL/(GJ) = 1000·1000·1200/(39000·613592) = 0,05015 rad
φ = 0,05015·180/π = 2,873°

Đáp số

φ = 2,873°
4.Xoắn của trục

Đáp số: d = 46,72 mm

Xoắn thanh tròn: ứng suất tiếp tăng tuyến tính từ không ở tâm đến τmax = T·r/J ở bề mặt, với J = πd⁴/32 cho trục đặc và J = π(do⁴ − di⁴)/32 cho trục rỗng. Góc xoắn là φ = TL/(GJ) tính bằng radian. Công suất và mômen xoắn liên hệ với nhau qua P = T·ω.

Mômen xoắn

ω = 2πN/60 = 2π·300/60 = 31,42 rad/s
T = P/ω = 5000/31,42 = 159,2 N·m

Đường kính theo điều kiện bền

T = 159,2 N·m = 159155 N·mm
dτ = ∛(16·159155/(π·75)) = 22,11 mm

Đường kính theo điều kiện cứng

θ = 0,5·π/180/1000 = 8,727 × 10⁻⁶ rad/mm
G = 39 GPa = 39000 MPa
dφ = (32·159155/(π·39000·8,727 × 10⁻⁶))1/4 = 46,72 mm

Đường kính quyết định

Cả hai giới hạn đều phải thỏa, nên đường kính lớn hơn quyết định.

d = max(22,11, 46,72) = 46,72 mm

Đáp số

d = 46,72 mm

Ở đây điều kiện cứng quyết định.

5.Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suất

Đáp số: σy′ = 17,34 MPa

Biến đổi ứng suất phẳng: trên một mặt xoay góc θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Vòng tròn Mohr cho thấy tất cả các mặt cùng lúc: tâm của nó ở C = (σₓ + σᵧ)/2 và bán kính là R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Các ứng suất chính là C ± R, và ứng suất tiếp lớn nhất trong mặt phẳng là R.

Phương trình biến đổi cho mặt y′

σy′ = 35 − 45·0,1736 − 10·0,9848 = 17,34 MPa

Kiểm tra

Tổng các ứng suất pháp không thay đổi khi xoay.

σx′ = 52,66 MPa, σx′ + σy′ = 70 = σx + σy

Đáp số

σy′ = 17,34 MPa
6.Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suất

Đáp số: σθ = 168,3 MPa

Biến đổi ứng suất phẳng: trên một mặt xoay góc θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Vòng tròn Mohr cho thấy tất cả các mặt cùng lúc: tâm của nó ở C = (σₓ + σᵧ)/2 và bán kính là R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Các ứng suất chính là C ± R, và ứng suất tiếp lớn nhất trong mặt phẳng là R.

Phương trình biến đổi

σθ = 110 + 30·0,5 + 50·0,866 = 168,3 MPa

Đáp số

σθ = 168,3 MPa
7.Ứng suất và biến dạng dọc trục

Đáp số: δ = 8,077 mm

Định luật Hooke: trong giới hạn đàn hồi σ = E·ε. Kết hợp với σ = P/A và ε = δ/L ta được δ = PL/(AE).

Ứng suất

A = π·16²/4 = 201,1 mm²
σ = P/A = 95·1000/201,1 = 472,5 MPa

Biến dạng (định luật Hooke)

E for đồng = 117 GPa = 117000 MPa.

ε = σ/E = 472,5/117000 = 0,004038 = 4038 µε

Độ giãn dài

δ = ε·L = 0,004038·2000 mm = 8,077 mm

Đáp số

δ = 8,077 mm
8.Ứng suất và biến dạng dọc trục

Đáp số: δ = 3,436 mm

Cấu kiện chịu tải dọc trục: mỗi đoạn lăng trụ tuân theo δ = PL/(AE). Với các cấu kiện nối tiếp, độ giãn dài cộng lại.

Cùng một lực trong cả hai đoạn

Đầu tự do chịu lực P, nên mọi mặt cắt của thanh đều chịu cùng một lực dọc trục P. Chỉ có diện tích và vật liệu thay đổi.

A1 = π·40²/4 = 1257 mm², A2 = π·16²/4 = 201,1 mm²
σ1 = 23,87 MPa
σ2 = 149,2 MPa

Cộng độ giãn dài của các đoạn

δ1 = σ1L1/E1 = 23,87·2000/200000 = 0,2387 mm
δ2 = σ2L2/E2 = 149,2·1500/70000 = 3,197 mm
δ = δ1 + δ2 = 3,436 mm

Đáp số

δ = 3,436 mm
9.Mất ổn định cột

Đáp số: Pcr = 32,75 kN

Mất ổn định Euler: một cột mảnh mất ổn định tại Pcr = π²EI/(KL)², trong đó KL là chiều dài tính toán: K = 1 cho khớp–khớp, 2 cho ngàm–tự do, 0,7 cho ngàm–khớp và 0,5 cho ngàm–ngàm. Cột oằn quanh trục có I nhỏ nhất. Công thức đúng với cột mảnh, có ứng suất tới hạn thấp hơn ứng suất chảy.

Mômen quán tính nhỏ nhất của mặt cắt

Hình chữ nhật oằn quanh trục yếu, dùng kích thước nhỏ hơn lập phương.

Imin = h·b³/12 = 80·40³/12 = 426667 mm⁴

Chiều dài tính toán

KL = 2·1500 = 3000 mm

Tải trọng tới hạn

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·426667/3000² = 32752 N = 32,75 kN

Đáp số

Pcr = 32,75 kN
10.Mất ổn định cột

Đáp số: σcr = 12,34 MPa

Mất ổn định Euler: một cột mảnh mất ổn định tại Pcr = π²EI/(KL)², trong đó KL là chiều dài tính toán: K = 1 cho khớp–khớp, 2 cho ngàm–tự do, 0,7 cho ngàm–khớp và 0,5 cho ngàm–ngàm. Cột oằn quanh trục có I nhỏ nhất. Công thức đúng với cột mảnh, có ứng suất tới hạn thấp hơn ứng suất chảy.

Mômen quán tính nhỏ nhất của mặt cắt

Mặt cắt tròn có cùng I đối với mọi trục.

I = πd⁴/64 = π·30⁴/64 = 39761 mm⁴

Bán kính quán tính và độ mảnh

A = 706,9 mm²
r = √(I/A) = √(39761/706,9) = 7,5 mm
KL = 0,5·6000 = 3000 mm
KL/r = 3000/7,5 = 400

Ứng suất tới hạn

σcr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/400² = 12,34 MPa

Đáp số

σcr = 12,34 MPa
11.Dao động cơ học

Đáp số: ζ = 0,1001

Dao động tự do của hệ vật–lò xo: tần số riêng không cản là ωn = √(k/m) theo rad/s, và fn = ωn/(2π) theo Hz. Một bộ cản nhớt c cho hệ số cản ζ = c/cc, với cản tới hạn cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn. Hệ cản dưới tới hạn (ζ < 1) dao động ở ωd = ωn·√(1 − ζ²). Các lò xo song song cộng lại, k = k₁ + k₂; các lò xo nối tiếp cộng theo nghịch đảo, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Giảm lượng logarit

δ = (1/3)·ln(30/4,5) = 0,6324

Hệ số cản

ζ = δ/√(4π² + δ²) = 0,6324/√(39,48 + 0,3999) = 0,1001

Đáp số

ζ = 0,1001
12.Dao động cơ học

Đáp số: fn = 7,293 Hz

Dao động tự do của hệ vật–lò xo: tần số riêng không cản là ωn = √(k/m) theo rad/s, và fn = ωn/(2π) theo Hz. Một bộ cản nhớt c cho hệ số cản ζ = c/cc, với cản tới hạn cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn. Hệ cản dưới tới hạn (ζ < 1) dao động ở ωd = ωn·√(1 − ζ²). Các lò xo song song cộng lại, k = k₁ + k₂; các lò xo nối tiếp cộng theo nghịch đảo, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Độ cứng tương đương

Các lò xo đặt cạnh nhau có chung độ võng và cộng các lực, nên độ cứng đơn giản cộng lại: k = k1 + k2.

keq = 80 + 25 = 105 kN/m

Tần số riêng

ωn = √(105000/50) = 45,83 rad/s
fn = 45,83/(2π) = 7,293 Hz

Đáp số

fn = 7,293 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design