Thiết kế máy: gói ôn nước rút

Bảng công thức, các bước phương pháp chính cho từng chủ đề và 12 bài tập, kèm lời giải đầy đủ ở cuối.

Bài mới Quay lại môn học

Trong cửa sổ in, hãy chọn “Lưu dưới dạng PDF” để giữ một bản trên thiết bị của bạn.

1Công thức và phương pháp

Bánh răng và hệ bánh răng

Bánh răng ăn khớp: n₁·N₁ = n₂·N₂
Mômen xoắn: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Công suất: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Hệ bánh răng ghép: tỉ số truyền tổng = tích các tỉ số truyền từng cấp

Xoắn của trục

Ứng suất tiếp: τ = T·r/J
Trục đặc: J = πd⁴/32
Trục rỗng: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Góc xoắn: φ = TL/(GJ)
Công suất: P = T·ω = 2πnT/60

Phương pháp

Tìm mômen quán tính độc cực: J = πd⁴/32 cho trục đặc.
Ứng suất tiếp ở bề mặt: τ = T·r/J, với r là bán kính ngoài.
Góc xoắn: φ = TL/(GJ) theo radian.
Nếu cho công suất, hãy tìm mômen xoắn trước bằng P = T·ω, ω = 2πn/60.

Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suất

Tâm: C = (σ_x + σ_y)/2
Bán kính: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Ứng suất chính: σ_1,2 = C ± R
Phương chính: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Mặt phẳng nghiêng: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Phương pháp

Tính tâm của vòng tròn Mohr: C = (σx + σy)/2.
Tính bán kính: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Các ứng suất chính là C ± R và ứng suất tiếp lớn nhất trong mặt phẳng là R.
Các góc trên vòng tròn gấp đôi các góc trên phần tử: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Ứng suất và biến dạng dọc trục

Ứng suất pháp: σ = F/A
Biến dạng: ε = ΔL/L
Định luật Hooke: σ = E·ε
Độ giãn dài: ΔL = FL/(EA)
Biến dạng nhiệt: ε_T = α·ΔT

Mất ổn định cột

Tải Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Hệ số chiều dài tính toán: K = 1 khớp–khớp, 0,5 ngàm–ngàm, 0,7 ngàm–khớp, 2 ngàm–tự do
Ứng suất tới hạn: σ_cr = P_cr/A
Độ mảnh: λ = KL/r, r = √(I/A)

Dao động cơ học

Tần số riêng: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
Từ độ võng tĩnh: ω_n = √(g/δ_st)
Cản tới hạn: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Hệ số cản: ζ = c/c_c
Tần số có cản: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Giảm lượng logarit: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Lò xo song song: k = k₁ + k₂
Lò xo nối tiếp: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Bài tập

1.Bánh răng và hệ bánh răngTrung bình

Một puli 150 mm ở 960 vòng/phút dẫn động một puli 315 mm bằng dây đai với độ trượt 1,5 %. Tìm tốc độ n₂ của puli bị dẫn.

n₁ = 960 rpmd₁ = 150 mmd₂ = 315 mms = 1,5 %

n₂ = rpm

2.Bánh răng và hệ bánh răngKhó

Một dây đai hở nối puli dẫn 150 mm ở 2880 vòng/phút với puli 300 mm; tâm cách nhau 800 mm. Hệ số ma sát là 0,25 và lực căng nhánh căng không được vượt quá 1000 N. Tìm công suất lớn nhất P mà dây đai có thể truyền mà không trượt, theo kW (bỏ qua hiệu ứng ly tâm).

d₁ = 150 mmn₁ = 2880 rpmd₂ = 300 mmC = 800 mmμ = 0,25T₁ = 1000 N

P = kW

3.Xoắn của trụcTrung bình

Một trục đặc thép được ngàm vào tường và bị xoắn bởi mômen xoắn T ở đầu tự do. Tìm góc xoắn φ của đầu tự do, theo độ.

T = 400 N·md = 30 mmL = 2,5 mG = 80 GPa

φ = °

4.Xoắn của trụcKhó

Một trục rỗng truyền 75 kW ở 1000 rpm. Tìm ứng suất tiếp lớn nhất τ_max trong trục.

P = 75 kWN = 1000 rpmd_o = 100 mmd_i = 50 mm

τ_max = MPa

5.Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suấtTrung bình

Một điểm trong chi tiết chịu tải có σₓ = 90 MPa, σᵧ = −50 MPa và τₓᵧ = 60 MPa (kéo là dương). Tìm góc θ_p từ trục x đến phương của ứng suất chính lớn nhất, trong khoảng −90° đến 90°.

σ_x = 90 MPaσ_y = −50 MPaτ_xy = 60 MPa

θ_p = °

6.Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suấtKhó

Một điểm trong một tấm mỏng ở trạng thái ứng suất phẳng: σₓ = 20 MPa, σᵧ = −60 MPa và τₓᵧ = −10 MPa (σ_z = 0). Vật liệu có giới hạn chảy 355 MPa. Tìm hệ số an toàn n chống chảy theo tiêu chuẩn von Mises (năng lượng biến dạng hình dạng).

σ_x = 20 MPaσ_y = −60 MPaτ_xy = −10 MPaσ_Y = 355 MPa

n =

7.Ứng suất và biến dạng dọc trụcTrung bình

Một thanh thép (đường kính 25 mm, E = 200 GPa) nằm trong một ống làm bằng đồng thanh (đường kính ngoài 120 mm, đường kính trong 50 mm, E = 110 GPa). Cả hai dài 400 mm và bị nén cùng nhau giữa các tấm cứng bởi 80 kN. Tìm độ co ngắn δ.

P = 80 kNthanh: Ø25 mm, E = 200 GPaống: Ø120/Ø50 mm, E = 110 GPaL = 400 mm

δ = mm

8.Ứng suất và biến dạng dọc trụcKhó

Một thanh thép (đường kính 30 mm, E = 200 GPa, ứng suất cho phép 200 MPa) nằm trong một ống làm bằng đồng thanh (đường kính ngoài 100 mm, đường kính trong 70 mm, E = 110 GPa, ứng suất cho phép 50 MPa). Chúng bị nén cùng nhau giữa các tấm cứng. Tìm tải lớn nhất P_max.

thanh: Ø30 mm, E = 200 GPa, σ_allow = 200 MPaống: Ø100/Ø70 mm, E = 110 GPa, σ_allow = 50 MPa

P_max = kN

9.Mất ổn định cộtTrung bình

Một cột dài L làm bằng nhôm được ngàm ở chân và khớp ở đỉnh. Dùng công thức Euler, tìm tải trọng oằn tới hạn P_cr của nó.

L = 4 mE = 70 GPa (nhôm)d = 50 mm

P_cr = kN

10.Mất ổn định cộtKhó

Một cột dài L làm bằng nhôm được hai đầu khớp. Tìm độ mảnh của nó và ứng suất oằn tới hạn σ_cr theo công thức Euler.

L = 6 mE = 70 GPa (nhôm)d = 80 mm

σ_cr = MPa

11.Dao động cơ họcTrung bình

Một vật 40 kg được đỡ bởi một lò xo có độ cứng 50 kN/m và một bộ cản nhớt có hệ số cản 140 N·s/m. Tìm hệ số cản ζ.

m = 40 kgk = 50 kN/mc = 140 N·s/m

ζ =

12.Dao động cơ họcKhó

Một vật 100 kg treo vào lò xo k₃ = 40 kN/m. Đầu trên của k₃ được gắn vào một thanh cứng treo bằng hai lò xo đặt cạnh nhau, k₁ = 15 kN/m và k₂ = 15 kN/m; thanh giữ nằm ngang. Bỏ qua lực cản và khối lượng của các lò xo và thanh. Tìm tần số riêng f_n của dao động thẳng đứng theo Hz.

m = 100 kgk₁ = 15 kN/mk₂ = 15 kN/mk₃ = 40 kN/m

f_n = Hz

3Dung dịch

1.Bánh răng và hệ bánh răng

Đáp số: n₂ = 450,3 rpm

Truyền động đai: khi không trượt, cả hai puli có cùng tốc độ mép v = π·d·n/60, nên n₁·d₁ = n₂·d₂ và tỉ số tốc độ là d₂/d₁. Độ trượt s làm puli bị dẫn chậm hơn một chút: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s). Công suất truyền là P = (T₁ − T₂)·v, với T₁ là lực căng ở nhánh căng và T₂ ở nhánh chùng. Ma sát giới hạn tỉ số các lực căng: T₁/T₂ = e^μθ, trong đó θ là góc ôm tính theo radian trên puli nhỏ hơn; với đai hở θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)) với khoảng cách tâm C.

Tốc độ khi không trượt

960·150/315 = 457,1 rpm

Khi có trượt

n₂ = 457,1·0,985 = 450,3 rpm

Đáp số

n₂ = 450,3 rpm

2.Bánh răng và hệ bánh răng

Đáp số: P = 11,81 kW

Góc ôm

θ = 2,954 rad

Lực căng nhánh chùng

e^μθ = e^0,7385 = 2,093, T₂ = 1000/2,093 = 477,9 N

Công suất

P = (1000 − 477,9)·22,62 = 11,81 kW

Đáp số

P = 11,81 kW

3.Xoắn của trục

Đáp số: φ = 9,006 °

Xoắn thanh tròn: ứng suất tiếp tăng tuyến tính từ không ở tâm đến τ_max = T·r/J ở bề mặt, với J = πd⁴/32 cho trục đặc và J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 cho trục rỗng. Góc xoắn là φ = TL/(GJ) tính bằng radian. Công suất và mômen xoắn liên hệ với nhau qua P = T·ω.

Mômen quán tính độc cực của mặt cắt

J = π·30⁴/32 = 79522 mm⁴

Góc xoắn

φ = TL/(GJ) = 400·1000·2500/(80000·79522) = 0,1572 rad

φ = 0,1572·180/π = 9,006°

Đáp số

φ = 9,006°

4.Xoắn của trục

Đáp số: τ_max = 3,891 MPa

Mômen xoắn

ω = 2πN/60 = 2π·1000/60 = 104,7 rad/s

T = P/ω = 75000/104,7 = 716,2 N·m

Mômen quán tính độc cực của mặt cắt

J = π(100⁴ − 50⁴)/32 = 9,204 × 10⁶ mm⁴

Ứng suất tiếp lớn nhất

τ_max = T·(d_o/2)/J = 716197·50/9,204 × 10⁶ = 3,891 MPa

Đáp số

τ_max = 3,891 MPa

5.Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suất

Đáp số: θ_p = 20,3 °

Góc trên vòng tròn

Điểm x nằm ở góc 2θp so với trục σ trên vòng tròn Mohr; góc phần tư suy ra từ dấu của σₓ − σᵧ và τₓᵧ.

2θ_p = atan2(2·60, 90 − −50) = 40,6°

Góc trên phần tử

θ_p = 20,3°

Đáp số

θ_p = 20,3°

Góc dương là ngược chiều kim đồng hồ.

6.Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suất

Đáp số: n = 4,787

Biến đổi ứng suất phẳng: trên một mặt xoay góc θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Vòng tròn Mohr cho thấy tất cả các mặt cùng lúc: tâm của nó ở C = (σₓ + σᵧ)/2 và bán kính là R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Các ứng suất chính là C ± R, và ứng suất tiếp lớn nhất trong mặt phẳng là R. Tiêu chuẩn chảy: von Mises dự đoán vật liệu chảy khi σ_vM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²) đạt σ_Y; Tresca khi ứng suất cắt lớn nhất tuyệt đối đạt σ_Y/2.

Ứng suất chính

C = −20 MPa, R = 41,23 MPa

σ₁ = 21,23 MPa, σ₂ = −61,23 MPa, σ₃ = 0

Von Mises

σ_vM = √(21,23² − 21,23·(−61,23) + (−61,23)²) = 74,16 MPa

n = 355/74,16 = 4,787

Đáp số

n = 4,787

n > 1 nghĩa là điểm không bị chảy; Tresca thận trọng hơn von Mises một chút.

7.Ứng suất và biến dạng dọc trục

Đáp số: δ = 0,02841 mm

Hai vật liệu: khi nối tiếp (cái này sau cái kia) mỗi đoạn chịu cùng một lực và các độ giãn dài cộng lại: δ = P·Σ L/(E·A). Khi song song (cạnh nhau giữa các tấm cứng) cả hai phần co lại cùng một lượng, nên biến dạng của chúng bằng nhau: phần cứng hơn nhận phần tải lớn hơn, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, và σ_i = E_i·ε. Một thanh bị giữ giữa hai vách cứng với tải đặt tại chỗ nối là siêu tĩnh: hai đoạn chia tải theo tỉ lệ độ cứng k = EA/L của chúng.

Diện tích

A_r = π·25²/4 = 490,9 mm²

A_t = π(120² − 50²)/4 = 9346 mm²

Độ cứng dọc trục kết hợp

ΣEA = 200·10³·490,9 + 110·10³·9346 = 1,126 × 10⁹ N

Độ co ngắn

δ = 80000·400/1,126 × 10⁹ = 0,02841 mm

Đáp số

δ = 0,02841 mm

8.Ứng suất và biến dạng dọc trục

Đáp số: P_max = 264,5 kN

Diện tích

A_r = π·30²/4 = 706,9 mm²

A_t = π(100² − 70²)/4 = 4006 mm²

Độ cứng dọc trục kết hợp

ΣEA = 200·10³·706,9 + 110·10³·4006 = 5,82 × 10⁸ N

Biến dạng quyết định

ε = min(0,001, 0,0004545) = 0,0004545 (đồng thanh)

Tải lớn nhất

P_max = 0,0004545·5,82 × 10⁸ = 264536 N = 264,5 kN

Đáp số

P_max = 264,5 kN

9.Mất ổn định cột

Đáp số: P_cr = 27,04 kN

Mất ổn định Euler: một cột mảnh mất ổn định tại P_cr = π²EI/(KL)², trong đó KL là chiều dài tính toán: K = 1 cho khớp–khớp, 2 cho ngàm–tự do, 0,7 cho ngàm–khớp và 0,5 cho ngàm–ngàm. Cột oằn quanh trục có I nhỏ nhất. Công thức đúng với cột mảnh, có ứng suất tới hạn thấp hơn ứng suất chảy.

Mômen quán tính nhỏ nhất của mặt cắt

Mặt cắt tròn có cùng I đối với mọi trục.

I = πd⁴/64 = π·50⁴/64 = 306796 mm⁴

Chiều dài tính toán

KL = 0,7·4000 = 2800 mm

Tải trọng tới hạn

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·306796/2800² = 27035 N = 27,04 kN

Đáp số

P_cr = 27,04 kN

10.Mất ổn định cột

Đáp số: σ_cr = 7,676 MPa

Mômen quán tính nhỏ nhất của mặt cắt

Mặt cắt tròn có cùng I đối với mọi trục.

I = πd⁴/64 = π·80⁴/64 = 2,011 × 10⁶ mm⁴

Bán kính quán tính và độ mảnh

A = 5027 mm²

r = √(I/A) = √(2,011 × 10⁶/5027) = 20 mm

KL = 1·6000 = 6000 mm

KL/r = 6000/20 = 300

Ứng suất tới hạn

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/300² = 7,676 MPa

Đáp số

σ_cr = 7,676 MPa

11.Dao động cơ học

Đáp số: ζ = 0,0495

Dao động tự do của hệ vật–lò xo: tần số riêng không cản là ω_n = √(k/m) theo rad/s, và f_n = ω_n/(2π) theo Hz. Một bộ cản nhớt c cho hệ số cản ζ = c/c_c, với cản tới hạn c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. Hệ cản dưới tới hạn (ζ < 1) dao động ở ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). Các lò xo song song cộng lại, k = k₁ + k₂; các lò xo nối tiếp cộng theo nghịch đảo, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Cản tới hạn

c_c = 2·√(k·m) = 2·√(50000·40) = 2828 N·s/m

Hệ số cản

ζ = c/c_c = 140/2828 = 0,0495

Đáp số

ζ = 0,0495

ζ < 1, nên hệ cản dưới tới hạn và dao động khi tắt dần.

12.Dao động cơ học

Đáp số: f_n = 2,084 Hz

Độ cứng tương đương

Chỉ k₁ và k₂ song song. Cặp đó nối tiếp với k₃, nên gộp chúng theo nghịch đảo.

k₁₂ = 15 + 15 = 30 kN/m

k_eq = 30·40/(30 + 40) = 17,14 kN/m

Tần số riêng

ω_n = √(17143/100) = 13,09 rad/s

f_n = 13,09/(2π) = 2,084 Hz

Đáp số

f_n = 2,084 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design