Bánh răng và hệ bánh răng
- Bánh răng ăn khớp
- n1·N1 = n2·N2
- Mômen xoắn
- T2 = T1·(N2/N1)·η
- Công suất
- P = T·ω, ω = 2π·n/60
- Hệ bánh răng ghép
- tỉ số truyền tổng = tích các tỉ số truyền từng cấp
Thiết kế máy: gói ôn nước rút
Bảng công thức, các bước phương pháp chính cho từng chủ đề và 12 bài tập, kèm lời giải đầy đủ ở cuối.
1Công thức và phương pháp
Xoắn của trục
- Ứng suất tiếp
- τ = T·r/J
- Trục đặc
- J = πd⁴/32
- Trục rỗng
- J = π(D⁴ − d⁴)/32
- Góc xoắn
- φ = TL/(GJ)
- Công suất
- P = T·ω = 2πnT/60
Phương pháp
- Tìm mômen quán tính độc cực: J = πd⁴/32 cho trục đặc.
- Ứng suất tiếp ở bề mặt: τ = T·r/J, với r là bán kính ngoài.
- Góc xoắn: φ = TL/(GJ) theo radian.
- Nếu cho công suất, hãy tìm mômen xoắn trước bằng P = T·ω, ω = 2πn/60.
Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suất
- Tâm
- C = (σx + σy)/2
- Bán kính
- R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
- Ứng suất chính
- σ1,2 = C ± R
- Phương chính
- tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
- Mặt phẳng nghiêng
- σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ
Phương pháp
- Tính tâm của vòng tròn Mohr: C = (σx + σy)/2.
- Tính bán kính: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
- Các ứng suất chính là C ± R và ứng suất tiếp lớn nhất trong mặt phẳng là R.
- Các góc trên vòng tròn gấp đôi các góc trên phần tử: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).
Ứng suất và biến dạng dọc trục
- Ứng suất pháp
- σ = F/A
- Biến dạng
- ε = ΔL/L
- Định luật Hooke
- σ = E·ε
- Độ giãn dài
- ΔL = FL/(EA)
- Biến dạng nhiệt
- εT = α·ΔT
Mất ổn định cột
- Tải Euler
- Pcr = π²EI/(KL)²
- Hệ số chiều dài tính toán
- K = 1 khớp–khớp, 0,5 ngàm–ngàm, 0,7 ngàm–khớp, 2 ngàm–tự do
- Ứng suất tới hạn
- σcr = Pcr/A
- Độ mảnh
- λ = KL/r, r = √(I/A)
Dao động cơ học
- Tần số riêng
- ωn = √(k/m), fn = ωn/(2π)
- Từ độ võng tĩnh
- ωn = √(g/δst)
- Cản tới hạn
- cc = 2√(km) = 2mωn
- Hệ số cản
- ζ = c/cc
- Tần số có cản
- ωd = ωn√(1 − ζ²)
- Giảm lượng logarit
- δ = (1/n)·ln(x0/xn), ζ = δ/√(4π² + δ²)
- Lò xo song song
- k = k1 + k2
- Lò xo nối tiếp
- 1/k = 1/k1 + 1/k2
2Bài tập
1.Bánh răng và hệ bánh răngTrung bình
Một động cơ 7,5 kW quay ở 1440 rpm dẫn động một bánh răng nhỏ có 16 răng và mô-đun 3 mm. Tìm lực vòng Ft trên các răng của bánh răng nhỏ.
P = 7,5 kWn = 1440 rpmN1 = 16m = 3 mm
Ft = N
2.Bánh răng và hệ bánh răngKhó
Trong một hệ bánh răng ghép, bánh răng A (24 răng) trên trục vào quay 1450 rpm dẫn động bánh răng B (25 răng). Bánh răng C (30 răng) được cố định trên cùng trục với B và dẫn động bánh răng D (72 răng) trên trục ra. Tìm tốc độ ra nout.
nin = 1450 rpmA = 24B = 25C = 30D = 72
nout = rpm
3.Xoắn của trụcTrung bình
Một trục rỗng phải chịu mô-men xoắn 200 N·m. Đường kính trong của nó bằng 0,5 lần đường kính ngoài, và ứng suất cắt không được vượt quá 80 MPa. Tìm đường kính ngoài nhỏ nhất do.
T = 200 N·mdi/do = 0,5τallow = 80 MPa
do = mm
4.Xoắn của trụcKhó
Một trục đặc nhôm đường kính 60 mm được ngàm tại A. Một mô-men xoắn 100 N·m tác dụng tại B, cách A 1,2 m, và một mô-men xoắn 750 N·m ngược chiều tác dụng tại đầu tự do C, cách thêm 1,5 m. Tìm độ lớn của góc xoắn φC của đầu C, theo độ.
d = 60 mmTB = 100 N·mTC = 750 N·mAB = 1,2 mBC = 1,5 mG = 26 GPa
φC = °
5.Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suấtTrung bình
Một điểm trong chi tiết chịu tải có σₓ = −20 MPa, σᵧ = 50 MPa và τₓᵧ = 40 MPa (kéo là dương). Tìm góc θp từ trục x đến phương của ứng suất chính lớn nhất, trong khoảng −90° đến 90°.
σx = −20 MPaσy = 50 MPaτxy = 40 MPa
θp = °
6.Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suấtKhó
Một điểm trong chi tiết chịu tải có σₓ = 90 MPa, σᵧ = −40 MPa và τₓᵧ = 20 MPa (kéo là dương). Tìm ứng suất tiếp τθ trên một mặt có pháp tuyến xoay 40° ngược chiều kim đồng hồ so với trục x (dương cùng chiều với τₓᵧ).
σx = 90 MPaσy = −40 MPaτxy = 20 MPaθ = 40°
τθ = MPa
7.Ứng suất và biến dạng dọc trụcTrung bình
Tìm độ giãn dài δ của thanh thép dưới tải trọng dọc trục.
P = 35 kNd = 20 mmL = 2,5 mE = 200 GPa
δ = mm
8.Ứng suất và biến dạng dọc trụcKhó
Một đoạn thép (đường kính 40 mm, chiều dài 600 mm, E = 200 GPa) và một đoạn làm bằng đồng (đường kính 50 mm, chiều dài 500 mm, E = 120 GPa) được nối đầu với đầu và ngàm giữa hai vách cứng. Một tải dọc trục 40 kN tác dụng tại chỗ nối, hướng về phía đoạn 2. Tìm độ lớn ứng suất σ2 trong đoạn 2.
đoạn 1: thép, Ø40 mm, 600 mm, E = 200 GPađoạn 2: đồng, Ø50 mm, 500 mm, E = 120 GPaP = 40 kN
σ2 = MPa
9.Mất ổn định cộtTrung bình
Một cột dài L làm bằng nhôm được ngàm cả hai đầu. Dùng công thức Euler, tìm tải trọng oằn tới hạn Pcr của nó.
L = 6 mE = 70 GPa (nhôm)d = 30 mm
Pcr = kN
10.Mất ổn định cộtKhó
Một cột tròn đặc dài L làm bằng thép được hai đầu khớp. Nó phải chịu 5 kN với hệ số an toàn 2,5 chống oằn. Tìm đường kính nhỏ nhất d.
P = 5 kNn = 2,5L = 2 mE = 200 GPa (thép)
d = mm
11.Dao động cơ họcTrung bình
Một vật 25 kg được đỡ bởi một lò xo có độ cứng 100 kN/m và một bộ cản nhớt có hệ số cản 950 N·s/m. Tìm hệ số cản ζ.
m = 25 kgk = 100 kN/mc = 950 N·s/m
ζ =
12.Dao động cơ họcKhó
Một vật 40 kg treo vào hai lò xo đặt cạnh nhau (song song), có độ cứng k₁ = 40 kN/m và k₂ = 10 kN/m. Vật giữ nằm ngang. Tìm độ cứng tương đương keq của hệ lò xo theo kN/m.
m = 40 kgk1 = 40 kN/mk2 = 10 kN/m
keq = kN/m
3Dung dịch
1.Bánh răng và hệ bánh răng
Đáp số: Ft = 2072 N
Gear geometry: the module m sets the tooth size. A gear with N teeth has a pitch diameter d = m·N, two meshing gears have the same module, and their centre distance is a = (d₁ + d₂)/2 = m·(N₁ + N₂)/2. The pitch-line speed is v = π·d·n/60, and the tangential tooth force follows from the torque: Ft = 2T/d.
Mô-men trên bánh răng nhỏ
ω = 2π·1440/60 = 150,8 rad/s
T = P/ω = 7500/150,8 = 49,74 N·m
Đường kính vòng chia
d = m·N = 3·16 = 48 mm
Lực vòng
Ft = 2T/d = 2·49,74/0,048 = 2072 N
Đáp số
Ft = 2072 N
2.Bánh răng và hệ bánh răng
Đáp số: nout = 580 rpm
Hệ bánh răng: các bánh răng ăn khớp có cùng tốc độ tại răng, nên n₁·N₁ = n₂·N₂: bánh răng có ít răng hơn quay nhanh hơn. Các bánh răng trên cùng một trục quay cùng tốc độ. Công suất được truyền đi (trừ tổn thất), nên mômen xoắn tăng khi tốc độ giảm: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, và P = T·ω với ω = 2π·n/60.
Cấp thứ nhất
nB = 1450·24/25 = 1392 rpm = nC
Cấp thứ hai
nout = 1392·30/72 = 580 rpm
Đáp số
nout = 580 rpm
tỉ số truyền tổng = 2,5 : 1
3.Xoắn của trục
Đáp số: do = 23,86 mm
Xoắn thanh tròn: ứng suất tiếp tăng tuyến tính từ không ở tâm đến τmax = T·r/J ở bề mặt, với J = πd⁴/32 cho trục đặc và J = π(do⁴ − di⁴)/32 cho trục rỗng. Góc xoắn là φ = TL/(GJ) tính bằng radian. Công suất và mômen xoắn liên hệ với nhau qua P = T·ω.
Đường kính ngoài từ ứng suất cho phép
T = 200 N·m = 200000 N·mm
1 − k⁴ = 1 − 0,5⁴ = 0,9375
do = ∛(16T/(π·τallow·(1 − k⁴))) = ∛(16·200000/(π·80·0,9375)) = 23,86 mm
di = 0,5·23,86 = 11,93 mm
Đáp số
do = 23,86 mm
Một trục đặc sẽ cần d = 23,35 mm; trục rỗng lớn hơn một chút nhưng nhẹ hơn nhiều.
4.Xoắn của trục
Đáp số: φC = 3,299 °
Xoắn thanh tròn: ứng suất tiếp tăng tuyến tính từ không ở tâm đến τmax = T·r/J ở bề mặt, với J = πd⁴/32 cho trục đặc và J = π(do⁴ − di⁴)/32 cho trục rỗng. Góc xoắn là φ = TL/(GJ) tính bằng radian. Công suất và mômen xoắn liên hệ với nhau qua P = T·ω.
Các mô-men xoắn nội lực
Chiều của TC được lấy là dương.
TBC = TC = 750 N·m
TAB = TC − TB = 750 − 100 = 650 N·m
Góc xoắn của từng đoạn
J = π·60⁴/32 = 1,272 × 10⁶ mm⁴
G = 26 GPa = 26000 MPa
φAB = 650000·1200/(26000·1,272 × 10⁶) = 0,02358 rad
φBC = 750000·1500/(26000·1,272 × 10⁶) = 0,03401 rad
Góc xoắn của đầu C
φC = 0,02358 + 0,03401 = 0,05759 rad → |φC| = 3,299°
Đáp số
φC = 3,299°
5.Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suất
Đáp số: θp = 65,59 °
Biến đổi ứng suất phẳng: trên một mặt xoay góc θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Vòng tròn Mohr cho thấy tất cả các mặt cùng lúc: tâm của nó ở C = (σₓ + σᵧ)/2 và bán kính là R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Các ứng suất chính là C ± R, và ứng suất tiếp lớn nhất trong mặt phẳng là R.
Góc trên vòng tròn
Điểm x nằm ở góc 2θp so với trục σ trên vòng tròn Mohr; góc phần tư suy ra từ dấu của σₓ − σᵧ và τₓᵧ.
2θp = atan2(2·40, −20 − 50) = 131,2°
Góc trên phần tử
θp = 65,59°
Đáp số
θp = 65,59°
Góc dương là ngược chiều kim đồng hồ.
6.Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suất
Đáp số: τθ = −60,54 MPa
Biến đổi ứng suất phẳng: trên một mặt xoay góc θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Vòng tròn Mohr cho thấy tất cả các mặt cùng lúc: tâm của nó ở C = (σₓ + σᵧ)/2 và bán kính là R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Các ứng suất chính là C ± R, và ứng suất tiếp lớn nhất trong mặt phẳng là R.
Phương trình biến đổi
τθ = −65·0,9848 + 20·0,1736 = −60,54 MPa
Đáp số
τθ = −60,54 MPa
7.Ứng suất và biến dạng dọc trục
Đáp số: δ = 1,393 mm
Định luật Hooke: trong giới hạn đàn hồi σ = E·ε. Kết hợp với σ = P/A và ε = δ/L ta được δ = PL/(AE).
Ứng suất
A = π·20²/4 = 314,2 mm²
σ = P/A = 35·1000/314,2 = 111,4 MPa
Biến dạng (định luật Hooke)
E for thép = 200 GPa = 200000 MPa.
ε = σ/E = 111,4/200000 = 0,000557 = 557 µε
Độ giãn dài
δ = ε·L = 0,000557·2500 mm = 1,393 mm
Đáp số
δ = 1,393 mm
8.Ứng suất và biến dạng dọc trục
Đáp số: σ2 = 10,79 MPa
Hai vật liệu: khi nối tiếp (cái này sau cái kia) mỗi đoạn chịu cùng một lực và các độ giãn dài cộng lại: δ = P·Σ L/(E·A). Khi song song (cạnh nhau giữa các tấm cứng) cả hai phần co lại cùng một lượng, nên biến dạng của chúng bằng nhau: phần cứng hơn nhận phần tải lớn hơn, Pi = P·EiAi/ΣEA, và σi = Ei·ε. Một thanh bị giữ giữa hai vách cứng với tải đặt tại chỗ nối là siêu tĩnh: hai đoạn chia tải theo tỉ lệ độ cứng k = EA/L của chúng.
Các độ cứng
k₁ = 200000·1257/600 = 418879 N/mm
k₂ = 120000·1963/500 = 471239 N/mm
Phần của đoạn 2
F2 = 40000·471239/890118 = 21176 N
Ứng suất
σ2 = 21176/1963 = 10,79 MPa (nén)
Đáp số
σ2 = 10,79 MPa
9.Mất ổn định cột
Đáp số: Pcr = 3,052 kN
Mất ổn định Euler: một cột mảnh mất ổn định tại Pcr = π²EI/(KL)², trong đó KL là chiều dài tính toán: K = 1 cho khớp–khớp, 2 cho ngàm–tự do, 0,7 cho ngàm–khớp và 0,5 cho ngàm–ngàm. Cột oằn quanh trục có I nhỏ nhất. Công thức đúng với cột mảnh, có ứng suất tới hạn thấp hơn ứng suất chảy.
Mômen quán tính nhỏ nhất của mặt cắt
Mặt cắt tròn có cùng I đối với mọi trục.
I = πd⁴/64 = π·30⁴/64 = 39761 mm⁴
Chiều dài tính toán
KL = 0,5·6000 = 3000 mm
Tải trọng tới hạn
Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·39761/3000² = 3052 N = 3,052 kN
Đáp số
Pcr = 3,052 kN
10.Mất ổn định cột
Đáp số: d = 26,8 mm
Mất ổn định Euler: một cột mảnh mất ổn định tại Pcr = π²EI/(KL)², trong đó KL là chiều dài tính toán: K = 1 cho khớp–khớp, 2 cho ngàm–tự do, 0,7 cho ngàm–khớp và 0,5 cho ngàm–ngàm. Cột oằn quanh trục có I nhỏ nhất. Công thức đúng với cột mảnh, có ứng suất tới hạn thấp hơn ứng suất chảy.
Tải trọng tới hạn yêu cầu
Pcr = n·P = 2,5·5000 = 12500 N
KL = 1·2000 = 2000 mm
Giải tìm đường kính
d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·12500·2000²/(π³·200000))^(1/4) = 26,8 mm
Đáp số
d = 26,8 mm
Kiểm tra: độ mảnh KL/r là 298,5, nên cột là mảnh và công thức Euler áp dụng được.
11.Dao động cơ học
Đáp số: ζ = 0,3004
Dao động tự do của hệ vật–lò xo: tần số riêng không cản là ωn = √(k/m) theo rad/s, và fn = ωn/(2π) theo Hz. Một bộ cản nhớt c cho hệ số cản ζ = c/cc, với cản tới hạn cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn. Hệ cản dưới tới hạn (ζ < 1) dao động ở ωd = ωn·√(1 − ζ²). Các lò xo song song cộng lại, k = k₁ + k₂; các lò xo nối tiếp cộng theo nghịch đảo, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.
Cản tới hạn
cc = 2·√(k·m) = 2·√(100000·25) = 3162 N·s/m
Hệ số cản
ζ = c/cc = 950/3162 = 0,3004
Đáp số
ζ = 0,3004
ζ < 1, nên hệ cản dưới tới hạn và dao động khi tắt dần.
12.Dao động cơ học
Đáp số: keq = 50 kN/m
Dao động tự do của hệ vật–lò xo: tần số riêng không cản là ωn = √(k/m) theo rad/s, và fn = ωn/(2π) theo Hz. Một bộ cản nhớt c cho hệ số cản ζ = c/cc, với cản tới hạn cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn. Hệ cản dưới tới hạn (ζ < 1) dao động ở ωd = ωn·√(1 − ζ²). Các lò xo song song cộng lại, k = k₁ + k₂; các lò xo nối tiếp cộng theo nghịch đảo, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.
Độ cứng tương đương
Các lò xo đặt cạnh nhau có chung độ võng và cộng các lực, nên độ cứng đơn giản cộng lại: k = k1 + k2.
keq = 40 + 10 = 50 kN/m
Đáp số
keq = 50 kN/m
ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design