Bánh răng và hệ bánh răng
- Bánh răng ăn khớp
- n1·N1 = n2·N2
- Mômen xoắn
- T2 = T1·(N2/N1)·η
- Công suất
- P = T·ω, ω = 2π·n/60
- Hệ bánh răng ghép
- tỉ số truyền tổng = tích các tỉ số truyền từng cấp
Thiết kế máy: gói ôn nước rút
Bảng công thức, các bước phương pháp chính cho từng chủ đề và 12 bài tập, kèm lời giải đầy đủ ở cuối.
1Công thức và phương pháp
Xoắn của trục
- Ứng suất tiếp
- τ = T·r/J
- Trục đặc
- J = πd⁴/32
- Trục rỗng
- J = π(D⁴ − d⁴)/32
- Góc xoắn
- φ = TL/(GJ)
- Công suất
- P = T·ω = 2πnT/60
Phương pháp
- Tìm mômen quán tính độc cực: J = πd⁴/32 cho trục đặc.
- Ứng suất tiếp ở bề mặt: τ = T·r/J, với r là bán kính ngoài.
- Góc xoắn: φ = TL/(GJ) theo radian.
- Nếu cho công suất, hãy tìm mômen xoắn trước bằng P = T·ω, ω = 2πn/60.
Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suất
- Tâm
- C = (σx + σy)/2
- Bán kính
- R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
- Ứng suất chính
- σ1,2 = C ± R
- Phương chính
- tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
- Mặt phẳng nghiêng
- σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ
Phương pháp
- Tính tâm của vòng tròn Mohr: C = (σx + σy)/2.
- Tính bán kính: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
- Các ứng suất chính là C ± R và ứng suất tiếp lớn nhất trong mặt phẳng là R.
- Các góc trên vòng tròn gấp đôi các góc trên phần tử: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).
Ứng suất và biến dạng dọc trục
- Ứng suất pháp
- σ = F/A
- Biến dạng
- ε = ΔL/L
- Định luật Hooke
- σ = E·ε
- Độ giãn dài
- ΔL = FL/(EA)
- Biến dạng nhiệt
- εT = α·ΔT
Mất ổn định cột
- Tải Euler
- Pcr = π²EI/(KL)²
- Hệ số chiều dài tính toán
- K = 1 khớp–khớp, 0,5 ngàm–ngàm, 0,7 ngàm–khớp, 2 ngàm–tự do
- Ứng suất tới hạn
- σcr = Pcr/A
- Độ mảnh
- λ = KL/r, r = √(I/A)
Dao động cơ học
- Tần số riêng
- ωn = √(k/m), fn = ωn/(2π)
- Từ độ võng tĩnh
- ωn = √(g/δst)
- Cản tới hạn
- cc = 2√(km) = 2mωn
- Hệ số cản
- ζ = c/cc
- Tần số có cản
- ωd = ωn√(1 − ζ²)
- Giảm lượng logarit
- δ = (1/n)·ln(x0/xn), ζ = δ/√(4π² + δ²)
- Lò xo song song
- k = k1 + k2
- Lò xo nối tiếp
- 1/k = 1/k1 + 1/k2
2Bài tập
1.Bánh răng và hệ bánh răngTrung bình
Một puli 100 mm ở 1500 vòng/phút dẫn động một puli 300 mm bằng dây đai với độ trượt 1 %. Tìm tốc độ n2 của puli bị dẫn.
n1 = 1500 rpmd1 = 100 mmd2 = 300 mms = 1 %
n2 = rpm
2.Bánh răng và hệ bánh răngKhó
Một dây đai hở nối puli 160 mm và puli 250 mm có tâm cách nhau 800 mm. Tìm góc ôm θ trên puli nhỏ hơn, theo độ.
d1 = 160 mmd2 = 250 mmC = 800 mm
θ = °
3.Xoắn của trụcTrung bình
Một trục đặc đồng thau được ngàm vào tường và bị xoắn bởi mômen xoắn T ở đầu tự do. Tìm góc xoắn φ của đầu tự do, theo độ.
T = 400 N·md = 30 mmL = 2 mG = 39 GPa
φ = °
4.Xoắn của trụcKhó
Một trục đặc phải truyền 15 kW ở 1500 rpm mà ứng suất tiếp không vượt quá 60 MPa. Tìm đường kính nhỏ nhất d thỏa mãn.
P = 15 kWN = 1500 rpmτallow = 60 MPa
d = mm
5.Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suấtTrung bình
Một điểm có σₓ = 160 MPa, σᵧ = 0 MPa và τₓᵧ = −60 MPa (kéo là dương). Tìm góc θs, trong khoảng từ −90° đến 90°, từ trục x đến pháp tuyến của mặt có ứng suất cắt đạt giá trị dương lớn nhất +R (ứng suất cắt dương cùng chiều với τₓᵧ).
σx = 160 MPaσy = 0 MPaτxy = −60 MPa
θs = °
6.Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suấtKhó
Một điểm trong chi tiết chịu tải có σₓ = −30 MPa, σᵧ = 50 MPa và τₓᵧ = −10 MPa (kéo là dương). Tìm ứng suất pháp σθ trên một mặt có pháp tuyến xoay 30° theo chiều kim đồng hồ so với trục x.
σx = −30 MPaσy = 50 MPaτxy = −10 MPaθ = -30°
σθ = MPa
7.Ứng suất và biến dạng dọc trụcTrung bình
Tìm độ giãn dài δ của thanh đồng dưới tải trọng dọc trục.
P = 90 kNd = 16 mmL = 3 mE = 117 GPa
δ = mm
8.Ứng suất và biến dạng dọc trụcKhó
Thanh bậc được ngàm vào tường và chịu tải ở đầu tự do. Tìm tổng độ giãn dài δ.
P = 30 kNđoạn 1: Ø30 mm, 1,5 m, nhôm (E = 70 GPa)đoạn 2: Ø12 mm, 1 m, đồng (E = 117 GPa)
δ = mm
9.Mất ổn định cộtTrung bình
Một cột dài L làm bằng nhôm được hai đầu khớp. Dùng công thức Euler, tìm tải trọng oằn tới hạn Pcr của nó.
L = 1,5 mE = 70 GPa (nhôm)b × h = 25 × 100 mm
Pcr = kN
10.Mất ổn định cộtKhó
Một cột tròn đặc dài L làm bằng thép được ngàm ở chân và tự do ở đỉnh. Nó phải chịu 100 kN với hệ số an toàn 2,5 chống oằn. Tìm đường kính nhỏ nhất d.
P = 100 kNn = 2,5L = 2 mE = 200 GPa (thép)
d = mm
11.Dao động cơ họcTrung bình
Trong một thí nghiệm dao động tự do của hệ vật–lò xo có cản, một đỉnh độ dời 20 mm được theo sau 5 chu kỳ sau bởi đỉnh 4,1 mm. Tìm hệ số cản ζ.
x0 = 20 mmx5 = 4,1 mmn = 5
ζ =
12.Dao động cơ họcKhó
Một vật 40 kg treo vào hai lò xo đặt cạnh nhau (song song), có độ cứng k₁ = 50 kN/m và k₂ = 10 kN/m. Vật giữ nằm ngang. Bỏ qua cản và khối lượng của các lò xo. Tìm tần số riêng fn của dao động thẳng đứng theo Hz.
m = 40 kgk1 = 50 kN/mk2 = 10 kN/m
fn = Hz
3Dung dịch
1.Bánh răng và hệ bánh răng
Đáp số: n2 = 495 rpm
Truyền động đai: khi không trượt, cả hai puli có cùng tốc độ mép v = π·d·n/60, nên n₁·d₁ = n₂·d₂ và tỉ số tốc độ là d₂/d₁. Độ trượt s làm puli bị dẫn chậm hơn một chút: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s). Công suất truyền là P = (T₁ − T₂)·v, với T₁ là lực căng ở nhánh căng và T₂ ở nhánh chùng. Ma sát giới hạn tỉ số các lực căng: T₁/T₂ = eμθ, trong đó θ là góc ôm tính theo radian trên puli nhỏ hơn; với đai hở θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)) với khoảng cách tâm C.
Tốc độ khi không trượt
1500·100/300 = 500 rpm
Khi có trượt
n2 = 500·0,99 = 495 rpm
Đáp số
n2 = 495 rpm
2.Bánh răng và hệ bánh răng
Đáp số: θ = 173,6 °
Truyền động đai: khi không trượt, cả hai puli có cùng tốc độ mép v = π·d·n/60, nên n₁·d₁ = n₂·d₂ và tỉ số tốc độ là d₂/d₁. Độ trượt s làm puli bị dẫn chậm hơn một chút: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s). Công suất truyền là P = (T₁ − T₂)·v, với T₁ là lực căng ở nhánh căng và T₂ ở nhánh chùng. Ma sát giới hạn tỉ số các lực căng: T₁/T₂ = eμθ, trong đó θ là góc ôm tính theo radian trên puli nhỏ hơn; với đai hở θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)) với khoảng cách tâm C.
Góc của dây đai
asin(0,05625) = 3,225°
Góc ôm
θ = 180 − 2·3,225 = 173,6°
Đáp số
θ = 173,6°
3.Xoắn của trục
Đáp số: φ = 14,78 °
Xoắn thanh tròn: ứng suất tiếp tăng tuyến tính từ không ở tâm đến τmax = T·r/J ở bề mặt, với J = πd⁴/32 cho trục đặc và J = π(do⁴ − di⁴)/32 cho trục rỗng. Góc xoắn là φ = TL/(GJ) tính bằng radian. Công suất và mômen xoắn liên hệ với nhau qua P = T·ω.
Mômen quán tính độc cực của mặt cắt
J = π·30⁴/32 = 79522 mm⁴
Góc xoắn
φ = TL/(GJ) = 400·1000·2000/(39000·79522) = 0,258 rad
φ = 0,258·180/π = 14,78°
Đáp số
φ = 14,78°
4.Xoắn của trục
Đáp số: d = 20,09 mm
Xoắn thanh tròn: ứng suất tiếp tăng tuyến tính từ không ở tâm đến τmax = T·r/J ở bề mặt, với J = πd⁴/32 cho trục đặc và J = π(do⁴ − di⁴)/32 cho trục rỗng. Góc xoắn là φ = TL/(GJ) tính bằng radian. Công suất và mômen xoắn liên hệ với nhau qua P = T·ω.
Mômen xoắn
ω = 2πN/60 = 2π·1500/60 = 157,1 rad/s
T = P/ω = 15000/157,1 = 95,49 N·m
Đường kính từ ứng suất cho phép
d = ∛(16T/(π·τallow)) = ∛(16·95493/(π·60)) = 20,09 mm
Đáp số
d = 20,09 mm
Trong thực tế bạn sẽ làm tròn lên kích thước tiêu chuẩn kế tiếp.
5.Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suất
Đáp số: θs = −63,43 °
Biến đổi ứng suất phẳng: trên một mặt xoay góc θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Vòng tròn Mohr cho thấy tất cả các mặt cùng lúc: tâm của nó ở C = (σₓ + σᵧ)/2 và bán kính là R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Các ứng suất chính là C ± R, và ứng suất tiếp lớn nhất trong mặt phẳng là R.
Góc trên vòng tròn
Trên vòng tròn Mohr, điểm trên cùng (+R) lệch 90° so với điểm chính σ₁; trên phân tố đó là 45°.
cos 2θs = −60/100 = −0,6, sin 2θs = −80/100 = −0,8
2θs = atan2(−80, −60) = −126,9°
Góc trên phần tử
θs = −63,43°
kiểm tra: θs − θp = −63,43 − (−18,43) = −45°
Đáp số
θs = −63,43°
Góc dương là ngược chiều kim đồng hồ.
6.Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suất
Đáp số: σθ = −1,34 MPa
Biến đổi ứng suất phẳng: trên một mặt xoay góc θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Vòng tròn Mohr cho thấy tất cả các mặt cùng lúc: tâm của nó ở C = (σₓ + σᵧ)/2 và bán kính là R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Các ứng suất chính là C ± R, và ứng suất tiếp lớn nhất trong mặt phẳng là R.
Phương trình biến đổi
σθ = 10 + −40·0,5 + −10·−0,866 = −1,34 MPa
Đáp số
σθ = −1,34 MPa
7.Ứng suất và biến dạng dọc trục
Đáp số: δ = 11,48 mm
Định luật Hooke: trong giới hạn đàn hồi σ = E·ε. Kết hợp với σ = P/A và ε = δ/L ta được δ = PL/(AE).
Ứng suất
A = π·16²/4 = 201,1 mm²
σ = P/A = 90·1000/201,1 = 447,6 MPa
Biến dạng (định luật Hooke)
E for đồng = 117 GPa = 117000 MPa.
ε = σ/E = 447,6/117000 = 0,003826 = 3826 µε
Độ giãn dài
δ = ε·L = 0,003826·3000 mm = 11,48 mm
Đáp số
δ = 11,48 mm
8.Ứng suất và biến dạng dọc trục
Đáp số: δ = 3,177 mm
Cấu kiện chịu tải dọc trục: mỗi đoạn lăng trụ tuân theo δ = PL/(AE). Với các cấu kiện nối tiếp, độ giãn dài cộng lại.
Cùng một lực trong cả hai đoạn
Đầu tự do chịu lực P, nên mọi mặt cắt của thanh đều chịu cùng một lực dọc trục P. Chỉ có diện tích và vật liệu thay đổi.
A1 = π·30²/4 = 706,9 mm², A2 = π·12²/4 = 113,1 mm²
σ1 = 42,44 MPa
σ2 = 265,3 MPa
Cộng độ giãn dài của các đoạn
δ1 = σ1L1/E1 = 42,44·1500/70000 = 0,9095 mm
δ2 = σ2L2/E2 = 265,3·1000/117000 = 2,267 mm
δ = δ1 + δ2 = 3,177 mm
Đáp số
δ = 3,177 mm
9.Mất ổn định cột
Đáp số: Pcr = 39,98 kN
Mất ổn định Euler: một cột mảnh mất ổn định tại Pcr = π²EI/(KL)², trong đó KL là chiều dài tính toán: K = 1 cho khớp–khớp, 2 cho ngàm–tự do, 0,7 cho ngàm–khớp và 0,5 cho ngàm–ngàm. Cột oằn quanh trục có I nhỏ nhất. Công thức đúng với cột mảnh, có ứng suất tới hạn thấp hơn ứng suất chảy.
Mômen quán tính nhỏ nhất của mặt cắt
Hình chữ nhật oằn quanh trục yếu, dùng kích thước nhỏ hơn lập phương.
Imin = h·b³/12 = 100·25³/12 = 130208 mm⁴
Chiều dài tính toán
KL = 1·1500 = 1500 mm
Tải trọng tới hạn
Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·130208/1500² = 39981 N = 39,98 kN
Đáp số
Pcr = 39,98 kN
10.Mất ổn định cột
Đáp số: d = 80,16 mm
Mất ổn định Euler: một cột mảnh mất ổn định tại Pcr = π²EI/(KL)², trong đó KL là chiều dài tính toán: K = 1 cho khớp–khớp, 2 cho ngàm–tự do, 0,7 cho ngàm–khớp và 0,5 cho ngàm–ngàm. Cột oằn quanh trục có I nhỏ nhất. Công thức đúng với cột mảnh, có ứng suất tới hạn thấp hơn ứng suất chảy.
Tải trọng tới hạn yêu cầu
Pcr = n·P = 2,5·100000 = 250000 N
KL = 2·2000 = 4000 mm
Giải tìm đường kính
d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·250000·4000²/(π³·200000))^(1/4) = 80,16 mm
Đáp số
d = 80,16 mm
Kiểm tra: độ mảnh KL/r là 199,6, nên cột là mảnh và công thức Euler áp dụng được.
11.Dao động cơ học
Đáp số: ζ = 0,05038
Dao động tự do của hệ vật–lò xo: tần số riêng không cản là ωn = √(k/m) theo rad/s, và fn = ωn/(2π) theo Hz. Một bộ cản nhớt c cho hệ số cản ζ = c/cc, với cản tới hạn cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn. Hệ cản dưới tới hạn (ζ < 1) dao động ở ωd = ωn·√(1 − ζ²). Các lò xo song song cộng lại, k = k₁ + k₂; các lò xo nối tiếp cộng theo nghịch đảo, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.
Giảm lượng logarit
δ = (1/5)·ln(20/4,1) = 0,3169
Hệ số cản
ζ = δ/√(4π² + δ²) = 0,3169/√(39,48 + 0,1005) = 0,05038
Đáp số
ζ = 0,05038
12.Dao động cơ học
Đáp số: fn = 6,164 Hz
Dao động tự do của hệ vật–lò xo: tần số riêng không cản là ωn = √(k/m) theo rad/s, và fn = ωn/(2π) theo Hz. Một bộ cản nhớt c cho hệ số cản ζ = c/cc, với cản tới hạn cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn. Hệ cản dưới tới hạn (ζ < 1) dao động ở ωd = ωn·√(1 − ζ²). Các lò xo song song cộng lại, k = k₁ + k₂; các lò xo nối tiếp cộng theo nghịch đảo, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.
Độ cứng tương đương
Các lò xo đặt cạnh nhau có chung độ võng và cộng các lực, nên độ cứng đơn giản cộng lại: k = k1 + k2.
keq = 50 + 10 = 60 kN/m
Tần số riêng
ωn = √(60000/40) = 38,73 rad/s
fn = 38,73/(2π) = 6,164 Hz
Đáp số
fn = 6,164 Hz
ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design