Bánh răng và hệ bánh răng
- Bánh răng ăn khớp
- n1·N1 = n2·N2
- Mômen xoắn
- T2 = T1·(N2/N1)·η
- Công suất
- P = T·ω, ω = 2π·n/60
- Hệ bánh răng ghép
- tỉ số truyền tổng = tích các tỉ số truyền từng cấp
Thiết kế máy: gói ôn nước rút
Bảng công thức, các bước phương pháp chính cho từng chủ đề và 12 bài tập, kèm lời giải đầy đủ ở cuối.
1Công thức và phương pháp
Xoắn của trục
- Ứng suất tiếp
- τ = T·r/J
- Trục đặc
- J = πd⁴/32
- Trục rỗng
- J = π(D⁴ − d⁴)/32
- Góc xoắn
- φ = TL/(GJ)
- Công suất
- P = T·ω = 2πnT/60
Phương pháp
- Tìm mômen quán tính độc cực: J = πd⁴/32 cho trục đặc.
- Ứng suất tiếp ở bề mặt: τ = T·r/J, với r là bán kính ngoài.
- Góc xoắn: φ = TL/(GJ) theo radian.
- Nếu cho công suất, hãy tìm mômen xoắn trước bằng P = T·ω, ω = 2πn/60.
Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suất
- Tâm
- C = (σx + σy)/2
- Bán kính
- R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
- Ứng suất chính
- σ1,2 = C ± R
- Phương chính
- tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
- Mặt phẳng nghiêng
- σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ
Phương pháp
- Tính tâm của vòng tròn Mohr: C = (σx + σy)/2.
- Tính bán kính: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
- Các ứng suất chính là C ± R và ứng suất tiếp lớn nhất trong mặt phẳng là R.
- Các góc trên vòng tròn gấp đôi các góc trên phần tử: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).
Ứng suất và biến dạng dọc trục
- Ứng suất pháp
- σ = F/A
- Biến dạng
- ε = ΔL/L
- Định luật Hooke
- σ = E·ε
- Độ giãn dài
- ΔL = FL/(EA)
- Biến dạng nhiệt
- εT = α·ΔT
Mất ổn định cột
- Tải Euler
- Pcr = π²EI/(KL)²
- Hệ số chiều dài tính toán
- K = 1 khớp–khớp, 0,5 ngàm–ngàm, 0,7 ngàm–khớp, 2 ngàm–tự do
- Ứng suất tới hạn
- σcr = Pcr/A
- Độ mảnh
- λ = KL/r, r = √(I/A)
Dao động cơ học
- Tần số riêng
- ωn = √(k/m), fn = ωn/(2π)
- Từ độ võng tĩnh
- ωn = √(g/δst)
- Cản tới hạn
- cc = 2√(km) = 2mωn
- Hệ số cản
- ζ = c/cc
- Tần số có cản
- ωd = ωn√(1 − ζ²)
- Giảm lượng logarit
- δ = (1/n)·ln(x0/xn), ζ = δ/√(4π² + δ²)
- Lò xo song song
- k = k1 + k2
- Lò xo nối tiếp
- 1/k = 1/k1 + 1/k2
2Bài tập
1.Bánh răng và hệ bánh răngTrung bình
Một dây đai chạy trên puli dẫn 100 mm ở 1500 vòng/phút. Lực căng là 500 N ở nhánh căng và 125 N ở nhánh chùng. Tìm công suất P truyền đi, theo kW.
d1 = 100 mmn1 = 1500 rpmT1 = 500 NT2 = 125 N
P = kW
2.Bánh răng và hệ bánh răngKhó
Trong một bộ bánh răng hành tinh, bánh răng mặt trời có 12 răng và mỗi bánh răng hành tinh có 20 răng. Cần dẫn hành tinh được giữ cố định và bánh mặt trời được dẫn động ở 600 rpm. Tìm tốc độ nr của vành răng ngoài (độ lớn).
Ns = 12Np = 20ns = 600 rpm
nr = rpm
3.Xoắn của trụcTrung bình
Một trục đặc thép được ngàm vào tường và bị xoắn bởi mômen xoắn T ở đầu tự do. Tìm góc xoắn φ của đầu tự do, theo độ.
T = 100 N·md = 30 mmL = 2,5 mG = 80 GPa
φ = °
4.Xoắn của trụcKhó
Một trục đặc thép truyền 10 kW ở 750 rpm. Ứng suất cắt không được vượt quá 80 MPa và góc xoắn không được vượt quá 0,25° trên mỗi m chiều dài. Tìm đường kính nhỏ nhất d thỏa mãn cả hai giới hạn.
P = 10 kWN = 750 rpmτallow = 80 MPaθallow = 0,25°/mG = 80 GPa
d = mm
5.Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suấtTrung bình
Một điểm có σₓ = 50 MPa và σᵧ = 100 MPa. Ứng suất cắt τxy (độ lớn) có thể lớn đến mức nào trước khi ứng suất chính lớn nhất đạt 155 MPa?
σx = 50 MPaσy = 100 MPaσ1 = 155 MPa
τxy = MPa
6.Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suấtKhó
Một điểm trong chi tiết chịu tải có σₓ = −80 MPa, σᵧ = −60 MPa và τₓᵧ = −40 MPa (kéo là dương). Tìm ứng suất pháp σθ trên một mặt có pháp tuyến xoay 20° ngược chiều kim đồng hồ so với trục x.
σx = −80 MPaσy = −60 MPaτxy = −40 MPaθ = 20°
σθ = MPa
7.Ứng suất và biến dạng dọc trụcTrung bình
Tìm biến dạng dọc trục ε trong thanh đồng thau, tính bằng microstrain (µε = 10⁻⁶).
P = 95 kNd = 16 mmL = 2 mE = 100 GPa
ε = µε
8.Ứng suất và biến dạng dọc trụcKhó
Thanh bậc được ngàm vào tường và chịu tải ở đầu tự do. Tìm ứng suất pháp lớn nhất σmax trong thanh.
P = 75 kNđoạn 1: Ø30 mm, 1 m, đồng (E = 117 GPa)đoạn 2: Ø12 mm, 0,5 m, thép (E = 200 GPa)
σmax = MPa
9.Mất ổn định cộtTrung bình
Một cột dài L làm bằng nhôm được ngàm ở chân và tự do ở đỉnh. Dùng công thức Euler, tìm tải trọng oằn tới hạn Pcr của nó.
L = 2 mE = 70 GPa (nhôm)b × h = 50 × 60 mm
Pcr = kN
10.Mất ổn định cộtKhó
Một cột tròn đặc dài L làm bằng nhôm được ngàm ở chân và tự do ở đỉnh. Nó phải chịu 15 kN với hệ số an toàn 3 chống oằn. Tìm đường kính nhỏ nhất d.
P = 15 kNn = 3L = 1 mE = 70 GPa (nhôm)
d = mm
11.Dao động cơ họcTrung bình
Trong một thí nghiệm dao động tự do của hệ vật–lò xo có cản, một đỉnh độ dời 50 mm được theo sau 4 chu kỳ sau bởi đỉnh 23,5 mm. Tìm hệ số cản ζ.
x0 = 50 mmx4 = 23,5 mmn = 4
ζ =
12.Dao động cơ họcKhó
Một vật 25 kg treo vào hai lò xo nối đầu với đầu (nối tiếp): lò xo trên có k₁ = 20 kN/m và lò xo dưới có k₂ = 5 kN/m. Tìm độ cứng tương đương keq của hệ lò xo theo kN/m.
m = 25 kgk1 = 20 kN/mk2 = 5 kN/m
keq = kN/m
3Dung dịch
1.Bánh răng và hệ bánh răng
Đáp số: P = 2,945 kW
Truyền động đai: khi không trượt, cả hai puli có cùng tốc độ mép v = π·d·n/60, nên n₁·d₁ = n₂·d₂ và tỉ số tốc độ là d₂/d₁. Độ trượt s làm puli bị dẫn chậm hơn một chút: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s). Công suất truyền là P = (T₁ − T₂)·v, với T₁ là lực căng ở nhánh căng và T₂ ở nhánh chùng. Ma sát giới hạn tỉ số các lực căng: T₁/T₂ = eμθ, trong đó θ là góc ôm tính theo radian trên puli nhỏ hơn; với đai hở θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)) với khoảng cách tâm C.
Tốc độ dây đai
v = 7,854 m/s
Công suất
P = (500 − 125)·7,854 = 2945 W = 2,945 kW
Đáp số
P = 2,945 kW
2.Bánh răng và hệ bánh răng
Đáp số: nr = 138,5 rpm
Bộ bánh răng hành tinh: tốc độ của bánh mặt trời, vành răng và cần dẫn liên hệ với nhau bởi phương trình Willis (ns − nc)/(nr − nc) = −Nr/Ns: nhìn từ cần dẫn, bộ truyền là một hệ bánh răng thông thường với các bánh hành tinh là bánh trung gian. Giữ cố định một phần tử biến bộ truyền thành bộ giảm tốc có một tỉ số truyền.
Số răng của vành răng
Nr = Ns + 2·Np = 12 + 2·20 = 52
Phương trình Willis khi cần dẫn cố định
Với nc = 0, bánh mặt trời dẫn động vành răng qua các bánh hành tinh, đóng vai trò bánh trung gian.
nr = −ns·Ns/Nr = −600·12/52 = −138,5 rpm
|nr| = 138,5 rpm
Đáp số
nr = 138,5 rpm
Vành răng quay ngược chiều với bánh mặt trời.
3.Xoắn của trục
Đáp số: φ = 2,252 °
Xoắn thanh tròn: ứng suất tiếp tăng tuyến tính từ không ở tâm đến τmax = T·r/J ở bề mặt, với J = πd⁴/32 cho trục đặc và J = π(do⁴ − di⁴)/32 cho trục rỗng. Góc xoắn là φ = TL/(GJ) tính bằng radian. Công suất và mômen xoắn liên hệ với nhau qua P = T·ω.
Mômen quán tính độc cực của mặt cắt
J = π·30⁴/32 = 79522 mm⁴
Góc xoắn
φ = TL/(GJ) = 100·1000·2500/(80000·79522) = 0,0393 rad
φ = 0,0393·180/π = 2,252°
Đáp số
φ = 2,252°
4.Xoắn của trục
Đáp số: d = 43,9 mm
Xoắn thanh tròn: ứng suất tiếp tăng tuyến tính từ không ở tâm đến τmax = T·r/J ở bề mặt, với J = πd⁴/32 cho trục đặc và J = π(do⁴ − di⁴)/32 cho trục rỗng. Góc xoắn là φ = TL/(GJ) tính bằng radian. Công suất và mômen xoắn liên hệ với nhau qua P = T·ω.
Mômen xoắn
ω = 2πN/60 = 2π·750/60 = 78,54 rad/s
T = P/ω = 10000/78,54 = 127,3 N·m
Đường kính theo điều kiện bền
T = 127,3 N·m = 127324 N·mm
dτ = ∛(16·127324/(π·80)) = 20,09 mm
Đường kính theo điều kiện cứng
θ = 0,25·π/180/1000 = 4,363 × 10⁻⁶ rad/mm
G = 80 GPa = 80000 MPa
dφ = (32·127324/(π·80000·4,363 × 10⁻⁶))1/4 = 43,9 mm
Đường kính quyết định
Cả hai giới hạn đều phải thỏa, nên đường kính lớn hơn quyết định.
d = max(20,09, 43,9) = 43,9 mm
Đáp số
d = 43,9 mm
Ở đây điều kiện cứng quyết định.
5.Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suất
Đáp số: τxy = 75,99 MPa
Biến đổi ứng suất phẳng: trên một mặt xoay góc θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Vòng tròn Mohr cho thấy tất cả các mặt cùng lúc: tâm của nó ở C = (σₓ + σᵧ)/2 và bán kính là R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Các ứng suất chính là C ± R, và ứng suất tiếp lớn nhất trong mặt phẳng là R.
Bán kính cần thiết
C = (50 + 100)/2 = 75 MPa
R = σ1 − C = 155 − 75 = 80 MPa
Ứng suất tiếp
τxy = √(R² − ((σₓ − σᵧ)/2)²) = √(80² − 25²) = 75,99 MPa
Đáp số
τxy = 75,99 MPa
6.Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suất
Đáp số: σθ = −103,4 MPa
Biến đổi ứng suất phẳng: trên một mặt xoay góc θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Vòng tròn Mohr cho thấy tất cả các mặt cùng lúc: tâm của nó ở C = (σₓ + σᵧ)/2 và bán kính là R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Các ứng suất chính là C ± R, và ứng suất tiếp lớn nhất trong mặt phẳng là R.
Phương trình biến đổi
σθ = −70 + −10·0,766 + −40·0,6428 = −103,4 MPa
Đáp số
σθ = −103,4 MPa
7.Ứng suất và biến dạng dọc trục
Đáp số: ε = 4725 µε
Định luật Hooke: trong giới hạn đàn hồi σ = E·ε. Kết hợp với σ = P/A và ε = δ/L ta được δ = PL/(AE).
Ứng suất
A = π·16²/4 = 201,1 mm²
σ = P/A = 95·1000/201,1 = 472,5 MPa
Biến dạng (định luật Hooke)
E for đồng thau = 100 GPa = 100000 MPa.
ε = σ/E = 472,5/100000 = 0,004725 = 4725 µε
Đáp số
ε = 4725 µε
8.Ứng suất và biến dạng dọc trục
Đáp số: σmax = 663,1 MPa
Cấu kiện chịu tải dọc trục: mỗi đoạn lăng trụ tuân theo δ = PL/(AE). Với các cấu kiện nối tiếp, độ giãn dài cộng lại.
Cùng một lực trong cả hai đoạn
Đầu tự do chịu lực P, nên mọi mặt cắt của thanh đều chịu cùng một lực dọc trục P. Chỉ có diện tích và vật liệu thay đổi.
A1 = π·30²/4 = 706,9 mm², A2 = π·12²/4 = 113,1 mm²
σ1 = 106,1 MPa
σ2 = 663,1 MPa
Ứng suất lớn nhất
Đoạn mảnh hơn có diện tích nhỏ hơn, nên chịu ứng suất lớn hơn.
σmax = 663,1 MPa
Đáp số
σmax = 663,1 MPa
9.Mất ổn định cột
Đáp số: Pcr = 26,99 kN
Mất ổn định Euler: một cột mảnh mất ổn định tại Pcr = π²EI/(KL)², trong đó KL là chiều dài tính toán: K = 1 cho khớp–khớp, 2 cho ngàm–tự do, 0,7 cho ngàm–khớp và 0,5 cho ngàm–ngàm. Cột oằn quanh trục có I nhỏ nhất. Công thức đúng với cột mảnh, có ứng suất tới hạn thấp hơn ứng suất chảy.
Mômen quán tính nhỏ nhất của mặt cắt
Hình chữ nhật oằn quanh trục yếu, dùng kích thước nhỏ hơn lập phương.
Imin = h·b³/12 = 60·50³/12 = 625000 mm⁴
Chiều dài tính toán
KL = 2·2000 = 4000 mm
Tải trọng tới hạn
Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·625000/4000² = 26987 N = 26,99 kN
Đáp số
Pcr = 26,99 kN
10.Mất ổn định cột
Đáp số: d = 48 mm
Mất ổn định Euler: một cột mảnh mất ổn định tại Pcr = π²EI/(KL)², trong đó KL là chiều dài tính toán: K = 1 cho khớp–khớp, 2 cho ngàm–tự do, 0,7 cho ngàm–khớp và 0,5 cho ngàm–ngàm. Cột oằn quanh trục có I nhỏ nhất. Công thức đúng với cột mảnh, có ứng suất tới hạn thấp hơn ứng suất chảy.
Tải trọng tới hạn yêu cầu
Pcr = n·P = 3·15000 = 45000 N
KL = 2·1000 = 2000 mm
Giải tìm đường kính
d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·45000·2000²/(π³·70000))^(1/4) = 48 mm
Đáp số
d = 48 mm
Kiểm tra: độ mảnh KL/r là 166,7, nên cột là mảnh và công thức Euler áp dụng được.
11.Dao động cơ học
Đáp số: ζ = 0,03003
Dao động tự do của hệ vật–lò xo: tần số riêng không cản là ωn = √(k/m) theo rad/s, và fn = ωn/(2π) theo Hz. Một bộ cản nhớt c cho hệ số cản ζ = c/cc, với cản tới hạn cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn. Hệ cản dưới tới hạn (ζ < 1) dao động ở ωd = ωn·√(1 − ζ²). Các lò xo song song cộng lại, k = k₁ + k₂; các lò xo nối tiếp cộng theo nghịch đảo, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.
Giảm lượng logarit
δ = (1/4)·ln(50/23,5) = 0,1888
Hệ số cản
ζ = δ/√(4π² + δ²) = 0,1888/√(39,48 + 0,03563) = 0,03003
Đáp số
ζ = 0,03003
12.Dao động cơ học
Đáp số: keq = 4 kN/m
Dao động tự do của hệ vật–lò xo: tần số riêng không cản là ωn = √(k/m) theo rad/s, và fn = ωn/(2π) theo Hz. Một bộ cản nhớt c cho hệ số cản ζ = c/cc, với cản tới hạn cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn. Hệ cản dưới tới hạn (ζ < 1) dao động ở ωd = ωn·√(1 − ζ²). Các lò xo song song cộng lại, k = k₁ + k₂; các lò xo nối tiếp cộng theo nghịch đảo, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.
Độ cứng tương đương
Các lò xo nối tiếp chịu cùng một lực và cộng độ võng, nên chúng gộp theo nghịch đảo: 1/k = 1/k1 + 1/k2.
1/keq = 1/20 + 1/5 → keq = 20·5/(20 + 5) = 4 kN/m
Đáp số
keq = 4 kN/m
ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design