Bánh răng và hệ bánh răng
- Bánh răng ăn khớp
- n1·N1 = n2·N2
- Mômen xoắn
- T2 = T1·(N2/N1)·η
- Công suất
- P = T·ω, ω = 2π·n/60
- Hệ bánh răng ghép
- tỉ số truyền tổng = tích các tỉ số truyền từng cấp
Thiết kế máy: gói ôn nước rút
Bảng công thức, các bước phương pháp chính cho từng chủ đề và 12 bài tập, kèm lời giải đầy đủ ở cuối.
1Công thức và phương pháp
Xoắn của trục
- Ứng suất tiếp
- τ = T·r/J
- Trục đặc
- J = πd⁴/32
- Trục rỗng
- J = π(D⁴ − d⁴)/32
- Góc xoắn
- φ = TL/(GJ)
- Công suất
- P = T·ω = 2πnT/60
Phương pháp
- Tìm mômen quán tính độc cực: J = πd⁴/32 cho trục đặc.
- Ứng suất tiếp ở bề mặt: τ = T·r/J, với r là bán kính ngoài.
- Góc xoắn: φ = TL/(GJ) theo radian.
- Nếu cho công suất, hãy tìm mômen xoắn trước bằng P = T·ω, ω = 2πn/60.
Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suất
- Tâm
- C = (σx + σy)/2
- Bán kính
- R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
- Ứng suất chính
- σ1,2 = C ± R
- Phương chính
- tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
- Mặt phẳng nghiêng
- σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ
Phương pháp
- Tính tâm của vòng tròn Mohr: C = (σx + σy)/2.
- Tính bán kính: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
- Các ứng suất chính là C ± R và ứng suất tiếp lớn nhất trong mặt phẳng là R.
- Các góc trên vòng tròn gấp đôi các góc trên phần tử: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).
Ứng suất và biến dạng dọc trục
- Ứng suất pháp
- σ = F/A
- Biến dạng
- ε = ΔL/L
- Định luật Hooke
- σ = E·ε
- Độ giãn dài
- ΔL = FL/(EA)
- Biến dạng nhiệt
- εT = α·ΔT
Mất ổn định cột
- Tải Euler
- Pcr = π²EI/(KL)²
- Hệ số chiều dài tính toán
- K = 1 khớp–khớp, 0,5 ngàm–ngàm, 0,7 ngàm–khớp, 2 ngàm–tự do
- Ứng suất tới hạn
- σcr = Pcr/A
- Độ mảnh
- λ = KL/r, r = √(I/A)
Dao động cơ học
- Tần số riêng
- ωn = √(k/m), fn = ωn/(2π)
- Từ độ võng tĩnh
- ωn = √(g/δst)
- Cản tới hạn
- cc = 2√(km) = 2mωn
- Hệ số cản
- ζ = c/cc
- Tần số có cản
- ωd = ωn√(1 − ζ²)
- Giảm lượng logarit
- δ = (1/n)·ln(x0/xn), ζ = δ/√(4π² + δ²)
- Lò xo song song
- k = k1 + k2
- Lò xo nối tiếp
- 1/k = 1/k1 + 1/k2
2Bài tập
1.Bánh răng và hệ bánh răngTrung bình
Một dây đai chạy trên puli dẫn 80 mm ở 1440 vòng/phút. Lực căng là 1000 N ở nhánh căng và 200 N ở nhánh chùng. Tìm công suất P truyền đi, theo kW.
d1 = 80 mmn1 = 1440 rpmT1 = 1000 NT2 = 200 N
P = kW
2.Bánh răng và hệ bánh răngKhó
Trong một hệ bánh răng ghép, bánh răng A (16 răng) trên trục vào quay 1450 rpm dẫn động bánh răng B (20 răng). Bánh răng C (30 răng) được cố định trên cùng trục với B và dẫn động bánh răng D (40 răng) trên trục ra. Tìm tốc độ ra nout.
nin = 1450 rpmA = 16B = 20C = 30D = 40
nout = rpm
3.Xoắn của trụcTrung bình
Một trục đặc thép được ngàm vào tường và bị xoắn bởi mômen xoắn T ở đầu tự do. Tìm góc xoắn φ của đầu tự do, theo độ.
T = 500 N·md = 50 mmL = 1 mG = 80 GPa
φ = °
4.Xoắn của trụcKhó
Một trục đặc nhôm đường kính 50 mm được ngàm tại A. Một mô-men xoắn 750 N·m tác dụng tại B, cách A 1,5 m, và một mô-men xoắn 500 N·m ngược chiều tác dụng tại đầu tự do C, cách thêm 1,2 m. Tìm độ lớn của góc xoắn φC của đầu C, theo độ.
d = 50 mmTB = 750 N·mTC = 500 N·mAB = 1,5 mBC = 1,2 mG = 26 GPa
φC = °
5.Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suấtTrung bình
Một điểm trong chi tiết chịu tải có σₓ = −10 MPa, σᵧ = −50 MPa và τₓᵧ = 30 MPa (kéo là dương). Tìm ứng suất tiếp lớn nhất trong mặt phẳng τmax.
σx = −10 MPaσy = −50 MPaτxy = 30 MPa
τmax = MPa
6.Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suấtKhó
Một bể hình trụ thành mỏng có đường kính trong 1500 mm và chiều dày thành 10 mm chứa khí ở áp suất dư 2,5 MPa. Nó được làm từ tấm thép hàn theo một đường hàn xoắn ốc nghiêng 60° so với trục của hình trụ. Tìm ứng suất pháp σn tác dụng vuông góc với đường hàn.
D = 1500 mmt = 10 mmp = 2,5 MPaα = 60°
σn = MPa
7.Ứng suất và biến dạng dọc trụcTrung bình
Tìm biến dạng dọc trục ε trong thanh nhôm, tính bằng microstrain (µε = 10⁻⁶).
P = 100 kNd = 12 mmL = 3 mE = 70 GPa
ε = µε
8.Ứng suất và biến dạng dọc trụcKhó
Một thanh thép (đường kính 20 mm, E = 200 GPa, ứng suất cho phép 160 MPa) nằm trong một ống làm bằng đồng (đường kính ngoài 120 mm, đường kính trong 60 mm, E = 120 GPa, ứng suất cho phép 70 MPa). Chúng bị nén cùng nhau giữa các tấm cứng. Tìm tải lớn nhất Pmax.
thanh: Ø20 mm, E = 200 GPa, σallow = 160 MPaống: Ø120/Ø60 mm, E = 120 GPa, σallow = 70 MPa
Pmax = kN
9.Mất ổn định cộtTrung bình
Một cột dài L làm bằng thép được hai đầu khớp. Dùng công thức Euler, tìm tải trọng oằn tới hạn Pcr của nó.
L = 2,5 mE = 200 GPa (thép)d = 40 mm
Pcr = kN
10.Mất ổn định cộtKhó
Một cột tròn đặc dài L làm bằng nhôm được hai đầu khớp. Nó phải chịu 70 kN với hệ số an toàn 2 chống oằn. Tìm đường kính nhỏ nhất d.
P = 70 kNn = 2L = 2,5 mE = 70 GPa (nhôm)
d = mm
11.Dao động cơ họcTrung bình
Trong một thí nghiệm dao động tự do của hệ vật–lò xo có cản, một đỉnh độ dời 40 mm được theo sau 4 chu kỳ sau bởi đỉnh 3,2 mm. Tìm hệ số cản ζ.
x0 = 40 mmx4 = 3,2 mmn = 4
ζ =
12.Dao động cơ họcKhó
Một vật 50 kg treo vào hai lò xo đặt cạnh nhau (song song), có độ cứng k₁ = 15 kN/m và k₂ = 40 kN/m. Vật giữ nằm ngang. Bỏ qua cản và khối lượng của các lò xo. Tìm tần số riêng fn của dao động thẳng đứng theo Hz.
m = 50 kgk1 = 15 kN/mk2 = 40 kN/m
fn = Hz
3Dung dịch
1.Bánh răng và hệ bánh răng
Đáp số: P = 4,825 kW
Truyền động đai: khi không trượt, cả hai puli có cùng tốc độ mép v = π·d·n/60, nên n₁·d₁ = n₂·d₂ và tỉ số tốc độ là d₂/d₁. Độ trượt s làm puli bị dẫn chậm hơn một chút: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s). Công suất truyền là P = (T₁ − T₂)·v, với T₁ là lực căng ở nhánh căng và T₂ ở nhánh chùng. Ma sát giới hạn tỉ số các lực căng: T₁/T₂ = eμθ, trong đó θ là góc ôm tính theo radian trên puli nhỏ hơn; với đai hở θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)) với khoảng cách tâm C.
Tốc độ dây đai
v = 6,032 m/s
Công suất
P = (1000 − 200)·6,032 = 4825 W = 4,825 kW
Đáp số
P = 4,825 kW
2.Bánh răng và hệ bánh răng
Đáp số: nout = 870 rpm
Hệ bánh răng: các bánh răng ăn khớp có cùng tốc độ tại răng, nên n₁·N₁ = n₂·N₂: bánh răng có ít răng hơn quay nhanh hơn. Các bánh răng trên cùng một trục quay cùng tốc độ. Công suất được truyền đi (trừ tổn thất), nên mômen xoắn tăng khi tốc độ giảm: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, và P = T·ω với ω = 2π·n/60.
Cấp thứ nhất
nB = 1450·16/20 = 1160 rpm = nC
Cấp thứ hai
nout = 1160·30/40 = 870 rpm
Đáp số
nout = 870 rpm
tỉ số truyền tổng = 1,667 : 1
3.Xoắn của trục
Đáp số: φ = 0,5836 °
Xoắn thanh tròn: ứng suất tiếp tăng tuyến tính từ không ở tâm đến τmax = T·r/J ở bề mặt, với J = πd⁴/32 cho trục đặc và J = π(do⁴ − di⁴)/32 cho trục rỗng. Góc xoắn là φ = TL/(GJ) tính bằng radian. Công suất và mômen xoắn liên hệ với nhau qua P = T·ω.
Mômen quán tính độc cực của mặt cắt
J = π·50⁴/32 = 613592 mm⁴
Góc xoắn
φ = TL/(GJ) = 500·1000·1000/(80000·613592) = 0,01019 rad
φ = 0,01019·180/π = 0,5836°
Đáp số
φ = 0,5836°
4.Xoắn của trục
Đáp số: φC = 0,8081 °
Xoắn thanh tròn: ứng suất tiếp tăng tuyến tính từ không ở tâm đến τmax = T·r/J ở bề mặt, với J = πd⁴/32 cho trục đặc và J = π(do⁴ − di⁴)/32 cho trục rỗng. Góc xoắn là φ = TL/(GJ) tính bằng radian. Công suất và mômen xoắn liên hệ với nhau qua P = T·ω.
Các mô-men xoắn nội lực
Chiều của TC được lấy là dương.
TBC = TC = 500 N·m
TAB = TC − TB = 500 − 750 = −250 N·m
Góc xoắn của từng đoạn
J = π·50⁴/32 = 613592 mm⁴
G = 26 GPa = 26000 MPa
φAB = −250000·1500/(26000·613592) = −0,02351 rad
φBC = 500000·1200/(26000·613592) = 0,03761 rad
Góc xoắn của đầu C
φC = −0,02351 + 0,03761 = 0,0141 rad → |φC| = 0,8081°
Đáp số
φC = 0,8081°
5.Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suất
Đáp số: τmax = 36,06 MPa
Biến đổi ứng suất phẳng: trên một mặt xoay góc θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Vòng tròn Mohr cho thấy tất cả các mặt cùng lúc: tâm của nó ở C = (σₓ + σᵧ)/2 và bán kính là R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Các ứng suất chính là C ± R, và ứng suất tiếp lớn nhất trong mặt phẳng là R.
Bán kính vòng tròn Mohr
τmax = R = √(((−10 − −50)/2)² + 30²) = 36,06 MPa
Đáp số
τmax = 36,06 MPa
6.Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suất
Đáp số: σn = 117,2 MPa
Biến đổi ứng suất phẳng: trên một mặt xoay góc θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Vòng tròn Mohr cho thấy tất cả các mặt cùng lúc: tâm của nó ở C = (σₓ + σᵧ)/2 và bán kính là R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Các ứng suất chính là C ± R, và ứng suất tiếp lớn nhất trong mặt phẳng là R. Hình trụ thành mỏng: ứng suất vòng σh = pr/t và ứng suất dọc trục σa = pr/(2t); đó là các ứng suất chính trong thành.
Các ứng suất trong thành
r = 1500/2 = 750 mm
σh = pr/t = 2,5·750/10 = 187,5 MPa
σa = pr/(2t) = 93,75 MPa
Biến đổi sang đường hàn
Lấy x dọc theo trục (σa) và y theo chiều vòng (σh). Pháp tuyến của đường hàn tạo góc 90° − α với trục.
σn = 93,75·sin²60° + 187,5·cos²60° = 117,2 MPa
Đáp số
σn = 117,2 MPa
7.Ứng suất và biến dạng dọc trục
Đáp số: ε = 12631 µε
Định luật Hooke: trong giới hạn đàn hồi σ = E·ε. Kết hợp với σ = P/A và ε = δ/L ta được δ = PL/(AE).
Ứng suất
A = π·12²/4 = 113,1 mm²
σ = P/A = 100·1000/113,1 = 884,2 MPa
Biến dạng (định luật Hooke)
E for nhôm = 70 GPa = 70000 MPa.
ε = σ/E = 884,2/70000 = 0,01263 = 12631 µε
Đáp số
ε = 12631 µε
8.Ứng suất và biến dạng dọc trục
Đáp số: Pmax = 630,4 kN
Hai vật liệu: khi nối tiếp (cái này sau cái kia) mỗi đoạn chịu cùng một lực và các độ giãn dài cộng lại: δ = P·Σ L/(E·A). Khi song song (cạnh nhau giữa các tấm cứng) cả hai phần co lại cùng một lượng, nên biến dạng của chúng bằng nhau: phần cứng hơn nhận phần tải lớn hơn, Pi = P·EiAi/ΣEA, và σi = Ei·ε. Một thanh bị giữ giữa hai vách cứng với tải đặt tại chỗ nối là siêu tĩnh: hai đoạn chia tải theo tỉ lệ độ cứng k = EA/L của chúng.
Diện tích
Ar = π·20²/4 = 314,2 mm²
At = π(120² − 60²)/4 = 8482 mm²
Độ cứng dọc trục kết hợp
ΣEA = 200·10³·314,2 + 120·10³·8482 = 1,081 × 10⁹ N
Biến dạng quyết định
ε = min(0,0008, 0,0005833) = 0,0005833 (đồng)
Tải lớn nhất
Pmax = 0,0005833·1,081 × 10⁹ = 630413 N = 630,4 kN
Đáp số
Pmax = 630,4 kN
9.Mất ổn định cột
Đáp số: Pcr = 39,69 kN
Mất ổn định Euler: một cột mảnh mất ổn định tại Pcr = π²EI/(KL)², trong đó KL là chiều dài tính toán: K = 1 cho khớp–khớp, 2 cho ngàm–tự do, 0,7 cho ngàm–khớp và 0,5 cho ngàm–ngàm. Cột oằn quanh trục có I nhỏ nhất. Công thức đúng với cột mảnh, có ứng suất tới hạn thấp hơn ứng suất chảy.
Mômen quán tính nhỏ nhất của mặt cắt
Mặt cắt tròn có cùng I đối với mọi trục.
I = πd⁴/64 = π·40⁴/64 = 125664 mm⁴
Chiều dài tính toán
KL = 1·2500 = 2500 mm
Tải trọng tới hạn
Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·125664/2500² = 39688 N = 39,69 kN
Đáp số
Pcr = 39,69 kN
10.Mất ổn định cột
Đáp số: d = 71,27 mm
Mất ổn định Euler: một cột mảnh mất ổn định tại Pcr = π²EI/(KL)², trong đó KL là chiều dài tính toán: K = 1 cho khớp–khớp, 2 cho ngàm–tự do, 0,7 cho ngàm–khớp và 0,5 cho ngàm–ngàm. Cột oằn quanh trục có I nhỏ nhất. Công thức đúng với cột mảnh, có ứng suất tới hạn thấp hơn ứng suất chảy.
Tải trọng tới hạn yêu cầu
Pcr = n·P = 2·70000 = 140000 N
KL = 1·2500 = 2500 mm
Giải tìm đường kính
d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·140000·2500²/(π³·70000))^(1/4) = 71,27 mm
Đáp số
d = 71,27 mm
Kiểm tra: độ mảnh KL/r là 140,3, nên cột là mảnh và công thức Euler áp dụng được.
11.Dao động cơ học
Đáp số: ζ = 0,09999
Dao động tự do của hệ vật–lò xo: tần số riêng không cản là ωn = √(k/m) theo rad/s, và fn = ωn/(2π) theo Hz. Một bộ cản nhớt c cho hệ số cản ζ = c/cc, với cản tới hạn cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn. Hệ cản dưới tới hạn (ζ < 1) dao động ở ωd = ωn·√(1 − ζ²). Các lò xo song song cộng lại, k = k₁ + k₂; các lò xo nối tiếp cộng theo nghịch đảo, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.
Giảm lượng logarit
δ = (1/4)·ln(40/3,2) = 0,6314
Hệ số cản
ζ = δ/√(4π² + δ²) = 0,6314/√(39,48 + 0,3987) = 0,09999
Đáp số
ζ = 0,09999
12.Dao động cơ học
Đáp số: fn = 5,279 Hz
Dao động tự do của hệ vật–lò xo: tần số riêng không cản là ωn = √(k/m) theo rad/s, và fn = ωn/(2π) theo Hz. Một bộ cản nhớt c cho hệ số cản ζ = c/cc, với cản tới hạn cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn. Hệ cản dưới tới hạn (ζ < 1) dao động ở ωd = ωn·√(1 − ζ²). Các lò xo song song cộng lại, k = k₁ + k₂; các lò xo nối tiếp cộng theo nghịch đảo, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.
Độ cứng tương đương
Các lò xo đặt cạnh nhau có chung độ võng và cộng các lực, nên độ cứng đơn giản cộng lại: k = k1 + k2.
keq = 15 + 40 = 55 kN/m
Tần số riêng
ωn = √(55000/50) = 33,17 rad/s
fn = 33,17/(2π) = 5,279 Hz
Đáp số
fn = 5,279 Hz
ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design