Sức bền vật liệu: gói ôn nước rút

Bảng công thức, các bước phương pháp chính cho từng chủ đề và 14 bài tập, kèm lời giải đầy đủ ở cuối.

Bài mớiQuay lại môn học

Trong cửa sổ in, hãy chọn “Lưu dưới dạng PDF” để giữ một bản trên thiết bị của bạn.

1Công thức và phương pháp

Ứng suất và biến dạng dọc trục

Ứng suất pháp
σ = F/A
Biến dạng
ε = ΔL/L
Định luật Hooke
σ = E·ε
Độ giãn dài
ΔL = FL/(EA)
Biến dạng nhiệt
εT = α·ΔT

Xoắn của trục

Ứng suất tiếp
τ = T·r/J
Trục đặc
J = πd⁴/32
Trục rỗng
J = π(D⁴ − d⁴)/32
Góc xoắn
φ = TL/(GJ)
Công suất
P = T·ω = 2πnT/60

Phương pháp

  1. Tìm mômen quán tính độc cực: J = πd⁴/32 cho trục đặc.
  2. Ứng suất tiếp ở bề mặt: τ = T·r/J, với r là bán kính ngoài.
  3. Góc xoắn: φ = TL/(GJ) theo radian.
  4. Nếu cho công suất, hãy tìm mômen xoắn trước bằng P = T·ω, ω = 2πn/60.

Lực cắt và mômen uốn

Lực cắt và mômen
V = ΣF ở một phía, M = ΣF·d ở một phía
Ứng suất uốn
σ = M·y/I
Hình chữ nhật
I = bh³/12
Mômen chống uốn của mặt cắt
W = I/ymax
Dầm đơn giản, tải phân bố đều
Mmax = wL²/8

Phương pháp

  1. Tìm phản lực gối từ cân bằng của cả dầm.
  2. Cắt dầm tại mặt cắt bạn cần và giữ lại một phía.
  3. Lực cắt: tổng các lực thẳng đứng ở phía đó. Mômen uốn: tổng mômen của chúng quanh mặt cắt.
  4. Để tìm mômen lớn nhất, hãy tìm nơi lực cắt bằng không.

Trọng tâm và mômen quán tính mặt cắt

Trọng tâm
ȳ = ΣAiyi/ΣAi
Hình chữ nhật
I = bh³/12
Định lý trục song song
I = Ic + A·d²
Mặt cắt ghép
I = Σ(Ic,i + Aidi²)

Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suất

Tâm
C = (σx + σy)/2
Bán kính
R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
Ứng suất chính
σ1,2 = C ± R
Phương chính
tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
Mặt phẳng nghiêng
σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ

Phương pháp

  1. Tính tâm của vòng tròn Mohr: C = (σx + σy)/2.
  2. Tính bán kính: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
  3. Các ứng suất chính là C ± R và ứng suất tiếp lớn nhất trong mặt phẳng là R.
  4. Các góc trên vòng tròn gấp đôi các góc trên phần tử: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Độ võng của dầm

Tải tập trung ở giữa nhịp
δ = PL³/(48EI)
Tải phân bố đều, dầm đơn giản
δ = 5wL⁴/(384EI)
Công xôn, tải ở đầu
δ = PL³/(3EI)
Công xôn, tải phân bố đều
δ = wL⁴/(8EI)
Nguyên lý xếp chồng
δ = δ1 + δ2

Mất ổn định cột

Tải Euler
Pcr = π²EI/(KL)²
Hệ số chiều dài tính toán
K = 1 khớp–khớp, 0,5 ngàm–ngàm, 0,7 ngàm–khớp, 2 ngàm–tự do
Ứng suất tới hạn
σcr = Pcr/A
Độ mảnh
λ = KL/r, r = √(I/A)

2Bài tập

1.Ứng suất và biến dạng dọc trụcTrung bình
Ø 10 mmNhôm2 mP = 110 kN

Tìm biến dạng dọc trục ε trong thanh nhôm, tính bằng microstrain (µε = 10⁻⁶).

P = 110 kNd = 10 mmL = 2 mE = 70 GPa
ε = µε
2.Ứng suất và biến dạng dọc trụcKhó
Ø 40 mmĐồng0,5 mØ 12 mmĐồng thau0,5 mP = 65 kN

Thanh bậc được ngàm vào tường và chịu tải ở đầu tự do. Tìm ứng suất pháp lớn nhất σmax trong thanh.

P = 65 kNđoạn 1: Ø40 mm, 0,5 m, đồng (E = 117 GPa)đoạn 2: Ø12 mm, 0,5 m, đồng thau (E = 100 GPa)
σmax = MPa
3.Xoắn của trụcTrung bình
T = 500 N·md = 25 mmL = 0,5 mφ = ?

Một trục đặc đồng thau được ngàm vào tường và bị xoắn bởi mômen xoắn T ở đầu tự do. Tìm góc xoắn φ của đầu tự do, theo độ.

T = 500 N·md = 25 mmL = 0,5 mG = 39 GPa
φ = °
4.Xoắn của trụcKhó
Td = ?

Một trục đặc phải truyền 20 kW ở 500 rpm mà ứng suất tiếp không vượt quá 40 MPa. Tìm đường kính nhỏ nhất d thỏa mãn.

P = 20 kWN = 500 rpmτallow = 40 MPa
d = mm
5.Lực cắt và mômen uốnTrung bình
8 kN/m40 kNABCDEFG2 m2 m2 m2 m2 m2 m

Các điểm đánh dấu từ A đến G chia dầm thành sáu phần bằng nhau. Tại điểm nào mômen uốn có độ lớn lớn nhất, dù võng hay vồng? Nhấp vào nó trong sơ đồ.

40 kN @ 8 m8 kN/m, 4–10 m
  1. 1A (x = 0 m)
  2. 2B (x = 2 m)
  3. 3C (x = 4 m)
  4. 4D (x = 6 m)
  5. 5E (x = 8 m)
  6. 6F (x = 10 m)
  7. 7G (x = 12 m)
6.Lực cắt và mômen uốnKhó
w = 2 kN/mP = 10 kNAB7 m3 m

Dầm đơn giản chịu tải phân bố đều w trên toàn bộ nhịp và một lực tập trung P. Tìm mô-men uốn lớn nhất Mmax trong dầm.

L = 10 mP = 10 kN tại 7 mw = 2 kN/m từ 0 đến 10 m
Mmax = kN·m
7.Trọng tâm và mômen quán tính mặt cắtTrung bình
B = 200H = 350t = 18xkích thước tính bằng mm

Một tiết diện hộp chữ nhật rỗng có chiều rộng ngoài B = 200 mm, chiều cao ngoài H = 350 mm và chiều dày thành đều t = 18 mm. Tìm bán kính quán tính r của nó đối với trục nằm ngang qua trọng tâm.

B = 200 mmH = 350 mmt = 18 mm
r = mm
8.Trọng tâm và mômen quán tính mặt cắtKhó
120102208xM = 40 kN·mkích thước tính bằng mm

Mặt cắt chữ T được dùng làm dầm với cánh ở trên và chịu mômen uốn làm võng xuống 40 kN·m. Tìm ứng suất uốn σdưới ở mép dưới.

bf = 120 mmtf = 10 mmtw = 8 mmhw = 220 mmM = 40 kN·m
σdưới = MPa
9.Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suấtTrung bình
σx​ = 150σy​ = 90τxy​ = −60MPa

Một điểm trong chi tiết chịu tải có σₓ = 150 MPa, σᵧ = 90 MPa và τₓᵧ = −60 MPa (kéo là dương). Tìm góc θp từ trục x đến phương của ứng suất chính lớn nhất, trong khoảng −90° đến 90°.

σx = 150 MPaσy = 90 MPaτxy = −60 MPa
θp = °
10.Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suấtKhó
σx​ = 110σy​ = 20τxy​ = 40MPa

Một điểm trong một tấm mỏng ở trạng thái ứng suất phẳng: σₓ = 110 MPa, σᵧ = 20 MPa và τₓᵧ = 40 MPa (σz = 0). Tìm ứng suất tương đương von Mises σvM.

σx = 110 MPaσy = 20 MPaτxy = 40 MPa
σvM = MPa
11.Độ võng của dầmTrung bình
P = 22 kNABδ0,5 m2,5 m

Một dầm công-xôn dài L ngàm tại A và chịu lực tập trung P tại vị trí cách A một đoạn a = 0,5 m. Tìm độ võng δB tại đầu tự do B.

P = 22 kNa = 0,5 mL = 3 mE = 200 GPa (thép)I = 36 × 10⁶ mm⁴
δB = mm
12.Độ võng của dầmKhó
w = 20 kN/mP = 20 kNδL = 1,5 m

Một dầm đơn giản chịu tải phân bố đều w và một tải tập trung P ở giữa nhịp. Dùng nguyên lý xếp chồng, tìm độ võng giữa nhịp δmax.

P = 20 kNw = 20 kN/mL = 1,5 mE = 11 GPa (gỗ xẻ)I = 160 × 10⁶ mm⁴
δmax = mm
13.Mất ổn định cộtTrung bình
PL = 2 md = 80 mmmặt cắt ngang

Một cột dài L làm bằng thép được ngàm ở chân và tự do ở đỉnh. Dùng công thức Euler, tìm tải trọng oằn tới hạn Pcr của nó.

L = 2 mE = 200 GPa (thép)d = 80 mm
Pcr = kN
14.Mất ổn định cộtKhó
PL = 3 md = 30 mmmặt cắt ngang

Một cột dài L làm bằng thép được ngàm cả hai đầu. Tìm độ mảnh của nó và ứng suất oằn tới hạn σcr theo công thức Euler.

L = 3 mE = 200 GPa (thép)d = 30 mm
σcr = MPa

3Dung dịch

1.Ứng suất và biến dạng dọc trục

Đáp số: ε = 20008 µε

Định luật Hooke: trong giới hạn đàn hồi σ = E·ε. Kết hợp với σ = P/A và ε = δ/L ta được δ = PL/(AE).

Ứng suất

A = π·10²/4 = 78,54 mm²
σ = P/A = 110·1000/78,54 = 1401 MPa

Biến dạng (định luật Hooke)

E for nhôm = 70 GPa = 70000 MPa.

ε = σ/E = 1401/70000 = 0,02001 = 20008 µε

Đáp số

ε = 20008 µε
2.Ứng suất và biến dạng dọc trục

Đáp số: σmax = 574,7 MPa

Cấu kiện chịu tải dọc trục: mỗi đoạn lăng trụ tuân theo δ = PL/(AE). Với các cấu kiện nối tiếp, độ giãn dài cộng lại.

Cùng một lực trong cả hai đoạn

Đầu tự do chịu lực P, nên mọi mặt cắt của thanh đều chịu cùng một lực dọc trục P. Chỉ có diện tích và vật liệu thay đổi.

A1 = π·40²/4 = 1257 mm², A2 = π·12²/4 = 113,1 mm²
σ1 = 51,73 MPa
σ2 = 574,7 MPa

Ứng suất lớn nhất

Đoạn mảnh hơn có diện tích nhỏ hơn, nên chịu ứng suất lớn hơn.

σmax = 574,7 MPa

Đáp số

σmax = 574,7 MPa
3.Xoắn của trục

Đáp số: φ = 9,577 °

Xoắn thanh tròn: ứng suất tiếp tăng tuyến tính từ không ở tâm đến τmax = T·r/J ở bề mặt, với J = πd⁴/32 cho trục đặc và J = π(do⁴ − di⁴)/32 cho trục rỗng. Góc xoắn là φ = TL/(GJ) tính bằng radian. Công suất và mômen xoắn liên hệ với nhau qua P = T·ω.

Mômen quán tính độc cực của mặt cắt

J = π·25⁴/32 = 38350 mm⁴

Góc xoắn

φ = TL/(GJ) = 500·1000·500/(39000·38350) = 0,1672 rad
φ = 0,1672·180/π = 9,577°

Đáp số

φ = 9,577°
4.Xoắn của trục

Đáp số: d = 36,5 mm

Xoắn thanh tròn: ứng suất tiếp tăng tuyến tính từ không ở tâm đến τmax = T·r/J ở bề mặt, với J = πd⁴/32 cho trục đặc và J = π(do⁴ − di⁴)/32 cho trục rỗng. Góc xoắn là φ = TL/(GJ) tính bằng radian. Công suất và mômen xoắn liên hệ với nhau qua P = T·ω.

Mômen xoắn

ω = 2πN/60 = 2π·500/60 = 52,36 rad/s
T = P/ω = 20000/52,36 = 382 N·m

Đường kính từ ứng suất cho phép

d = ∛(16T/(π·τallow)) = ∛(16·381972/(π·40)) = 36,5 mm

Đáp số

d = 36,5 mm

Trong thực tế bạn sẽ làm tròn lên kích thước tiêu chuẩn kế tiếp.

5.Lực cắt và mômen uốn

Đáp số: E (x = 8 m)

Mômen uốn lớn nhất: M đổi độ dốc ở bất cứ chỗ nào lực cắt thay đổi, nên các đỉnh của nó nằm nơi lực cắt đi qua không: dưới một tải tập trung, bên trong một tải phân bố, hoặc trên một gối của phần công-xon. Tại ngàm của dầm công-xon, mômen lớn nhất ở chân tường. So sánh độ lớn của M tại những chỗ đó, dù là mômen làm võng hay làm vồng.

Phản lực gối

Lấy mômen quanh một gối tựa, rồi dùng cân bằng lực thẳng đứng.

R1 = 33,33 kN, R2 = 54,67 kN

Mômen uốn tại mỗi điểm đánh dấu

Cộng các mômen của mọi lực ở một phía của mặt cắt. Võng là dương, vồng là âm.

MA = 0, MB = 66,67, MC = 133,3, MD = 184, ME = 202,7 kN·m, MF = 109,3, MG = 0

Đáp số

Điểm đánh dấu E: ME = 202,7 kN·m
6.Lực cắt và mômen uốn

Đáp số: Mmax = 42,25 kN·m

Phương pháp mặt cắt: cắt dầm tại vị trí cần tìm nội lực và giữ lại một phía. Lực cắt V cân bằng với các lực thẳng đứng ở phía đó, và mômen uốn M cân bằng với mômen của chúng quanh mặt cắt. Mô-men lớn nhất: vì dM/dx = V, mô-men uốn đạt cực trị tại nơi lực cắt đi qua không, hoặc tại một lực tập trung hoặc bên trong một tải phân bố.

Phản lực gối

Cân bằng của cả dầm.

Hợp lực của tải phân bố đều: W = w·ℓ = 2·10 = 20 kN, đặt tại x̄ = 5 m
ΣMA = 0: RB·10 = 10·7 + 2·10·5
RB = 170/10 = 17 kN
ΣFy = 0: RA = 30 − 17 = 13 kN

V = 0 ở đâu?

RA − w·x0 = 0 → x0 = 13/2 = 6,5 m

Mô-men lớn nhất

Mmax = RA·x0 − w·x0²/2 = 13·6,5 − 2·6,5²/2 = 42,25 kN·m

Đáp số

Mmax = 42,25 kN·m

Nó xảy ra tại x = 6,5 m tính từ A.

7.Trọng tâm và mômen quán tính mặt cắt

Đáp số: r = 125,5 mm

Mô-men quán tính của tiết diện: với hình chữ nhật đối với trục qua trọng tâm của nó I = bh³/12, và đối với trục đáy bh³/3 (định lý trục song song I = Ic + A·d²). Lỗ rỗng được xử lý bằng cách trừ đi I của nó, miễn là cả hai phần có chung một trục. Mô-đun chống uốn đàn hồi là S = I/c, với c là khoảng cách đến thớ ngoài cùng. Bán kính quán tính r = √(I/A) là khoảng cách mà tại đó toàn bộ diện tích cho cùng giá trị I; nó được dùng trong bài toán mất ổn định của cột.

Diện tích thực và mô-men quán tính

b = 164 mm, h = 314 mm
A = BH − bh = 200·350 − 164·314 = 18504 mm²
I = (BH³ − bh³)/12 = 2,915 × 10⁸ mm⁴

Bán kính quán tính

r = √(I/A) = √(2,915 × 10⁸/18504) = 125,5 mm

Đáp số

r = 125,5 mm
8.Trọng tâm và mômen quán tính mặt cắt

Đáp số: σdưới = 378,7 MPa

Diện tích ghép: chia mặt cắt thành các hình chữ nhật. Trọng tâm là trung bình có trọng số theo diện tích ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Mômen quán tính của mặt cắt đối với trục đi qua trọng tâm bằng tổng bh³/12 của từng phần và số hạng trục song song A·d², trong đó d là khoảng cách từ trọng tâm của phần đó đến trọng tâm chung. Ứng suất uốn là σ = M·y/I.

Chia thành hai hình chữ nhật

Đo mọi y từ mép dưới.

cánh: Af = 120·10 = 1200 mm², yf = 220 + 10/2 = 225 mm
bụng: Aw = 8·220 = 1760 mm², yw = 220/2 = 110 mm

Trọng tâm

ȳ = (Afyf + Awyw)/(Af + Aw) = (1200·225 + 1760·110)/2960 = 156,6 mm

Định lý trục song song

cánh: 120·10³/12 + 1200·(225 − 156,6)² = 5,621 × 10⁶ mm⁴
bụng: 8·220³/12 + 1760·(110 − 156,6)² = 1,092 × 10⁷ mm⁴
Ix = 5,621 × 10⁶ + 1,092 × 10⁷ = 1,654 × 10⁷ mm⁴

Ứng suất uốn

Mép dưới cách trục ȳ.

y = 156,6 mm
σ = M·y/I = 4 × 10⁷·156,6/1,654 × 10⁷ = 378,7 MPa

Đáp số

σdưới = 378,7 MPa
9.Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suất

Đáp số: θp = −31,72 °

Biến đổi ứng suất phẳng: trên một mặt xoay góc θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Vòng tròn Mohr cho thấy tất cả các mặt cùng lúc: tâm của nó ở C = (σₓ + σᵧ)/2 và bán kính là R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Các ứng suất chính là C ± R, và ứng suất tiếp lớn nhất trong mặt phẳng là R.

στxyCσ1​σ2​

Góc trên vòng tròn

Điểm x nằm ở góc 2θp so với trục σ trên vòng tròn Mohr; góc phần tư suy ra từ dấu của σₓ − σᵧ và τₓᵧ.

2θp = atan2(2·−60, 150 − 90) = −63,43°

Góc trên phần tử

θp = −31,72°

Đáp số

θp = −31,72°

Góc dương là ngược chiều kim đồng hồ.

10.Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suất

Đáp số: σvM = 122,9 MPa

Biến đổi ứng suất phẳng: trên một mặt xoay góc θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Vòng tròn Mohr cho thấy tất cả các mặt cùng lúc: tâm của nó ở C = (σₓ + σᵧ)/2 và bán kính là R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Các ứng suất chính là C ± R, và ứng suất tiếp lớn nhất trong mặt phẳng là R. Tiêu chuẩn chảy: von Mises dự đoán vật liệu chảy khi σvM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²) đạt σY; Tresca khi ứng suất cắt lớn nhất tuyệt đối đạt σY/2.

στxyCσ1​σ2​

Ứng suất chính

C = 65 MPa, R = 60,21 MPa
σ1 = 125,2 MPa, σ2 = 4,792 MPa, σ3 = 0

Von Mises

σvM = √(125,2² − 125,2·4,792 + 4,792²) = 122,9 MPa

Đáp số

σvM = 122,9 MPa
11.Độ võng của dầm

Đáp số: δB = 1,082 mm

Độ võng của dầm: độ võng có được bằng cách tích phân độ cong M/(EI) hai lần. Các trường hợp tiêu chuẩn đã được lập bảng, ví dụ PL³/(3EI) cho dầm công xôn chịu tải ở đầu tự do và 5wL⁴/(384EI) cho dầm đơn giản chịu tải phân bố đều toàn nhịp. Độ võng do các tải riêng rẽ cộng lại (xếp chồng).

Đơn vị nhất quán

Làm việc theo N và mm: P theo N, w theo N/mm (kN/m = N/mm), L theo mm, E theo N/mm² (GPa × 1000), I theo mm⁴.

P = 22000 N, a = 500 mm, L = 3000 mm
EI = 7,2 × 10¹² N·mm²

Độ võng ở đầu tự do

Độ võng tại tải cộng góc xoay tại tải nhân với chiều dài còn lại.

δP = Pa³/(3EI) = 0,1273 mm
θP = Pa²/(2EI) = 0,0003819 rad
δB = δP + θP·(L − a) = Pa²(3L − a)/(6EI) = 1,082 mm

Đáp số

δB = 1,082 mm
12.Độ võng của dầm

Đáp số: δmax = 1,548 mm

Độ võng của dầm: độ võng có được bằng cách tích phân độ cong M/(EI) hai lần. Các trường hợp tiêu chuẩn đã được lập bảng, ví dụ PL³/(3EI) cho dầm công xôn chịu tải ở đầu tự do và 5wL⁴/(384EI) cho dầm đơn giản chịu tải phân bố đều toàn nhịp. Độ võng do các tải riêng rẽ cộng lại (xếp chồng).

Đơn vị nhất quán

Làm việc theo N và mm: P theo N, w theo N/mm (kN/m = N/mm), L theo mm, E theo N/mm² (GPa × 1000), I theo mm⁴.

P = 20000 N, w = 20 N/mm, L = 1500 mm, EI = 1,76 × 10¹² N·mm²

Từng tải riêng rẽ

δP = PL³/(48EI) = 20000·1500³/(48·1,76 × 10¹²) = 0,799 mm
δw = 5wL⁴/(384EI) = 5·20·1500⁴/(384·1,76 × 10¹²) = 0,7491 mm

Cộng lại

δmax = 0,799 + 0,7491 = 1,548 mm

Đáp số

δmax = 1,548 mm
13.Mất ổn định cột

Đáp số: Pcr = 248,1 kN

Mất ổn định Euler: một cột mảnh mất ổn định tại Pcr = π²EI/(KL)², trong đó KL là chiều dài tính toán: K = 1 cho khớp–khớp, 2 cho ngàm–tự do, 0,7 cho ngàm–khớp và 0,5 cho ngàm–ngàm. Cột oằn quanh trục có I nhỏ nhất. Công thức đúng với cột mảnh, có ứng suất tới hạn thấp hơn ứng suất chảy.

Mômen quán tính nhỏ nhất của mặt cắt

Mặt cắt tròn có cùng I đối với mọi trục.

I = πd⁴/64 = π·80⁴/64 = 2,011 × 10⁶ mm⁴

Chiều dài tính toán

KL = 2·2000 = 4000 mm

Tải trọng tới hạn

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·2,011 × 10⁶/4000² = 248050 N = 248,1 kN

Đáp số

Pcr = 248,1 kN
14.Mất ổn định cột

Đáp số: σcr = 49,35 MPa

Mất ổn định Euler: một cột mảnh mất ổn định tại Pcr = π²EI/(KL)², trong đó KL là chiều dài tính toán: K = 1 cho khớp–khớp, 2 cho ngàm–tự do, 0,7 cho ngàm–khớp và 0,5 cho ngàm–ngàm. Cột oằn quanh trục có I nhỏ nhất. Công thức đúng với cột mảnh, có ứng suất tới hạn thấp hơn ứng suất chảy.

Mômen quán tính nhỏ nhất của mặt cắt

Mặt cắt tròn có cùng I đối với mọi trục.

I = πd⁴/64 = π·30⁴/64 = 39761 mm⁴

Bán kính quán tính và độ mảnh

A = 706,9 mm²
r = √(I/A) = √(39761/706,9) = 7,5 mm
KL = 0,5·3000 = 1500 mm
KL/r = 1500/7,5 = 200

Ứng suất tới hạn

σcr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/200² = 49,35 MPa

Đáp số

σcr = 49,35 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials