Sức bền vật liệu: gói ôn nước rút

Bảng công thức, các bước phương pháp chính cho từng chủ đề và 14 bài tập, kèm lời giải đầy đủ ở cuối.

Bài mới Quay lại môn học

Trong cửa sổ in, hãy chọn “Lưu dưới dạng PDF” để giữ một bản trên thiết bị của bạn.

1Công thức và phương pháp

Ứng suất và biến dạng dọc trục

Ứng suất pháp: σ = F/A
Biến dạng: ε = ΔL/L
Định luật Hooke: σ = E·ε
Độ giãn dài: ΔL = FL/(EA)
Biến dạng nhiệt: ε_T = α·ΔT

Xoắn của trục

Ứng suất tiếp: τ = T·r/J
Trục đặc: J = πd⁴/32
Trục rỗng: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Góc xoắn: φ = TL/(GJ)
Công suất: P = T·ω = 2πnT/60

Phương pháp

Tìm mômen quán tính độc cực: J = πd⁴/32 cho trục đặc.
Ứng suất tiếp ở bề mặt: τ = T·r/J, với r là bán kính ngoài.
Góc xoắn: φ = TL/(GJ) theo radian.
Nếu cho công suất, hãy tìm mômen xoắn trước bằng P = T·ω, ω = 2πn/60.

Lực cắt và mômen uốn

Lực cắt và mômen: V = ΣF ở một phía, M = ΣF·d ở một phía
Ứng suất uốn: σ = M·y/I
Hình chữ nhật: I = bh³/12
Mômen chống uốn của mặt cắt: W = I/y_max
Dầm đơn giản, tải phân bố đều: M_max = wL²/8

Phương pháp

Tìm phản lực gối từ cân bằng của cả dầm.
Cắt dầm tại mặt cắt bạn cần và giữ lại một phía.
Lực cắt: tổng các lực thẳng đứng ở phía đó. Mômen uốn: tổng mômen của chúng quanh mặt cắt.
Để tìm mômen lớn nhất, hãy tìm nơi lực cắt bằng không.

Trọng tâm và mômen quán tính mặt cắt

Trọng tâm: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Hình chữ nhật: I = bh³/12
Định lý trục song song: I = I_c + A·d²
Mặt cắt ghép: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suất

Tâm: C = (σ_x + σ_y)/2
Bán kính: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Ứng suất chính: σ_1,2 = C ± R
Phương chính: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Mặt phẳng nghiêng: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Phương pháp

Tính tâm của vòng tròn Mohr: C = (σx + σy)/2.
Tính bán kính: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Các ứng suất chính là C ± R và ứng suất tiếp lớn nhất trong mặt phẳng là R.
Các góc trên vòng tròn gấp đôi các góc trên phần tử: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Độ võng của dầm

Tải tập trung ở giữa nhịp: δ = PL³/(48EI)
Tải phân bố đều, dầm đơn giản: δ = 5wL⁴/(384EI)
Công xôn, tải ở đầu: δ = PL³/(3EI)
Công xôn, tải phân bố đều: δ = wL⁴/(8EI)
Nguyên lý xếp chồng: δ = δ₁ + δ₂

Mất ổn định cột

Tải Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Hệ số chiều dài tính toán: K = 1 khớp–khớp, 0,5 ngàm–ngàm, 0,7 ngàm–khớp, 2 ngàm–tự do
Ứng suất tới hạn: σ_cr = P_cr/A
Độ mảnh: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Bài tập

1.Ứng suất và biến dạng dọc trụcTrung bình

Tìm độ giãn dài δ của thanh nhôm dưới tải trọng dọc trục.

P = 120 kNd = 12 mmL = 0,5 mE = 70 GPa

δ = mm

2.Ứng suất và biến dạng dọc trụcKhó

Thanh bậc được ngàm vào tường và chịu tải ở đầu tự do. Tìm tổng độ giãn dài δ.

P = 90 kNđoạn 1: Ø35 mm, 1,5 m, đồng thau (E = 100 GPa)đoạn 2: Ø20 mm, 0,5 m, nhôm (E = 70 GPa)

δ = mm

3.Xoắn của trụcTrung bình

Một trục rỗng thép (đường kính ngoài 40 mm, đường kính trong 24 mm, chiều dài 1,5 m) được ngàm một đầu và bị xoắn bởi mô-men xoắn 1000 N·m ở đầu kia. Tìm góc xoắn φ theo độ.

T = 1000 N·md_o = 40 mmd_i = 24 mmL = 1,5 mG = 80 GPa

φ = °

4.Xoắn của trụcKhó

Một trục đặc phải truyền 15 kW ở 1450 rpm mà ứng suất tiếp không vượt quá 75 MPa. Tìm đường kính nhỏ nhất d thỏa mãn.

P = 15 kWN = 1450 rpmτ_allow = 75 MPa

d = mm

5.Lực cắt và mômen uốnTrung bình

Tìm lực cắt V_x tại mặt cắt x = 2,5 m tính từ gối A. Coi mômen làm dầm võng xuống là dương và lực cắt hướng lên trên mặt trái là dương.

L = 4 mw = 3 kN/m từ 0 đến 4 mx = 2,5 m

V_x = kN

6.Lực cắt và mômen uốnKhó

Tìm mômen uốn M_x tại mặt cắt x = 4 m tính từ gối A. Coi mômen làm dầm võng xuống là dương và lực cắt hướng lên trên mặt trái là dương.

L = 5 mP = 60 kN tại 2 mw = 4 kN/m từ 0 đến 5 mx = 4 m

M_x = kN·m

7.Trọng tâm và mômen quán tính mặt cắtTrung bình

Tìm mômen quán tính I_x của mặt cắt chữ T đối với trục ngang x đi qua trọng tâm.

b_f = 280 mmt_f = 20 mmt_w = 8 mmh_w = 200 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Trọng tâm và mômen quán tính mặt cắtKhó

Một tiết diện chữ I hàn có cánh trên 180 × 22 mm, bụng cao 390 mm và dày 16 mm, và cánh dưới 220 × 12 mm (chiều rộng × chiều dày). Tìm mô-men quán tính I_x của nó đối với trục nằm ngang x qua trọng tâm.

cánh trên: 180 × 22 mmbụng: 16 × 390 mmcánh dưới: 220 × 12 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

9.Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suấtTrung bình

Một điểm trong chi tiết chịu tải có σₓ = 50 MPa, σᵧ = 10 MPa và τₓᵧ = 10 MPa (kéo là dương). Tìm ứng suất tiếp lớn nhất trong mặt phẳng τ_max.

σ_x = 50 MPaσ_y = 10 MPaτ_xy = 10 MPa

τ_max = MPa

10.Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suấtKhó

Một điểm trong một tấm mỏng ở trạng thái ứng suất phẳng: σₓ = 90 MPa, σᵧ = 110 MPa và τₓᵧ = 60 MPa (σ_z = 0). Tìm ứng suất tương đương von Mises σ_vM.

σ_x = 90 MPaσ_y = 110 MPaτ_xy = 60 MPa

σ_vM = MPa

11.Độ võng của dầmTrung bình

Một dầm đơn giản chịu tải phân bố đều w trên toàn nhịp. Tìm độ võng lớn nhất δ_max, tại giữa nhịp.

w = 20 kN/mL = 6 mE = 70 GPa (nhôm)I = 84 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

12.Độ võng của dầmKhó

Một dầm đơn giản chịu tải phân bố đều w. Độ võng của nó không được vượt quá nhịp/360. Tìm mômen quán tính nhỏ nhất của mặt cắt I_req thỏa mãn giới hạn này.

w = 8 kN/mL = 2 mE = 70 GPa (nhôm)

I_req = × 10⁶ mm⁴

13.Mất ổn định cộtTrung bình

Một cột dài L làm bằng thép được ngàm ở chân và khớp ở đỉnh. Dùng công thức Euler, tìm tải trọng oằn tới hạn P_cr của nó.

L = 1,5 mE = 200 GPa (thép)b × h = 25 × 40 mm

P_cr = kN

14.Mất ổn định cộtKhó

Một cột tròn đặc dài L làm bằng thép được hai đầu khớp. Nó phải chịu 15 kN với hệ số an toàn 2,5 chống oằn. Tìm đường kính nhỏ nhất d.

P = 15 kNn = 2,5L = 2,5 mE = 200 GPa (thép)

d = mm

3Dung dịch

1.Ứng suất và biến dạng dọc trục

Đáp số: δ = 7,579 mm

Định luật Hooke: trong giới hạn đàn hồi σ = E·ε. Kết hợp với σ = P/A và ε = δ/L ta được δ = PL/(AE).

Ứng suất

A = π·12²/4 = 113,1 mm²

σ = P/A = 120·1000/113,1 = 1061 MPa

Biến dạng (định luật Hooke)

E for nhôm = 70 GPa = 70000 MPa.

ε = σ/E = 1061/70000 = 0,01516 = 15158 µε

Độ giãn dài

δ = ε·L = 0,01516·500 mm = 7,579 mm

Đáp số

δ = 7,579 mm

2.Ứng suất và biến dạng dọc trục

Đáp số: δ = 3,449 mm

Cấu kiện chịu tải dọc trục: mỗi đoạn lăng trụ tuân theo δ = PL/(AE). Với các cấu kiện nối tiếp, độ giãn dài cộng lại.

Cùng một lực trong cả hai đoạn

Đầu tự do chịu lực P, nên mọi mặt cắt của thanh đều chịu cùng một lực dọc trục P. Chỉ có diện tích và vật liệu thay đổi.

A₁ = π·35²/4 = 962,1 mm², A₂ = π·20²/4 = 314,2 mm²

σ₁ = 93,54 MPa

σ₂ = 286,5 MPa

Cộng độ giãn dài của các đoạn

δ₁ = σ₁L₁/E₁ = 93,54·1500/100000 = 1,403 mm

δ₂ = σ₂L₂/E₂ = 286,5·500/70000 = 2,046 mm

δ = δ₁ + δ₂ = 3,449 mm

Đáp số

δ = 3,449 mm

3.Xoắn của trục

Đáp số: φ = 4,911 °

Xoắn thanh tròn: ứng suất tiếp tăng tuyến tính từ không ở tâm đến τ_max = T·r/J ở bề mặt, với J = πd⁴/32 cho trục đặc và J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 cho trục rỗng. Góc xoắn là φ = TL/(GJ) tính bằng radian. Công suất và mômen xoắn liên hệ với nhau qua P = T·ω.

Mômen quán tính độc cực của mặt cắt

J = π(40⁴ − 24⁴)/32 = 218755 mm⁴

Góc xoắn

T = 1000 N·m = 1 × 10⁶ N·mm

L = 1,5 m = 1500 mm

G = 80 GPa = 80000 MPa

φ = TL/(GJ) = 1 × 10⁶·1500/(80000·218755) = 0,08571 rad

φ = 0,08571·180/π = 4,911°

Đáp số

φ = 4,911°

4.Xoắn của trục

Đáp số: d = 18,86 mm

Mômen xoắn

ω = 2πN/60 = 2π·1450/60 = 151,8 rad/s

T = P/ω = 15000/151,8 = 98,79 N·m

Đường kính từ ứng suất cho phép

d = ∛(16T/(π·τ_allow)) = ∛(16·98786/(π·75)) = 18,86 mm

Đáp số

d = 18,86 mm

Trong thực tế bạn sẽ làm tròn lên kích thước tiêu chuẩn kế tiếp.

5.Lực cắt và mômen uốn

Đáp số: V_x = −1,5 kN

Phương pháp mặt cắt: cắt dầm tại vị trí cần tìm nội lực và giữ lại một phía. Lực cắt V cân bằng với các lực thẳng đứng ở phía đó, và mômen uốn M cân bằng với mômen của chúng quanh mặt cắt.

Phản lực gối

Cân bằng của cả dầm.

Hợp lực của tải phân bố đều: W = w·ℓ = 3·4 = 12 kN, đặt tại x̄ = 2 m

ΣM_A = 0: R_B·4 = 3·4·2

R_B = 24/4 = 6 kN

ΣF_y = 0: R_A = 12 − 6 = 6 kN

Cắt tại x = 2,5 m và giữ phần bên trái

Chỉ các lực bên trái mặt cắt xuất hiện. Phần tải phân bố đều được thay bằng một lực đặt tại giữa phần đó.

V = R_A − (mọi tải hướng xuống bên trái mặt cắt)

V_x = 6 − 3·2,5 = −1,5 kN

Đáp số

V_x = −1,5 kN

6.Lực cắt và mômen uốn

Đáp số: M_x = 32 kN·m

Phản lực gối

Cân bằng của cả dầm.

Hợp lực của tải phân bố đều: W = w·ℓ = 4·5 = 20 kN, đặt tại x̄ = 2,5 m

ΣM_A = 0: R_B·5 = 60·2 + 4·5·2,5

R_B = 170/5 = 34 kN

ΣF_y = 0: R_A = 80 − 34 = 46 kN

Cắt tại x = 4 m và giữ phần bên trái

Chỉ các lực bên trái mặt cắt xuất hiện. Phần tải phân bố đều được thay bằng một lực đặt tại giữa phần đó.

M = R_A·x − (mỗi tải bên trái mặt cắt × cánh tay đòn đến mặt cắt)

M_x = 46·4 − 60·(4 − 2) − 4·4·2 = 32 kN·m

Đáp số

M_x = 32 kN·m

7.Trọng tâm và mômen quán tính mặt cắt

Đáp số: I_x = 20,58 × 10⁶ mm⁴

Diện tích ghép: chia mặt cắt thành các hình chữ nhật. Trọng tâm là trung bình có trọng số theo diện tích ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Mômen quán tính của mặt cắt đối với trục đi qua trọng tâm bằng tổng bh³/12 của từng phần và số hạng trục song song A·d², trong đó d là khoảng cách từ trọng tâm của phần đó đến trọng tâm chung. Ứng suất uốn là σ = M·y/I.

Chia thành hai hình chữ nhật

Đo mọi y từ mép dưới.

cánh: A_f = 280·20 = 5600 mm², y_f = 200 + 20/2 = 210 mm

bụng: A_w = 8·200 = 1600 mm², y_w = 200/2 = 100 mm

Trọng tâm

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (5600·210 + 1600·100)/7200 = 185,6 mm

Định lý trục song song

cánh: 280·20³/12 + 5600·(210 − 185,6)² = 3,533 × 10⁶ mm⁴

bụng: 8·200³/12 + 1600·(100 − 185,6)² = 1,704 × 10⁷ mm⁴

I_x = 3,533 × 10⁶ + 1,704 × 10⁷ = 2,058 × 10⁷ mm⁴ = 20,58 × 10⁶ mm⁴

Đáp số

I_x = 20,58 × 10⁶ mm⁴

8.Trọng tâm và mômen quán tính mặt cắt

Đáp số: I_x = 347,7 × 10⁶ mm⁴

Chia thành ba hình chữ nhật

Đo mọi y từ mép dưới.

cánh trên: A = 3960 mm², y = 413 mm

bụng: A = 6240 mm², y = 207 mm

cánh dưới: A = 2640 mm², y = 6 mm

Trọng tâm

ȳ = (3960·413 + 6240·207 + 2640·6)/12840 = 229,2 mm

Định lý trục song song

cánh trên: 180·22³/12 + 3960·183,8² = 1,339 × 10⁸ mm⁴

bụng: 16·390³/12 + 6240·22,21² = 8,217 × 10⁷ mm⁴

cánh dưới: 220·12³/12 + 2640·223,2² = 1,316 × 10⁸ mm⁴

I_x = 1,339 × 10⁸ + 8,217 × 10⁷ + 1,316 × 10⁸

I_x = 3,477 × 10⁸ mm⁴ = 347,7 × 10⁶ mm⁴

Đáp số

I_x = 347,7 × 10⁶ mm⁴

9.Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suất

Đáp số: τ_max = 22,36 MPa

Bán kính vòng tròn Mohr

τ_max = R = √(((50 − 10)/2)² + 10²) = 22,36 MPa

Đáp số

τ_max = 22,36 MPa

10.Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suất

Đáp số: σ_vM = 145,3 MPa

Biến đổi ứng suất phẳng: trên một mặt xoay góc θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Vòng tròn Mohr cho thấy tất cả các mặt cùng lúc: tâm của nó ở C = (σₓ + σᵧ)/2 và bán kính là R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Các ứng suất chính là C ± R, và ứng suất tiếp lớn nhất trong mặt phẳng là R. Tiêu chuẩn chảy: von Mises dự đoán vật liệu chảy khi σ_vM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²) đạt σ_Y; Tresca khi ứng suất cắt lớn nhất tuyệt đối đạt σ_Y/2.

Ứng suất chính

C = 100 MPa, R = 60,83 MPa

σ₁ = 160,8 MPa, σ₂ = 39,17 MPa, σ₃ = 0

Von Mises

σ_vM = √(160,8² − 160,8·39,17 + 39,17²) = 145,3 MPa

Đáp số

σ_vM = 145,3 MPa

11.Độ võng của dầm

Đáp số: δ_max = 57,4 mm

Độ võng của dầm: độ võng có được bằng cách tích phân độ cong M/(EI) hai lần. Các trường hợp tiêu chuẩn đã được lập bảng, ví dụ PL³/(3EI) cho dầm công xôn chịu tải ở đầu tự do và 5wL⁴/(384EI) cho dầm đơn giản chịu tải phân bố đều toàn nhịp. Độ võng do các tải riêng rẽ cộng lại (xếp chồng).

Đơn vị nhất quán

Làm việc theo N và mm: P theo N, w theo N/mm (kN/m = N/mm), L theo mm, E theo N/mm² (GPa × 1000), I theo mm⁴.

w = 20 N/mm, L = 6000 mm

EI = 5,88 × 10¹² N·mm²

Độ võng

δ_max = 5wL⁴/(384EI) = 5·20·6000⁴/(384·5,88 × 10¹²) = 57,4 mm

Đáp số

δ_max = 57,4 mm

12.Độ võng của dầm

Đáp số: I_req = 4,286 × 10⁶ mm⁴

Giới hạn độ võng

δ_allow = L/360 = 2000/360 = 5,556 mm

Mômen quán tính mặt cắt yêu cầu

I = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·8·2000⁴/(384·70000·5,556) = 4,286 × 10⁶ mm⁴

I_req = 4,286 × 10⁶ mm⁴

Đáp số

I_req = 4,286 × 10⁶ mm⁴

13.Mất ổn định cột

Đáp số: P_cr = 93,25 kN

Mất ổn định Euler: một cột mảnh mất ổn định tại P_cr = π²EI/(KL)², trong đó KL là chiều dài tính toán: K = 1 cho khớp–khớp, 2 cho ngàm–tự do, 0,7 cho ngàm–khớp và 0,5 cho ngàm–ngàm. Cột oằn quanh trục có I nhỏ nhất. Công thức đúng với cột mảnh, có ứng suất tới hạn thấp hơn ứng suất chảy.

Mômen quán tính nhỏ nhất của mặt cắt

Hình chữ nhật oằn quanh trục yếu, dùng kích thước nhỏ hơn lập phương.

I_min = h·b³/12 = 40·25³/12 = 52083 mm⁴

Chiều dài tính toán

KL = 0,7·1500 = 1050 mm

Tải trọng tới hạn

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·52083/1050² = 93250 N = 93,25 kN

Đáp số

P_cr = 93,25 kN

14.Mất ổn định cột

Đáp số: d = 39,44 mm

Tải trọng tới hạn yêu cầu

P_cr = n·P = 2,5·15000 = 37500 N

KL = 1·2500 = 2500 mm

Giải tìm đường kính

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·37500·2500²/(π³·200000))^(1/4) = 39,44 mm

Đáp số

d = 39,44 mm

Kiểm tra: độ mảnh KL/r là 253,6, nên cột là mảnh và công thức Euler áp dụng được.

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials