Sức bền vật liệu: gói ôn nước rút

Bảng công thức, các bước phương pháp chính cho từng chủ đề và 14 bài tập, kèm lời giải đầy đủ ở cuối.

Bài mới Quay lại môn học

Trong cửa sổ in, hãy chọn “Lưu dưới dạng PDF” để giữ một bản trên thiết bị của bạn.

1Công thức và phương pháp

Ứng suất và biến dạng dọc trục

Ứng suất pháp: σ = F/A
Biến dạng: ε = ΔL/L
Định luật Hooke: σ = E·ε
Độ giãn dài: ΔL = FL/(EA)
Biến dạng nhiệt: ε_T = α·ΔT

Xoắn của trục

Ứng suất tiếp: τ = T·r/J
Trục đặc: J = πd⁴/32
Trục rỗng: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Góc xoắn: φ = TL/(GJ)
Công suất: P = T·ω = 2πnT/60

Phương pháp

Tìm mômen quán tính độc cực: J = πd⁴/32 cho trục đặc.
Ứng suất tiếp ở bề mặt: τ = T·r/J, với r là bán kính ngoài.
Góc xoắn: φ = TL/(GJ) theo radian.
Nếu cho công suất, hãy tìm mômen xoắn trước bằng P = T·ω, ω = 2πn/60.

Lực cắt và mômen uốn

Lực cắt và mômen: V = ΣF ở một phía, M = ΣF·d ở một phía
Ứng suất uốn: σ = M·y/I
Hình chữ nhật: I = bh³/12
Mômen chống uốn của mặt cắt: W = I/y_max
Dầm đơn giản, tải phân bố đều: M_max = wL²/8

Phương pháp

Tìm phản lực gối từ cân bằng của cả dầm.
Cắt dầm tại mặt cắt bạn cần và giữ lại một phía.
Lực cắt: tổng các lực thẳng đứng ở phía đó. Mômen uốn: tổng mômen của chúng quanh mặt cắt.
Để tìm mômen lớn nhất, hãy tìm nơi lực cắt bằng không.

Trọng tâm và mômen quán tính mặt cắt

Trọng tâm: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Hình chữ nhật: I = bh³/12
Định lý trục song song: I = I_c + A·d²
Mặt cắt ghép: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suất

Tâm: C = (σ_x + σ_y)/2
Bán kính: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Ứng suất chính: σ_1,2 = C ± R
Phương chính: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Mặt phẳng nghiêng: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Phương pháp

Tính tâm của vòng tròn Mohr: C = (σx + σy)/2.
Tính bán kính: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Các ứng suất chính là C ± R và ứng suất tiếp lớn nhất trong mặt phẳng là R.
Các góc trên vòng tròn gấp đôi các góc trên phần tử: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Độ võng của dầm

Tải tập trung ở giữa nhịp: δ = PL³/(48EI)
Tải phân bố đều, dầm đơn giản: δ = 5wL⁴/(384EI)
Công xôn, tải ở đầu: δ = PL³/(3EI)
Công xôn, tải phân bố đều: δ = wL⁴/(8EI)
Nguyên lý xếp chồng: δ = δ₁ + δ₂

Mất ổn định cột

Tải Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Hệ số chiều dài tính toán: K = 1 khớp–khớp, 0,5 ngàm–ngàm, 0,7 ngàm–khớp, 2 ngàm–tự do
Ứng suất tới hạn: σ_cr = P_cr/A
Độ mảnh: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Bài tập

1.Ứng suất và biến dạng dọc trụcTrung bình

Tìm biến dạng dọc trục ε trong thanh đồng thau, tính bằng microstrain (µε = 10⁻⁶).

P = 25 kNd = 30 mmL = 3 mE = 100 GPa

ε = µε

2.Ứng suất và biến dạng dọc trụcKhó

Thanh bậc được ngàm vào tường và chịu tải ở đầu tự do. Tìm ứng suất pháp lớn nhất σ_max trong thanh.

P = 65 kNđoạn 1: Ø25 mm, 1 m, nhôm (E = 70 GPa)đoạn 2: Ø16 mm, 0,5 m, đồng (E = 117 GPa)

σ_max = MPa

3.Xoắn của trụcTrung bình

Một trục đặc thép được ngàm vào tường và bị xoắn bởi mômen xoắn T ở đầu tự do. Tìm góc xoắn φ của đầu tự do, theo độ.

T = 400 N·md = 20 mmL = 1 mG = 80 GPa

φ = °

4.Xoắn của trụcKhó

Một trục đặc phải truyền 15 kW ở 1500 rpm mà ứng suất tiếp không vượt quá 75 MPa. Tìm đường kính nhỏ nhất d thỏa mãn.

P = 15 kWN = 1500 rpmτ_allow = 75 MPa

d = mm

5.Lực cắt và mômen uốnTrung bình

Tìm mômen uốn M_x tại mặt cắt x = 1 m tính từ gối A. Coi mômen làm dầm võng xuống là dương và lực cắt hướng lên trên mặt trái là dương.

L = 4 mw = 4 kN/m từ 0 đến 4 mx = 1 m

M_x = kN·m

6.Lực cắt và mômen uốnKhó

Dầm đơn giản chịu tải phân bố đều trên một phần nhịp. Tìm khoảng cách x₀ từ A đến mặt cắt có mô-men uốn lớn nhất.

L = 5 mw = 16 kN/m từ 0 đến 4 m

x₀ = m

7.Trọng tâm và mômen quán tính mặt cắtTrung bình

Một tấm 150 mm × 150 mm có một lỗ tròn đường kính 40 mm trên đường tâm thẳng đứng, tâm lỗ cách đáy 105 mm. Tìm mômen quán tính diện tích I_x quanh trục nằm ngang đi qua trọng tâm.

b = 150 mmh = 150 mmd = 40 mmtâm lỗ: y = 105 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Trọng tâm và mômen quán tính mặt cắtKhó

Một tấm 120 mm × 150 mm có một lỗ khoét hình chữ nhật rộng 50 mm và cao 20 mm, đặt giữa đường tâm thẳng đứng với tâm cách đáy 90 mm. Tìm mômen quán tính diện tích I_x quanh trục nằm ngang đi qua trọng tâm.

b = 120 mmh = 150 mmlỗ khoét: 50 × 20 mmtâm lỗ: y = 90 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

9.Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suấtTrung bình

Một điểm trong chi tiết chịu tải có σₓ = 80 MPa, σᵧ = 90 MPa và τₓᵧ = 20 MPa (kéo là dương). Tìm ứng suất tiếp lớn nhất trong mặt phẳng τ_max.

σ_x = 80 MPaσ_y = 90 MPaτ_xy = 20 MPa

τ_max = MPa

10.Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suấtKhó

Một điểm trong một tấm mỏng ở trạng thái ứng suất phẳng: σₓ = 140 MPa, σᵧ = −70 MPa và τₓᵧ = −30 MPa (σ_z = 0). Vật liệu có giới hạn chảy 250 MPa. Tìm hệ số an toàn n chống chảy theo tiêu chuẩn von Mises (năng lượng biến dạng hình dạng).

σ_x = 140 MPaσ_y = −70 MPaτ_xy = −30 MPaσ_Y = 250 MPa

n =

11.Độ võng của dầmTrung bình

Một dầm đơn giản chịu lực tập trung P tại vị trí cách gối A một đoạn a = 3,5 m. Tìm độ võng δ_P dưới tải.

P = 2 kNa = 3,5 mL = 6 mE = 11 GPa (gỗ xẻ)I = 84 × 10⁶ mm⁴

δ_P = mm

12.Độ võng của dầmKhó

Một dầm đơn giản chịu tải phân bố đều w và một tải tập trung P ở giữa nhịp. Dùng nguyên lý xếp chồng, tìm độ võng giữa nhịp δ_max.

P = 21 kNw = 10 kN/mL = 6 mE = 200 GPa (thép)I = 120 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

13.Mất ổn định cộtTrung bình

Một cột dài L làm bằng nhôm được ngàm ở chân và khớp ở đỉnh. Dùng công thức Euler, tìm tải trọng oằn tới hạn P_cr của nó.

L = 6 mE = 70 GPa (nhôm)d = 80 mm

P_cr = kN

14.Mất ổn định cộtKhó

Một cột dài L làm bằng nhôm được ngàm ở chân và khớp ở đỉnh. Tìm độ mảnh của nó và ứng suất oằn tới hạn σ_cr theo công thức Euler.

L = 3 mE = 70 GPa (nhôm)d = 40 mm

σ_cr = MPa

3Dung dịch

1.Ứng suất và biến dạng dọc trục

Đáp số: ε = 353,7 µε

Định luật Hooke: trong giới hạn đàn hồi σ = E·ε. Kết hợp với σ = P/A và ε = δ/L ta được δ = PL/(AE).

Ứng suất

A = π·30²/4 = 706,9 mm²

σ = P/A = 25·1000/706,9 = 35,37 MPa

Biến dạng (định luật Hooke)

E for đồng thau = 100 GPa = 100000 MPa.

ε = σ/E = 35,37/100000 = 0,0003537 = 353,7 µε

Đáp số

ε = 353,7 µε

2.Ứng suất và biến dạng dọc trục

Đáp số: σ_max = 323,3 MPa

Cấu kiện chịu tải dọc trục: mỗi đoạn lăng trụ tuân theo δ = PL/(AE). Với các cấu kiện nối tiếp, độ giãn dài cộng lại.

Cùng một lực trong cả hai đoạn

Đầu tự do chịu lực P, nên mọi mặt cắt của thanh đều chịu cùng một lực dọc trục P. Chỉ có diện tích và vật liệu thay đổi.

A₁ = π·25²/4 = 490,9 mm², A₂ = π·16²/4 = 201,1 mm²

σ₁ = 132,4 MPa

σ₂ = 323,3 MPa

Ứng suất lớn nhất

Đoạn mảnh hơn có diện tích nhỏ hơn, nên chịu ứng suất lớn hơn.

σ_max = 323,3 MPa

Đáp số

σ_max = 323,3 MPa

3.Xoắn của trục

Đáp số: φ = 18,24 °

Xoắn thanh tròn: ứng suất tiếp tăng tuyến tính từ không ở tâm đến τ_max = T·r/J ở bề mặt, với J = πd⁴/32 cho trục đặc và J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 cho trục rỗng. Góc xoắn là φ = TL/(GJ) tính bằng radian. Công suất và mômen xoắn liên hệ với nhau qua P = T·ω.

Mômen quán tính độc cực của mặt cắt

J = π·20⁴/32 = 15708 mm⁴

Góc xoắn

φ = TL/(GJ) = 400·1000·1000/(80000·15708) = 0,3183 rad

φ = 0,3183·180/π = 18,24°

Đáp số

φ = 18,24°

4.Xoắn của trục

Đáp số: d = 18,65 mm

Mômen xoắn

ω = 2πN/60 = 2π·1500/60 = 157,1 rad/s

T = P/ω = 15000/157,1 = 95,49 N·m

Đường kính từ ứng suất cho phép

d = ∛(16T/(π·τ_allow)) = ∛(16·95493/(π·75)) = 18,65 mm

Đáp số

d = 18,65 mm

Trong thực tế bạn sẽ làm tròn lên kích thước tiêu chuẩn kế tiếp.

5.Lực cắt và mômen uốn

Đáp số: M_x = 6 kN·m

Phương pháp mặt cắt: cắt dầm tại vị trí cần tìm nội lực và giữ lại một phía. Lực cắt V cân bằng với các lực thẳng đứng ở phía đó, và mômen uốn M cân bằng với mômen của chúng quanh mặt cắt.

Phản lực gối

Cân bằng của cả dầm.

Hợp lực của tải phân bố đều: W = w·ℓ = 4·4 = 16 kN, đặt tại x̄ = 2 m

ΣM_A = 0: R_B·4 = 4·4·2

R_B = 32/4 = 8 kN

ΣF_y = 0: R_A = 16 − 8 = 8 kN

Cắt tại x = 1 m và giữ phần bên trái

Chỉ các lực bên trái mặt cắt xuất hiện. Phần tải phân bố đều được thay bằng một lực đặt tại giữa phần đó.

M = R_A·x − (mỗi tải bên trái mặt cắt × cánh tay đòn đến mặt cắt)

M_x = 8·1 − 4·1·0,5 = 6 kN·m

Đáp số

M_x = 6 kN·m

6.Lực cắt và mômen uốn

Đáp số: x₀ = 2,4 m

Phương pháp mặt cắt: cắt dầm tại vị trí cần tìm nội lực và giữ lại một phía. Lực cắt V cân bằng với các lực thẳng đứng ở phía đó, và mômen uốn M cân bằng với mômen của chúng quanh mặt cắt. Mô-men lớn nhất: vì dM/dx = V, mô-men uốn đạt cực trị tại nơi lực cắt đi qua không, hoặc tại một lực tập trung hoặc bên trong một tải phân bố.

Phản lực gối

Cân bằng của cả dầm.

Hợp lực của tải phân bố đều: W = w·ℓ = 16·4 = 64 kN, đặt tại x̄ = 2 m

ΣM_A = 0: R_B·5 = 16·4·2

R_B = 128/5 = 25,6 kN

ΣF_y = 0: R_A = 64 − 25,6 = 38,4 kN

Lực cắt bằng không

Lực cắt bắt đầu bằng R_A, không đổi trên mọi đoạn không chịu tải và giảm với độ dốc w bên trong đoạn tải.

R_A − w·(x₀ − 0) = 0

x₀ = 0 + 38,4/16 = 2,4 m

Đáp số

x₀ = 2,4 m

7.Trọng tâm và mômen quán tính mặt cắt

Đáp số: I_x = 40,86 × 10⁶ mm⁴

Tiết diện có lỗ: coi lỗ là một diện tích âm. Trọng tâm là ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), với A₁, y₁ cho tấm đầy đủ và A₂, y₂ cho lỗ. Với mômen quán tính diện tích quanh trục đi qua trọng tâm, dùng định lý trục song song cho từng phần rồi trừ lỗ: I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²), trong đó d là khoảng cách từ trọng tâm riêng của mỗi phần đến trục đi qua ȳ. Hình chữ nhật có I_c = bh³/12 và hình tròn có I_c = πd⁴/64.

Trọng tâm

ȳ = (22500·75 − 1257·105)/(22500 − 1257) = 73,23 mm

Tấm đầy đủ quanh ȳ

150·150³/12 + 22500·1,775² = 42,26 × 10⁶ mm⁴

Lỗ quanh ȳ

π·40⁴/64 + 1257·31,77² = 1,394 × 10⁶ mm⁴

Trừ

I_x = 40,86 × 10⁶ mm⁴

Đáp số

I_x = 40,86 × 10⁶ mm⁴

8.Trọng tâm và mômen quán tính mặt cắt

Đáp số: I_x = 33,48 × 10⁶ mm⁴

Trọng tâm

ȳ = (18000·75 − 1000·90)/(18000 − 1000) = 74,12 mm

Tấm đầy đủ quanh ȳ

120·150³/12 + 18000·0,8824² = 33,76 × 10⁶ mm⁴

Lỗ quanh ȳ

50·20³/12 + 1000·15,88² = 0,2856 × 10⁶ mm⁴

Trừ

I_x = 33,48 × 10⁶ mm⁴

Đáp số

I_x = 33,48 × 10⁶ mm⁴

9.Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suất

Đáp số: τ_max = 20,62 MPa

Bán kính vòng tròn Mohr

τ_max = R = √(((80 − 90)/2)² + 20²) = 20,62 MPa

Đáp số

τ_max = 20,62 MPa

10.Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suất

Đáp số: n = 1,3

Biến đổi ứng suất phẳng: trên một mặt xoay góc θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Vòng tròn Mohr cho thấy tất cả các mặt cùng lúc: tâm của nó ở C = (σₓ + σᵧ)/2 và bán kính là R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Các ứng suất chính là C ± R, và ứng suất tiếp lớn nhất trong mặt phẳng là R. Tiêu chuẩn chảy: von Mises dự đoán vật liệu chảy khi σ_vM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²) đạt σ_Y; Tresca khi ứng suất cắt lớn nhất tuyệt đối đạt σ_Y/2.

Ứng suất chính

C = 35 MPa, R = 109,2 MPa

σ₁ = 144,2 MPa, σ₂ = −74,2 MPa, σ₃ = 0

Von Mises

σ_vM = √(144,2² − 144,2·(−74,2) + (−74,2)²) = 192,4 MPa

n = 250/192,4 = 1,3

Đáp số

n = 1,3

n > 1 nghĩa là điểm không bị chảy; Tresca thận trọng hơn von Mises một chút.

11.Độ võng của dầm

Đáp số: δ_P = 9,207 mm

Độ võng của dầm: độ võng có được bằng cách tích phân độ cong M/(EI) hai lần. Các trường hợp tiêu chuẩn đã được lập bảng, ví dụ PL³/(3EI) cho dầm công xôn chịu tải ở đầu tự do và 5wL⁴/(384EI) cho dầm đơn giản chịu tải phân bố đều toàn nhịp. Độ võng do các tải riêng rẽ cộng lại (xếp chồng).

Đơn vị nhất quán

Làm việc theo N và mm: P theo N, w theo N/mm (kN/m = N/mm), L theo mm, E theo N/mm² (GPa × 1000), I theo mm⁴.

P = 2000 N, a = 3500 mm, b = 2500 mm, L = 6000 mm

EI = 9,24 × 10¹¹ N·mm²

Độ võng dưới tải

δ_P = Pa²b²/(3EIL) = 2000·3500²·2500²/(3·9,24 × 10¹¹·6000) = 9,207 mm

Đáp số

δ_P = 9,207 mm

12.Độ võng của dầm

Đáp số: δ_max = 10,97 mm

Đơn vị nhất quán

Làm việc theo N và mm: P theo N, w theo N/mm (kN/m = N/mm), L theo mm, E theo N/mm² (GPa × 1000), I theo mm⁴.

P = 21000 N, w = 10 N/mm, L = 6000 mm, EI = 2,4 × 10¹³ N·mm²

Từng tải riêng rẽ

δ_P = PL³/(48EI) = 21000·6000³/(48·2,4 × 10¹³) = 3,938 mm

δ_w = 5wL⁴/(384EI) = 5·10·6000⁴/(384·2,4 × 10¹³) = 7,031 mm

Cộng lại

δ_max = 3,938 + 7,031 = 10,97 mm

Đáp số

δ_max = 10,97 mm

13.Mất ổn định cột

Đáp số: P_cr = 78,75 kN

Mất ổn định Euler: một cột mảnh mất ổn định tại P_cr = π²EI/(KL)², trong đó KL là chiều dài tính toán: K = 1 cho khớp–khớp, 2 cho ngàm–tự do, 0,7 cho ngàm–khớp và 0,5 cho ngàm–ngàm. Cột oằn quanh trục có I nhỏ nhất. Công thức đúng với cột mảnh, có ứng suất tới hạn thấp hơn ứng suất chảy.

Mômen quán tính nhỏ nhất của mặt cắt

Mặt cắt tròn có cùng I đối với mọi trục.

I = πd⁴/64 = π·80⁴/64 = 2,011 × 10⁶ mm⁴

Chiều dài tính toán

KL = 0,7·6000 = 4200 mm

Tải trọng tới hạn

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·2,011 × 10⁶/4200² = 78746 N = 78,75 kN

Đáp số

P_cr = 78,75 kN

14.Mất ổn định cột

Đáp số: σ_cr = 15,67 MPa

Mômen quán tính nhỏ nhất của mặt cắt

Mặt cắt tròn có cùng I đối với mọi trục.

I = πd⁴/64 = π·40⁴/64 = 125664 mm⁴

Bán kính quán tính và độ mảnh

A = 1257 mm²

r = √(I/A) = √(125664/1257) = 10 mm

KL = 0,7·3000 = 2100 mm

KL/r = 2100/10 = 210

Ứng suất tới hạn

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/210² = 15,67 MPa

Đáp số

σ_cr = 15,67 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials