Sức bền vật liệu: gói ôn nước rút

Bảng công thức, các bước phương pháp chính cho từng chủ đề và 14 bài tập, kèm lời giải đầy đủ ở cuối.

Bài mới Quay lại môn học

Trong cửa sổ in, hãy chọn “Lưu dưới dạng PDF” để giữ một bản trên thiết bị của bạn.

1Công thức và phương pháp

Ứng suất và biến dạng dọc trục

Ứng suất pháp: σ = F/A
Biến dạng: ε = ΔL/L
Định luật Hooke: σ = E·ε
Độ giãn dài: ΔL = FL/(EA)
Biến dạng nhiệt: ε_T = α·ΔT

Xoắn của trục

Ứng suất tiếp: τ = T·r/J
Trục đặc: J = πd⁴/32
Trục rỗng: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Góc xoắn: φ = TL/(GJ)
Công suất: P = T·ω = 2πnT/60

Phương pháp

Tìm mômen quán tính độc cực: J = πd⁴/32 cho trục đặc.
Ứng suất tiếp ở bề mặt: τ = T·r/J, với r là bán kính ngoài.
Góc xoắn: φ = TL/(GJ) theo radian.
Nếu cho công suất, hãy tìm mômen xoắn trước bằng P = T·ω, ω = 2πn/60.

Lực cắt và mômen uốn

Lực cắt và mômen: V = ΣF ở một phía, M = ΣF·d ở một phía
Ứng suất uốn: σ = M·y/I
Hình chữ nhật: I = bh³/12
Mômen chống uốn của mặt cắt: W = I/y_max
Dầm đơn giản, tải phân bố đều: M_max = wL²/8

Phương pháp

Tìm phản lực gối từ cân bằng của cả dầm.
Cắt dầm tại mặt cắt bạn cần và giữ lại một phía.
Lực cắt: tổng các lực thẳng đứng ở phía đó. Mômen uốn: tổng mômen của chúng quanh mặt cắt.
Để tìm mômen lớn nhất, hãy tìm nơi lực cắt bằng không.

Trọng tâm và mômen quán tính mặt cắt

Trọng tâm: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Hình chữ nhật: I = bh³/12
Định lý trục song song: I = I_c + A·d²
Mặt cắt ghép: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suất

Tâm: C = (σ_x + σ_y)/2
Bán kính: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Ứng suất chính: σ_1,2 = C ± R
Phương chính: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Mặt phẳng nghiêng: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Phương pháp

Tính tâm của vòng tròn Mohr: C = (σx + σy)/2.
Tính bán kính: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Các ứng suất chính là C ± R và ứng suất tiếp lớn nhất trong mặt phẳng là R.
Các góc trên vòng tròn gấp đôi các góc trên phần tử: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Độ võng của dầm

Tải tập trung ở giữa nhịp: δ = PL³/(48EI)
Tải phân bố đều, dầm đơn giản: δ = 5wL⁴/(384EI)
Công xôn, tải ở đầu: δ = PL³/(3EI)
Công xôn, tải phân bố đều: δ = wL⁴/(8EI)
Nguyên lý xếp chồng: δ = δ₁ + δ₂

Mất ổn định cột

Tải Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Hệ số chiều dài tính toán: K = 1 khớp–khớp, 0,5 ngàm–ngàm, 0,7 ngàm–khớp, 2 ngàm–tự do
Ứng suất tới hạn: σ_cr = P_cr/A
Độ mảnh: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Bài tập

1.Ứng suất và biến dạng dọc trụcTrung bình

Một thanh thép (đường kính 20 mm, E = 200 GPa) nằm trong một ống làm bằng đồng thanh (đường kính ngoài 80 mm, đường kính trong 60 mm, E = 110 GPa). Cả hai dài 300 mm và bị nén cùng nhau giữa các tấm cứng bởi 200 kN. Tìm độ co ngắn δ.

P = 200 kNthanh: Ø20 mm, E = 200 GPaống: Ø80/Ø60 mm, E = 110 GPaL = 300 mm

δ = mm

2.Ứng suất và biến dạng dọc trụcKhó

Một thanh thép (đường kính 40 mm, E = 200 GPa, ứng suất cho phép 250 MPa) nằm trong một ống làm bằng đồng thau (đường kính ngoài 120 mm, đường kính trong 60 mm, E = 100 GPa, ứng suất cho phép 70 MPa). Chúng bị nén cùng nhau giữa các tấm cứng. Tìm tải lớn nhất P_max.

thanh: Ø40 mm, E = 200 GPa, σ_allow = 250 MPaống: Ø120/Ø60 mm, E = 100 GPa, σ_allow = 70 MPa

P_max = kN

3.Xoắn của trụcTrung bình

Một trục đồng thau đặc dài 0,8 m chịu mô-men xoắn 250 N·m. Góc xoắn giữa hai đầu không được vượt quá 1°. Tìm đường kính nhỏ nhất d đáp ứng giới hạn này.

T = 250 N·mL = 0,8 mG = 39 GPaφ_allow = 1°

d = mm

4.Xoắn của trụcKhó

Một trục đặc phải truyền 20 kW ở 300 rpm mà ứng suất tiếp không vượt quá 75 MPa. Tìm đường kính nhỏ nhất d thỏa mãn.

P = 20 kWN = 300 rpmτ_allow = 75 MPa

d = mm

5.Lực cắt và mômen uốnTrung bình

Tìm mômen uốn M_x tại mặt cắt x = 4,5 m tính từ gối A. Coi mômen làm dầm võng xuống là dương và lực cắt hướng lên trên mặt trái là dương.

L = 5 mw = 3 kN/m từ 0 đến 5 mx = 4,5 m

M_x = kN·m

6.Lực cắt và mômen uốnKhó

Dầm đơn giản chịu tải phân bố đều w trên toàn bộ nhịp và một lực tập trung P. Tìm mô-men uốn lớn nhất M_max trong dầm.

L = 6 mP = 55 kN tại 4 mw = 4 kN/m từ 0 đến 6 m

M_max = kN·m

7.Trọng tâm và mômen quán tính mặt cắtTrung bình

Tìm mômen quán tính I_x của mặt cắt chữ T đối với trục ngang x đi qua trọng tâm.

b_f = 140 mmt_f = 25 mmt_w = 16 mmh_w = 260 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Trọng tâm và mômen quán tính mặt cắtKhó

Mặt cắt chữ T được dùng làm dầm với cánh ở trên và chịu mômen uốn làm võng xuống 30 kN·m. Tìm ứng suất uốn σ_dưới ở mép dưới.

b_f = 240 mmt_f = 25 mmt_w = 20 mmh_w = 100 mmM = 30 kN·m

σ_dưới = MPa

9.Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suấtTrung bình

Một điểm trong chi tiết chịu tải có σₓ = 50 MPa, σᵧ = 10 MPa và τₓᵧ = 30 MPa (kéo là dương). Tìm góc θ_p từ trục x đến phương của ứng suất chính lớn nhất, trong khoảng −90° đến 90°.

σ_x = 50 MPaσ_y = 10 MPaτ_xy = 30 MPa

θ_p = °

10.Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suấtKhó

Một bể hình trụ thành mỏng có đường kính trong 500 mm và chiều dày thành 8 mm chứa khí ở áp suất dư 2,5 MPa. Nó được làm từ tấm thép hàn theo một đường hàn xoắn ốc nghiêng 40° so với trục của hình trụ. Tìm độ lớn của ứng suất cắt |τ_n| tác dụng dọc theo đường hàn.

D = 500 mmt = 8 mmp = 2,5 MPaα = 40°

|τ_n| = MPa

11.Độ võng của dầmTrung bình

Một dầm công xôn chịu tải phân bố đều w trên toàn chiều dài. Tìm độ võng δ tại đầu tự do.

w = 12 kN/mL = 4 mE = 200 GPa (thép)I = 57 × 10⁶ mm⁴

δ = mm

12.Độ võng của dầmKhó

Một dầm gỗ đơn giản có tiết diện chữ nhật, rộng 150 mm, chịu tải phân bố đều w trên toàn bộ nhịp. Độ võng tại giữa nhịp không được vượt quá nhịp/360. Tìm chiều cao tiết diện nhỏ nhất h_req.

w = 3 kN/mL = 3,5 mE = 11 GPa (gỗ xẻ)b = 150 mm

h_req = mm

13.Mất ổn định cộtTrung bình

Một cột dài L làm bằng nhôm được ngàm ở chân và khớp ở đỉnh. Dùng công thức Euler, tìm tải trọng oằn tới hạn P_cr của nó.

L = 1,5 mE = 70 GPa (nhôm)d = 25 mm

P_cr = kN

14.Mất ổn định cộtKhó

Một cột tròn đặc dài L làm bằng nhôm được ngàm cả hai đầu. Nó phải chịu 100 kN với hệ số an toàn 2,5 chống oằn. Tìm đường kính nhỏ nhất d.

P = 100 kNn = 2,5L = 3 mE = 70 GPa (nhôm)

d = mm

3Dung dịch

1.Ứng suất và biến dạng dọc trục

Đáp số: δ = 0,1969 mm

Hai vật liệu: khi nối tiếp (cái này sau cái kia) mỗi đoạn chịu cùng một lực và các độ giãn dài cộng lại: δ = P·Σ L/(E·A). Khi song song (cạnh nhau giữa các tấm cứng) cả hai phần co lại cùng một lượng, nên biến dạng của chúng bằng nhau: phần cứng hơn nhận phần tải lớn hơn, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, và σ_i = E_i·ε. Một thanh bị giữ giữa hai vách cứng với tải đặt tại chỗ nối là siêu tĩnh: hai đoạn chia tải theo tỉ lệ độ cứng k = EA/L của chúng.

Diện tích

A_r = π·20²/4 = 314,2 mm²

A_t = π(80² − 60²)/4 = 2199 mm²

Độ cứng dọc trục kết hợp

ΣEA = 200·10³·314,2 + 110·10³·2199 = 3,047 × 10⁸ N

Độ co ngắn

δ = 200000·300/3,047 × 10⁸ = 0,1969 mm

Đáp số

δ = 0,1969 mm

2.Ứng suất và biến dạng dọc trục

Đáp số: P_max = 769,7 kN

Diện tích

A_r = π·40²/4 = 1257 mm²

A_t = π(120² − 60²)/4 = 8482 mm²

Độ cứng dọc trục kết hợp

ΣEA = 200·10³·1257 + 100·10³·8482 = 1,1 × 10⁹ N

Biến dạng quyết định

ε = min(0,00125, 0,0007) = 0,0007 (đồng thau)

Tải lớn nhất

P_max = 0,0007·1,1 × 10⁹ = 769690 N = 769,7 kN

Đáp số

P_max = 769,7 kN

3.Xoắn của trục

Đáp số: d = 41,59 mm

Xoắn thanh tròn: ứng suất tiếp tăng tuyến tính từ không ở tâm đến τ_max = T·r/J ở bề mặt, với J = πd⁴/32 cho trục đặc và J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 cho trục rỗng. Góc xoắn là φ = TL/(GJ) tính bằng radian. Công suất và mômen xoắn liên hệ với nhau qua P = T·ω.

Mô-men quán tính độc cực cần thiết

T = 250 N·m = 250000 N·mm

L = 0,8 m = 800 mm

G = 39 GPa = 39000 MPa

φ = 1·π/180 = 0,01745 rad

J = TL/(Gφ) = 250000·800/(39000·0,01745) = 293825 mm⁴

Đường kính

d = (32J/π)^1/4 = 41,59 mm

Đáp số

d = 41,59 mm

Trong thực tế bạn sẽ làm tròn lên kích thước tiêu chuẩn kế tiếp.

4.Xoắn của trục

Đáp số: d = 35,1 mm

Mômen xoắn

ω = 2πN/60 = 2π·300/60 = 31,42 rad/s

T = P/ω = 20000/31,42 = 636,6 N·m

Đường kính từ ứng suất cho phép

d = ∛(16T/(π·τ_allow)) = ∛(16·636620/(π·75)) = 35,1 mm

Đáp số

d = 35,1 mm

Trong thực tế bạn sẽ làm tròn lên kích thước tiêu chuẩn kế tiếp.

5.Lực cắt và mômen uốn

Đáp số: M_x = 3,375 kN·m

Phương pháp mặt cắt: cắt dầm tại vị trí cần tìm nội lực và giữ lại một phía. Lực cắt V cân bằng với các lực thẳng đứng ở phía đó, và mômen uốn M cân bằng với mômen của chúng quanh mặt cắt.

Phản lực gối

Cân bằng của cả dầm.

Hợp lực của tải phân bố đều: W = w·ℓ = 3·5 = 15 kN, đặt tại x̄ = 2,5 m

ΣM_A = 0: R_B·5 = 3·5·2,5

R_B = 37,5/5 = 7,5 kN

ΣF_y = 0: R_A = 15 − 7,5 = 7,5 kN

Cắt tại x = 4,5 m và giữ phần bên trái

Chỉ các lực bên trái mặt cắt xuất hiện. Phần tải phân bố đều được thay bằng một lực đặt tại giữa phần đó.

M = R_A·x − (mỗi tải bên trái mặt cắt × cánh tay đòn đến mặt cắt)

M_x = 7,5·4,5 − 3·4,5·2,25 = 3,375 kN·m

Đáp số

M_x = 3,375 kN·m

6.Lực cắt và mômen uốn

Đáp số: M_max = 89,33 kN·m

Phương pháp mặt cắt: cắt dầm tại vị trí cần tìm nội lực và giữ lại một phía. Lực cắt V cân bằng với các lực thẳng đứng ở phía đó, và mômen uốn M cân bằng với mômen của chúng quanh mặt cắt. Mô-men lớn nhất: vì dM/dx = V, mô-men uốn đạt cực trị tại nơi lực cắt đi qua không, hoặc tại một lực tập trung hoặc bên trong một tải phân bố.

Phản lực gối

Cân bằng của cả dầm.

Hợp lực của tải phân bố đều: W = w·ℓ = 4·6 = 24 kN, đặt tại x̄ = 3 m

ΣM_A = 0: R_B·6 = 55·4 + 4·6·3

R_B = 292/6 = 48,67 kN

ΣF_y = 0: R_A = 79 − 48,67 = 30,33 kN

V = 0 ở đâu?

V(4⁻) = R_A − w·4 = 14,33 kN

V(4⁺) = 14,33 − 55 = −40,67 kN

Lực cắt đổi dấu tại tải, nên giá trị lớn nhất nằm dưới tải.

Mô-men lớn nhất

M_max = R_A·4 − w·4²/2 = 30,33·4 − 4·4²/2 = 89,33 kN·m

Đáp số

M_max = 89,33 kN·m

Nó xảy ra tại x = 4 m tính từ A.

7.Trọng tâm và mômen quán tính mặt cắt

Đáp số: I_x = 62,21 × 10⁶ mm⁴

Diện tích ghép: chia mặt cắt thành các hình chữ nhật. Trọng tâm là trung bình có trọng số theo diện tích ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Mômen quán tính của mặt cắt đối với trục đi qua trọng tâm bằng tổng bh³/12 của từng phần và số hạng trục song song A·d², trong đó d là khoảng cách từ trọng tâm của phần đó đến trọng tâm chung. Ứng suất uốn là σ = M·y/I.

Chia thành hai hình chữ nhật

Đo mọi y từ mép dưới.

cánh: A_f = 140·25 = 3500 mm², y_f = 260 + 25/2 = 272,5 mm

bụng: A_w = 16·260 = 4160 mm², y_w = 260/2 = 130 mm

Trọng tâm

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (3500·272,5 + 4160·130)/7660 = 195,1 mm

Định lý trục song song

cánh: 140·25³/12 + 3500·(272,5 − 195,1)² = 2,114 × 10⁷ mm⁴

bụng: 16·260³/12 + 4160·(130 − 195,1)² = 4,107 × 10⁷ mm⁴

I_x = 2,114 × 10⁷ + 4,107 × 10⁷ = 6,221 × 10⁷ mm⁴ = 62,21 × 10⁶ mm⁴

Đáp số

I_x = 62,21 × 10⁶ mm⁴

8.Trọng tâm và mômen quán tính mặt cắt

Đáp số: σ_dưới = 370,8 MPa

Chia thành hai hình chữ nhật

Đo mọi y từ mép dưới.

cánh: A_f = 240·25 = 6000 mm², y_f = 100 + 25/2 = 112,5 mm

bụng: A_w = 20·100 = 2000 mm², y_w = 100/2 = 50 mm

Trọng tâm

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (6000·112,5 + 2000·50)/8000 = 96,88 mm

Định lý trục song song

cánh: 240·25³/12 + 6000·(112,5 − 96,88)² = 1,777 × 10⁶ mm⁴

bụng: 20·100³/12 + 2000·(50 − 96,88)² = 6,061 × 10⁶ mm⁴

I_x = 1,777 × 10⁶ + 6,061 × 10⁶ = 7,839 × 10⁶ mm⁴

Ứng suất uốn

Mép dưới cách trục ȳ.

y = 96,88 mm

σ = M·y/I = 3 × 10⁷·96,88/7,839 × 10⁶ = 370,8 MPa

Đáp số

σ_dưới = 370,8 MPa

9.Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suất

Đáp số: θ_p = 28,15 °

Biến đổi ứng suất phẳng: trên một mặt xoay góc θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Vòng tròn Mohr cho thấy tất cả các mặt cùng lúc: tâm của nó ở C = (σₓ + σᵧ)/2 và bán kính là R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Các ứng suất chính là C ± R, và ứng suất tiếp lớn nhất trong mặt phẳng là R.

Góc trên vòng tròn

Điểm x nằm ở góc 2θp so với trục σ trên vòng tròn Mohr; góc phần tư suy ra từ dấu của σₓ − σᵧ và τₓᵧ.

2θ_p = atan2(2·30, 50 − 10) = 56,31°

Góc trên phần tử

θ_p = 28,15°

Đáp số

θ_p = 28,15°

Góc dương là ngược chiều kim đồng hồ.

10.Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suất

Đáp số: |τ_n| = 19,23 MPa

Các ứng suất trong thành

r = 500/2 = 250 mm

σ_h = pr/t = 2,5·250/8 = 78,13 MPa

σ_a = pr/(2t) = 39,06 MPa

Biến đổi sang đường hàn

Lấy x dọc theo trục (σ_a) và y theo chiều vòng (σ_h). Pháp tuyến của đường hàn tạo góc 90° − α với trục.

|τ_n| = (78,13 − 39,06)·sin 40°·cos 40° = 19,23 MPa

Đáp số

|τ_n| = 19,23 MPa

11.Độ võng của dầm

Đáp số: δ = 33,68 mm

Độ võng của dầm: độ võng có được bằng cách tích phân độ cong M/(EI) hai lần. Các trường hợp tiêu chuẩn đã được lập bảng, ví dụ PL³/(3EI) cho dầm công xôn chịu tải ở đầu tự do và 5wL⁴/(384EI) cho dầm đơn giản chịu tải phân bố đều toàn nhịp. Độ võng do các tải riêng rẽ cộng lại (xếp chồng).

Đơn vị nhất quán

Làm việc theo N và mm: P theo N, w theo N/mm (kN/m = N/mm), L theo mm, E theo N/mm² (GPa × 1000), I theo mm⁴.

w = 12 N/mm, L = 4000 mm

EI = 1,14 × 10¹³ N·mm²

Độ võng

δ = wL⁴/(8EI) = 12·4000⁴/(8·1,14 × 10¹³) = 33,68 mm

Đáp số

δ = 33,68 mm

12.Độ võng của dầm

Đáp số: h_req = 163,7 mm

Đơn vị nhất quán

Làm việc theo N và mm: P theo N, w theo N/mm (kN/m = N/mm), L theo mm, E theo N/mm² (GPa × 1000), I theo mm⁴.

w = 3 N/mm, L = 3500 mm, E = 11000 N/mm²

Giới hạn độ võng

δ_allow = L/360 = 3500/360 = 9,722 mm

Mômen quán tính mặt cắt yêu cầu

I_req = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·3·3500⁴/(384·11000·9,722) = 5,481 × 10⁷ mm⁴

Chiều cao cần thiết

bh³/12 = I_req → h = (12·5,481 × 10⁷/150)^1/3 = 163,7 mm

Đáp số

h_req = 163,7 mm

Trong thực tế, hãy chọn chiều cao tiêu chuẩn kế tiếp lớn hơn giá trị này.

13.Mất ổn định cột

Đáp số: P_cr = 12,02 kN

Mất ổn định Euler: một cột mảnh mất ổn định tại P_cr = π²EI/(KL)², trong đó KL là chiều dài tính toán: K = 1 cho khớp–khớp, 2 cho ngàm–tự do, 0,7 cho ngàm–khớp và 0,5 cho ngàm–ngàm. Cột oằn quanh trục có I nhỏ nhất. Công thức đúng với cột mảnh, có ứng suất tới hạn thấp hơn ứng suất chảy.

Mômen quán tính nhỏ nhất của mặt cắt

Mặt cắt tròn có cùng I đối với mọi trục.

I = πd⁴/64 = π·25⁴/64 = 19175 mm⁴

Chiều dài tính toán

KL = 0,7·1500 = 1050 mm

Tải trọng tới hạn

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·19175/1050² = 12016 N = 12,02 kN

Đáp số

P_cr = 12,02 kN

14.Mất ổn định cột

Đáp số: d = 63,82 mm

Tải trọng tới hạn yêu cầu

P_cr = n·P = 2,5·100000 = 250000 N

KL = 0,5·3000 = 1500 mm

Giải tìm đường kính

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·250000·1500²/(π³·70000))^(1/4) = 63,82 mm

Đáp số

d = 63,82 mm

Kiểm tra: độ mảnh KL/r là 94,02, nên cột là mảnh và công thức Euler áp dụng được.

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials