Sức bền vật liệu: gói ôn nước rút

Bảng công thức, các bước phương pháp chính cho từng chủ đề và 14 bài tập, kèm lời giải đầy đủ ở cuối.

Bài mớiQuay lại môn học

Trong cửa sổ in, hãy chọn “Lưu dưới dạng PDF” để giữ một bản trên thiết bị của bạn.

1Công thức và phương pháp

Ứng suất và biến dạng dọc trục

Ứng suất pháp
σ = F/A
Biến dạng
ε = ΔL/L
Định luật Hooke
σ = E·ε
Độ giãn dài
ΔL = FL/(EA)
Biến dạng nhiệt
εT = α·ΔT

Xoắn của trục

Ứng suất tiếp
τ = T·r/J
Trục đặc
J = πd⁴/32
Trục rỗng
J = π(D⁴ − d⁴)/32
Góc xoắn
φ = TL/(GJ)
Công suất
P = T·ω = 2πnT/60

Phương pháp

  1. Tìm mômen quán tính độc cực: J = πd⁴/32 cho trục đặc.
  2. Ứng suất tiếp ở bề mặt: τ = T·r/J, với r là bán kính ngoài.
  3. Góc xoắn: φ = TL/(GJ) theo radian.
  4. Nếu cho công suất, hãy tìm mômen xoắn trước bằng P = T·ω, ω = 2πn/60.

Lực cắt và mômen uốn

Lực cắt và mômen
V = ΣF ở một phía, M = ΣF·d ở một phía
Ứng suất uốn
σ = M·y/I
Hình chữ nhật
I = bh³/12
Mômen chống uốn của mặt cắt
W = I/ymax
Dầm đơn giản, tải phân bố đều
Mmax = wL²/8

Phương pháp

  1. Tìm phản lực gối từ cân bằng của cả dầm.
  2. Cắt dầm tại mặt cắt bạn cần và giữ lại một phía.
  3. Lực cắt: tổng các lực thẳng đứng ở phía đó. Mômen uốn: tổng mômen của chúng quanh mặt cắt.
  4. Để tìm mômen lớn nhất, hãy tìm nơi lực cắt bằng không.

Trọng tâm và mômen quán tính mặt cắt

Trọng tâm
ȳ = ΣAiyi/ΣAi
Hình chữ nhật
I = bh³/12
Định lý trục song song
I = Ic + A·d²
Mặt cắt ghép
I = Σ(Ic,i + Aidi²)

Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suất

Tâm
C = (σx + σy)/2
Bán kính
R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
Ứng suất chính
σ1,2 = C ± R
Phương chính
tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
Mặt phẳng nghiêng
σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ

Phương pháp

  1. Tính tâm của vòng tròn Mohr: C = (σx + σy)/2.
  2. Tính bán kính: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
  3. Các ứng suất chính là C ± R và ứng suất tiếp lớn nhất trong mặt phẳng là R.
  4. Các góc trên vòng tròn gấp đôi các góc trên phần tử: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Độ võng của dầm

Tải tập trung ở giữa nhịp
δ = PL³/(48EI)
Tải phân bố đều, dầm đơn giản
δ = 5wL⁴/(384EI)
Công xôn, tải ở đầu
δ = PL³/(3EI)
Công xôn, tải phân bố đều
δ = wL⁴/(8EI)
Nguyên lý xếp chồng
δ = δ1 + δ2

Mất ổn định cột

Tải Euler
Pcr = π²EI/(KL)²
Hệ số chiều dài tính toán
K = 1 khớp–khớp, 0,5 ngàm–ngàm, 0,7 ngàm–khớp, 2 ngàm–tự do
Ứng suất tới hạn
σcr = Pcr/A
Độ mảnh
λ = KL/r, r = √(I/A)

2Bài tập

1.Ứng suất và biến dạng dọc trụcTrung bình
Ø 10 mmĐồng thau2 mP = 90 kN

Tìm độ giãn dài δ của thanh đồng thau dưới tải trọng dọc trục.

P = 90 kNd = 10 mmL = 2 mE = 100 GPa
δ = mm
2.Ứng suất và biến dạng dọc trụcKhó
Ø 35 mmNhôm0,5 mØ 20 mmThép1,5 mP = 115 kN

Thanh bậc được ngàm vào tường và chịu tải ở đầu tự do. Tìm tổng độ giãn dài δ.

P = 115 kNđoạn 1: Ø35 mm, 0,5 m, nhôm (E = 70 GPa)đoạn 2: Ø20 mm, 1,5 m, thép (E = 200 GPa)
δ = mm
3.Xoắn của trụcTrung bình
d = ?T = 200 N·mL = 1,2 m

Một trục thép đặc dài 1,2 m chịu mô-men xoắn 200 N·m. Góc xoắn giữa hai đầu không được vượt quá 2°. Tìm đường kính nhỏ nhất d đáp ứng giới hạn này.

T = 200 N·mL = 1,2 mG = 80 GPaφallow = 2°
d = mm
4.Xoắn của trụcKhó
d = 60 mmTB​ = 1500 N·mTC​ = 250 N·mABC1 m0,8 m

Một trục đặc thép đường kính 60 mm được ngàm tại A. Một mô-men xoắn 1500 N·m tác dụng tại B, cách A 1 m, và một mô-men xoắn 250 N·m ngược chiều tác dụng tại đầu tự do C, cách thêm 0,8 m. Tìm ứng suất cắt lớn nhất τmax trong trục.

d = 60 mmTB = 1500 N·mTC = 250 N·mAB = 1 mBC = 0,8 m
τmax = MPa
5.Lực cắt và mômen uốnTrung bình
15 kN/m20 kNABCDEFG2 m2 m2 m2 m2 m2 m

Các điểm đánh dấu từ A đến G chia dầm thành sáu phần bằng nhau. Tại điểm nào mômen uốn có độ lớn lớn nhất, dù võng hay vồng? Nhấp vào nó trong sơ đồ.

20 kN @ 6 m15 kN/m, 0–12 m
  1. 1A (x = 0 m)
  2. 2B (x = 2 m)
  3. 3C (x = 4 m)
  4. 4D (x = 6 m)
  5. 5E (x = 8 m)
  6. 6F (x = 10 m)
  7. 7G (x = 12 m)
6.Lực cắt và mômen uốnKhó
10 kN/m35 kNABCDEFG2 m2 m2 m2 m2 m2 m

Các điểm đánh dấu từ A đến G chia dầm thành sáu phần bằng nhau. Tại điểm nào mômen uốn có độ lớn lớn nhất, dù võng hay vồng? Nhấp vào nó trong sơ đồ.

35 kN @ 12 m10 kN/m, 0–8 m
  1. 1A (x = 0 m)
  2. 2B (x = 2 m)
  3. 3C (x = 4 m)
  4. 4D (x = 6 m)
  5. 5E (x = 8 m)
  6. 6F (x = 10 m)
  7. 7G (x = 12 m)
7.Trọng tâm và mômen quán tính mặt cắtTrung bình
120 mm150 mm90 mmØ50xIx​ = ?

Một tấm 120 mm × 150 mm có một lỗ tròn đường kính 50 mm trên đường tâm thẳng đứng, tâm lỗ cách đáy 90 mm. Tìm mômen quán tính diện tích Ix quanh trục nằm ngang đi qua trọng tâm.

b = 120 mmh = 150 mmd = 50 mmtâm lỗ: y = 90 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
8.Trọng tâm và mômen quán tính mặt cắtKhó
2803020020xM võng xuốngkích thước tính bằng mm

Một dầm gang có tiết diện chữ T như hình, cánh nằm phía trên. Ứng suất cho phép là 40 MPa khi kéo và 90 MPa khi nén. Tìm mô-men uốn võng xuống lớn nhất Mallow mà dầm có thể chịu.

bf = 280 mmtf = 30 mmtw = 20 mmhw = 200 mmσt,allow = 40 MPaσc,allow = 90 MPa
Mallow = kN·m
9.Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suấtTrung bình
σx​ = 40σy​ = 110τxy​ = −60MPa

Một điểm trong một tấm mỏng ở trạng thái ứng suất phẳng: σₓ = 40 MPa, σᵧ = 110 MPa và τₓᵧ = −60 MPa, với σz = 0. Tìm ứng suất cắt lớn nhất tuyệt đối τabs tại điểm đó (xét mọi mặt trong không gian ba chiều).

σx = 40 MPaσy = 110 MPaτxy = −60 MPaσz = 0
τabs = MPa
10.Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suấtKhó
σx​ = 150σy​ = 50τxy​ = −20MPa

Một điểm trong chi tiết chịu tải có σₓ = 150 MPa, σᵧ = 50 MPa và τₓᵧ = −20 MPa (kéo là dương). Tìm ứng suất pháp σθ trên một mặt có pháp tuyến xoay 35° ngược chiều kim đồng hồ so với trục x.

σx = 150 MPaσy = 50 MPaτxy = −20 MPaθ = 35°
σθ = MPa
11.Độ võng của dầmTrung bình
w = 12 kN/mP = 18 kNABδ2 m

Một dầm công-xôn chịu tải phân bố đều w trên toàn bộ chiều dài và một lực tập trung P tại đầu tự do. Dùng nguyên lý chồng chất, tìm độ võng δ tại đầu tự do.

P = 18 kNw = 12 kN/mL = 2 mE = 70 GPa (nhôm)I = 57 × 10⁶ mm⁴
δ = mm
12.Độ võng của dầmKhó
w = 5 kN/mδL = 1,5 m

Một dầm đơn giản chịu tải phân bố đều w. Độ võng của nó không được vượt quá nhịp/360. Tìm mômen quán tính nhỏ nhất của mặt cắt Ireq thỏa mãn giới hạn này.

w = 5 kN/mL = 1,5 mE = 11 GPa (gỗ xẻ)
Ireq = × 10⁶ mm⁴
13.Mất ổn định cộtTrung bình
PL = 1 m25 × 80 mmmặt cắt ngang

Một cột dài L làm bằng thép được ngàm ở chân và khớp ở đỉnh. Dùng công thức Euler, tìm tải trọng oằn tới hạn Pcr của nó.

L = 1 mE = 200 GPa (thép)b × h = 25 × 80 mm
Pcr = kN
14.Mất ổn định cộtKhó
PL = 6 md = 30 mmmặt cắt ngang

Một cột dài L làm bằng thép được ngàm ở chân và khớp ở đỉnh. Tìm độ mảnh của nó và ứng suất oằn tới hạn σcr theo công thức Euler.

L = 6 mE = 200 GPa (thép)d = 30 mm
σcr = MPa

3Dung dịch

1.Ứng suất và biến dạng dọc trục

Đáp số: δ = 22,92 mm

Định luật Hooke: trong giới hạn đàn hồi σ = E·ε. Kết hợp với σ = P/A và ε = δ/L ta được δ = PL/(AE).

Ứng suất

A = π·10²/4 = 78,54 mm²
σ = P/A = 90·1000/78,54 = 1146 MPa

Biến dạng (định luật Hooke)

E for đồng thau = 100 GPa = 100000 MPa.

ε = σ/E = 1146/100000 = 0,01146 = 11459 µε

Độ giãn dài

δ = ε·L = 0,01146·2000 mm = 22,92 mm

Đáp số

δ = 22,92 mm
2.Ứng suất và biến dạng dọc trục

Đáp số: δ = 3,599 mm

Cấu kiện chịu tải dọc trục: mỗi đoạn lăng trụ tuân theo δ = PL/(AE). Với các cấu kiện nối tiếp, độ giãn dài cộng lại.

Cùng một lực trong cả hai đoạn

Đầu tự do chịu lực P, nên mọi mặt cắt của thanh đều chịu cùng một lực dọc trục P. Chỉ có diện tích và vật liệu thay đổi.

A1 = π·35²/4 = 962,1 mm², A2 = π·20²/4 = 314,2 mm²
σ1 = 119,5 MPa
σ2 = 366,1 MPa

Cộng độ giãn dài của các đoạn

δ1 = σ1L1/E1 = 119,5·500/70000 = 0,8538 mm
δ2 = σ2L2/E2 = 366,1·1500/200000 = 2,745 mm
δ = δ1 + δ2 = 3,599 mm

Đáp số

δ = 3,599 mm
3.Xoắn của trục

Đáp số: d = 30,59 mm

Xoắn thanh tròn: ứng suất tiếp tăng tuyến tính từ không ở tâm đến τmax = T·r/J ở bề mặt, với J = πd⁴/32 cho trục đặc và J = π(do⁴ − di⁴)/32 cho trục rỗng. Góc xoắn là φ = TL/(GJ) tính bằng radian. Công suất và mômen xoắn liên hệ với nhau qua P = T·ω.

Mô-men quán tính độc cực cần thiết

T = 200 N·m = 200000 N·mm
L = 1,2 m = 1200 mm
G = 80 GPa = 80000 MPa
φ = 2·π/180 = 0,03491 rad
J = TL/(Gφ) = 200000·1200/(80000·0,03491) = 85944 mm⁴

Đường kính

d = (32J/π)1/4 = 30,59 mm

Đáp số

d = 30,59 mm

Trong thực tế bạn sẽ làm tròn lên kích thước tiêu chuẩn kế tiếp.

4.Xoắn của trục

Đáp số: τmax = 29,47 MPa

Xoắn thanh tròn: ứng suất tiếp tăng tuyến tính từ không ở tâm đến τmax = T·r/J ở bề mặt, với J = πd⁴/32 cho trục đặc và J = π(do⁴ − di⁴)/32 cho trục rỗng. Góc xoắn là φ = TL/(GJ) tính bằng radian. Công suất và mômen xoắn liên hệ với nhau qua P = T·ω.

Các mô-men xoắn nội lực

Chiều của TC được lấy là dương.

TBC = TC = 250 N·m
TAB = TC − TB = 250 − 1500 = −1250 N·m

Ứng suất tiếp lớn nhất

Đoạn có mô-men xoắn nội lực lớn nhất có ứng suất lớn nhất (cùng đường kính).

|T|max = 1250 N·m
τmax = 16·1,25 × 10⁶/(π·60³) = 29,47 MPa

Đáp số

τmax = 29,47 MPa
5.Lực cắt và mômen uốn

Đáp số: D (x = 6 m)

Mômen uốn lớn nhất: M đổi độ dốc ở bất cứ chỗ nào lực cắt thay đổi, nên các đỉnh của nó nằm nơi lực cắt đi qua không: dưới một tải tập trung, bên trong một tải phân bố, hoặc trên một gối của phần công-xon. Tại ngàm của dầm công-xon, mômen lớn nhất ở chân tường. So sánh độ lớn của M tại những chỗ đó, dù là mômen làm võng hay làm vồng.

Phản lực gối

Lấy mômen quanh một gối tựa, rồi dùng cân bằng lực thẳng đứng.

R1 = 100 kN, R2 = 100 kN

Mômen uốn tại mỗi điểm đánh dấu

Cộng các mômen của mọi lực ở một phía của mặt cắt. Võng là dương, vồng là âm.

MA = 0, MB = 170, MC = 280, MD = 330 kN·m, ME = 280, MF = 170, MG = 0

Đáp số

Điểm đánh dấu D: MD = 330 kN·m
6.Lực cắt và mômen uốn

Đáp số: E (x = 8 m)

Mômen uốn lớn nhất: M đổi độ dốc ở bất cứ chỗ nào lực cắt thay đổi, nên các đỉnh của nó nằm nơi lực cắt đi qua không: dưới một tải tập trung, bên trong một tải phân bố, hoặc trên một gối của phần công-xon. Tại ngàm của dầm công-xon, mômen lớn nhất ở chân tường. So sánh độ lớn của M tại những chỗ đó, dù là mômen làm võng hay làm vồng.

Phản lực gối

Lấy mômen quanh một gối tựa, rồi dùng cân bằng lực thẳng đứng.

R1 = 22,5 kN, R2 = 92,5 kN

Mômen uốn tại mỗi điểm đánh dấu

Cộng các mômen của mọi lực ở một phía của mặt cắt. Võng là dương, vồng là âm.

MA = 0, MB = 25, MC = 10, MD = −45, ME = −140 kN·m, MF = −70, MG = 0

Đáp số

Điểm đánh dấu E: ME = −140 kN·m
7.Trọng tâm và mômen quán tính mặt cắt

Đáp số: Ix = 32,95 × 10⁶ mm⁴

Tiết diện có lỗ: coi lỗ là một diện tích âm. Trọng tâm là ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), với A₁, y₁ cho tấm đầy đủ và A₂, y₂ cho lỗ. Với mômen quán tính diện tích quanh trục đi qua trọng tâm, dùng định lý trục song song cho từng phần rồi trừ lỗ: I = (Ic1 + A₁d₁²) − (Ic2 + A₂d₂²), trong đó d là khoảng cách từ trọng tâm riêng của mỗi phần đến trục đi qua ȳ. Hình chữ nhật có Ic = bh³/12 và hình tròn có Ic = πd⁴/64.

Trọng tâm

ȳ = (18000·75 − 1963·90)/(18000 − 1963) = 73,16 mm

Tấm đầy đủ quanh ȳ

120·150³/12 + 18000·1,837² = 33,81 × 10⁶ mm⁴

Lỗ quanh ȳ

π·50⁴/64 + 1963·16,84² = 0,8634 × 10⁶ mm⁴

Trừ

Ix = 32,95 × 10⁶ mm⁴

Đáp số

Ix = 32,95 × 10⁶ mm⁴
8.Trọng tâm và mômen quán tính mặt cắt

Đáp số: Mallow = 11,2 kN·m

Diện tích ghép: chia mặt cắt thành các hình chữ nhật. Trọng tâm là trung bình có trọng số theo diện tích ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Mômen quán tính của mặt cắt đối với trục đi qua trọng tâm bằng tổng bh³/12 của từng phần và số hạng trục song song A·d², trong đó d là khoảng cách từ trọng tâm của phần đó đến trọng tâm chung. Ứng suất uốn là σ = M·y/I.

Trọng tâm

ȳ = (8400·215 + 4000·100)/12400 = 177,9 mm
cạnh trên: c = 230 − 177,9 = 52,1 mm

Mômen quán tính mặt cắt

I = 280·30³/12 + 8400·37,1² + 20·200³/12 + 4000·77,9² = 4,98 × 10⁷ mm⁴

Mô-men cho phép theo từng cạnh

Võng xuống: thớ trên chịu nén, thớ dưới chịu kéo.

cạnh trên: M = 90·4,98 × 10⁷/52,1 = 86,03 kN·m
cạnh dưới: M = 40·4,98 × 10⁷/177,9 = 11,2 kN·m

Giá trị quyết định

Mallow = min = 11,2 kN·m (cạnh dưới)

Đáp số

Mallow = 11,2 kN·m
9.Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suất

Đáp số: τabs = 72,23 MPa

Biến đổi ứng suất phẳng: trên một mặt xoay góc θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Vòng tròn Mohr cho thấy tất cả các mặt cùng lúc: tâm của nó ở C = (σₓ + σᵧ)/2 và bán kính là R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Các ứng suất chính là C ± R, và ứng suất tiếp lớn nhất trong mặt phẳng là R. Trong không gian ba chiều, ứng suất cắt lớn nhất tuyệt đối là (σmax − σmin)/2 trên cả ba ứng suất chính; trong ứng suất phẳng, ứng suất thứ ba bằng không.

στxyCσ1​σ2​

Các ứng suất chính trong mặt phẳng

C = 75 MPa, R = √((−35)² + (−60)²) = 69,46 MPa
σ1 = 144,5 MPa, σ2 = 5,538 MPa, σz = 0

Vòng tròn lớn nhất trong ba vòng tròn

τ = max(|σ1 − σ2|, |σ1|, |σ2|)/2 = max(138,9, 144,5, 5,538)/2 = 72,23 MPa

Đáp số

τabs = 72,23 MPa

Ở đây vòng tròn ngoài mặt phẳng quyết định: giá trị lớn nhất tuyệt đối lớn hơn giá trị lớn nhất trong mặt phẳng R.

10.Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suất

Đáp số: σθ = 98,31 MPa

Biến đổi ứng suất phẳng: trên một mặt xoay góc θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Vòng tròn Mohr cho thấy tất cả các mặt cùng lúc: tâm của nó ở C = (σₓ + σᵧ)/2 và bán kính là R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Các ứng suất chính là C ± R, và ứng suất tiếp lớn nhất trong mặt phẳng là R.

Phương trình biến đổi

σθ = 100 + 50·0,342 + −20·0,9397 = 98,31 MPa

Đáp số

σθ = 98,31 MPa
11.Độ võng của dầm

Đáp số: δ = 18,05 mm

Độ võng của dầm: độ võng có được bằng cách tích phân độ cong M/(EI) hai lần. Các trường hợp tiêu chuẩn đã được lập bảng, ví dụ PL³/(3EI) cho dầm công xôn chịu tải ở đầu tự do và 5wL⁴/(384EI) cho dầm đơn giản chịu tải phân bố đều toàn nhịp. Độ võng do các tải riêng rẽ cộng lại (xếp chồng).

Đơn vị nhất quán

Làm việc theo N và mm: P theo N, w theo N/mm (kN/m = N/mm), L theo mm, E theo N/mm² (GPa × 1000), I theo mm⁴.

P = 18000 N, w = 12 N/mm, L = 2000 mm
EI = 3,99 × 10¹² N·mm²

Từng tải riêng rẽ

δP = PL³/(3EI) = 18000·2000³/(3·3,99 × 10¹²) = 12,03 mm
δw = wL⁴/(8EI) = 12·2000⁴/(8·3,99 × 10¹²) = 6,015 mm

Cộng lại

δ = 12,03 + 6,015 = 18,05 mm

Đáp số

δ = 18,05 mm
12.Độ võng của dầm

Đáp số: Ireq = 7,191 × 10⁶ mm⁴

Độ võng của dầm: độ võng có được bằng cách tích phân độ cong M/(EI) hai lần. Các trường hợp tiêu chuẩn đã được lập bảng, ví dụ PL³/(3EI) cho dầm công xôn chịu tải ở đầu tự do và 5wL⁴/(384EI) cho dầm đơn giản chịu tải phân bố đều toàn nhịp. Độ võng do các tải riêng rẽ cộng lại (xếp chồng).

Giới hạn độ võng

δallow = L/360 = 1500/360 = 4,167 mm

Mômen quán tính mặt cắt yêu cầu

I = 5wL⁴/(384·E·δallow) = 5·5·1500⁴/(384·11000·4,167) = 7,191 × 10⁶ mm⁴
Ireq = 7,191 × 10⁶ mm⁴

Đáp số

Ireq = 7,191 × 10⁶ mm⁴
13.Mất ổn định cột

Đáp số: Pcr = 419,6 kN

Mất ổn định Euler: một cột mảnh mất ổn định tại Pcr = π²EI/(KL)², trong đó KL là chiều dài tính toán: K = 1 cho khớp–khớp, 2 cho ngàm–tự do, 0,7 cho ngàm–khớp và 0,5 cho ngàm–ngàm. Cột oằn quanh trục có I nhỏ nhất. Công thức đúng với cột mảnh, có ứng suất tới hạn thấp hơn ứng suất chảy.

Mômen quán tính nhỏ nhất của mặt cắt

Hình chữ nhật oằn quanh trục yếu, dùng kích thước nhỏ hơn lập phương.

Imin = h·b³/12 = 80·25³/12 = 104167 mm⁴

Chiều dài tính toán

KL = 0,7·1000 = 700 mm

Tải trọng tới hạn

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·104167/700² = 419626 N = 419,6 kN

Đáp số

Pcr = 419,6 kN
14.Mất ổn định cột

Đáp số: σcr = 6,294 MPa

Mất ổn định Euler: một cột mảnh mất ổn định tại Pcr = π²EI/(KL)², trong đó KL là chiều dài tính toán: K = 1 cho khớp–khớp, 2 cho ngàm–tự do, 0,7 cho ngàm–khớp và 0,5 cho ngàm–ngàm. Cột oằn quanh trục có I nhỏ nhất. Công thức đúng với cột mảnh, có ứng suất tới hạn thấp hơn ứng suất chảy.

Mômen quán tính nhỏ nhất của mặt cắt

Mặt cắt tròn có cùng I đối với mọi trục.

I = πd⁴/64 = π·30⁴/64 = 39761 mm⁴

Bán kính quán tính và độ mảnh

A = 706,9 mm²
r = √(I/A) = √(39761/706,9) = 7,5 mm
KL = 0,7·6000 = 4200 mm
KL/r = 4200/7,5 = 560

Ứng suất tới hạn

σcr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/560² = 6,294 MPa

Đáp số

σcr = 6,294 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials