Sức bền vật liệu: gói ôn nước rút

Bảng công thức, các bước phương pháp chính cho từng chủ đề và 14 bài tập, kèm lời giải đầy đủ ở cuối.

Bài mớiQuay lại môn học

Trong cửa sổ in, hãy chọn “Lưu dưới dạng PDF” để giữ một bản trên thiết bị của bạn.

1Công thức và phương pháp

Ứng suất và biến dạng dọc trục

Ứng suất pháp
σ = F/A
Biến dạng
ε = ΔL/L
Định luật Hooke
σ = E·ε
Độ giãn dài
ΔL = FL/(EA)
Biến dạng nhiệt
εT = α·ΔT

Xoắn của trục

Ứng suất tiếp
τ = T·r/J
Trục đặc
J = πd⁴/32
Trục rỗng
J = π(D⁴ − d⁴)/32
Góc xoắn
φ = TL/(GJ)
Công suất
P = T·ω = 2πnT/60

Phương pháp

  1. Tìm mômen quán tính độc cực: J = πd⁴/32 cho trục đặc.
  2. Ứng suất tiếp ở bề mặt: τ = T·r/J, với r là bán kính ngoài.
  3. Góc xoắn: φ = TL/(GJ) theo radian.
  4. Nếu cho công suất, hãy tìm mômen xoắn trước bằng P = T·ω, ω = 2πn/60.

Lực cắt và mômen uốn

Lực cắt và mômen
V = ΣF ở một phía, M = ΣF·d ở một phía
Ứng suất uốn
σ = M·y/I
Hình chữ nhật
I = bh³/12
Mômen chống uốn của mặt cắt
W = I/ymax
Dầm đơn giản, tải phân bố đều
Mmax = wL²/8

Phương pháp

  1. Tìm phản lực gối từ cân bằng của cả dầm.
  2. Cắt dầm tại mặt cắt bạn cần và giữ lại một phía.
  3. Lực cắt: tổng các lực thẳng đứng ở phía đó. Mômen uốn: tổng mômen của chúng quanh mặt cắt.
  4. Để tìm mômen lớn nhất, hãy tìm nơi lực cắt bằng không.

Trọng tâm và mômen quán tính mặt cắt

Trọng tâm
ȳ = ΣAiyi/ΣAi
Hình chữ nhật
I = bh³/12
Định lý trục song song
I = Ic + A·d²
Mặt cắt ghép
I = Σ(Ic,i + Aidi²)

Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suất

Tâm
C = (σx + σy)/2
Bán kính
R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
Ứng suất chính
σ1,2 = C ± R
Phương chính
tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
Mặt phẳng nghiêng
σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ

Phương pháp

  1. Tính tâm của vòng tròn Mohr: C = (σx + σy)/2.
  2. Tính bán kính: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
  3. Các ứng suất chính là C ± R và ứng suất tiếp lớn nhất trong mặt phẳng là R.
  4. Các góc trên vòng tròn gấp đôi các góc trên phần tử: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Độ võng của dầm

Tải tập trung ở giữa nhịp
δ = PL³/(48EI)
Tải phân bố đều, dầm đơn giản
δ = 5wL⁴/(384EI)
Công xôn, tải ở đầu
δ = PL³/(3EI)
Công xôn, tải phân bố đều
δ = wL⁴/(8EI)
Nguyên lý xếp chồng
δ = δ1 + δ2

Mất ổn định cột

Tải Euler
Pcr = π²EI/(KL)²
Hệ số chiều dài tính toán
K = 1 khớp–khớp, 0,5 ngàm–ngàm, 0,7 ngàm–khớp, 2 ngàm–tự do
Ứng suất tới hạn
σcr = Pcr/A
Độ mảnh
λ = KL/r, r = √(I/A)

2Bài tập

1.Ứng suất và biến dạng dọc trụcTrung bình
250 kNØ40110 GPaØ80/50800 mmδ = ?

Một thanh thép (đường kính 40 mm, E = 200 GPa) nằm trong một ống làm bằng đồng thanh (đường kính ngoài 80 mm, đường kính trong 50 mm, E = 110 GPa). Cả hai dài 800 mm và bị nén cùng nhau giữa các tấm cứng bởi 250 kN. Tìm độ co ngắn δ.

P = 250 kNthanh: Ø40 mm, E = 200 GPaống: Ø80/Ø50 mm, E = 110 GPaL = 800 mm
δ = mm
2.Ứng suất và biến dạng dọc trụcKhó
Ø 25 mmNhôm0,5 mØ 20 mmĐồng thau1 mP = 45 kN

Thanh bậc được ngàm vào tường và chịu tải ở đầu tự do. Tìm ứng suất pháp lớn nhất σmax trong thanh.

P = 45 kNđoạn 1: Ø25 mm, 0,5 m, nhôm (E = 70 GPa)đoạn 2: Ø20 mm, 1 m, đồng thau (E = 100 GPa)
σmax = MPa
3.Xoắn của trụcTrung bình
do​ = 50, di​ = 38 mmT = 2000 N·mL = 0,8 m

Một trục rỗng nhôm (đường kính ngoài 50 mm, đường kính trong 38 mm, chiều dài 0,8 m) được ngàm một đầu và bị xoắn bởi mô-men xoắn 2000 N·m ở đầu kia. Tìm góc xoắn φ theo độ.

T = 2000 N·mdo = 50 mmdi = 38 mmL = 0,8 mG = 26 GPa
φ = °
4.Xoắn của trụcKhó
Tdo​ = 40 mm, di​ = 32 mm

Một trục rỗng truyền 50 kW ở 1450 rpm. Tìm ứng suất tiếp lớn nhất τmax trong trục.

P = 50 kWN = 1450 rpmdo = 40 mmdi = 32 mm
τmax = MPa
5.Lực cắt và mômen uốnTrung bình
55 kN35 kNABCDEFG2 m2 m2 m2 m2 m2 m

Các điểm đánh dấu từ A đến G chia dầm thành sáu phần bằng nhau. Tại điểm nào mômen uốn có độ lớn lớn nhất, dù võng hay vồng? Nhấp vào nó trong sơ đồ.

55 kN @ 6 m35 kN @ 4 m
  1. 1A (x = 0 m)
  2. 2B (x = 2 m)
  3. 3C (x = 4 m)
  4. 4D (x = 6 m)
  5. 5E (x = 8 m)
  6. 6F (x = 10 m)
  7. 7G (x = 12 m)
6.Lực cắt và mômen uốnKhó
w = 12 kN/mP = 50 kNABmặt cắt1 m2 m3 m

Tìm mômen uốn Mx tại mặt cắt x = 3 m tính từ gối A. Coi mômen làm dầm võng xuống là dương và lực cắt hướng lên trên mặt trái là dương.

L = 6 mP = 50 kN tại 1 mw = 12 kN/m từ 0 đến 6 mx = 3 m
Mx = kN·m
7.Trọng tâm và mômen quán tính mặt cắtTrung bình
xD = 290d = 270kích thước tính bằng mm

Một ống tròn có đường kính ngoài D = 290 mm và đường kính trong d = 270 mm. Tìm bán kính quán tính r của nó đối với trục nằm ngang qua trọng tâm.

D = 290 mmd = 270 mm
r = mm
8.Trọng tâm và mômen quán tính mặt cắtKhó
120 mm300 mm210 mm40 × 30xIx​ = ?

Một tấm 120 mm × 300 mm có một lỗ khoét hình chữ nhật rộng 40 mm và cao 30 mm, đặt giữa đường tâm thẳng đứng với tâm cách đáy 210 mm. Tìm mômen quán tính diện tích Ix quanh trục nằm ngang đi qua trọng tâm.

b = 120 mmh = 300 mmlỗ khoét: 40 × 30 mmtâm lỗ: y = 210 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
9.Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suấtTrung bình
σx​ = −10σy​ = 40τxy​ = 40MPa

Một điểm trong chi tiết chịu tải có σₓ = −10 MPa, σᵧ = 40 MPa và τₓᵧ = 40 MPa (kéo là dương). Tìm góc θp từ trục x đến phương của ứng suất chính lớn nhất, trong khoảng −90° đến 90°.

σx = −10 MPaσy = 40 MPaτxy = 40 MPa
θp = °
10.Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suấtKhó
σx​ = −60σy​ = 10τxy​ = −30MPa

Một điểm trong chi tiết chịu tải có σₓ = −60 MPa, σᵧ = 10 MPa và τₓᵧ = −30 MPa (kéo là dương). Tìm ứng suất pháp σθ trên một mặt có pháp tuyến xoay 15° ngược chiều kim đồng hồ so với trục x.

σx = −60 MPaσy = 10 MPaτxy = −30 MPaθ = 15°
σθ = MPa
11.Độ võng của dầmTrung bình
w = 15 kN/mδL = 4 m

Một dầm đơn giản chịu tải phân bố đều w trên toàn nhịp. Tìm độ võng lớn nhất δmax, tại giữa nhịp.

w = 15 kN/mL = 4 mE = 11 GPa (gỗ xẻ)I = 160 × 10⁶ mm⁴
δmax = mm
12.Độ võng của dầmKhó
w = 20 kN/mP = 25 kNδL = 1,5 m

Một dầm đơn giản chịu tải phân bố đều w và một tải tập trung P ở giữa nhịp. Dùng nguyên lý xếp chồng, tìm độ võng giữa nhịp δmax.

P = 25 kNw = 20 kN/mL = 1,5 mE = 11 GPa (gỗ xẻ)I = 8,5 × 10⁶ mm⁴
δmax = mm
13.Mất ổn định cộtTrung bình
PL = 1 m30 × 40 mmmặt cắt ngang

Một cột dài L làm bằng nhôm được hai đầu khớp. Dùng công thức Euler, tìm tải trọng oằn tới hạn Pcr của nó.

L = 1 mE = 70 GPa (nhôm)b × h = 30 × 40 mm
Pcr = kN
14.Mất ổn định cộtKhó
PL = 2,5 md = 20 mmmặt cắt ngang

Một cột dài L làm bằng thép được ngàm cả hai đầu. Tìm độ mảnh của nó và ứng suất oằn tới hạn σcr theo công thức Euler.

L = 2,5 mE = 200 GPa (thép)d = 20 mm
σcr = MPa

3Dung dịch

1.Ứng suất và biến dạng dọc trục

Đáp số: δ = 0,34 mm

Hai vật liệu: khi nối tiếp (cái này sau cái kia) mỗi đoạn chịu cùng một lực và các độ giãn dài cộng lại: δ = P·Σ L/(E·A). Khi song song (cạnh nhau giữa các tấm cứng) cả hai phần co lại cùng một lượng, nên biến dạng của chúng bằng nhau: phần cứng hơn nhận phần tải lớn hơn, Pi = P·EiAi/ΣEA, và σi = Ei·ε. Một thanh bị giữ giữa hai vách cứng với tải đặt tại chỗ nối là siêu tĩnh: hai đoạn chia tải theo tỉ lệ độ cứng k = EA/L của chúng.

Diện tích

Ar = π·40²/4 = 1257 mm²
At = π(80² − 50²)/4 = 3063 mm²

Độ cứng dọc trục kết hợp

ΣEA = 200·10³·1257 + 110·10³·3063 = 5,883 × 10⁸ N

Độ co ngắn

δ = 250000·800/5,883 × 10⁸ = 0,34 mm

Đáp số

δ = 0,34 mm
2.Ứng suất và biến dạng dọc trục

Đáp số: σmax = 143,2 MPa

Cấu kiện chịu tải dọc trục: mỗi đoạn lăng trụ tuân theo δ = PL/(AE). Với các cấu kiện nối tiếp, độ giãn dài cộng lại.

Cùng một lực trong cả hai đoạn

Đầu tự do chịu lực P, nên mọi mặt cắt của thanh đều chịu cùng một lực dọc trục P. Chỉ có diện tích và vật liệu thay đổi.

A1 = π·25²/4 = 490,9 mm², A2 = π·20²/4 = 314,2 mm²
σ1 = 91,67 MPa
σ2 = 143,2 MPa

Ứng suất lớn nhất

Đoạn mảnh hơn có diện tích nhỏ hơn, nên chịu ứng suất lớn hơn.

σmax = 143,2 MPa

Đáp số

σmax = 143,2 MPa
3.Xoắn của trục

Đáp số: φ = 8,623 °

Xoắn thanh tròn: ứng suất tiếp tăng tuyến tính từ không ở tâm đến τmax = T·r/J ở bề mặt, với J = πd⁴/32 cho trục đặc và J = π(do⁴ − di⁴)/32 cho trục rỗng. Góc xoắn là φ = TL/(GJ) tính bằng radian. Công suất và mômen xoắn liên hệ với nhau qua P = T·ω.

Mômen quán tính độc cực của mặt cắt

J = π(50⁴ − 38⁴)/32 = 408885 mm⁴

Góc xoắn

T = 2000 N·m = 2 × 10⁶ N·mm
L = 0,8 m = 800 mm
G = 26 GPa = 26000 MPa
φ = TL/(GJ) = 2 × 10⁶·800/(26000·408885) = 0,1505 rad
φ = 0,1505·180/π = 8,623°

Đáp số

φ = 8,623°
4.Xoắn của trục

Đáp số: τmax = 44,38 MPa

Xoắn thanh tròn: ứng suất tiếp tăng tuyến tính từ không ở tâm đến τmax = T·r/J ở bề mặt, với J = πd⁴/32 cho trục đặc và J = π(do⁴ − di⁴)/32 cho trục rỗng. Góc xoắn là φ = TL/(GJ) tính bằng radian. Công suất và mômen xoắn liên hệ với nhau qua P = T·ω.

Mômen xoắn

ω = 2πN/60 = 2π·1450/60 = 151,8 rad/s
T = P/ω = 50000/151,8 = 329,3 N·m

Mômen quán tính độc cực của mặt cắt

J = π(40⁴ − 32⁴)/32 = 148384 mm⁴

Ứng suất tiếp lớn nhất

τmax = T·(do/2)/J = 329286·20/148384 = 44,38 MPa

Đáp số

τmax = 44,38 MPa
5.Lực cắt và mômen uốn

Đáp số: D (x = 6 m)

Mômen uốn lớn nhất: M đổi độ dốc ở bất cứ chỗ nào lực cắt thay đổi, nên các đỉnh của nó nằm nơi lực cắt đi qua không: dưới một tải tập trung, bên trong một tải phân bố, hoặc trên một gối của phần công-xon. Tại ngàm của dầm công-xon, mômen lớn nhất ở chân tường. So sánh độ lớn của M tại những chỗ đó, dù là mômen làm võng hay làm vồng.

Phản lực gối

Lấy mômen quanh một gối tựa, rồi dùng cân bằng lực thẳng đứng.

R1 = 50,83 kN, R2 = 39,17 kN

Mômen uốn tại mỗi điểm đánh dấu

Cộng các mômen của mọi lực ở một phía của mặt cắt. Võng là dương, vồng là âm.

MA = 0, MB = 101,7, MC = 203,3, MD = 235 kN·m, ME = 156,7, MF = 78,33, MG = 0

Đáp số

Điểm đánh dấu D: MD = 235 kN·m
6.Lực cắt và mômen uốn

Đáp số: Mx = 79 kN·m

Phương pháp mặt cắt: cắt dầm tại vị trí cần tìm nội lực và giữ lại một phía. Lực cắt V cân bằng với các lực thẳng đứng ở phía đó, và mômen uốn M cân bằng với mômen của chúng quanh mặt cắt.

Phản lực gối

Cân bằng của cả dầm.

Hợp lực của tải phân bố đều: W = w·ℓ = 12·6 = 72 kN, đặt tại x̄ = 3 m
ΣMA = 0: RB·6 = 50·1 + 12·6·3
RB = 266/6 = 44,33 kN
ΣFy = 0: RA = 122 − 44,33 = 77,67 kN
w = 12 kN/mP = 50 kNABRA​ = 77,67RB​ = 44,33mặt cắt1 m2 m3 m

Cắt tại x = 3 m và giữ phần bên trái

Chỉ các lực bên trái mặt cắt xuất hiện. Phần tải phân bố đều được thay bằng một lực đặt tại giữa phần đó.

M = RA·x − (mỗi tải bên trái mặt cắt × cánh tay đòn đến mặt cắt)
Mx = 77,67·3 − 50·(3 − 1) − 12·3·1,5 = 79 kN·m

Đáp số

Mx = 79 kN·m
7.Trọng tâm và mômen quán tính mặt cắt

Đáp số: r = 99,06 mm

Mô-men quán tính của tiết diện: với hình chữ nhật đối với trục qua trọng tâm của nó I = bh³/12, và đối với trục đáy bh³/3 (định lý trục song song I = Ic + A·d²). Lỗ rỗng được xử lý bằng cách trừ đi I của nó, miễn là cả hai phần có chung một trục. Mô-đun chống uốn đàn hồi là S = I/c, với c là khoảng cách đến thớ ngoài cùng. Bán kính quán tính r = √(I/A) là khoảng cách mà tại đó toàn bộ diện tích cho cùng giá trị I; nó được dùng trong bài toán mất ổn định của cột.

Diện tích thực và mô-men quán tính

A = π(D² − d²)/4 = 8796 mm²
I = π(D⁴ − d⁴)/64 = 8,632 × 10⁷ mm⁴

Bán kính quán tính

r = √(I/A) = √(8,632 × 10⁷/8796) = 99,06 mm

Đáp số

r = 99,06 mm
8.Trọng tâm và mômen quán tính mặt cắt

Đáp số: Ix = 265,4 × 10⁶ mm⁴

Tiết diện có lỗ: coi lỗ là một diện tích âm. Trọng tâm là ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), với A₁, y₁ cho tấm đầy đủ và A₂, y₂ cho lỗ. Với mômen quán tính diện tích quanh trục đi qua trọng tâm, dùng định lý trục song song cho từng phần rồi trừ lỗ: I = (Ic1 + A₁d₁²) − (Ic2 + A₂d₂²), trong đó d là khoảng cách từ trọng tâm riêng của mỗi phần đến trục đi qua ȳ. Hình chữ nhật có Ic = bh³/12 và hình tròn có Ic = πd⁴/64.

Trọng tâm

ȳ = (36000·150 − 1200·210)/(36000 − 1200) = 147,9 mm

Tấm đầy đủ quanh ȳ

120·300³/12 + 36000·2,069² = 270,2 × 10⁶ mm⁴

Lỗ quanh ȳ

40·30³/12 + 1200·62,07² = 4,713 × 10⁶ mm⁴

Trừ

Ix = 265,4 × 10⁶ mm⁴

Đáp số

Ix = 265,4 × 10⁶ mm⁴
9.Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suất

Đáp số: θp = 61 °

Biến đổi ứng suất phẳng: trên một mặt xoay góc θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Vòng tròn Mohr cho thấy tất cả các mặt cùng lúc: tâm của nó ở C = (σₓ + σᵧ)/2 và bán kính là R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Các ứng suất chính là C ± R, và ứng suất tiếp lớn nhất trong mặt phẳng là R.

στxyCσ1​σ2​

Góc trên vòng tròn

Điểm x nằm ở góc 2θp so với trục σ trên vòng tròn Mohr; góc phần tư suy ra từ dấu của σₓ − σᵧ và τₓᵧ.

2θp = atan2(2·40, −10 − 40) = 122°

Góc trên phần tử

θp = 61°

Đáp số

θp = 61°

Góc dương là ngược chiều kim đồng hồ.

10.Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suất

Đáp số: σθ = −70,31 MPa

Biến đổi ứng suất phẳng: trên một mặt xoay góc θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Vòng tròn Mohr cho thấy tất cả các mặt cùng lúc: tâm của nó ở C = (σₓ + σᵧ)/2 và bán kính là R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Các ứng suất chính là C ± R, và ứng suất tiếp lớn nhất trong mặt phẳng là R.

Phương trình biến đổi

σθ = −25 + −35·0,866 + −30·0,5 = −70,31 MPa

Đáp số

σθ = −70,31 MPa
11.Độ võng của dầm

Đáp số: δmax = 28,41 mm

Độ võng của dầm: độ võng có được bằng cách tích phân độ cong M/(EI) hai lần. Các trường hợp tiêu chuẩn đã được lập bảng, ví dụ PL³/(3EI) cho dầm công xôn chịu tải ở đầu tự do và 5wL⁴/(384EI) cho dầm đơn giản chịu tải phân bố đều toàn nhịp. Độ võng do các tải riêng rẽ cộng lại (xếp chồng).

Đơn vị nhất quán

Làm việc theo N và mm: P theo N, w theo N/mm (kN/m = N/mm), L theo mm, E theo N/mm² (GPa × 1000), I theo mm⁴.

w = 15 N/mm, L = 4000 mm
EI = 1,76 × 10¹² N·mm²

Độ võng

δmax = 5wL⁴/(384EI) = 5·15·4000⁴/(384·1,76 × 10¹²) = 28,41 mm

Đáp số

δmax = 28,41 mm
12.Độ võng của dầm

Đáp số: δmax = 32,9 mm

Độ võng của dầm: độ võng có được bằng cách tích phân độ cong M/(EI) hai lần. Các trường hợp tiêu chuẩn đã được lập bảng, ví dụ PL³/(3EI) cho dầm công xôn chịu tải ở đầu tự do và 5wL⁴/(384EI) cho dầm đơn giản chịu tải phân bố đều toàn nhịp. Độ võng do các tải riêng rẽ cộng lại (xếp chồng).

Đơn vị nhất quán

Làm việc theo N và mm: P theo N, w theo N/mm (kN/m = N/mm), L theo mm, E theo N/mm² (GPa × 1000), I theo mm⁴.

P = 25000 N, w = 20 N/mm, L = 1500 mm, EI = 9,35 × 10¹⁰ N·mm²

Từng tải riêng rẽ

δP = PL³/(48EI) = 25000·1500³/(48·9,35 × 10¹⁰) = 18,8 mm
δw = 5wL⁴/(384EI) = 5·20·1500⁴/(384·9,35 × 10¹⁰) = 14,1 mm

Cộng lại

δmax = 18,8 + 14,1 = 32,9 mm

Đáp số

δmax = 32,9 mm
13.Mất ổn định cột

Đáp số: Pcr = 62,18 kN

Mất ổn định Euler: một cột mảnh mất ổn định tại Pcr = π²EI/(KL)², trong đó KL là chiều dài tính toán: K = 1 cho khớp–khớp, 2 cho ngàm–tự do, 0,7 cho ngàm–khớp và 0,5 cho ngàm–ngàm. Cột oằn quanh trục có I nhỏ nhất. Công thức đúng với cột mảnh, có ứng suất tới hạn thấp hơn ứng suất chảy.

Mômen quán tính nhỏ nhất của mặt cắt

Hình chữ nhật oằn quanh trục yếu, dùng kích thước nhỏ hơn lập phương.

Imin = h·b³/12 = 40·30³/12 = 90000 mm⁴

Chiều dài tính toán

KL = 1·1000 = 1000 mm

Tải trọng tới hạn

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·90000/1000² = 62179 N = 62,18 kN

Đáp số

Pcr = 62,18 kN
14.Mất ổn định cột

Đáp số: σcr = 31,58 MPa

Mất ổn định Euler: một cột mảnh mất ổn định tại Pcr = π²EI/(KL)², trong đó KL là chiều dài tính toán: K = 1 cho khớp–khớp, 2 cho ngàm–tự do, 0,7 cho ngàm–khớp và 0,5 cho ngàm–ngàm. Cột oằn quanh trục có I nhỏ nhất. Công thức đúng với cột mảnh, có ứng suất tới hạn thấp hơn ứng suất chảy.

Mômen quán tính nhỏ nhất của mặt cắt

Mặt cắt tròn có cùng I đối với mọi trục.

I = πd⁴/64 = π·20⁴/64 = 7854 mm⁴

Bán kính quán tính và độ mảnh

A = 314,2 mm²
r = √(I/A) = √(7854/314,2) = 5 mm
KL = 0,5·2500 = 1250 mm
KL/r = 1250/5 = 250

Ứng suất tới hạn

σcr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/250² = 31,58 MPa

Đáp số

σcr = 31,58 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials