Sức bền vật liệu: gói ôn nước rút

Bảng công thức, các bước phương pháp chính cho từng chủ đề và 14 bài tập, kèm lời giải đầy đủ ở cuối.

Bài mớiQuay lại môn học

Trong cửa sổ in, hãy chọn “Lưu dưới dạng PDF” để giữ một bản trên thiết bị của bạn.

1Công thức và phương pháp

Ứng suất và biến dạng dọc trục

Ứng suất pháp
σ = F/A
Biến dạng
ε = ΔL/L
Định luật Hooke
σ = E·ε
Độ giãn dài
ΔL = FL/(EA)
Biến dạng nhiệt
εT = α·ΔT

Xoắn của trục

Ứng suất tiếp
τ = T·r/J
Trục đặc
J = πd⁴/32
Trục rỗng
J = π(D⁴ − d⁴)/32
Góc xoắn
φ = TL/(GJ)
Công suất
P = T·ω = 2πnT/60

Phương pháp

  1. Tìm mômen quán tính độc cực: J = πd⁴/32 cho trục đặc.
  2. Ứng suất tiếp ở bề mặt: τ = T·r/J, với r là bán kính ngoài.
  3. Góc xoắn: φ = TL/(GJ) theo radian.
  4. Nếu cho công suất, hãy tìm mômen xoắn trước bằng P = T·ω, ω = 2πn/60.

Lực cắt và mômen uốn

Lực cắt và mômen
V = ΣF ở một phía, M = ΣF·d ở một phía
Ứng suất uốn
σ = M·y/I
Hình chữ nhật
I = bh³/12
Mômen chống uốn của mặt cắt
W = I/ymax
Dầm đơn giản, tải phân bố đều
Mmax = wL²/8

Phương pháp

  1. Tìm phản lực gối từ cân bằng của cả dầm.
  2. Cắt dầm tại mặt cắt bạn cần và giữ lại một phía.
  3. Lực cắt: tổng các lực thẳng đứng ở phía đó. Mômen uốn: tổng mômen của chúng quanh mặt cắt.
  4. Để tìm mômen lớn nhất, hãy tìm nơi lực cắt bằng không.

Trọng tâm và mômen quán tính mặt cắt

Trọng tâm
ȳ = ΣAiyi/ΣAi
Hình chữ nhật
I = bh³/12
Định lý trục song song
I = Ic + A·d²
Mặt cắt ghép
I = Σ(Ic,i + Aidi²)

Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suất

Tâm
C = (σx + σy)/2
Bán kính
R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
Ứng suất chính
σ1,2 = C ± R
Phương chính
tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
Mặt phẳng nghiêng
σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ

Phương pháp

  1. Tính tâm của vòng tròn Mohr: C = (σx + σy)/2.
  2. Tính bán kính: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
  3. Các ứng suất chính là C ± R và ứng suất tiếp lớn nhất trong mặt phẳng là R.
  4. Các góc trên vòng tròn gấp đôi các góc trên phần tử: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Độ võng của dầm

Tải tập trung ở giữa nhịp
δ = PL³/(48EI)
Tải phân bố đều, dầm đơn giản
δ = 5wL⁴/(384EI)
Công xôn, tải ở đầu
δ = PL³/(3EI)
Công xôn, tải phân bố đều
δ = wL⁴/(8EI)
Nguyên lý xếp chồng
δ = δ1 + δ2

Mất ổn định cột

Tải Euler
Pcr = π²EI/(KL)²
Hệ số chiều dài tính toán
K = 1 khớp–khớp, 0,5 ngàm–ngàm, 0,7 ngàm–khớp, 2 ngàm–tự do
Ứng suất tới hạn
σcr = Pcr/A
Độ mảnh
λ = KL/r, r = √(I/A)

2Bài tập

1.Ứng suất và biến dạng dọc trụcTrung bình
Ø 20 mmĐồng thau2 mP = 90 kN

Tìm độ giãn dài δ của thanh đồng thau dưới tải trọng dọc trục.

P = 90 kNd = 20 mmL = 2 mE = 100 GPa
δ = mm
2.Ứng suất và biến dạng dọc trụcKhó
P = ?Ø40110 GPaØ100/60500 mm

Một thanh thép (đường kính 40 mm, E = 200 GPa, ứng suất cho phép 120 MPa) nằm trong một ống làm bằng đồng thanh (đường kính ngoài 100 mm, đường kính trong 60 mm, E = 110 GPa, ứng suất cho phép 50 MPa). Chúng bị nén cùng nhau giữa các tấm cứng. Tìm tải lớn nhất Pmax.

thanh: Ø40 mm, E = 200 GPa, σallow = 120 MPaống: Ø100/Ø60 mm, E = 110 GPa, σallow = 50 MPa
Pmax = kN
3.Xoắn của trụcTrung bình
d = 12 mmT = 30 N·m300 mmφ = 3,17°

Trong một thí nghiệm xoắn, một mẫu đặc đường kính 12 mm bị xoắn bởi mô-men xoắn 30 N·m. Hai đầu của một đoạn đo dài 300 mm quay 3,17° so với nhau (vật liệu vẫn còn đàn hồi). Tìm mô-đun cắt G của vật liệu.

T = 30 N·md = 12 mmL = 300 mmφ = 3,17°
G = GPa
4.Xoắn của trụcKhó
do​ = ?30 kW, 300 rpm

Một trục rỗng phải truyền 30 kW ở 300 rpm. Đường kính trong của nó bằng 0,75 lần đường kính ngoài, và ứng suất cắt không được vượt quá 40 MPa. Tìm đường kính ngoài nhỏ nhất do.

P = 30 kWN = 300 rpmdi/do = 0,75τallow = 40 MPa
do = mm
5.Lực cắt và mômen uốnTrung bình
6 kN/m55 kNABCDEFG2 m2 m2 m2 m2 m2 m

Các điểm đánh dấu từ A đến G chia dầm thành sáu phần bằng nhau. Tại điểm nào mômen uốn có độ lớn lớn nhất, dù võng hay vồng? Nhấp vào nó trong sơ đồ.

55 kN @ 6 m6 kN/m, 0–12 m
  1. 1A (x = 0 m)
  2. 2B (x = 2 m)
  3. 3C (x = 4 m)
  4. 4D (x = 6 m)
  5. 5E (x = 8 m)
  6. 6F (x = 10 m)
  7. 7G (x = 12 m)
6.Lực cắt và mômen uốnKhó
10 kN/m25 kNABCDEFG2 m2 m2 m2 m2 m2 m

Các điểm đánh dấu từ A đến G chia dầm thành sáu phần bằng nhau. Tại điểm nào mômen uốn có độ lớn lớn nhất, dù võng hay vồng? Nhấp vào nó trong sơ đồ.

25 kN @ 12 m10 kN/m, 0–8 m
  1. 1A (x = 0 m)
  2. 2B (x = 2 m)
  3. 3C (x = 4 m)
  4. 4D (x = 6 m)
  5. 5E (x = 8 m)
  6. 6F (x = 10 m)
  7. 7G (x = 12 m)
7.Trọng tâm và mômen quán tính mặt cắtTrung bình
150 mm240 mm72 mmØ60xIx​ = ?

Một tấm 150 mm × 240 mm có một lỗ tròn đường kính 60 mm trên đường tâm thẳng đứng, tâm lỗ cách đáy 72 mm. Tìm mômen quán tính diện tích Ix quanh trục nằm ngang đi qua trọng tâm.

b = 150 mmh = 240 mmd = 60 mmtâm lỗ: y = 72 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
8.Trọng tâm và mômen quán tính mặt cắtKhó
1601012018xM = 5 kN·mkích thước tính bằng mm

Mặt cắt chữ T được dùng làm dầm với cánh ở trên và chịu mômen uốn làm võng xuống 5 kN·m. Tìm độ lớn ứng suất uốn σtrên ở mép trên.

bf = 160 mmtf = 10 mmtw = 18 mmhw = 120 mmM = 5 kN·m
σtrên = MPa
9.Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suấtTrung bình
σx​ = 50σy​ = −50τxy​ = −20MPa

Một điểm trong chi tiết chịu tải có σₓ = 50 MPa, σᵧ = −50 MPa và τₓᵧ = −20 MPa (kéo là dương). Tìm góc θp từ trục x đến phương của ứng suất chính lớn nhất, trong khoảng −90° đến 90°.

σx = 50 MPaσy = −50 MPaτxy = −20 MPa
θp = °
10.Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suấtKhó
55°D = 600 mm, t = 8 mm, p = 2,5 MPap

Một bể hình trụ thành mỏng có đường kính trong 600 mm và chiều dày thành 8 mm chứa khí ở áp suất dư 2,5 MPa. Nó được làm từ tấm thép hàn theo một đường hàn xoắn ốc nghiêng 55° so với trục của hình trụ. Tìm ứng suất pháp σn tác dụng vuông góc với đường hàn.

D = 600 mmt = 8 mmp = 2,5 MPaα = 55°
σn = MPa
11.Độ võng của dầmTrung bình
w = 12 kN/mδL = 6 m

Một dầm đơn giản chịu tải phân bố đều w trên toàn nhịp. Tìm độ võng lớn nhất δmax, tại giữa nhịp.

w = 12 kN/mL = 6 mE = 70 GPa (nhôm)I = 57 × 10⁶ mm⁴
δmax = mm
12.Độ võng của dầmKhó
P = 6 kNABδ2,5 m1,5 m

Một dầm đơn giản chịu lực tập trung P tại vị trí cách gối B một đoạn b = 1,5 m. Tìm độ võng lớn nhất δmax của dầm.

P = 6 kNb = 1,5 mL = 4 mE = 70 GPa (nhôm)I = 84 × 10⁶ mm⁴
δmax = mm
13.Mất ổn định cộtTrung bình
PL = 2,5 m25 × 80 mmmặt cắt ngang

Một cột dài L làm bằng nhôm được ngàm ở chân và khớp ở đỉnh. Dùng công thức Euler, tìm tải trọng oằn tới hạn Pcr của nó.

L = 2,5 mE = 70 GPa (nhôm)b × h = 25 × 80 mm
Pcr = kN
14.Mất ổn định cộtKhó
PL = 1 md = 25 mmmặt cắt ngang

Một cột dài L làm bằng thép được ngàm ở chân và khớp ở đỉnh. Tìm độ mảnh của nó và ứng suất oằn tới hạn σcr theo công thức Euler.

L = 1 mE = 200 GPa (thép)d = 25 mm
σcr = MPa

3Dung dịch

1.Ứng suất và biến dạng dọc trục

Đáp số: δ = 5,73 mm

Định luật Hooke: trong giới hạn đàn hồi σ = E·ε. Kết hợp với σ = P/A và ε = δ/L ta được δ = PL/(AE).

Ứng suất

A = π·20²/4 = 314,2 mm²
σ = P/A = 90·1000/314,2 = 286,5 MPa

Biến dạng (định luật Hooke)

E for đồng thau = 100 GPa = 100000 MPa.

ε = σ/E = 286,5/100000 = 0,002865 = 2865 µε

Độ giãn dài

δ = ε·L = 0,002865·2000 mm = 5,73 mm

Đáp số

δ = 5,73 mm
2.Ứng suất và biến dạng dọc trục

Đáp số: Pmax = 365,6 kN

Hai vật liệu: khi nối tiếp (cái này sau cái kia) mỗi đoạn chịu cùng một lực và các độ giãn dài cộng lại: δ = P·Σ L/(E·A). Khi song song (cạnh nhau giữa các tấm cứng) cả hai phần co lại cùng một lượng, nên biến dạng của chúng bằng nhau: phần cứng hơn nhận phần tải lớn hơn, Pi = P·EiAi/ΣEA, và σi = Ei·ε. Một thanh bị giữ giữa hai vách cứng với tải đặt tại chỗ nối là siêu tĩnh: hai đoạn chia tải theo tỉ lệ độ cứng k = EA/L của chúng.

Diện tích

Ar = π·40²/4 = 1257 mm²
At = π(100² − 60²)/4 = 5027 mm²

Độ cứng dọc trục kết hợp

ΣEA = 200·10³·1257 + 110·10³·5027 = 8,042 × 10⁸ N

Biến dạng quyết định

ε = min(0,0006, 0,0004545) = 0,0004545 (đồng thanh)

Tải lớn nhất

Pmax = 0,0004545·8,042 × 10⁸ = 365567 N = 365,6 kN

Đáp số

Pmax = 365,6 kN
3.Xoắn của trục

Đáp số: G = 79,91 GPa

Xoắn thanh tròn: ứng suất tiếp tăng tuyến tính từ không ở tâm đến τmax = T·r/J ở bề mặt, với J = πd⁴/32 cho trục đặc và J = π(do⁴ − di⁴)/32 cho trục rỗng. Góc xoắn là φ = TL/(GJ) tính bằng radian. Công suất và mômen xoắn liên hệ với nhau qua P = T·ω.

Mô-men quán tính độc cực và góc

J = π·12⁴/32 = 2036 mm⁴
φ = 3,17·π/180 = 0,05533 rad

Mô đun trượt

T = 30 N·m = 30000 N·mm
G = TL/(Jφ) = 30000·300/(2036·0,05533) = 79906 MPa
G = 79,91 GPa

Đáp số

G = 79,91 GPa

So sánh: thép ≈ 80 GPa, đồng thau ≈ 39 GPa, nhôm ≈ 26 GPa.

4.Xoắn của trục

Đáp số: do = 56,24 mm

Xoắn thanh tròn: ứng suất tiếp tăng tuyến tính từ không ở tâm đến τmax = T·r/J ở bề mặt, với J = πd⁴/32 cho trục đặc và J = π(do⁴ − di⁴)/32 cho trục rỗng. Góc xoắn là φ = TL/(GJ) tính bằng radian. Công suất và mômen xoắn liên hệ với nhau qua P = T·ω.

Mômen xoắn

ω = 2πN/60 = 2π·300/60 = 31,42 rad/s
T = P/ω = 30000/31,42 = 954,9 N·m

Đường kính ngoài từ ứng suất cho phép

T = 954,9 N·m = 954930 N·mm
1 − k⁴ = 1 − 0,75⁴ = 0,6836
do = ∛(16T/(π·τallow·(1 − k⁴))) = ∛(16·954930/(π·40·0,6836)) = 56,24 mm
di = 0,75·56,24 = 42,18 mm

Đáp số

do = 56,24 mm

Một trục đặc sẽ cần d = 49,54 mm; trục rỗng lớn hơn một chút nhưng nhẹ hơn nhiều.

5.Lực cắt và mômen uốn

Đáp số: D (x = 6 m)

Mômen uốn lớn nhất: M đổi độ dốc ở bất cứ chỗ nào lực cắt thay đổi, nên các đỉnh của nó nằm nơi lực cắt đi qua không: dưới một tải tập trung, bên trong một tải phân bố, hoặc trên một gối của phần công-xon. Tại ngàm của dầm công-xon, mômen lớn nhất ở chân tường. So sánh độ lớn của M tại những chỗ đó, dù là mômen làm võng hay làm vồng.

Phản lực gối

Lấy mômen quanh một gối tựa, rồi dùng cân bằng lực thẳng đứng.

R1 = 63,5 kN, R2 = 63,5 kN

Mômen uốn tại mỗi điểm đánh dấu

Cộng các mômen của mọi lực ở một phía của mặt cắt. Võng là dương, vồng là âm.

MA = 0, MB = 115, MC = 206, MD = 273 kN·m, ME = 206, MF = 115, MG = 0

Đáp số

Điểm đánh dấu D: MD = 273 kN·m
6.Lực cắt và mômen uốn

Đáp số: E (x = 8 m)

Mômen uốn lớn nhất: M đổi độ dốc ở bất cứ chỗ nào lực cắt thay đổi, nên các đỉnh của nó nằm nơi lực cắt đi qua không: dưới một tải tập trung, bên trong một tải phân bố, hoặc trên một gối của phần công-xon. Tại ngàm của dầm công-xon, mômen lớn nhất ở chân tường. So sánh độ lớn của M tại những chỗ đó, dù là mômen làm võng hay làm vồng.

Phản lực gối

Lấy mômen quanh một gối tựa, rồi dùng cân bằng lực thẳng đứng.

R1 = 27,5 kN, R2 = 77,5 kN

Mômen uốn tại mỗi điểm đánh dấu

Cộng các mômen của mọi lực ở một phía của mặt cắt. Võng là dương, vồng là âm.

MA = 0, MB = 35, MC = 30, MD = −15, ME = −100 kN·m, MF = −50, MG = 0

Đáp số

Điểm đánh dấu E: ME = −100 kN·m
7.Trọng tâm và mômen quán tính mặt cắt

Đáp số: Ix = 165,1 × 10⁶ mm⁴

Tiết diện có lỗ: coi lỗ là một diện tích âm. Trọng tâm là ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), với A₁, y₁ cho tấm đầy đủ và A₂, y₂ cho lỗ. Với mômen quán tính diện tích quanh trục đi qua trọng tâm, dùng định lý trục song song cho từng phần rồi trừ lỗ: I = (Ic1 + A₁d₁²) − (Ic2 + A₂d₂²), trong đó d là khoảng cách từ trọng tâm riêng của mỗi phần đến trục đi qua ȳ. Hình chữ nhật có Ic = bh³/12 và hình tròn có Ic = πd⁴/64.

Trọng tâm

ȳ = (36000·120 − 2827·72)/(36000 − 2827) = 124,1 mm

Tấm đầy đủ quanh ȳ

150·240³/12 + 36000·−4,091² = 173,4 × 10⁶ mm⁴

Lỗ quanh ȳ

π·60⁴/64 + 2827·−52,09² = 8,308 × 10⁶ mm⁴

Trừ

Ix = 165,1 × 10⁶ mm⁴

Đáp số

Ix = 165,1 × 10⁶ mm⁴
8.Trọng tâm và mômen quán tính mặt cắt

Đáp số: σtrên = 32,63 MPa

Diện tích ghép: chia mặt cắt thành các hình chữ nhật. Trọng tâm là trung bình có trọng số theo diện tích ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Mômen quán tính của mặt cắt đối với trục đi qua trọng tâm bằng tổng bh³/12 của từng phần và số hạng trục song song A·d², trong đó d là khoảng cách từ trọng tâm của phần đó đến trọng tâm chung. Ứng suất uốn là σ = M·y/I.

Chia thành hai hình chữ nhật

Đo mọi y từ mép dưới.

cánh: Af = 160·10 = 1600 mm², yf = 120 + 10/2 = 125 mm
bụng: Aw = 18·120 = 2160 mm², yw = 120/2 = 60 mm

Trọng tâm

ȳ = (Afyf + Awyw)/(Af + Aw) = (1600·125 + 2160·60)/3760 = 87,66 mm

Định lý trục song song

cánh: 160·10³/12 + 1600·(125 − 87,66)² = 2,244 × 10⁶ mm⁴
bụng: 18·120³/12 + 2160·(60 − 87,66)² = 4,245 × 10⁶ mm⁴
Ix = 2,244 × 10⁶ + 4,245 × 10⁶ = 6,489 × 10⁶ mm⁴

Ứng suất uốn

Mép trên cách trục h − ȳ.

y = 130 − 87,66 = 42,34 mm
σ = M·y/I = 5 × 10⁶·42,34/6,489 × 10⁶ = 32,63 MPa

Đáp số

σtrên = 32,63 MPa
9.Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suất

Đáp số: θp = −10,9 °

Biến đổi ứng suất phẳng: trên một mặt xoay góc θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Vòng tròn Mohr cho thấy tất cả các mặt cùng lúc: tâm của nó ở C = (σₓ + σᵧ)/2 và bán kính là R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Các ứng suất chính là C ± R, và ứng suất tiếp lớn nhất trong mặt phẳng là R.

στxyCσ1​σ2​

Góc trên vòng tròn

Điểm x nằm ở góc 2θp so với trục σ trên vòng tròn Mohr; góc phần tư suy ra từ dấu của σₓ − σᵧ và τₓᵧ.

2θp = atan2(2·−20, 50 − −50) = −21,8°

Góc trên phần tử

θp = −10,9°

Đáp số

θp = −10,9°

Góc dương là ngược chiều kim đồng hồ.

10.Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suất

Đáp số: σn = 62,3 MPa

Biến đổi ứng suất phẳng: trên một mặt xoay góc θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Vòng tròn Mohr cho thấy tất cả các mặt cùng lúc: tâm của nó ở C = (σₓ + σᵧ)/2 và bán kính là R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Các ứng suất chính là C ± R, và ứng suất tiếp lớn nhất trong mặt phẳng là R. Hình trụ thành mỏng: ứng suất vòng σh = pr/t và ứng suất dọc trục σa = pr/(2t); đó là các ứng suất chính trong thành.

Các ứng suất trong thành

r = 600/2 = 300 mm
σh = pr/t = 2,5·300/8 = 93,75 MPa
σa = pr/(2t) = 46,88 MPa

Biến đổi sang đường hàn

Lấy x dọc theo trục (σa) và y theo chiều vòng (σh). Pháp tuyến của đường hàn tạo góc 90° − α với trục.

σn = 46,88·sin²55° + 93,75·cos²55° = 62,3 MPa

Đáp số

σn = 62,3 MPa
11.Độ võng của dầm

Đáp số: δmax = 50,75 mm

Độ võng của dầm: độ võng có được bằng cách tích phân độ cong M/(EI) hai lần. Các trường hợp tiêu chuẩn đã được lập bảng, ví dụ PL³/(3EI) cho dầm công xôn chịu tải ở đầu tự do và 5wL⁴/(384EI) cho dầm đơn giản chịu tải phân bố đều toàn nhịp. Độ võng do các tải riêng rẽ cộng lại (xếp chồng).

Đơn vị nhất quán

Làm việc theo N và mm: P theo N, w theo N/mm (kN/m = N/mm), L theo mm, E theo N/mm² (GPa × 1000), I theo mm⁴.

w = 12 N/mm, L = 6000 mm
EI = 3,99 × 10¹² N·mm²

Độ võng

δmax = 5wL⁴/(384EI) = 5·12·6000⁴/(384·3,99 × 10¹²) = 50,75 mm

Đáp số

δmax = 50,75 mm
12.Độ võng của dầm

Đáp số: δmax = 1,252 mm

Độ võng của dầm: độ võng có được bằng cách tích phân độ cong M/(EI) hai lần. Các trường hợp tiêu chuẩn đã được lập bảng, ví dụ PL³/(3EI) cho dầm công xôn chịu tải ở đầu tự do và 5wL⁴/(384EI) cho dầm đơn giản chịu tải phân bố đều toàn nhịp. Độ võng do các tải riêng rẽ cộng lại (xếp chồng).

Đơn vị nhất quán

Làm việc theo N và mm: P theo N, w theo N/mm (kN/m = N/mm), L theo mm, E theo N/mm² (GPa × 1000), I theo mm⁴.

P = 6000 N, b = 1500 mm, L = 4000 mm
EI = 5,88 × 10¹² N·mm²

Vị trí của giá trị lớn nhất

Cho góc xoay trong đoạn dài hơn bằng không sẽ cho vị trí này.

x = √((L² − b²)/3) = √((4000² − 1500²)/3) = 2141 mm

Độ võng lớn nhất

δmax = Pb(L² − b²)3/2/(9√3·EIL) = 1,252 mm

Đáp số

δmax = 1,252 mm
13.Mất ổn định cột

Đáp số: Pcr = 23,5 kN

Mất ổn định Euler: một cột mảnh mất ổn định tại Pcr = π²EI/(KL)², trong đó KL là chiều dài tính toán: K = 1 cho khớp–khớp, 2 cho ngàm–tự do, 0,7 cho ngàm–khớp và 0,5 cho ngàm–ngàm. Cột oằn quanh trục có I nhỏ nhất. Công thức đúng với cột mảnh, có ứng suất tới hạn thấp hơn ứng suất chảy.

Mômen quán tính nhỏ nhất của mặt cắt

Hình chữ nhật oằn quanh trục yếu, dùng kích thước nhỏ hơn lập phương.

Imin = h·b³/12 = 80·25³/12 = 104167 mm⁴

Chiều dài tính toán

KL = 0,7·2500 = 1750 mm

Tải trọng tới hạn

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·104167/1750² = 23499 N = 23,5 kN

Đáp số

Pcr = 23,5 kN
14.Mất ổn định cột

Đáp số: σcr = 157,4 MPa

Mất ổn định Euler: một cột mảnh mất ổn định tại Pcr = π²EI/(KL)², trong đó KL là chiều dài tính toán: K = 1 cho khớp–khớp, 2 cho ngàm–tự do, 0,7 cho ngàm–khớp và 0,5 cho ngàm–ngàm. Cột oằn quanh trục có I nhỏ nhất. Công thức đúng với cột mảnh, có ứng suất tới hạn thấp hơn ứng suất chảy.

Mômen quán tính nhỏ nhất của mặt cắt

Mặt cắt tròn có cùng I đối với mọi trục.

I = πd⁴/64 = π·25⁴/64 = 19175 mm⁴

Bán kính quán tính và độ mảnh

A = 490,9 mm²
r = √(I/A) = √(19175/490,9) = 6,25 mm
KL = 0,7·1000 = 700 mm
KL/r = 700/6,25 = 112

Ứng suất tới hạn

σcr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/112² = 157,4 MPa

Đáp số

σcr = 157,4 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials