Sức bền vật liệu: gói ôn nước rút

Bảng công thức, các bước phương pháp chính cho từng chủ đề và 14 bài tập, kèm lời giải đầy đủ ở cuối.

Bài mớiQuay lại môn học

Trong cửa sổ in, hãy chọn “Lưu dưới dạng PDF” để giữ một bản trên thiết bị của bạn.

1Công thức và phương pháp

Ứng suất và biến dạng dọc trục

Ứng suất pháp
σ = F/A
Biến dạng
ε = ΔL/L
Định luật Hooke
σ = E·ε
Độ giãn dài
ΔL = FL/(EA)
Biến dạng nhiệt
εT = α·ΔT

Xoắn của trục

Ứng suất tiếp
τ = T·r/J
Trục đặc
J = πd⁴/32
Trục rỗng
J = π(D⁴ − d⁴)/32
Góc xoắn
φ = TL/(GJ)
Công suất
P = T·ω = 2πnT/60

Phương pháp

  1. Tìm mômen quán tính độc cực: J = πd⁴/32 cho trục đặc.
  2. Ứng suất tiếp ở bề mặt: τ = T·r/J, với r là bán kính ngoài.
  3. Góc xoắn: φ = TL/(GJ) theo radian.
  4. Nếu cho công suất, hãy tìm mômen xoắn trước bằng P = T·ω, ω = 2πn/60.

Lực cắt và mômen uốn

Lực cắt và mômen
V = ΣF ở một phía, M = ΣF·d ở một phía
Ứng suất uốn
σ = M·y/I
Hình chữ nhật
I = bh³/12
Mômen chống uốn của mặt cắt
W = I/ymax
Dầm đơn giản, tải phân bố đều
Mmax = wL²/8

Phương pháp

  1. Tìm phản lực gối từ cân bằng của cả dầm.
  2. Cắt dầm tại mặt cắt bạn cần và giữ lại một phía.
  3. Lực cắt: tổng các lực thẳng đứng ở phía đó. Mômen uốn: tổng mômen của chúng quanh mặt cắt.
  4. Để tìm mômen lớn nhất, hãy tìm nơi lực cắt bằng không.

Trọng tâm và mômen quán tính mặt cắt

Trọng tâm
ȳ = ΣAiyi/ΣAi
Hình chữ nhật
I = bh³/12
Định lý trục song song
I = Ic + A·d²
Mặt cắt ghép
I = Σ(Ic,i + Aidi²)

Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suất

Tâm
C = (σx + σy)/2
Bán kính
R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
Ứng suất chính
σ1,2 = C ± R
Phương chính
tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
Mặt phẳng nghiêng
σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ

Phương pháp

  1. Tính tâm của vòng tròn Mohr: C = (σx + σy)/2.
  2. Tính bán kính: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
  3. Các ứng suất chính là C ± R và ứng suất tiếp lớn nhất trong mặt phẳng là R.
  4. Các góc trên vòng tròn gấp đôi các góc trên phần tử: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Độ võng của dầm

Tải tập trung ở giữa nhịp
δ = PL³/(48EI)
Tải phân bố đều, dầm đơn giản
δ = 5wL⁴/(384EI)
Công xôn, tải ở đầu
δ = PL³/(3EI)
Công xôn, tải phân bố đều
δ = wL⁴/(8EI)
Nguyên lý xếp chồng
δ = δ1 + δ2

Mất ổn định cột

Tải Euler
Pcr = π²EI/(KL)²
Hệ số chiều dài tính toán
K = 1 khớp–khớp, 0,5 ngàm–ngàm, 0,7 ngàm–khớp, 2 ngàm–tự do
Ứng suất tới hạn
σcr = Pcr/A
Độ mảnh
λ = KL/r, r = √(I/A)

2Bài tập

1.Ứng suất và biến dạng dọc trụcTrung bình
Ø 16 mmĐồng thau0,5 mP = 110 kN

Tìm độ giãn dài δ của thanh đồng thau dưới tải trọng dọc trục.

P = 110 kNd = 16 mmL = 0,5 mE = 100 GPa
δ = mm
2.Ứng suất và biến dạng dọc trụcKhó
Ø 30 mmĐồng thau0,5 mØ 20 mmThép1,5 mP = 110 kN

Thanh bậc được ngàm vào tường và chịu tải ở đầu tự do. Tìm tổng độ giãn dài δ.

P = 110 kNđoạn 1: Ø30 mm, 0,5 m, đồng thau (E = 100 GPa)đoạn 2: Ø20 mm, 1,5 m, thép (E = 200 GPa)
δ = mm
3.Xoắn của trụcTrung bình
T = 250 N·md = 30 mmL = 0,5 mφ = ?

Một trục đặc đồng thau được ngàm vào tường và bị xoắn bởi mômen xoắn T ở đầu tự do. Tìm góc xoắn φ của đầu tự do, theo độ.

T = 250 N·md = 30 mmL = 0,5 mG = 39 GPa
φ = °
4.Xoắn của trụcKhó
Td = ?

Một trục đặc phải truyền 10 kW ở 1800 rpm mà ứng suất tiếp không vượt quá 50 MPa. Tìm đường kính nhỏ nhất d thỏa mãn.

P = 10 kWN = 1800 rpmτallow = 50 MPa
d = mm
5.Lực cắt và mômen uốnTrung bình
w = 12 kN/mABmặt cắt0,5 m9,5 m

Tìm mômen uốn Mx tại mặt cắt x = 0,5 m tính từ gối A. Coi mômen làm dầm võng xuống là dương và lực cắt hướng lên trên mặt trái là dương.

L = 10 mw = 12 kN/m từ 0 đến 10 mx = 0,5 m
Mx = kN·m
6.Lực cắt và mômen uốnKhó
4 kN/m20 kN55 kNABCDEFG2 m2 m2 m2 m2 m2 m

Các điểm đánh dấu từ A đến G chia dầm thành sáu phần bằng nhau. Tại điểm nào mômen uốn có độ lớn lớn nhất, dù võng hay vồng? Nhấp vào nó trong sơ đồ.

20 kN @ 12 m55 kN @ 6 m4 kN/m, 0–8 m
  1. 1A (x = 0 m)
  2. 2B (x = 2 m)
  3. 3C (x = 4 m)
  4. 4D (x = 6 m)
  5. 5E (x = 8 m)
  6. 6F (x = 10 m)
  7. 7G (x = 12 m)
7.Trọng tâm và mômen quán tính mặt cắtTrung bình
200 mm300 mm180 mmØ30xIx​ = ?

Một tấm 200 mm × 300 mm có một lỗ tròn đường kính 30 mm trên đường tâm thẳng đứng, tâm lỗ cách đáy 180 mm. Tìm mômen quán tính diện tích Ix quanh trục nằm ngang đi qua trọng tâm.

b = 200 mmh = 300 mmd = 30 mmtâm lỗ: y = 180 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
8.Trọng tâm và mômen quán tính mặt cắtKhó
100280243201610xkích thước tính bằng mm

Một tiết diện chữ I hàn có cánh trên 100 × 24 mm, bụng cao 320 mm và dày 10 mm, và cánh dưới 280 × 16 mm (chiều rộng × chiều dày). Tìm mô-men quán tính Ix của nó đối với trục nằm ngang x qua trọng tâm.

cánh trên: 100 × 24 mmbụng: 10 × 320 mmcánh dưới: 280 × 16 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
9.Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suấtTrung bình
σx​ = 10σy​ = 80τxy​ = 60MPa

Một điểm trong chi tiết chịu tải có σₓ = 10 MPa, σᵧ = 80 MPa và τₓᵧ = 60 MPa (kéo là dương). Tìm góc θp từ trục x đến phương của ứng suất chính lớn nhất, trong khoảng −90° đến 90°.

σx = 10 MPaσy = 80 MPaτxy = 60 MPa
θp = °
10.Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suấtKhó
σx​ = 60σy​ = −60τxy​ = −10MPa

Một điểm trong chi tiết chịu tải có σₓ = 60 MPa, σᵧ = −60 MPa và τₓᵧ = −10 MPa (kéo là dương). Tìm ứng suất pháp σθ trên một mặt có pháp tuyến xoay 20° theo chiều kim đồng hồ so với trục x.

σx = 60 MPaσy = −60 MPaτxy = −10 MPaθ = -20°
σθ = MPa
11.Độ võng của dầmTrung bình
w = 5 kN/mP = 30 kNABδ1,5 m

Một dầm công-xôn chịu tải phân bố đều w trên toàn bộ chiều dài và một lực tập trung P tại đầu tự do. Dùng nguyên lý chồng chất, tìm độ võng δ tại đầu tự do.

P = 30 kNw = 5 kN/mL = 1,5 mE = 70 GPa (nhôm)I = 84 × 10⁶ mm⁴
δ = mm
12.Độ võng của dầmKhó
w = 12 kN/mδL = 3 m

Một dầm đơn giản chịu tải phân bố đều w. Độ võng của nó không được vượt quá nhịp/360. Tìm mômen quán tính nhỏ nhất của mặt cắt Ireq thỏa mãn giới hạn này.

w = 12 kN/mL = 3 mE = 11 GPa (gỗ xẻ)
Ireq = × 10⁶ mm⁴
13.Mất ổn định cộtTrung bình
PL = 3 m40 × 60 mmmặt cắt ngang

Một cột dài L làm bằng nhôm được hai đầu khớp. Dùng công thức Euler, tìm tải trọng oằn tới hạn Pcr của nó.

L = 3 mE = 70 GPa (nhôm)b × h = 40 × 60 mm
Pcr = kN
14.Mất ổn định cộtKhó
P = 85 kNL = 3 md = ?mặt cắt ngang

Một cột tròn đặc dài L làm bằng thép được ngàm cả hai đầu. Nó phải chịu 85 kN với hệ số an toàn 2 chống oằn. Tìm đường kính nhỏ nhất d.

P = 85 kNn = 2L = 3 mE = 200 GPa (thép)
d = mm

3Dung dịch

1.Ứng suất và biến dạng dọc trục

Đáp số: δ = 2,735 mm

Định luật Hooke: trong giới hạn đàn hồi σ = E·ε. Kết hợp với σ = P/A và ε = δ/L ta được δ = PL/(AE).

Ứng suất

A = π·16²/4 = 201,1 mm²
σ = P/A = 110·1000/201,1 = 547,1 MPa

Biến dạng (định luật Hooke)

E for đồng thau = 100 GPa = 100000 MPa.

ε = σ/E = 547,1/100000 = 0,005471 = 5471 µε

Độ giãn dài

δ = ε·L = 0,005471·500 mm = 2,735 mm

Đáp số

δ = 2,735 mm
2.Ứng suất và biến dạng dọc trục

Đáp số: δ = 3,404 mm

Cấu kiện chịu tải dọc trục: mỗi đoạn lăng trụ tuân theo δ = PL/(AE). Với các cấu kiện nối tiếp, độ giãn dài cộng lại.

Cùng một lực trong cả hai đoạn

Đầu tự do chịu lực P, nên mọi mặt cắt của thanh đều chịu cùng một lực dọc trục P. Chỉ có diện tích và vật liệu thay đổi.

A1 = π·30²/4 = 706,9 mm², A2 = π·20²/4 = 314,2 mm²
σ1 = 155,6 MPa
σ2 = 350,1 MPa

Cộng độ giãn dài của các đoạn

δ1 = σ1L1/E1 = 155,6·500/100000 = 0,7781 mm
δ2 = σ2L2/E2 = 350,1·1500/200000 = 2,626 mm
δ = δ1 + δ2 = 3,404 mm

Đáp số

δ = 3,404 mm
3.Xoắn của trục

Đáp số: φ = 2,309 °

Xoắn thanh tròn: ứng suất tiếp tăng tuyến tính từ không ở tâm đến τmax = T·r/J ở bề mặt, với J = πd⁴/32 cho trục đặc và J = π(do⁴ − di⁴)/32 cho trục rỗng. Góc xoắn là φ = TL/(GJ) tính bằng radian. Công suất và mômen xoắn liên hệ với nhau qua P = T·ω.

Mômen quán tính độc cực của mặt cắt

J = π·30⁴/32 = 79522 mm⁴

Góc xoắn

φ = TL/(GJ) = 250·1000·500/(39000·79522) = 0,04031 rad
φ = 0,04031·180/π = 2,309°

Đáp số

φ = 2,309°
4.Xoắn của trục

Đáp số: d = 17,55 mm

Xoắn thanh tròn: ứng suất tiếp tăng tuyến tính từ không ở tâm đến τmax = T·r/J ở bề mặt, với J = πd⁴/32 cho trục đặc và J = π(do⁴ − di⁴)/32 cho trục rỗng. Góc xoắn là φ = TL/(GJ) tính bằng radian. Công suất và mômen xoắn liên hệ với nhau qua P = T·ω.

Mômen xoắn

ω = 2πN/60 = 2π·1800/60 = 188,5 rad/s
T = P/ω = 10000/188,5 = 53,05 N·m

Đường kính từ ứng suất cho phép

d = ∛(16T/(π·τallow)) = ∛(16·53052/(π·50)) = 17,55 mm

Đáp số

d = 17,55 mm

Trong thực tế bạn sẽ làm tròn lên kích thước tiêu chuẩn kế tiếp.

5.Lực cắt và mômen uốn

Đáp số: Mx = 28,5 kN·m

Phương pháp mặt cắt: cắt dầm tại vị trí cần tìm nội lực và giữ lại một phía. Lực cắt V cân bằng với các lực thẳng đứng ở phía đó, và mômen uốn M cân bằng với mômen của chúng quanh mặt cắt.

Phản lực gối

Cân bằng của cả dầm.

Hợp lực của tải phân bố đều: W = w·ℓ = 12·10 = 120 kN, đặt tại x̄ = 5 m
ΣMA = 0: RB·10 = 12·10·5
RB = 600/10 = 60 kN
ΣFy = 0: RA = 120 − 60 = 60 kN
w = 12 kN/mABRA​ = 60RB​ = 60mặt cắt0,5 m9,5 m

Cắt tại x = 0,5 m và giữ phần bên trái

Chỉ các lực bên trái mặt cắt xuất hiện. Phần tải phân bố đều được thay bằng một lực đặt tại giữa phần đó.

M = RA·x − (mỗi tải bên trái mặt cắt × cánh tay đòn đến mặt cắt)
Mx = 60·0,5 − 12·0,5·0,25 = 28,5 kN·m

Đáp số

Mx = 28,5 kN·m
6.Lực cắt và mômen uốn

Đáp số: E (x = 8 m)

Mômen uốn lớn nhất: M đổi độ dốc ở bất cứ chỗ nào lực cắt thay đổi, nên các đỉnh của nó nằm nơi lực cắt đi qua không: dưới một tải tập trung, bên trong một tải phân bố, hoặc trên một gối của phần công-xon. Tại ngàm của dầm công-xon, mômen lớn nhất ở chân tường. So sánh độ lớn của M tại những chỗ đó, dù là mômen làm võng hay làm vồng.

Phản lực gối

Lấy mômen quanh một gối tựa, rồi dùng cân bằng lực thẳng đứng.

R1 = 19,75 kN, R2 = 87,25 kN

Mômen uốn tại mỗi điểm đánh dấu

Cộng các mômen của mọi lực ở một phía của mặt cắt. Võng là dương, vồng là âm.

MA = 0, MB = 31,5, MC = 47, MD = 46,5, ME = −80 kN·m, MF = −40, MG = 0

Đáp số

Điểm đánh dấu E: ME = −80 kN·m
7.Trọng tâm và mômen quán tính mặt cắt

Đáp số: Ix = 449,3 × 10⁶ mm⁴

Tiết diện có lỗ: coi lỗ là một diện tích âm. Trọng tâm là ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), với A₁, y₁ cho tấm đầy đủ và A₂, y₂ cho lỗ. Với mômen quán tính diện tích quanh trục đi qua trọng tâm, dùng định lý trục song song cho từng phần rồi trừ lỗ: I = (Ic1 + A₁d₁²) − (Ic2 + A₂d₂²), trong đó d là khoảng cách từ trọng tâm riêng của mỗi phần đến trục đi qua ȳ. Hình chữ nhật có Ic = bh³/12 và hình tròn có Ic = πd⁴/64.

Trọng tâm

ȳ = (60000·150 − 706,9·180)/(60000 − 706,9) = 149,6 mm

Tấm đầy đủ quanh ȳ

200·300³/12 + 60000·0,3576² = 450 × 10⁶ mm⁴

Lỗ quanh ȳ

π·30⁴/64 + 706,9·30,36² = 0,6912 × 10⁶ mm⁴

Trừ

Ix = 449,3 × 10⁶ mm⁴

Đáp số

Ix = 449,3 × 10⁶ mm⁴
8.Trọng tâm và mômen quán tính mặt cắt

Đáp số: Ix = 213,5 × 10⁶ mm⁴

Diện tích ghép: chia mặt cắt thành các hình chữ nhật. Trọng tâm là trung bình có trọng số theo diện tích ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Mômen quán tính của mặt cắt đối với trục đi qua trọng tâm bằng tổng bh³/12 của từng phần và số hạng trục song song A·d², trong đó d là khoảng cách từ trọng tâm của phần đó đến trọng tâm chung. Ứng suất uốn là σ = M·y/I.

Chia thành ba hình chữ nhật

Đo mọi y từ mép dưới.

cánh trên: A = 2400 mm², y = 348 mm
bụng: A = 3200 mm², y = 176 mm
cánh dưới: A = 4480 mm², y = 8 mm

Trọng tâm

ȳ = (2400·348 + 3200·176 + 4480·8)/10080 = 142,3 mm

Định lý trục song song

cánh trên: 100·24³/12 + 2400·205,7² = 1,017 × 10⁸ mm⁴
bụng: 10·320³/12 + 3200·33,71² = 3,094 × 10⁷ mm⁴
cánh dưới: 280·16³/12 + 4480·134,3² = 8,088 × 10⁷ mm⁴
Ix = 1,017 × 10⁸ + 3,094 × 10⁷ + 8,088 × 10⁷
Ix = 2,135 × 10⁸ mm⁴ = 213,5 × 10⁶ mm⁴

Đáp số

Ix = 213,5 × 10⁶ mm⁴
9.Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suất

Đáp số: θp = 60,13 °

Biến đổi ứng suất phẳng: trên một mặt xoay góc θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Vòng tròn Mohr cho thấy tất cả các mặt cùng lúc: tâm của nó ở C = (σₓ + σᵧ)/2 và bán kính là R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Các ứng suất chính là C ± R, và ứng suất tiếp lớn nhất trong mặt phẳng là R.

στxyCσ1​σ2​

Góc trên vòng tròn

Điểm x nằm ở góc 2θp so với trục σ trên vòng tròn Mohr; góc phần tư suy ra từ dấu của σₓ − σᵧ và τₓᵧ.

2θp = atan2(2·60, 10 − 80) = 120,3°

Góc trên phần tử

θp = 60,13°

Đáp số

θp = 60,13°

Góc dương là ngược chiều kim đồng hồ.

10.Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suất

Đáp số: σθ = 52,39 MPa

Biến đổi ứng suất phẳng: trên một mặt xoay góc θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Vòng tròn Mohr cho thấy tất cả các mặt cùng lúc: tâm của nó ở C = (σₓ + σᵧ)/2 và bán kính là R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Các ứng suất chính là C ± R, và ứng suất tiếp lớn nhất trong mặt phẳng là R.

Phương trình biến đổi

σθ = 0 + 60·0,766 + −10·−0,6428 = 52,39 MPa

Đáp số

σθ = 52,39 MPa
11.Độ võng của dầm

Đáp số: δ = 6,278 mm

Độ võng của dầm: độ võng có được bằng cách tích phân độ cong M/(EI) hai lần. Các trường hợp tiêu chuẩn đã được lập bảng, ví dụ PL³/(3EI) cho dầm công xôn chịu tải ở đầu tự do và 5wL⁴/(384EI) cho dầm đơn giản chịu tải phân bố đều toàn nhịp. Độ võng do các tải riêng rẽ cộng lại (xếp chồng).

Đơn vị nhất quán

Làm việc theo N và mm: P theo N, w theo N/mm (kN/m = N/mm), L theo mm, E theo N/mm² (GPa × 1000), I theo mm⁴.

P = 30000 N, w = 5 N/mm, L = 1500 mm
EI = 5,88 × 10¹² N·mm²

Từng tải riêng rẽ

δP = PL³/(3EI) = 30000·1500³/(3·5,88 × 10¹²) = 5,74 mm
δw = wL⁴/(8EI) = 5·1500⁴/(8·5,88 × 10¹²) = 0,5381 mm

Cộng lại

δ = 5,74 + 0,5381 = 6,278 mm

Đáp số

δ = 6,278 mm
12.Độ võng của dầm

Đáp số: Ireq = 138,1 × 10⁶ mm⁴

Độ võng của dầm: độ võng có được bằng cách tích phân độ cong M/(EI) hai lần. Các trường hợp tiêu chuẩn đã được lập bảng, ví dụ PL³/(3EI) cho dầm công xôn chịu tải ở đầu tự do và 5wL⁴/(384EI) cho dầm đơn giản chịu tải phân bố đều toàn nhịp. Độ võng do các tải riêng rẽ cộng lại (xếp chồng).

Giới hạn độ võng

δallow = L/360 = 3000/360 = 8,333 mm

Mômen quán tính mặt cắt yêu cầu

I = 5wL⁴/(384·E·δallow) = 5·12·3000⁴/(384·11000·8,333) = 1,381 × 10⁸ mm⁴
Ireq = 138,1 × 10⁶ mm⁴

Đáp số

Ireq = 138,1 × 10⁶ mm⁴
13.Mất ổn định cột

Đáp số: Pcr = 24,56 kN

Mất ổn định Euler: một cột mảnh mất ổn định tại Pcr = π²EI/(KL)², trong đó KL là chiều dài tính toán: K = 1 cho khớp–khớp, 2 cho ngàm–tự do, 0,7 cho ngàm–khớp và 0,5 cho ngàm–ngàm. Cột oằn quanh trục có I nhỏ nhất. Công thức đúng với cột mảnh, có ứng suất tới hạn thấp hơn ứng suất chảy.

Mômen quán tính nhỏ nhất của mặt cắt

Hình chữ nhật oằn quanh trục yếu, dùng kích thước nhỏ hơn lập phương.

Imin = h·b³/12 = 60·40³/12 = 320000 mm⁴

Chiều dài tính toán

KL = 1·3000 = 3000 mm

Tải trọng tới hạn

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·320000/3000² = 24564 N = 24,56 kN

Đáp số

Pcr = 24,56 kN
14.Mất ổn định cột

Đáp số: d = 44,57 mm

Mất ổn định Euler: một cột mảnh mất ổn định tại Pcr = π²EI/(KL)², trong đó KL là chiều dài tính toán: K = 1 cho khớp–khớp, 2 cho ngàm–tự do, 0,7 cho ngàm–khớp và 0,5 cho ngàm–ngàm. Cột oằn quanh trục có I nhỏ nhất. Công thức đúng với cột mảnh, có ứng suất tới hạn thấp hơn ứng suất chảy.

Tải trọng tới hạn yêu cầu

Pcr = n·P = 2·85000 = 170000 N
KL = 0,5·3000 = 1500 mm

Giải tìm đường kính

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·170000·1500²/(π³·200000))^(1/4) = 44,57 mm

Đáp số

d = 44,57 mm

Kiểm tra: độ mảnh KL/r là 134,6, nên cột là mảnh và công thức Euler áp dụng được.

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials