Sức bền vật liệu: gói ôn nước rút

Bảng công thức, các bước phương pháp chính cho từng chủ đề và 14 bài tập, kèm lời giải đầy đủ ở cuối.

Bài mới Quay lại môn học

Trong cửa sổ in, hãy chọn “Lưu dưới dạng PDF” để giữ một bản trên thiết bị của bạn.

1Công thức và phương pháp

Ứng suất và biến dạng dọc trục

Ứng suất pháp: σ = F/A
Biến dạng: ε = ΔL/L
Định luật Hooke: σ = E·ε
Độ giãn dài: ΔL = FL/(EA)
Biến dạng nhiệt: ε_T = α·ΔT

Xoắn của trục

Ứng suất tiếp: τ = T·r/J
Trục đặc: J = πd⁴/32
Trục rỗng: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Góc xoắn: φ = TL/(GJ)
Công suất: P = T·ω = 2πnT/60

Phương pháp

Tìm mômen quán tính độc cực: J = πd⁴/32 cho trục đặc.
Ứng suất tiếp ở bề mặt: τ = T·r/J, với r là bán kính ngoài.
Góc xoắn: φ = TL/(GJ) theo radian.
Nếu cho công suất, hãy tìm mômen xoắn trước bằng P = T·ω, ω = 2πn/60.

Lực cắt và mômen uốn

Lực cắt và mômen: V = ΣF ở một phía, M = ΣF·d ở một phía
Ứng suất uốn: σ = M·y/I
Hình chữ nhật: I = bh³/12
Mômen chống uốn của mặt cắt: W = I/y_max
Dầm đơn giản, tải phân bố đều: M_max = wL²/8

Phương pháp

Tìm phản lực gối từ cân bằng của cả dầm.
Cắt dầm tại mặt cắt bạn cần và giữ lại một phía.
Lực cắt: tổng các lực thẳng đứng ở phía đó. Mômen uốn: tổng mômen của chúng quanh mặt cắt.
Để tìm mômen lớn nhất, hãy tìm nơi lực cắt bằng không.

Trọng tâm và mômen quán tính mặt cắt

Trọng tâm: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Hình chữ nhật: I = bh³/12
Định lý trục song song: I = I_c + A·d²
Mặt cắt ghép: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suất

Tâm: C = (σ_x + σ_y)/2
Bán kính: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Ứng suất chính: σ_1,2 = C ± R
Phương chính: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Mặt phẳng nghiêng: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Phương pháp

Tính tâm của vòng tròn Mohr: C = (σx + σy)/2.
Tính bán kính: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Các ứng suất chính là C ± R và ứng suất tiếp lớn nhất trong mặt phẳng là R.
Các góc trên vòng tròn gấp đôi các góc trên phần tử: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Độ võng của dầm

Tải tập trung ở giữa nhịp: δ = PL³/(48EI)
Tải phân bố đều, dầm đơn giản: δ = 5wL⁴/(384EI)
Công xôn, tải ở đầu: δ = PL³/(3EI)
Công xôn, tải phân bố đều: δ = wL⁴/(8EI)
Nguyên lý xếp chồng: δ = δ₁ + δ₂

Mất ổn định cột

Tải Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Hệ số chiều dài tính toán: K = 1 khớp–khớp, 0,5 ngàm–ngàm, 0,7 ngàm–khớp, 2 ngàm–tự do
Ứng suất tới hạn: σ_cr = P_cr/A
Độ mảnh: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Bài tập

1.Ứng suất và biến dạng dọc trụcTrung bình

Tìm biến dạng dọc trục ε trong thanh đồng, tính bằng microstrain (µε = 10⁻⁶).

P = 105 kNd = 30 mmL = 1 mE = 117 GPa

ε = µε

2.Ứng suất và biến dạng dọc trụcKhó

Thanh bậc được ngàm vào tường và chịu tải ở đầu tự do. Tìm ứng suất pháp lớn nhất σ_max trong thanh.

P = 70 kNđoạn 1: Ø25 mm, 1 m, thép (E = 200 GPa)đoạn 2: Ø12 mm, 0,5 m, thép (E = 200 GPa)

σ_max = MPa

3.Xoắn của trụcTrung bình

Một trục đặc nhôm được ngàm vào tường và bị xoắn bởi mômen xoắn T ở đầu tự do. Tìm góc xoắn φ của đầu tự do, theo độ.

T = 200 N·md = 50 mmL = 0,5 mG = 26 GPa

φ = °

4.Xoắn của trụcKhó

Một trục rỗng phải truyền 15 kW ở 500 rpm. Đường kính trong của nó bằng 0,7 lần đường kính ngoài, và ứng suất cắt không được vượt quá 50 MPa. Tìm đường kính ngoài nhỏ nhất d_o.

P = 15 kWN = 500 rpmd_i/d_o = 0,7τ_allow = 50 MPa

d_o = mm

5.Lực cắt và mômen uốnTrung bình

Tìm mômen uốn M_x tại mặt cắt x = 2 m tính từ gối A. Coi mômen làm dầm võng xuống là dương và lực cắt hướng lên trên mặt trái là dương.

L = 10 mw = 6 kN/m từ 0 đến 10 mx = 2 m

M_x = kN·m

6.Lực cắt và mômen uốnKhó

Dầm đặt trên gối cố định tại A và gối con lăn tại B, và đoạn công-xôn nhô ra khỏi B một đoạn 2,5 m tới đầu tự do C. Tải phân bố đều w tác dụng trên toàn bộ chiều dài A–C. Tìm mô-men uốn võng xuống lớn nhất M_max giữa hai gối.

L = 8,5 mw = 6 kN/m từ 0 đến 8,5 mcác gối tại x = 0 và x = 6 m

M_max = kN·m

7.Trọng tâm và mômen quán tính mặt cắtTrung bình

Tìm mômen quán tính I_x của mặt cắt chữ T đối với trục ngang x đi qua trọng tâm.

b_f = 160 mmt_f = 10 mmt_w = 16 mmh_w = 180 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Trọng tâm và mômen quán tính mặt cắtKhó

Một tiết diện chữ I hàn có cánh trên 160 × 18 mm, bụng cao 210 mm và dày 14 mm, và cánh dưới 280 × 20 mm (chiều rộng × chiều dày). Tìm mô-men quán tính I_x của nó đối với trục nằm ngang x qua trọng tâm.

cánh trên: 160 × 18 mmbụng: 14 × 210 mmcánh dưới: 280 × 20 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

9.Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suấtTrung bình

Một điểm trong chi tiết chịu tải có σₓ = 120 MPa, σᵧ = 10 MPa và τₓᵧ = 60 MPa (kéo là dương). Tìm ứng suất tiếp lớn nhất trong mặt phẳng τ_max.

σ_x = 120 MPaσ_y = 10 MPaτ_xy = 60 MPa

τ_max = MPa

10.Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suấtKhó

Một điểm trong chi tiết chịu tải có σₓ = 60 MPa, σᵧ = 100 MPa và τₓᵧ = −10 MPa (kéo là dương). Tìm ứng suất pháp σ_θ trên một mặt có pháp tuyến xoay 25° ngược chiều kim đồng hồ so với trục x.

σ_x = 60 MPaσ_y = 100 MPaτ_xy = −10 MPaθ = 25°

σ_θ = MPa

11.Độ võng của dầmTrung bình

Một dầm đơn giản chịu tải phân bố đều w trên toàn bộ nhịp. Tìm góc xoay θ_A của dầm tại gối A, theo radian.

w = 20 kN/mL = 2,5 mE = 11 GPa (gỗ xẻ)I = 160 × 10⁶ mm⁴

θ_A = rad

12.Độ võng của dầmKhó

Một dầm đơn giản chịu tải phân bố đều w. Độ võng của nó không được vượt quá nhịp/360. Tìm mômen quán tính nhỏ nhất của mặt cắt I_req thỏa mãn giới hạn này.

w = 10 kN/mL = 2 mE = 200 GPa (thép)

I_req = × 10⁶ mm⁴

13.Mất ổn định cộtTrung bình

Một cột dài L làm bằng nhôm được ngàm cả hai đầu. Dùng công thức Euler, tìm tải trọng oằn tới hạn P_cr của nó.

L = 2 mE = 70 GPa (nhôm)b × h = 25 × 60 mm

P_cr = kN

14.Mất ổn định cộtKhó

Một cột dài L làm bằng thép được ngàm ở chân và tự do ở đỉnh. Tìm độ mảnh của nó và ứng suất oằn tới hạn σ_cr theo công thức Euler.

L = 6 mE = 200 GPa (thép)d = 50 mm

σ_cr = MPa

3Dung dịch

1.Ứng suất và biến dạng dọc trục

Đáp số: ε = 1270 µε

Định luật Hooke: trong giới hạn đàn hồi σ = E·ε. Kết hợp với σ = P/A và ε = δ/L ta được δ = PL/(AE).

Ứng suất

A = π·30²/4 = 706,9 mm²

σ = P/A = 105·1000/706,9 = 148,5 MPa

Biến dạng (định luật Hooke)

E for đồng = 117 GPa = 117000 MPa.

ε = σ/E = 148,5/117000 = 0,00127 = 1270 µε

Đáp số

ε = 1270 µε

2.Ứng suất và biến dạng dọc trục

Đáp số: σ_max = 618,9 MPa

Cấu kiện chịu tải dọc trục: mỗi đoạn lăng trụ tuân theo δ = PL/(AE). Với các cấu kiện nối tiếp, độ giãn dài cộng lại.

Cùng một lực trong cả hai đoạn

Đầu tự do chịu lực P, nên mọi mặt cắt của thanh đều chịu cùng một lực dọc trục P. Chỉ có diện tích và vật liệu thay đổi.

A₁ = π·25²/4 = 490,9 mm², A₂ = π·12²/4 = 113,1 mm²

σ₁ = 142,6 MPa

σ₂ = 618,9 MPa

Ứng suất lớn nhất

Đoạn mảnh hơn có diện tích nhỏ hơn, nên chịu ứng suất lớn hơn.

σ_max = 618,9 MPa

Đáp số

σ_max = 618,9 MPa

3.Xoắn của trục

Đáp số: φ = 0,3591 °

Xoắn thanh tròn: ứng suất tiếp tăng tuyến tính từ không ở tâm đến τ_max = T·r/J ở bề mặt, với J = πd⁴/32 cho trục đặc và J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 cho trục rỗng. Góc xoắn là φ = TL/(GJ) tính bằng radian. Công suất và mômen xoắn liên hệ với nhau qua P = T·ω.

Mômen quán tính độc cực của mặt cắt

J = π·50⁴/32 = 613592 mm⁴

Góc xoắn

φ = TL/(GJ) = 200·1000·500/(26000·613592) = 0,006268 rad

φ = 0,006268·180/π = 0,3591°

Đáp số

φ = 0,3591°

4.Xoắn của trục

Đáp số: d_o = 33,74 mm

Mômen xoắn

ω = 2πN/60 = 2π·500/60 = 52,36 rad/s

T = P/ω = 15000/52,36 = 286,5 N·m

Đường kính ngoài từ ứng suất cho phép

T = 286,5 N·m = 286479 N·mm

1 − k⁴ = 1 − 0,7⁴ = 0,7599

d_o = ∛(16T/(π·τ_allow·(1 − k⁴))) = ∛(16·286479/(π·50·0,7599)) = 33,74 mm

d_i = 0,7·33,74 = 23,62 mm

Đáp số

d_o = 33,74 mm

Một trục đặc sẽ cần d = 30,79 mm; trục rỗng lớn hơn một chút nhưng nhẹ hơn nhiều.

5.Lực cắt và mômen uốn

Đáp số: M_x = 48 kN·m

Phương pháp mặt cắt: cắt dầm tại vị trí cần tìm nội lực và giữ lại một phía. Lực cắt V cân bằng với các lực thẳng đứng ở phía đó, và mômen uốn M cân bằng với mômen của chúng quanh mặt cắt.

Phản lực gối

Cân bằng của cả dầm.

Hợp lực của tải phân bố đều: W = w·ℓ = 6·10 = 60 kN, đặt tại x̄ = 5 m

ΣM_A = 0: R_B·10 = 6·10·5

R_B = 300/10 = 30 kN

ΣF_y = 0: R_A = 60 − 30 = 30 kN

Cắt tại x = 2 m và giữ phần bên trái

Chỉ các lực bên trái mặt cắt xuất hiện. Phần tải phân bố đều được thay bằng một lực đặt tại giữa phần đó.

M = R_A·x − (mỗi tải bên trái mặt cắt × cánh tay đòn đến mặt cắt)

M_x = 30·2 − 6·2·1 = 48 kN·m

Đáp số

M_x = 48 kN·m

6.Lực cắt và mômen uốn

Đáp số: M_max = 18,44 kN·m

Phương pháp mặt cắt: cắt dầm tại vị trí cần tìm nội lực và giữ lại một phía. Lực cắt V cân bằng với các lực thẳng đứng ở phía đó, và mômen uốn M cân bằng với mômen của chúng quanh mặt cắt. Mô-men lớn nhất: vì dM/dx = V, mô-men uốn đạt cực trị tại nơi lực cắt đi qua không, hoặc tại một lực tập trung hoặc bên trong một tải phân bố.

Phản lực gối

Cân bằng của toàn bộ dầm, kể cả tải trên đoạn công-xôn.

Hợp lực của tải phân bố đều: W = w·ℓ = 6·8,5 = 51 kN, đặt tại x̄ = 4,25 m

ΣM_A = 0: R_B·6 = 6·8,5·4,25

R_B = 216,8/6 = 36,13 kN

ΣF_y = 0: R_A = 51 − 36,13 = 14,88 kN

Lực cắt bằng không

R_A − w·x₀ = 0 → x₀ = 14,88/6 = 2,479 m

Mô-men võng xuống lớn nhất

M_max = R_A·x₀ − w·x₀²/2 = R_A²/(2w) = 14,88²/(2·6) = 18,44 kN·m

Đáp số

M_max = 18,44 kN·m

7.Trọng tâm và mômen quán tính mặt cắt

Đáp số: I_x = 17,07 × 10⁶ mm⁴

Diện tích ghép: chia mặt cắt thành các hình chữ nhật. Trọng tâm là trung bình có trọng số theo diện tích ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Mômen quán tính của mặt cắt đối với trục đi qua trọng tâm bằng tổng bh³/12 của từng phần và số hạng trục song song A·d², trong đó d là khoảng cách từ trọng tâm của phần đó đến trọng tâm chung. Ứng suất uốn là σ = M·y/I.

Chia thành hai hình chữ nhật

Đo mọi y từ mép dưới.

cánh: A_f = 160·10 = 1600 mm², y_f = 180 + 10/2 = 185 mm

bụng: A_w = 16·180 = 2880 mm², y_w = 180/2 = 90 mm

Trọng tâm

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (1600·185 + 2880·90)/4480 = 123,9 mm

Định lý trục song song

cánh: 160·10³/12 + 1600·(185 − 123,9)² = 5,981 × 10⁶ mm⁴

bụng: 16·180³/12 + 2880·(90 − 123,9)² = 1,109 × 10⁷ mm⁴

I_x = 5,981 × 10⁶ + 1,109 × 10⁷ = 1,707 × 10⁷ mm⁴ = 17,07 × 10⁶ mm⁴

Đáp số

I_x = 17,07 × 10⁶ mm⁴

8.Trọng tâm và mômen quán tính mặt cắt

Đáp số: I_x = 113,8 × 10⁶ mm⁴

Chia thành ba hình chữ nhật

Đo mọi y từ mép dưới.

cánh trên: A = 2880 mm², y = 239 mm

bụng: A = 2940 mm², y = 125 mm

cánh dưới: A = 5600 mm², y = 10 mm

Trọng tâm

ȳ = (2880·239 + 2940·125 + 5600·10)/11420 = 97,36 mm

Định lý trục song song

cánh trên: 160·18³/12 + 2880·141,6² = 5,786 × 10⁷ mm⁴

bụng: 14·210³/12 + 2940·27,64² = 1,305 × 10⁷ mm⁴

cánh dưới: 280·20³/12 + 5600·87,36² = 4,292 × 10⁷ mm⁴

I_x = 5,786 × 10⁷ + 1,305 × 10⁷ + 4,292 × 10⁷

I_x = 1,138 × 10⁸ mm⁴ = 113,8 × 10⁶ mm⁴

Đáp số

I_x = 113,8 × 10⁶ mm⁴

9.Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suất

Đáp số: τ_max = 81,39 MPa

Biến đổi ứng suất phẳng: trên một mặt xoay góc θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Vòng tròn Mohr cho thấy tất cả các mặt cùng lúc: tâm của nó ở C = (σₓ + σᵧ)/2 và bán kính là R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Các ứng suất chính là C ± R, và ứng suất tiếp lớn nhất trong mặt phẳng là R.

Bán kính vòng tròn Mohr

τ_max = R = √(((120 − 10)/2)² + 60²) = 81,39 MPa

Đáp số

τ_max = 81,39 MPa

10.Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suất

Đáp số: σ_θ = 59,48 MPa

Phương trình biến đổi

σ_θ = 80 + −20·0,6428 + −10·0,766 = 59,48 MPa

Đáp số

σ_θ = 59,48 MPa

11.Độ võng của dầm

Đáp số: θ_A = 0,007398 rad

Độ võng của dầm: độ võng có được bằng cách tích phân độ cong M/(EI) hai lần. Các trường hợp tiêu chuẩn đã được lập bảng, ví dụ PL³/(3EI) cho dầm công xôn chịu tải ở đầu tự do và 5wL⁴/(384EI) cho dầm đơn giản chịu tải phân bố đều toàn nhịp. Độ võng do các tải riêng rẽ cộng lại (xếp chồng). Góc xoay θ = dv/dx là tích phân bậc một của M/(EI); với các đơn vị nhất quán, nó có đơn vị radian.

Đơn vị nhất quán

Làm việc theo N và mm: P theo N, w theo N/mm (kN/m = N/mm), L theo mm, E theo N/mm² (GPa × 1000), I theo mm⁴.

w = 20 N/mm, L = 2500 mm

EI = 1,76 × 10¹² N·mm²

Góc xoay ở đầu

θ_A = wL³/(24EI) = 20·2500³/(24·1,76 × 10¹²) = 0,007398 rad

Đáp số

θ_A = 0,007398 rad

Đó là 0,4239°.

12.Độ võng của dầm

Đáp số: I_req = 1,875 × 10⁶ mm⁴

Giới hạn độ võng

δ_allow = L/360 = 2000/360 = 5,556 mm

Mômen quán tính mặt cắt yêu cầu

I = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·10·2000⁴/(384·200000·5,556) = 1,875 × 10⁶ mm⁴

I_req = 1,875 × 10⁶ mm⁴

Đáp số

I_req = 1,875 × 10⁶ mm⁴

13.Mất ổn định cột

Đáp số: P_cr = 53,97 kN

Mất ổn định Euler: một cột mảnh mất ổn định tại P_cr = π²EI/(KL)², trong đó KL là chiều dài tính toán: K = 1 cho khớp–khớp, 2 cho ngàm–tự do, 0,7 cho ngàm–khớp và 0,5 cho ngàm–ngàm. Cột oằn quanh trục có I nhỏ nhất. Công thức đúng với cột mảnh, có ứng suất tới hạn thấp hơn ứng suất chảy.

Mômen quán tính nhỏ nhất của mặt cắt

Hình chữ nhật oằn quanh trục yếu, dùng kích thước nhỏ hơn lập phương.

I_min = h·b³/12 = 60·25³/12 = 78125 mm⁴

Chiều dài tính toán

KL = 0,5·2000 = 1000 mm

Tải trọng tới hạn

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·78125/1000² = 53974 N = 53,97 kN

Đáp số

P_cr = 53,97 kN

14.Mất ổn định cột

Đáp số: σ_cr = 2,142 MPa

Mômen quán tính nhỏ nhất của mặt cắt

Mặt cắt tròn có cùng I đối với mọi trục.

I = πd⁴/64 = π·50⁴/64 = 306796 mm⁴

Bán kính quán tính và độ mảnh

A = 1963 mm²

r = √(I/A) = √(306796/1963) = 12,5 mm

KL = 2·6000 = 12000 mm

KL/r = 12000/12,5 = 960

Ứng suất tới hạn

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/960² = 2,142 MPa

Đáp số

σ_cr = 2,142 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials