Sức bền vật liệu: gói ôn nước rút

Bảng công thức, các bước phương pháp chính cho từng chủ đề và 14 bài tập, kèm lời giải đầy đủ ở cuối.

Bài mớiQuay lại môn học

Trong cửa sổ in, hãy chọn “Lưu dưới dạng PDF” để giữ một bản trên thiết bị của bạn.

1Công thức và phương pháp

Ứng suất và biến dạng dọc trục

Ứng suất pháp
σ = F/A
Biến dạng
ε = ΔL/L
Định luật Hooke
σ = E·ε
Độ giãn dài
ΔL = FL/(EA)
Biến dạng nhiệt
εT = α·ΔT

Xoắn của trục

Ứng suất tiếp
τ = T·r/J
Trục đặc
J = πd⁴/32
Trục rỗng
J = π(D⁴ − d⁴)/32
Góc xoắn
φ = TL/(GJ)
Công suất
P = T·ω = 2πnT/60

Phương pháp

  1. Tìm mômen quán tính độc cực: J = πd⁴/32 cho trục đặc.
  2. Ứng suất tiếp ở bề mặt: τ = T·r/J, với r là bán kính ngoài.
  3. Góc xoắn: φ = TL/(GJ) theo radian.
  4. Nếu cho công suất, hãy tìm mômen xoắn trước bằng P = T·ω, ω = 2πn/60.

Lực cắt và mômen uốn

Lực cắt và mômen
V = ΣF ở một phía, M = ΣF·d ở một phía
Ứng suất uốn
σ = M·y/I
Hình chữ nhật
I = bh³/12
Mômen chống uốn của mặt cắt
W = I/ymax
Dầm đơn giản, tải phân bố đều
Mmax = wL²/8

Phương pháp

  1. Tìm phản lực gối từ cân bằng của cả dầm.
  2. Cắt dầm tại mặt cắt bạn cần và giữ lại một phía.
  3. Lực cắt: tổng các lực thẳng đứng ở phía đó. Mômen uốn: tổng mômen của chúng quanh mặt cắt.
  4. Để tìm mômen lớn nhất, hãy tìm nơi lực cắt bằng không.

Trọng tâm và mômen quán tính mặt cắt

Trọng tâm
ȳ = ΣAiyi/ΣAi
Hình chữ nhật
I = bh³/12
Định lý trục song song
I = Ic + A·d²
Mặt cắt ghép
I = Σ(Ic,i + Aidi²)

Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suất

Tâm
C = (σx + σy)/2
Bán kính
R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
Ứng suất chính
σ1,2 = C ± R
Phương chính
tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
Mặt phẳng nghiêng
σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ

Phương pháp

  1. Tính tâm của vòng tròn Mohr: C = (σx + σy)/2.
  2. Tính bán kính: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
  3. Các ứng suất chính là C ± R và ứng suất tiếp lớn nhất trong mặt phẳng là R.
  4. Các góc trên vòng tròn gấp đôi các góc trên phần tử: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Độ võng của dầm

Tải tập trung ở giữa nhịp
δ = PL³/(48EI)
Tải phân bố đều, dầm đơn giản
δ = 5wL⁴/(384EI)
Công xôn, tải ở đầu
δ = PL³/(3EI)
Công xôn, tải phân bố đều
δ = wL⁴/(8EI)
Nguyên lý xếp chồng
δ = δ1 + δ2

Mất ổn định cột

Tải Euler
Pcr = π²EI/(KL)²
Hệ số chiều dài tính toán
K = 1 khớp–khớp, 0,5 ngàm–ngàm, 0,7 ngàm–khớp, 2 ngàm–tự do
Ứng suất tới hạn
σcr = Pcr/A
Độ mảnh
λ = KL/r, r = √(I/A)

2Bài tập

1.Ứng suất và biến dạng dọc trụcTrung bình
P = ?12600 mm500 mmØ20Ø60δ = 0,5 mm

Một thanh gồm một đoạn thép (đường kính 20 mm, chiều dài 600 mm, E = 200 GPa) nối đầu với đầu với một đoạn làm bằng nhôm (đường kính 60 mm, chiều dài 500 mm, E = 70 GPa). Nó được ngàm một đầu và bị kéo ở đầu kia. Tìm tải dọc trục P làm nó giãn tổng cộng 0,5 mm.

đoạn 1: thép, Ø20 mm, 600 mm, E = 200 GPađoạn 2: nhôm, Ø60 mm, 500 mm, E = 70 GPaδ = 0,5 mm
P = kN
2.Ứng suất và biến dạng dọc trụcKhó
40 kN12400 mm400 mmØ40Ø40σ2​ = ?

Một đoạn thép (đường kính 40 mm, chiều dài 400 mm, E = 200 GPa) và một đoạn làm bằng đồng thanh (đường kính 40 mm, chiều dài 400 mm, E = 110 GPa) được nối đầu với đầu và ngàm giữa hai vách cứng. Một tải dọc trục 40 kN tác dụng tại chỗ nối, hướng về phía đoạn 2. Tìm độ lớn ứng suất σ2 trong đoạn 2.

đoạn 1: thép, Ø40 mm, 400 mm, E = 200 GPađoạn 2: đồng thanh, Ø40 mm, 400 mm, E = 110 GPaP = 40 kN
σ2 = MPa
3.Xoắn của trụcTrung bình
do​ = ?T = 1000 N·m

Một trục rỗng phải chịu mô-men xoắn 1000 N·m. Đường kính trong của nó bằng 0,5 lần đường kính ngoài, và ứng suất cắt không được vượt quá 80 MPa. Tìm đường kính ngoài nhỏ nhất do.

T = 1000 N·mdi/do = 0,5τallow = 80 MPa
do = mm
4.Xoắn của trụcKhó
do​ = ?5 kW, 300 rpm

Một trục rỗng phải truyền 5 kW ở 300 rpm. Đường kính trong của nó bằng 0,75 lần đường kính ngoài, và ứng suất cắt không được vượt quá 40 MPa. Tìm đường kính ngoài nhỏ nhất do.

P = 5 kWN = 300 rpmdi/do = 0,75τallow = 40 MPa
do = mm
5.Lực cắt và mômen uốnTrung bình
w = 5 kN/mABmặt cắt3,5 m0,5 m

Tìm mômen uốn Mx tại mặt cắt x = 3,5 m tính từ gối A. Coi mômen làm dầm võng xuống là dương và lực cắt hướng lên trên mặt trái là dương.

L = 4 mw = 5 kN/m từ 0 đến 4 mx = 3,5 m
Mx = kN·m
6.Lực cắt và mômen uốnKhó
w = 3 kN/mABC6 m2 m

Dầm đặt trên gối cố định tại A và gối con lăn tại B, và đoạn công-xôn nhô ra khỏi B một đoạn 2 m tới đầu tự do C. Tải phân bố đều w tác dụng trên toàn bộ chiều dài A–C. Tìm mô-men uốn MB tại gối B. Dùng quy ước mô-men làm võng xuống là dương và lực cắt hướng lên trên mặt cắt bên trái là dương.

L = 8 mw = 3 kN/m từ 0 đến 8 mcác gối tại x = 0 và x = 6 m
MB = kN·m
7.Trọng tâm và mômen quán tính mặt cắtTrung bình
150 mm300 mm210 mmØ40xIx​ = ?

Một tấm 150 mm × 300 mm có một lỗ tròn đường kính 40 mm trên đường tâm thẳng đứng, tâm lỗ cách đáy 210 mm. Tìm mômen quán tính diện tích Ix quanh trục nằm ngang đi qua trọng tâm.

b = 150 mmh = 300 mmd = 40 mmtâm lỗ: y = 210 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
8.Trọng tâm và mômen quán tính mặt cắtKhó
130290201501810xkích thước tính bằng mm

Một tiết diện chữ I hàn có cánh trên 130 × 20 mm, bụng cao 150 mm và dày 10 mm, và cánh dưới 290 × 18 mm (chiều rộng × chiều dày). Tìm mô-men quán tính Ix của nó đối với trục nằm ngang x qua trọng tâm.

cánh trên: 130 × 20 mmbụng: 10 × 150 mmcánh dưới: 290 × 18 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
9.Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suấtTrung bình
σx​ = 60σy​ = 70τxy​ = 20MPa

Một điểm trong một tấm mỏng ở trạng thái ứng suất phẳng: σₓ = 60 MPa, σᵧ = 70 MPa và τₓᵧ = 20 MPa, với σz = 0. Tìm ứng suất cắt lớn nhất tuyệt đối τabs tại điểm đó (xét mọi mặt trong không gian ba chiều).

σx = 60 MPaσy = 70 MPaτxy = 20 MPaσz = 0
τabs = MPa
10.Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suấtKhó
20°D = 500 mm, t = 8 mm, p = 2 MPap

Một bể hình trụ thành mỏng có đường kính trong 500 mm và chiều dày thành 8 mm chứa khí ở áp suất dư 2 MPa. Nó được làm từ tấm thép hàn theo một đường hàn xoắn ốc nghiêng 20° so với trục của hình trụ. Tìm ứng suất pháp σn tác dụng vuông góc với đường hàn.

D = 500 mmt = 8 mmp = 2 MPaα = 20°
σn = MPa
11.Độ võng của dầmTrung bình
w = 20 kN/mδL = 4 m

Một dầm đơn giản chịu tải phân bố đều w trên toàn nhịp. Tìm độ võng lớn nhất δmax, tại giữa nhịp.

w = 20 kN/mL = 4 mE = 70 GPa (nhôm)I = 84 × 10⁶ mm⁴
δmax = mm
12.Độ võng của dầmKhó
w = 12 kN/mP = 29 kNδL = 6 m

Một dầm đơn giản chịu tải phân bố đều w và một tải tập trung P ở giữa nhịp. Dùng nguyên lý xếp chồng, tìm độ võng giữa nhịp δmax.

P = 29 kNw = 12 kN/mL = 6 mE = 200 GPa (thép)I = 23 × 10⁶ mm⁴
δmax = mm
13.Mất ổn định cộtTrung bình
PL = 2,5 md = 80 mmmặt cắt ngang

Một cột dài L làm bằng thép được hai đầu khớp. Dùng công thức Euler, tìm tải trọng oằn tới hạn Pcr của nó.

L = 2,5 mE = 200 GPa (thép)d = 80 mm
Pcr = kN
14.Mất ổn định cộtKhó
P = 110 kNL = 1,5 md = ?mặt cắt ngang

Một cột tròn đặc dài L làm bằng nhôm được hai đầu khớp. Nó phải chịu 110 kN với hệ số an toàn 2 chống oằn. Tìm đường kính nhỏ nhất d.

P = 110 kNn = 2L = 1,5 mE = 70 GPa (nhôm)
d = mm

3Dung dịch

1.Ứng suất và biến dạng dọc trục

Đáp số: P = 41,41 kN

Hai vật liệu: khi nối tiếp (cái này sau cái kia) mỗi đoạn chịu cùng một lực và các độ giãn dài cộng lại: δ = P·Σ L/(E·A). Khi song song (cạnh nhau giữa các tấm cứng) cả hai phần co lại cùng một lượng, nên biến dạng của chúng bằng nhau: phần cứng hơn nhận phần tải lớn hơn, Pi = P·EiAi/ΣEA, và σi = Ei·ε. Một thanh bị giữ giữa hai vách cứng với tải đặt tại chỗ nối là siêu tĩnh: hai đoạn chia tải theo tỉ lệ độ cứng k = EA/L của chúng.

Diện tích

A₁ = 314,2 mm², A₂ = 2827 mm²

Các độ mềm

L₁/(E₁A₁) = 600/(200000·314,2) = 9,549 × 10⁻⁶ mm/N
L₂/(E₂A₂) = 500/(70000·2827) = 2,526 × 10⁻⁶ mm/N

Tải

P = 0,5/1,208 × 10⁻⁵ = 41406 N = 41,41 kN

Đáp số

P = 41,41 kN
2.Ứng suất và biến dạng dọc trục

Đáp số: σ2 = 11,29 MPa

Hai vật liệu: khi nối tiếp (cái này sau cái kia) mỗi đoạn chịu cùng một lực và các độ giãn dài cộng lại: δ = P·Σ L/(E·A). Khi song song (cạnh nhau giữa các tấm cứng) cả hai phần co lại cùng một lượng, nên biến dạng của chúng bằng nhau: phần cứng hơn nhận phần tải lớn hơn, Pi = P·EiAi/ΣEA, và σi = Ei·ε. Một thanh bị giữ giữa hai vách cứng với tải đặt tại chỗ nối là siêu tĩnh: hai đoạn chia tải theo tỉ lệ độ cứng k = EA/L của chúng.

Các độ cứng

k₁ = 200000·1257/400 = 628319 N/mm
k₂ = 110000·1257/400 = 345575 N/mm

Phần của đoạn 2

F2 = 40000·345575/973894 = 14194 N

Ứng suất

σ2 = 14194/1257 = 11,29 MPa (nén)

Đáp số

σ2 = 11,29 MPa
3.Xoắn của trục

Đáp số: do = 40,8 mm

Xoắn thanh tròn: ứng suất tiếp tăng tuyến tính từ không ở tâm đến τmax = T·r/J ở bề mặt, với J = πd⁴/32 cho trục đặc và J = π(do⁴ − di⁴)/32 cho trục rỗng. Góc xoắn là φ = TL/(GJ) tính bằng radian. Công suất và mômen xoắn liên hệ với nhau qua P = T·ω.

Đường kính ngoài từ ứng suất cho phép

T = 1000 N·m = 1 × 10⁶ N·mm
1 − k⁴ = 1 − 0,5⁴ = 0,9375
do = ∛(16T/(π·τallow·(1 − k⁴))) = ∛(16·1 × 10⁶/(π·80·0,9375)) = 40,8 mm
di = 0,5·40,8 = 20,4 mm

Đáp số

do = 40,8 mm

Một trục đặc sẽ cần d = 39,93 mm; trục rỗng lớn hơn một chút nhưng nhẹ hơn nhiều.

4.Xoắn của trục

Đáp số: do = 30,95 mm

Xoắn thanh tròn: ứng suất tiếp tăng tuyến tính từ không ở tâm đến τmax = T·r/J ở bề mặt, với J = πd⁴/32 cho trục đặc và J = π(do⁴ − di⁴)/32 cho trục rỗng. Góc xoắn là φ = TL/(GJ) tính bằng radian. Công suất và mômen xoắn liên hệ với nhau qua P = T·ω.

Mômen xoắn

ω = 2πN/60 = 2π·300/60 = 31,42 rad/s
T = P/ω = 5000/31,42 = 159,2 N·m

Đường kính ngoài từ ứng suất cho phép

T = 159,2 N·m = 159155 N·mm
1 − k⁴ = 1 − 0,75⁴ = 0,6836
do = ∛(16T/(π·τallow·(1 − k⁴))) = ∛(16·159155/(π·40·0,6836)) = 30,95 mm
di = 0,75·30,95 = 23,21 mm

Đáp số

do = 30,95 mm

Một trục đặc sẽ cần d = 27,26 mm; trục rỗng lớn hơn một chút nhưng nhẹ hơn nhiều.

5.Lực cắt và mômen uốn

Đáp số: Mx = 4,375 kN·m

Phương pháp mặt cắt: cắt dầm tại vị trí cần tìm nội lực và giữ lại một phía. Lực cắt V cân bằng với các lực thẳng đứng ở phía đó, và mômen uốn M cân bằng với mômen của chúng quanh mặt cắt.

Phản lực gối

Cân bằng của cả dầm.

Hợp lực của tải phân bố đều: W = w·ℓ = 5·4 = 20 kN, đặt tại x̄ = 2 m
ΣMA = 0: RB·4 = 5·4·2
RB = 40/4 = 10 kN
ΣFy = 0: RA = 20 − 10 = 10 kN
w = 5 kN/mABRA​ = 10RB​ = 10mặt cắt3,5 m0,5 m

Cắt tại x = 3,5 m và giữ phần bên trái

Chỉ các lực bên trái mặt cắt xuất hiện. Phần tải phân bố đều được thay bằng một lực đặt tại giữa phần đó.

M = RA·x − (mỗi tải bên trái mặt cắt × cánh tay đòn đến mặt cắt)
Mx = 10·3,5 − 5·3,5·1,75 = 4,375 kN·m

Đáp số

Mx = 4,375 kN·m
6.Lực cắt và mômen uốn

Đáp số: MB = −6 kN·m

Phương pháp mặt cắt: cắt dầm tại vị trí cần tìm nội lực và giữ lại một phía. Lực cắt V cân bằng với các lực thẳng đứng ở phía đó, và mômen uốn M cân bằng với mômen của chúng quanh mặt cắt. Mô-men lớn nhất: vì dM/dx = V, mô-men uốn đạt cực trị tại nơi lực cắt đi qua không, hoặc tại một lực tập trung hoặc bên trong một tải phân bố.

Phản lực gối

Cân bằng của toàn bộ dầm, kể cả tải trên đoạn công-xôn.

Hợp lực của tải phân bố đều: W = w·ℓ = 3·8 = 24 kN, đặt tại x̄ = 4 m
ΣMA = 0: RB·6 = 3·8·4
RB = 96/6 = 16 kN
ΣFy = 0: RA = 24 − 16 = 8 kN

Cắt tại B và giữ đoạn công-xôn

Tải trên đoạn công-xôn, w·a, đặt cách B một đoạn a/2 và làm dầm uốn võng lên trên gối.

MB = −w·a²/2 = −3·2²/2 = −6 kN·m

Đáp số

MB = −6 kN·m
7.Trọng tâm và mômen quán tính mặt cắt

Đáp số: Ix = 332,7 × 10⁶ mm⁴

Tiết diện có lỗ: coi lỗ là một diện tích âm. Trọng tâm là ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), với A₁, y₁ cho tấm đầy đủ và A₂, y₂ cho lỗ. Với mômen quán tính diện tích quanh trục đi qua trọng tâm, dùng định lý trục song song cho từng phần rồi trừ lỗ: I = (Ic1 + A₁d₁²) − (Ic2 + A₂d₂²), trong đó d là khoảng cách từ trọng tâm riêng của mỗi phần đến trục đi qua ȳ. Hình chữ nhật có Ic = bh³/12 và hình tròn có Ic = πd⁴/64.

Trọng tâm

ȳ = (45000·150 − 1257·210)/(45000 − 1257) = 148,3 mm

Tấm đầy đủ quanh ȳ

150·300³/12 + 45000·1,724² = 337,6 × 10⁶ mm⁴

Lỗ quanh ȳ

π·40⁴/64 + 1257·61,72² = 4,913 × 10⁶ mm⁴

Trừ

Ix = 332,7 × 10⁶ mm⁴

Đáp số

Ix = 332,7 × 10⁶ mm⁴
8.Trọng tâm và mômen quán tính mặt cắt

Đáp số: Ix = 53,58 × 10⁶ mm⁴

Diện tích ghép: chia mặt cắt thành các hình chữ nhật. Trọng tâm là trung bình có trọng số theo diện tích ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Mômen quán tính của mặt cắt đối với trục đi qua trọng tâm bằng tổng bh³/12 của từng phần và số hạng trục song song A·d², trong đó d là khoảng cách từ trọng tâm của phần đó đến trọng tâm chung. Ứng suất uốn là σ = M·y/I.

Chia thành ba hình chữ nhật

Đo mọi y từ mép dưới.

cánh trên: A = 2600 mm², y = 178 mm
bụng: A = 1500 mm², y = 93 mm
cánh dưới: A = 5220 mm², y = 9 mm

Trọng tâm

ȳ = (2600·178 + 1500·93 + 5220·9)/9320 = 69,67 mm

Định lý trục song song

cánh trên: 130·20³/12 + 2600·108,3² = 3,06 × 10⁷ mm⁴
bụng: 10·150³/12 + 1500·23,33² = 3,629 × 10⁶ mm⁴
cánh dưới: 290·18³/12 + 5220·60,67² = 1,935 × 10⁷ mm⁴
Ix = 3,06 × 10⁷ + 3,629 × 10⁶ + 1,935 × 10⁷
Ix = 5,358 × 10⁷ mm⁴ = 53,58 × 10⁶ mm⁴

Đáp số

Ix = 53,58 × 10⁶ mm⁴
9.Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suất

Đáp số: τabs = 42,81 MPa

Biến đổi ứng suất phẳng: trên một mặt xoay góc θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Vòng tròn Mohr cho thấy tất cả các mặt cùng lúc: tâm của nó ở C = (σₓ + σᵧ)/2 và bán kính là R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Các ứng suất chính là C ± R, và ứng suất tiếp lớn nhất trong mặt phẳng là R. Trong không gian ba chiều, ứng suất cắt lớn nhất tuyệt đối là (σmax − σmin)/2 trên cả ba ứng suất chính; trong ứng suất phẳng, ứng suất thứ ba bằng không.

σxyCσ1​σ2​

Các ứng suất chính trong mặt phẳng

C = 65 MPa, R = √((−5)² + 20²) = 20,62 MPa
σ1 = 85,62 MPa, σ2 = 44,38 MPa, σz = 0

Vòng tròn lớn nhất trong ba vòng tròn

τ = max(|σ1 − σ2|, |σ1|, |σ2|)/2 = max(41,23, 85,62, 44,38)/2 = 42,81 MPa

Đáp số

τabs = 42,81 MPa

Ở đây vòng tròn ngoài mặt phẳng quyết định: giá trị lớn nhất tuyệt đối lớn hơn giá trị lớn nhất trong mặt phẳng R.

10.Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suất

Đáp số: σn = 58,84 MPa

Biến đổi ứng suất phẳng: trên một mặt xoay góc θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Vòng tròn Mohr cho thấy tất cả các mặt cùng lúc: tâm của nó ở C = (σₓ + σᵧ)/2 và bán kính là R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Các ứng suất chính là C ± R, và ứng suất tiếp lớn nhất trong mặt phẳng là R. Hình trụ thành mỏng: ứng suất vòng σh = pr/t và ứng suất dọc trục σa = pr/(2t); đó là các ứng suất chính trong thành.

Các ứng suất trong thành

r = 500/2 = 250 mm
σh = pr/t = 2·250/8 = 62,5 MPa
σa = pr/(2t) = 31,25 MPa

Biến đổi sang đường hàn

Lấy x dọc theo trục (σa) và y theo chiều vòng (σh). Pháp tuyến của đường hàn tạo góc 90° − α với trục.

σn = 31,25·sin²20° + 62,5·cos²20° = 58,84 MPa

Đáp số

σn = 58,84 MPa
11.Độ võng của dầm

Đáp số: δmax = 11,34 mm

Độ võng của dầm: độ võng có được bằng cách tích phân độ cong M/(EI) hai lần. Các trường hợp tiêu chuẩn đã được lập bảng, ví dụ PL³/(3EI) cho dầm công xôn chịu tải ở đầu tự do và 5wL⁴/(384EI) cho dầm đơn giản chịu tải phân bố đều toàn nhịp. Độ võng do các tải riêng rẽ cộng lại (xếp chồng).

Đơn vị nhất quán

Làm việc theo N và mm: P theo N, w theo N/mm (kN/m = N/mm), L theo mm, E theo N/mm² (GPa × 1000), I theo mm⁴.

w = 20 N/mm, L = 4000 mm
EI = 5,88 × 10¹² N·mm²

Độ võng

δmax = 5wL⁴/(384EI) = 5·20·4000⁴/(384·5,88 × 10¹²) = 11,34 mm

Đáp số

δmax = 11,34 mm
12.Độ võng của dầm

Đáp số: δmax = 72,39 mm

Độ võng của dầm: độ võng có được bằng cách tích phân độ cong M/(EI) hai lần. Các trường hợp tiêu chuẩn đã được lập bảng, ví dụ PL³/(3EI) cho dầm công xôn chịu tải ở đầu tự do và 5wL⁴/(384EI) cho dầm đơn giản chịu tải phân bố đều toàn nhịp. Độ võng do các tải riêng rẽ cộng lại (xếp chồng).

Đơn vị nhất quán

Làm việc theo N và mm: P theo N, w theo N/mm (kN/m = N/mm), L theo mm, E theo N/mm² (GPa × 1000), I theo mm⁴.

P = 29000 N, w = 12 N/mm, L = 6000 mm, EI = 4,6 × 10¹² N·mm²

Từng tải riêng rẽ

δP = PL³/(48EI) = 29000·6000³/(48·4,6 × 10¹²) = 28,37 mm
δw = 5wL⁴/(384EI) = 5·12·6000⁴/(384·4,6 × 10¹²) = 44,02 mm

Cộng lại

δmax = 28,37 + 44,02 = 72,39 mm

Đáp số

δmax = 72,39 mm
13.Mất ổn định cột

Đáp số: Pcr = 635 kN

Mất ổn định Euler: một cột mảnh mất ổn định tại Pcr = π²EI/(KL)², trong đó KL là chiều dài tính toán: K = 1 cho khớp–khớp, 2 cho ngàm–tự do, 0,7 cho ngàm–khớp và 0,5 cho ngàm–ngàm. Cột oằn quanh trục có I nhỏ nhất. Công thức đúng với cột mảnh, có ứng suất tới hạn thấp hơn ứng suất chảy.

Mômen quán tính nhỏ nhất của mặt cắt

Mặt cắt tròn có cùng I đối với mọi trục.

I = πd⁴/64 = π·80⁴/64 = 2,011 × 10⁶ mm⁴

Chiều dài tính toán

KL = 1·2500 = 2500 mm

Tải trọng tới hạn

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·2,011 × 10⁶/2500² = 635009 N = 635 kN

Đáp số

Pcr = 635 kN
14.Mất ổn định cột

Đáp số: d = 61,81 mm

Mất ổn định Euler: một cột mảnh mất ổn định tại Pcr = π²EI/(KL)², trong đó KL là chiều dài tính toán: K = 1 cho khớp–khớp, 2 cho ngàm–tự do, 0,7 cho ngàm–khớp và 0,5 cho ngàm–ngàm. Cột oằn quanh trục có I nhỏ nhất. Công thức đúng với cột mảnh, có ứng suất tới hạn thấp hơn ứng suất chảy.

Tải trọng tới hạn yêu cầu

Pcr = n·P = 2·110000 = 220000 N
KL = 1·1500 = 1500 mm

Giải tìm đường kính

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·220000·1500²/(π³·70000))^(1/4) = 61,81 mm

Đáp số

d = 61,81 mm

Kiểm tra: độ mảnh KL/r là 97,07, nên cột là mảnh và công thức Euler áp dụng được.

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials