Sức bền vật liệu: gói ôn nước rút

Bảng công thức, các bước phương pháp chính cho từng chủ đề và 14 bài tập, kèm lời giải đầy đủ ở cuối.

Bài mớiQuay lại môn học

Trong cửa sổ in, hãy chọn “Lưu dưới dạng PDF” để giữ một bản trên thiết bị của bạn.

1Công thức và phương pháp

Ứng suất và biến dạng dọc trục

Ứng suất pháp
σ = F/A
Biến dạng
ε = ΔL/L
Định luật Hooke
σ = E·ε
Độ giãn dài
ΔL = FL/(EA)
Biến dạng nhiệt
εT = α·ΔT

Xoắn của trục

Ứng suất tiếp
τ = T·r/J
Trục đặc
J = πd⁴/32
Trục rỗng
J = π(D⁴ − d⁴)/32
Góc xoắn
φ = TL/(GJ)
Công suất
P = T·ω = 2πnT/60

Phương pháp

  1. Tìm mômen quán tính độc cực: J = πd⁴/32 cho trục đặc.
  2. Ứng suất tiếp ở bề mặt: τ = T·r/J, với r là bán kính ngoài.
  3. Góc xoắn: φ = TL/(GJ) theo radian.
  4. Nếu cho công suất, hãy tìm mômen xoắn trước bằng P = T·ω, ω = 2πn/60.

Lực cắt và mômen uốn

Lực cắt và mômen
V = ΣF ở một phía, M = ΣF·d ở một phía
Ứng suất uốn
σ = M·y/I
Hình chữ nhật
I = bh³/12
Mômen chống uốn của mặt cắt
W = I/ymax
Dầm đơn giản, tải phân bố đều
Mmax = wL²/8

Phương pháp

  1. Tìm phản lực gối từ cân bằng của cả dầm.
  2. Cắt dầm tại mặt cắt bạn cần và giữ lại một phía.
  3. Lực cắt: tổng các lực thẳng đứng ở phía đó. Mômen uốn: tổng mômen của chúng quanh mặt cắt.
  4. Để tìm mômen lớn nhất, hãy tìm nơi lực cắt bằng không.

Trọng tâm và mômen quán tính mặt cắt

Trọng tâm
ȳ = ΣAiyi/ΣAi
Hình chữ nhật
I = bh³/12
Định lý trục song song
I = Ic + A·d²
Mặt cắt ghép
I = Σ(Ic,i + Aidi²)

Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suất

Tâm
C = (σx + σy)/2
Bán kính
R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
Ứng suất chính
σ1,2 = C ± R
Phương chính
tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
Mặt phẳng nghiêng
σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ

Phương pháp

  1. Tính tâm của vòng tròn Mohr: C = (σx + σy)/2.
  2. Tính bán kính: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
  3. Các ứng suất chính là C ± R và ứng suất tiếp lớn nhất trong mặt phẳng là R.
  4. Các góc trên vòng tròn gấp đôi các góc trên phần tử: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Độ võng của dầm

Tải tập trung ở giữa nhịp
δ = PL³/(48EI)
Tải phân bố đều, dầm đơn giản
δ = 5wL⁴/(384EI)
Công xôn, tải ở đầu
δ = PL³/(3EI)
Công xôn, tải phân bố đều
δ = wL⁴/(8EI)
Nguyên lý xếp chồng
δ = δ1 + δ2

Mất ổn định cột

Tải Euler
Pcr = π²EI/(KL)²
Hệ số chiều dài tính toán
K = 1 khớp–khớp, 0,5 ngàm–ngàm, 0,7 ngàm–khớp, 2 ngàm–tự do
Ứng suất tới hạn
σcr = Pcr/A
Độ mảnh
λ = KL/r, r = √(I/A)

2Bài tập

1.Ứng suất và biến dạng dọc trụcTrung bình
Ø 30 mmĐồng1,5 mP = 80 kN

Tìm biến dạng dọc trục ε trong thanh đồng, tính bằng microstrain (µε = 10⁻⁶).

P = 80 kNd = 30 mmL = 1,5 mE = 117 GPa
ε = µε
2.Ứng suất và biến dạng dọc trụcKhó
Ø 35 mmĐồng thau1,5 mØ 16 mmĐồng thau1,5 mP = 50 kN

Thanh bậc được ngàm vào tường và chịu tải ở đầu tự do. Tìm tổng độ giãn dài δ.

P = 50 kNđoạn 1: Ø35 mm, 1,5 m, đồng thau (E = 100 GPa)đoạn 2: Ø16 mm, 1,5 m, đồng thau (E = 100 GPa)
δ = mm
3.Xoắn của trụcTrung bình
do​ = ?T = 1500 N·m

Một trục rỗng phải chịu mô-men xoắn 1500 N·m. Đường kính trong của nó bằng 0,5 lần đường kính ngoài, và ứng suất cắt không được vượt quá 75 MPa. Tìm đường kính ngoài nhỏ nhất do.

T = 1500 N·mdi/do = 0,5τallow = 75 MPa
do = mm
4.Xoắn của trụcKhó
Tdo​ = 50 mm, di​ = 40 mm

Một trục rỗng truyền 75 kW ở 3000 rpm. Tìm ứng suất tiếp lớn nhất τmax trong trục.

P = 75 kWN = 3000 rpmdo = 50 mmdi = 40 mm
τmax = MPa
5.Lực cắt và mômen uốnTrung bình
40 kN45 kNABCDEFG1 m1 m1 m1 m1 m1 m

Các điểm đánh dấu từ A đến G chia dầm thành sáu phần bằng nhau. Tại điểm nào mômen uốn có độ lớn lớn nhất, dù võng hay vồng? Nhấp vào nó trong sơ đồ.

40 kN @ 1 m45 kN @ 2 m
  1. 1A (x = 0 m)
  2. 2B (x = 1 m)
  3. 3C (x = 2 m)
  4. 4D (x = 3 m)
  5. 5E (x = 4 m)
  6. 6F (x = 5 m)
  7. 7G (x = 6 m)
6.Lực cắt và mômen uốnKhó
w = 8 kN/mP = 45 kNAB6 m4 m

Dầm đơn giản chịu tải phân bố đều w trên toàn bộ nhịp và một lực tập trung P. Tìm mô-men uốn lớn nhất Mmax trong dầm.

L = 10 mP = 45 kN tại 6 mw = 8 kN/m từ 0 đến 10 m
Mmax = kN·m
7.Trọng tâm và mômen quán tính mặt cắtTrung bình
18080t = 18xkích thước tính bằng mm

Một tiết diện chữ U đặt với mặt hở hướng lên: một bản đáy rộng 180 mm với hai cánh đứng, tổng chiều cao 80 mm. Đáy và các cánh đều dày 18 mm. Tìm mô-men quán tính Ix của nó đối với trục nằm ngang x qua trọng tâm.

b = 180 mmh = 80 mmt = 18 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
8.Trọng tâm và mômen quán tính mặt cắtKhó
2203026012xM = 50 kN·mkích thước tính bằng mm

Mặt cắt chữ T được dùng làm dầm với cánh ở trên và chịu mômen uốn làm võng xuống 50 kN·m. Tìm độ lớn ứng suất uốn σtrên ở mép trên.

bf = 220 mmtf = 30 mmtw = 12 mmhw = 260 mmM = 50 kN·m
σtrên = MPa
9.Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suấtTrung bình
σx​ = 120σy​ = 70τxy​ = −40MPa

Một điểm có σₓ = 120 MPa, σᵧ = 70 MPa và τₓᵧ = −40 MPa (kéo là dương). Tìm góc θs, trong khoảng từ −90° đến 90°, từ trục x đến pháp tuyến của mặt có ứng suất cắt đạt giá trị dương lớn nhất +R (ứng suất cắt dương cùng chiều với τₓᵧ).

σx = 120 MPaσy = 70 MPaτxy = −40 MPa
θs = °
10.Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suấtKhó
σx​ = −80σy​ = 80τxy​ = −40MPa

Một điểm trong chi tiết chịu tải có σₓ = −80 MPa, σᵧ = 80 MPa và τₓᵧ = −40 MPa (kéo là dương). Tìm ứng suất tiếp τθ trên một mặt có pháp tuyến xoay 20° ngược chiều kim đồng hồ so với trục x (dương cùng chiều với τₓᵧ).

σx = −80 MPaσy = 80 MPaτxy = −40 MPaθ = 20°
τθ = MPa
11.Độ võng của dầmTrung bình
P = 11 kNABδ1,5 m0,5 m

Một dầm công-xôn dài L ngàm tại A và chịu lực tập trung P tại vị trí cách A một đoạn a = 1,5 m. Tìm độ võng δP dưới tải.

P = 11 kNa = 1,5 mL = 2 mE = 200 GPa (thép)I = 8,5 × 10⁶ mm⁴
δP = mm
12.Độ võng của dầmKhó
w = 6 kN/mAB8 m

Một dầm công-xôn có gối chống ngàm tại A và tựa đơn (chống) tại B. Dầm chịu tải phân bố đều w trên toàn bộ chiều dài. EI không đổi. Tìm phản lực RB tại gối chống.

L = 8 mw = 6 kN/m
RB = kN
13.Mất ổn định cộtTrung bình
PL = 3 m40 × 80 mmmặt cắt ngang

Một cột dài L làm bằng nhôm được ngàm ở chân và tự do ở đỉnh. Dùng công thức Euler, tìm tải trọng oằn tới hạn Pcr của nó.

L = 3 mE = 70 GPa (nhôm)b × h = 40 × 80 mm
Pcr = kN
14.Mất ổn định cộtKhó
P = 75 kNL = 1,5 md = ?mặt cắt ngang

Một cột tròn đặc dài L làm bằng nhôm được hai đầu khớp. Nó phải chịu 75 kN với hệ số an toàn 2,5 chống oằn. Tìm đường kính nhỏ nhất d.

P = 75 kNn = 2,5L = 1,5 mE = 70 GPa (nhôm)
d = mm

3Dung dịch

1.Ứng suất và biến dạng dọc trục

Đáp số: ε = 967,3 µε

Định luật Hooke: trong giới hạn đàn hồi σ = E·ε. Kết hợp với σ = P/A và ε = δ/L ta được δ = PL/(AE).

Ứng suất

A = π·30²/4 = 706,9 mm²
σ = P/A = 80·1000/706,9 = 113,2 MPa

Biến dạng (định luật Hooke)

E for đồng = 117 GPa = 117000 MPa.

ε = σ/E = 113,2/117000 = 0,0009673 = 967,3 µε

Đáp số

ε = 967,3 µε
2.Ứng suất và biến dạng dọc trục

Đáp số: δ = 4,51 mm

Cấu kiện chịu tải dọc trục: mỗi đoạn lăng trụ tuân theo δ = PL/(AE). Với các cấu kiện nối tiếp, độ giãn dài cộng lại.

Cùng một lực trong cả hai đoạn

Đầu tự do chịu lực P, nên mọi mặt cắt của thanh đều chịu cùng một lực dọc trục P. Chỉ có diện tích và vật liệu thay đổi.

A1 = π·35²/4 = 962,1 mm², A2 = π·16²/4 = 201,1 mm²
σ1 = 51,97 MPa
σ2 = 248,7 MPa

Cộng độ giãn dài của các đoạn

δ1 = σ1L1/E1 = 51,97·1500/100000 = 0,7795 mm
δ2 = σ2L2/E2 = 248,7·1500/100000 = 3,73 mm
δ = δ1 + δ2 = 4,51 mm

Đáp số

δ = 4,51 mm
3.Xoắn của trục

Đáp số: do = 47,72 mm

Xoắn thanh tròn: ứng suất tiếp tăng tuyến tính từ không ở tâm đến τmax = T·r/J ở bề mặt, với J = πd⁴/32 cho trục đặc và J = π(do⁴ − di⁴)/32 cho trục rỗng. Góc xoắn là φ = TL/(GJ) tính bằng radian. Công suất và mômen xoắn liên hệ với nhau qua P = T·ω.

Đường kính ngoài từ ứng suất cho phép

T = 1500 N·m = 1,5 × 10⁶ N·mm
1 − k⁴ = 1 − 0,5⁴ = 0,9375
do = ∛(16T/(π·τallow·(1 − k⁴))) = ∛(16·1,5 × 10⁶/(π·75·0,9375)) = 47,72 mm
di = 0,5·47,72 = 23,86 mm

Đáp số

do = 47,72 mm

Một trục đặc sẽ cần d = 46,7 mm; trục rỗng lớn hơn một chút nhưng nhẹ hơn nhiều.

4.Xoắn của trục

Đáp số: τmax = 16,47 MPa

Xoắn thanh tròn: ứng suất tiếp tăng tuyến tính từ không ở tâm đến τmax = T·r/J ở bề mặt, với J = πd⁴/32 cho trục đặc và J = π(do⁴ − di⁴)/32 cho trục rỗng. Góc xoắn là φ = TL/(GJ) tính bằng radian. Công suất và mômen xoắn liên hệ với nhau qua P = T·ω.

Mômen xoắn

ω = 2πN/60 = 2π·3000/60 = 314,2 rad/s
T = P/ω = 75000/314,2 = 238,7 N·m

Mômen quán tính độc cực của mặt cắt

J = π(50⁴ − 40⁴)/32 = 362265 mm⁴

Ứng suất tiếp lớn nhất

τmax = T·(do/2)/J = 238732·25/362265 = 16,47 MPa

Đáp số

τmax = 16,47 MPa
5.Lực cắt và mômen uốn

Đáp số: C (x = 2 m)

Mômen uốn lớn nhất: M đổi độ dốc ở bất cứ chỗ nào lực cắt thay đổi, nên các đỉnh của nó nằm nơi lực cắt đi qua không: dưới một tải tập trung, bên trong một tải phân bố, hoặc trên một gối của phần công-xon. Tại ngàm của dầm công-xon, mômen lớn nhất ở chân tường. So sánh độ lớn của M tại những chỗ đó, dù là mômen làm võng hay làm vồng.

Phản lực gối

Lấy mômen quanh một gối tựa, rồi dùng cân bằng lực thẳng đứng.

R1 = 63,33 kN, R2 = 21,67 kN

Mômen uốn tại mỗi điểm đánh dấu

Cộng các mômen của mọi lực ở một phía của mặt cắt. Võng là dương, vồng là âm.

MA = 0, MB = 63,33, MC = 86,67 kN·m, MD = 65, ME = 43,33, MF = 21,67, MG = 0

Đáp số

Điểm đánh dấu C: MC = 86,67 kN·m
6.Lực cắt và mômen uốn

Đáp số: Mmax = 204 kN·m

Phương pháp mặt cắt: cắt dầm tại vị trí cần tìm nội lực và giữ lại một phía. Lực cắt V cân bằng với các lực thẳng đứng ở phía đó, và mômen uốn M cân bằng với mômen của chúng quanh mặt cắt. Mô-men lớn nhất: vì dM/dx = V, mô-men uốn đạt cực trị tại nơi lực cắt đi qua không, hoặc tại một lực tập trung hoặc bên trong một tải phân bố.

Phản lực gối

Cân bằng của cả dầm.

Hợp lực của tải phân bố đều: W = w·ℓ = 8·10 = 80 kN, đặt tại x̄ = 5 m
ΣMA = 0: RB·10 = 45·6 + 8·10·5
RB = 670/10 = 67 kN
ΣFy = 0: RA = 125 − 67 = 58 kN

V = 0 ở đâu?

V(6⁻) = RA − w·6 = 10 kN
V(6⁺) = 10 − 45 = −35 kN
Lực cắt đổi dấu tại tải, nên giá trị lớn nhất nằm dưới tải.

Mô-men lớn nhất

Mmax = RA·6 − w·6²/2 = 58·6 − 8·6²/2 = 204 kN·m

Đáp số

Mmax = 204 kN·m

Nó xảy ra tại x = 6 m tính từ A.

7.Trọng tâm và mômen quán tính mặt cắt

Đáp số: Ix = 2,917 × 10⁶ mm⁴

Diện tích ghép: chia mặt cắt thành các hình chữ nhật. Trọng tâm là trung bình có trọng số theo diện tích ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Mômen quán tính của mặt cắt đối với trục đi qua trọng tâm bằng tổng bh³/12 của từng phần và số hạng trục song song A·d², trong đó d là khoảng cách từ trọng tâm của phần đó đến trọng tâm chung. Ứng suất uốn là σ = M·y/I.

Chia thành các hình chữ nhật

Lấy đáy với toàn bộ chiều rộng và hai cánh phía trên nó (cao h − t), để không có phần nào bị tính hai lần.

nền: A1 = 180·18 = 3240 mm², y1 = 9 mm
hai cánh: A2 = 2·18·62 = 2232 mm², y2 = 18 + 62/2 = 49 mm

Trọng tâm

ȳ = (3240·9 + 2232·49)/5472 = 25,32 mm

Định lý trục song song

nền: 180·18³/12 + 3240·(9 − 25,32)² = 949984 mm⁴
hai cánh: 2·18·62³/12 + 2232·(49 − 25,32)² = 1,967 × 10⁶ mm⁴
Ix = 949984 + 1,967 × 10⁶
Ix = 2,917 × 10⁶ mm⁴ = 2,917 × 10⁶ mm⁴

Đáp số

Ix = 2,917 × 10⁶ mm⁴
8.Trọng tâm và mômen quán tính mặt cắt

Đáp số: σtrên = 49,15 MPa

Diện tích ghép: chia mặt cắt thành các hình chữ nhật. Trọng tâm là trung bình có trọng số theo diện tích ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Mômen quán tính của mặt cắt đối với trục đi qua trọng tâm bằng tổng bh³/12 của từng phần và số hạng trục song song A·d², trong đó d là khoảng cách từ trọng tâm của phần đó đến trọng tâm chung. Ứng suất uốn là σ = M·y/I.

Chia thành hai hình chữ nhật

Đo mọi y từ mép dưới.

cánh: Af = 220·30 = 6600 mm², yf = 260 + 30/2 = 275 mm
bụng: Aw = 12·260 = 3120 mm², yw = 260/2 = 130 mm

Trọng tâm

ȳ = (Afyf + Awyw)/(Af + Aw) = (6600·275 + 3120·130)/9720 = 228,5 mm

Định lý trục song song

cánh: 220·30³/12 + 6600·(275 − 228,5)² = 1,479 × 10⁷ mm⁴
bụng: 12·260³/12 + 3120·(130 − 228,5)² = 4,782 × 10⁷ mm⁴
Ix = 1,479 × 10⁷ + 4,782 × 10⁷ = 6,261 × 10⁷ mm⁴

Ứng suất uốn

Mép trên cách trục h − ȳ.

y = 290 − 228,5 = 61,54 mm
σ = M·y/I = 5 × 10⁷·61,54/6,261 × 10⁷ = 49,15 MPa

Đáp số

σtrên = 49,15 MPa
9.Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suất

Đáp số: θs = −74 °

Biến đổi ứng suất phẳng: trên một mặt xoay góc θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Vòng tròn Mohr cho thấy tất cả các mặt cùng lúc: tâm của nó ở C = (σₓ + σᵧ)/2 và bán kính là R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Các ứng suất chính là C ± R, và ứng suất tiếp lớn nhất trong mặt phẳng là R.

στxyCτmax​

Góc trên vòng tròn

Trên vòng tròn Mohr, điểm trên cùng (+R) lệch 90° so với điểm chính σ₁; trên phân tố đó là 45°.

cos 2θs = −40/47,17 = −0,848, sin 2θs = −25/47,17 = −0,53
2θs = atan2(−25, −40) = −148°

Góc trên phần tử

θs = −74°
kiểm tra: θs − θp = −74 − (−29) = −45°

Đáp số

θs = −74°

Góc dương là ngược chiều kim đồng hồ.

10.Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suất

Đáp số: τθ = 20,78 MPa

Biến đổi ứng suất phẳng: trên một mặt xoay góc θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Vòng tròn Mohr cho thấy tất cả các mặt cùng lúc: tâm của nó ở C = (σₓ + σᵧ)/2 và bán kính là R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Các ứng suất chính là C ± R, và ứng suất tiếp lớn nhất trong mặt phẳng là R.

Phương trình biến đổi

τθ = −−80·0,6428 + −40·0,766 = 20,78 MPa

Đáp số

τθ = 20,78 MPa
11.Độ võng của dầm

Đáp số: δP = 7,279 mm

Độ võng của dầm: độ võng có được bằng cách tích phân độ cong M/(EI) hai lần. Các trường hợp tiêu chuẩn đã được lập bảng, ví dụ PL³/(3EI) cho dầm công xôn chịu tải ở đầu tự do và 5wL⁴/(384EI) cho dầm đơn giản chịu tải phân bố đều toàn nhịp. Độ võng do các tải riêng rẽ cộng lại (xếp chồng).

Đơn vị nhất quán

Làm việc theo N và mm: P theo N, w theo N/mm (kN/m = N/mm), L theo mm, E theo N/mm² (GPa × 1000), I theo mm⁴.

P = 11000 N, a = 1500 mm, L = 2000 mm
EI = 1,7 × 10¹² N·mm²

Độ võng dưới tải

δP = Pa³/(3EI) = 11000·1500³/(3·1,7 × 10¹²) = 7,279 mm

Đáp số

δP = 7,279 mm
12.Độ võng của dầm

Đáp số: RB = 18 kN

Độ võng của dầm: độ võng có được bằng cách tích phân độ cong M/(EI) hai lần. Các trường hợp tiêu chuẩn đã được lập bảng, ví dụ PL³/(3EI) cho dầm công xôn chịu tải ở đầu tự do và 5wL⁴/(384EI) cho dầm đơn giản chịu tải phân bố đều toàn nhịp. Độ võng do các tải riêng rẽ cộng lại (xếp chồng). Với dầm siêu tĩnh, hãy bỏ một liên kết thừa và đòi hỏi độ võng tại đó bằng không (điều kiện tương thích).

Bỏ gối chống đi

Khi không có gối chống, dầm là một dầm công-xôn. Đầu tự do của nó sẽ võng dưới tải.

δload = wL⁴/(8EI)

Điều kiện tương thích tại gối chống

Chỉ riêng lực chống RB nâng đầu tự do lên một đoạn RBL³/(3EI). Gối chống giữ B có độ võng bằng không, nên hai độ võng phải triệt tiêu nhau. EI được khử.

RB·L³/(3EI) = wL⁴/(8EI) → RB = 3wL/8 = 3·6·8/8 = 18 kN

Đáp số

RB = 18 kN
13.Mất ổn định cột

Đáp số: Pcr = 8,188 kN

Mất ổn định Euler: một cột mảnh mất ổn định tại Pcr = π²EI/(KL)², trong đó KL là chiều dài tính toán: K = 1 cho khớp–khớp, 2 cho ngàm–tự do, 0,7 cho ngàm–khớp và 0,5 cho ngàm–ngàm. Cột oằn quanh trục có I nhỏ nhất. Công thức đúng với cột mảnh, có ứng suất tới hạn thấp hơn ứng suất chảy.

Mômen quán tính nhỏ nhất của mặt cắt

Hình chữ nhật oằn quanh trục yếu, dùng kích thước nhỏ hơn lập phương.

Imin = h·b³/12 = 80·40³/12 = 426667 mm⁴

Chiều dài tính toán

KL = 2·3000 = 6000 mm

Tải trọng tới hạn

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·426667/6000² = 8188 N = 8,188 kN

Đáp số

Pcr = 8,188 kN
14.Mất ổn định cột

Đáp số: d = 59,39 mm

Mất ổn định Euler: một cột mảnh mất ổn định tại Pcr = π²EI/(KL)², trong đó KL là chiều dài tính toán: K = 1 cho khớp–khớp, 2 cho ngàm–tự do, 0,7 cho ngàm–khớp và 0,5 cho ngàm–ngàm. Cột oằn quanh trục có I nhỏ nhất. Công thức đúng với cột mảnh, có ứng suất tới hạn thấp hơn ứng suất chảy.

Tải trọng tới hạn yêu cầu

Pcr = n·P = 2,5·75000 = 187500 N
KL = 1·1500 = 1500 mm

Giải tìm đường kính

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·187500·1500²/(π³·70000))^(1/4) = 59,39 mm

Đáp số

d = 59,39 mm

Kiểm tra: độ mảnh KL/r là 101, nên cột là mảnh và công thức Euler áp dụng được.

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials