Sức bền vật liệu: gói ôn nước rút

Bảng công thức, các bước phương pháp chính cho từng chủ đề và 14 bài tập, kèm lời giải đầy đủ ở cuối.

Bài mới Quay lại môn học

Trong cửa sổ in, hãy chọn “Lưu dưới dạng PDF” để giữ một bản trên thiết bị của bạn.

1Công thức và phương pháp

Ứng suất và biến dạng dọc trục

Ứng suất pháp: σ = F/A
Biến dạng: ε = ΔL/L
Định luật Hooke: σ = E·ε
Độ giãn dài: ΔL = FL/(EA)
Biến dạng nhiệt: ε_T = α·ΔT

Xoắn của trục

Ứng suất tiếp: τ = T·r/J
Trục đặc: J = πd⁴/32
Trục rỗng: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Góc xoắn: φ = TL/(GJ)
Công suất: P = T·ω = 2πnT/60

Phương pháp

Tìm mômen quán tính độc cực: J = πd⁴/32 cho trục đặc.
Ứng suất tiếp ở bề mặt: τ = T·r/J, với r là bán kính ngoài.
Góc xoắn: φ = TL/(GJ) theo radian.
Nếu cho công suất, hãy tìm mômen xoắn trước bằng P = T·ω, ω = 2πn/60.

Lực cắt và mômen uốn

Lực cắt và mômen: V = ΣF ở một phía, M = ΣF·d ở một phía
Ứng suất uốn: σ = M·y/I
Hình chữ nhật: I = bh³/12
Mômen chống uốn của mặt cắt: W = I/y_max
Dầm đơn giản, tải phân bố đều: M_max = wL²/8

Phương pháp

Tìm phản lực gối từ cân bằng của cả dầm.
Cắt dầm tại mặt cắt bạn cần và giữ lại một phía.
Lực cắt: tổng các lực thẳng đứng ở phía đó. Mômen uốn: tổng mômen của chúng quanh mặt cắt.
Để tìm mômen lớn nhất, hãy tìm nơi lực cắt bằng không.

Trọng tâm và mômen quán tính mặt cắt

Trọng tâm: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Hình chữ nhật: I = bh³/12
Định lý trục song song: I = I_c + A·d²
Mặt cắt ghép: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suất

Tâm: C = (σ_x + σ_y)/2
Bán kính: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Ứng suất chính: σ_1,2 = C ± R
Phương chính: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Mặt phẳng nghiêng: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Phương pháp

Tính tâm của vòng tròn Mohr: C = (σx + σy)/2.
Tính bán kính: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Các ứng suất chính là C ± R và ứng suất tiếp lớn nhất trong mặt phẳng là R.
Các góc trên vòng tròn gấp đôi các góc trên phần tử: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Độ võng của dầm

Tải tập trung ở giữa nhịp: δ = PL³/(48EI)
Tải phân bố đều, dầm đơn giản: δ = 5wL⁴/(384EI)
Công xôn, tải ở đầu: δ = PL³/(3EI)
Công xôn, tải phân bố đều: δ = wL⁴/(8EI)
Nguyên lý xếp chồng: δ = δ₁ + δ₂

Mất ổn định cột

Tải Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Hệ số chiều dài tính toán: K = 1 khớp–khớp, 0,5 ngàm–ngàm, 0,7 ngàm–khớp, 2 ngàm–tự do
Ứng suất tới hạn: σ_cr = P_cr/A
Độ mảnh: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Bài tập

1.Ứng suất và biến dạng dọc trụcTrung bình

Một thanh thép (đường kính 40 mm, E = 200 GPa) nằm trong một ống làm bằng đồng thanh (đường kính ngoài 80 mm, đường kính trong 50 mm, E = 110 GPa). Cả hai dài 800 mm và bị nén cùng nhau giữa các tấm cứng bởi 150 kN. Tìm độ co ngắn δ.

P = 150 kNthanh: Ø40 mm, E = 200 GPaống: Ø80/Ø50 mm, E = 110 GPaL = 800 mm

δ = mm

2.Ứng suất và biến dạng dọc trụcKhó

Một thanh thép (đường kính 30 mm, E = 200 GPa, ứng suất cho phép 160 MPa) nằm trong một ống làm bằng đồng thanh (đường kính ngoài 80 mm, đường kính trong 50 mm, E = 110 GPa, ứng suất cho phép 80 MPa). Chúng bị nén cùng nhau giữa các tấm cứng. Tìm tải lớn nhất P_max.

thanh: Ø30 mm, E = 200 GPa, σ_allow = 160 MPaống: Ø80/Ø50 mm, E = 110 GPa, σ_allow = 80 MPa

P_max = kN

3.Xoắn của trụcTrung bình

Một trục đặc đồng thau được ngàm vào tường và bị xoắn bởi mômen xoắn T ở đầu tự do. Tìm góc xoắn φ của đầu tự do, theo độ.

T = 250 N·md = 50 mmL = 2,5 mG = 39 GPa

φ = °

4.Xoắn của trụcKhó

Một trục đặc đồng thau đường kính 25 mm được ngàm vào các tường cứng ở cả hai đầu A và B. Một mô-men xoắn 400 N·m đặt tại C, cách A 0,8 m và cách B 1 m. Tìm góc quay φ_C của tiết diện C, theo độ.

d = 25 mmT₀ = 400 N·ma = 0,8 mb = 1 mG = 39 GPa

φ_C = °

5.Lực cắt và mômen uốnTrung bình

Dầm công-xôn ngàm tại A. Dầm chịu tải phân bố đều w trên toàn bộ chiều dài và một lực tập trung P tại vị trí cách A 3 m. Tìm mô-men uốn M_x tại mặt cắt x = 2 m tính từ ngàm A. Dùng quy ước mô-men làm võng xuống là dương và lực cắt hướng lên trên mặt cắt bên trái là dương.

L = 3 mP = 50 kN tại 3 mw = 6 kN/m từ 0 đến 3 mx = 2 m

M_x = kN·m

6.Lực cắt và mômen uốnKhó

Dầm đơn giản chịu tải phân bố đều trên một phần nhịp. Tìm mô-men uốn lớn nhất M_max trong dầm.

L = 6 mw = 20 kN/m từ 2 đến 5 m

M_max = kN·m

7.Trọng tâm và mômen quán tính mặt cắtTrung bình

Một tấm 100 mm × 300 mm có một lỗ tròn đường kính 30 mm trên đường tâm thẳng đứng, tâm lỗ cách đáy 210 mm. Tìm mômen quán tính diện tích I_x quanh trục nằm ngang đi qua trọng tâm.

b = 100 mmh = 300 mmd = 30 mmtâm lỗ: y = 210 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Trọng tâm và mômen quán tính mặt cắtKhó

Một dầm gang có tiết diện chữ T như hình, cánh nằm phía trên. Ứng suất cho phép là 30 MPa khi kéo và 100 MPa khi nén. Tìm mô-men uốn võng xuống lớn nhất M_allow mà dầm có thể chịu.

b_f = 140 mmt_f = 20 mmt_w = 18 mmh_w = 140 mmσ_t,allow = 30 MPaσ_c,allow = 100 MPa

M_allow = kN·m

9.Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suấtTrung bình

Một điểm trong chi tiết chịu tải có σₓ = 120 MPa, σᵧ = 60 MPa và τₓᵧ = 20 MPa (kéo là dương). Tìm ứng suất tiếp lớn nhất trong mặt phẳng τ_max.

σ_x = 120 MPaσ_y = 60 MPaτ_xy = 20 MPa

τ_max = MPa

10.Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suấtKhó

Một điểm trong một tấm mỏng ở trạng thái ứng suất phẳng: σₓ = 10 MPa, σᵧ = −10 MPa và τₓᵧ = 10 MPa (σ_z = 0). Vật liệu có giới hạn chảy 350 MPa. Tìm hệ số an toàn n chống chảy theo tiêu chuẩn von Mises (năng lượng biến dạng hình dạng).

σ_x = 10 MPaσ_y = −10 MPaτ_xy = 10 MPaσ_Y = 350 MPa

n =

11.Độ võng của dầmTrung bình

Một dầm đơn giản chịu tải phân bố đều w trên toàn nhịp. Tìm độ võng lớn nhất δ_max, tại giữa nhịp.

w = 12 kN/mL = 1,5 mE = 11 GPa (gỗ xẻ)I = 23 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

12.Độ võng của dầmKhó

Một dầm đơn giản chịu tải phân bố đều w và một tải tập trung P ở giữa nhịp. Dùng nguyên lý xếp chồng, tìm độ võng giữa nhịp δ_max.

P = 26 kNw = 4 kN/mL = 2 mE = 70 GPa (nhôm)I = 57 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

13.Mất ổn định cộtTrung bình

Một cột dài L làm bằng nhôm được hai đầu khớp. Dùng công thức Euler, tìm tải trọng oằn tới hạn P_cr của nó.

L = 5 mE = 70 GPa (nhôm)b × h = 25 × 100 mm

P_cr = kN

14.Mất ổn định cộtKhó

Một cột tròn đặc dài L làm bằng thép được ngàm ở chân và tự do ở đỉnh. Nó phải chịu 105 kN với hệ số an toàn 2 chống oằn. Tìm đường kính nhỏ nhất d.

P = 105 kNn = 2L = 1,5 mE = 200 GPa (thép)

d = mm

3Dung dịch

1.Ứng suất và biến dạng dọc trục

Đáp số: δ = 0,204 mm

Hai vật liệu: khi nối tiếp (cái này sau cái kia) mỗi đoạn chịu cùng một lực và các độ giãn dài cộng lại: δ = P·Σ L/(E·A). Khi song song (cạnh nhau giữa các tấm cứng) cả hai phần co lại cùng một lượng, nên biến dạng của chúng bằng nhau: phần cứng hơn nhận phần tải lớn hơn, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, và σ_i = E_i·ε. Một thanh bị giữ giữa hai vách cứng với tải đặt tại chỗ nối là siêu tĩnh: hai đoạn chia tải theo tỉ lệ độ cứng k = EA/L của chúng.

Diện tích

A_r = π·40²/4 = 1257 mm²

A_t = π(80² − 50²)/4 = 3063 mm²

Độ cứng dọc trục kết hợp

ΣEA = 200·10³·1257 + 110·10³·3063 = 5,883 × 10⁸ N

Độ co ngắn

δ = 150000·800/5,883 × 10⁸ = 0,204 mm

Đáp số

δ = 0,204 mm

2.Ứng suất và biến dạng dọc trục

Đáp số: P_max = 347,9 kN

Diện tích

A_r = π·30²/4 = 706,9 mm²

A_t = π(80² − 50²)/4 = 3063 mm²

Độ cứng dọc trục kết hợp

ΣEA = 200·10³·706,9 + 110·10³·3063 = 4,783 × 10⁸ N

Biến dạng quyết định

ε = min(0,0008, 0,0007273) = 0,0007273 (đồng thanh)

Tải lớn nhất

P_max = 0,0007273·4,783 × 10⁸ = 347860 N = 347,9 kN

Đáp số

P_max = 347,9 kN

3.Xoắn của trục

Đáp số: φ = 1,496 °

Mômen quán tính độc cực của mặt cắt

J = π·50⁴/32 = 613592 mm⁴

Góc xoắn

φ = TL/(GJ) = 250·1000·2500/(39000·613592) = 0,02612 rad

φ = 0,02612·180/π = 1,496°

Đáp số

φ = 1,496°

4.Xoắn của trục

Đáp số: φ_C = 6,81 °

Xoắn thanh tròn: ứng suất tiếp tăng tuyến tính từ không ở tâm đến τ_max = T·r/J ở bề mặt, với J = πd⁴/32 cho trục đặc và J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 cho trục rỗng. Góc xoắn là φ = TL/(GJ) tính bằng radian. Công suất và mômen xoắn liên hệ với nhau qua P = T·ω. Khi cả hai đầu bị ngàm, tĩnh học chỉ cho T_A + T_B = T₀; phương trình thứ hai là điều kiện tương thích (góc xoắn của hai phần bằng nhau tại tiết diện chịu tải).

Cân bằng và tương thích

T_A + T_B = 400

T_A·a = T_B·b

T_A = 400·1/1,8 = 222,2 N·m

T_B = 400·0,8/1,8 = 177,8 N·m

Góc quay của C

Dùng đoạn AC: nó được ngàm tại A và chịu T_A.

J = π·25⁴/32 = 38350 mm⁴

G = 39 GPa = 39000 MPa

φ_C = T_A·a/(GJ) = 222222·800/(39000·38350) = 0,1189 rad = 6,81°

Đáp số

φ_C = 6,81°

5.Lực cắt và mômen uốn

Đáp số: M_x = −53 kN·m

Phương pháp mặt cắt: cắt dầm tại vị trí cần tìm nội lực và giữ lại một phía. Lực cắt V cân bằng với các lực thẳng đứng ở phía đó, và mômen uốn M cân bằng với mômen của chúng quanh mặt cắt.

Giữ phần đầu tự do

P: −50·1 = −50 kN·m

w: −6·1²/2 = −3 kN·m

M_x = −50 − 3 = −53 kN·m

Đáp số

M_x = −53 kN·m

Dấu âm nghĩa là uốn võng lên: thớ trên chịu kéo.

6.Lực cắt và mômen uốn

Đáp số: M_max = 65,63 kN·m

Phương pháp mặt cắt: cắt dầm tại vị trí cần tìm nội lực và giữ lại một phía. Lực cắt V cân bằng với các lực thẳng đứng ở phía đó, và mômen uốn M cân bằng với mômen của chúng quanh mặt cắt. Mô-men lớn nhất: vì dM/dx = V, mô-men uốn đạt cực trị tại nơi lực cắt đi qua không, hoặc tại một lực tập trung hoặc bên trong một tải phân bố.

Phản lực gối

Cân bằng của cả dầm.

Hợp lực của tải phân bố đều: W = w·ℓ = 20·3 = 60 kN, đặt tại x̄ = 3,5 m

ΣM_A = 0: R_B·6 = 20·3·3,5

R_B = 210/6 = 35 kN

ΣF_y = 0: R_A = 60 − 35 = 25 kN

Lực cắt bằng không

Lực cắt bắt đầu bằng R_A, không đổi trên mọi đoạn không chịu tải và giảm với độ dốc w bên trong đoạn tải.

R_A − w·(x₀ − 2) = 0

x₀ = 2 + 25/20 = 3,25 m

Mô-men lớn nhất

M_max = R_A·x₀ − w·(x₀ − 2)²/2 = 25·3,25 − 20·1,25²/2 = 65,63 kN·m

Đáp số

M_max = 65,63 kN·m

7.Trọng tâm và mômen quán tính mặt cắt

Đáp số: I_x = 222,4 × 10⁶ mm⁴

Tiết diện có lỗ: coi lỗ là một diện tích âm. Trọng tâm là ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), với A₁, y₁ cho tấm đầy đủ và A₂, y₂ cho lỗ. Với mômen quán tính diện tích quanh trục đi qua trọng tâm, dùng định lý trục song song cho từng phần rồi trừ lỗ: I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²), trong đó d là khoảng cách từ trọng tâm riêng của mỗi phần đến trục đi qua ȳ. Hình chữ nhật có I_c = bh³/12 và hình tròn có I_c = πd⁴/64.

Trọng tâm

ȳ = (30000·150 − 706,9·210)/(30000 − 706,9) = 148,6 mm

Tấm đầy đủ quanh ȳ

100·300³/12 + 30000·1,448² = 225,1 × 10⁶ mm⁴

Lỗ quanh ȳ

π·30⁴/64 + 706,9·61,45² = 2,709 × 10⁶ mm⁴

Trừ

I_x = 222,4 × 10⁶ mm⁴

Đáp số

I_x = 222,4 × 10⁶ mm⁴

8.Trọng tâm và mômen quán tính mặt cắt

Đáp số: M_allow = 3,398 kN·m

Diện tích ghép: chia mặt cắt thành các hình chữ nhật. Trọng tâm là trung bình có trọng số theo diện tích ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Mômen quán tính của mặt cắt đối với trục đi qua trọng tâm bằng tổng bh³/12 của từng phần và số hạng trục song song A·d², trong đó d là khoảng cách từ trọng tâm của phần đó đến trọng tâm chung. Ứng suất uốn là σ = M·y/I.

Trọng tâm

ȳ = (2800·150 + 2520·70)/5320 = 112,1 mm

cạnh trên: c = 160 − 112,1 = 47,89 mm

Mômen quán tính mặt cắt

I = 140·20³/12 + 2800·37,89² + 18·140³/12 + 2520·42,11² = 1,27 × 10⁷ mm⁴

Mô-men cho phép theo từng cạnh

Võng xuống: thớ trên chịu nén, thớ dưới chịu kéo.

cạnh trên: M = 100·1,27 × 10⁷/47,89 = 26,51 kN·m

cạnh dưới: M = 30·1,27 × 10⁷/112,1 = 3,398 kN·m

Giá trị quyết định

M_allow = min = 3,398 kN·m (cạnh dưới)

Đáp số

M_allow = 3,398 kN·m

9.Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suất

Đáp số: τ_max = 36,06 MPa

Bán kính vòng tròn Mohr

τ_max = R = √(((120 − 60)/2)² + 20²) = 36,06 MPa

Đáp số

τ_max = 36,06 MPa

10.Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suất

Đáp số: n = 14,29

Biến đổi ứng suất phẳng: trên một mặt xoay góc θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Vòng tròn Mohr cho thấy tất cả các mặt cùng lúc: tâm của nó ở C = (σₓ + σᵧ)/2 và bán kính là R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Các ứng suất chính là C ± R, và ứng suất tiếp lớn nhất trong mặt phẳng là R. Tiêu chuẩn chảy: von Mises dự đoán vật liệu chảy khi σ_vM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²) đạt σ_Y; Tresca khi ứng suất cắt lớn nhất tuyệt đối đạt σ_Y/2.

Ứng suất chính

C = 0 MPa, R = 14,14 MPa

σ₁ = 14,14 MPa, σ₂ = −14,14 MPa, σ₃ = 0

Von Mises

σ_vM = √(14,14² − 14,14·(−14,14) + (−14,14)²) = 24,49 MPa

n = 350/24,49 = 14,29

Đáp số

n = 14,29

n > 1 nghĩa là điểm không bị chảy; Tresca thận trọng hơn von Mises một chút.

11.Độ võng của dầm

Đáp số: δ_max = 3,127 mm

Độ võng của dầm: độ võng có được bằng cách tích phân độ cong M/(EI) hai lần. Các trường hợp tiêu chuẩn đã được lập bảng, ví dụ PL³/(3EI) cho dầm công xôn chịu tải ở đầu tự do và 5wL⁴/(384EI) cho dầm đơn giản chịu tải phân bố đều toàn nhịp. Độ võng do các tải riêng rẽ cộng lại (xếp chồng).

Đơn vị nhất quán

Làm việc theo N và mm: P theo N, w theo N/mm (kN/m = N/mm), L theo mm, E theo N/mm² (GPa × 1000), I theo mm⁴.

w = 12 N/mm, L = 1500 mm

EI = 2,53 × 10¹¹ N·mm²

Độ võng

δ_max = 5wL⁴/(384EI) = 5·12·1500⁴/(384·2,53 × 10¹¹) = 3,127 mm

Đáp số

δ_max = 3,127 mm

12.Độ võng của dầm

Đáp số: δ_max = 1,295 mm

Đơn vị nhất quán

Làm việc theo N và mm: P theo N, w theo N/mm (kN/m = N/mm), L theo mm, E theo N/mm² (GPa × 1000), I theo mm⁴.

P = 26000 N, w = 4 N/mm, L = 2000 mm, EI = 3,99 × 10¹² N·mm²

Từng tải riêng rẽ

δ_P = PL³/(48EI) = 26000·2000³/(48·3,99 × 10¹²) = 1,086 mm

δ_w = 5wL⁴/(384EI) = 5·4·2000⁴/(384·3,99 × 10¹²) = 0,2089 mm

Cộng lại

δ_max = 1,086 + 0,2089 = 1,295 mm

Đáp số

δ_max = 1,295 mm

13.Mất ổn định cột

Đáp số: P_cr = 3,598 kN

Mất ổn định Euler: một cột mảnh mất ổn định tại P_cr = π²EI/(KL)², trong đó KL là chiều dài tính toán: K = 1 cho khớp–khớp, 2 cho ngàm–tự do, 0,7 cho ngàm–khớp và 0,5 cho ngàm–ngàm. Cột oằn quanh trục có I nhỏ nhất. Công thức đúng với cột mảnh, có ứng suất tới hạn thấp hơn ứng suất chảy.

Mômen quán tính nhỏ nhất của mặt cắt

Hình chữ nhật oằn quanh trục yếu, dùng kích thước nhỏ hơn lập phương.

I_min = h·b³/12 = 100·25³/12 = 130208 mm⁴

Chiều dài tính toán

KL = 1·5000 = 5000 mm

Tải trọng tới hạn

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·130208/5000² = 3598 N = 3,598 kN

Đáp số

P_cr = 3,598 kN

14.Mất ổn định cột

Đáp số: d = 66,46 mm

Tải trọng tới hạn yêu cầu

P_cr = n·P = 2·105000 = 210000 N

KL = 2·1500 = 3000 mm

Giải tìm đường kính

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·210000·3000²/(π³·200000))^(1/4) = 66,46 mm

Đáp số

d = 66,46 mm

Kiểm tra: độ mảnh KL/r là 180,6, nên cột là mảnh và công thức Euler áp dụng được.

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials