Sức bền vật liệu: gói ôn nước rút

Bảng công thức, các bước phương pháp chính cho từng chủ đề và 14 bài tập, kèm lời giải đầy đủ ở cuối.

Bài mớiQuay lại môn học

Trong cửa sổ in, hãy chọn “Lưu dưới dạng PDF” để giữ một bản trên thiết bị của bạn.

1Công thức và phương pháp

Ứng suất và biến dạng dọc trục

Ứng suất pháp
σ = F/A
Biến dạng
ε = ΔL/L
Định luật Hooke
σ = E·ε
Độ giãn dài
ΔL = FL/(EA)
Biến dạng nhiệt
εT = α·ΔT

Xoắn của trục

Ứng suất tiếp
τ = T·r/J
Trục đặc
J = πd⁴/32
Trục rỗng
J = π(D⁴ − d⁴)/32
Góc xoắn
φ = TL/(GJ)
Công suất
P = T·ω = 2πnT/60

Phương pháp

  1. Tìm mômen quán tính độc cực: J = πd⁴/32 cho trục đặc.
  2. Ứng suất tiếp ở bề mặt: τ = T·r/J, với r là bán kính ngoài.
  3. Góc xoắn: φ = TL/(GJ) theo radian.
  4. Nếu cho công suất, hãy tìm mômen xoắn trước bằng P = T·ω, ω = 2πn/60.

Lực cắt và mômen uốn

Lực cắt và mômen
V = ΣF ở một phía, M = ΣF·d ở một phía
Ứng suất uốn
σ = M·y/I
Hình chữ nhật
I = bh³/12
Mômen chống uốn của mặt cắt
W = I/ymax
Dầm đơn giản, tải phân bố đều
Mmax = wL²/8

Phương pháp

  1. Tìm phản lực gối từ cân bằng của cả dầm.
  2. Cắt dầm tại mặt cắt bạn cần và giữ lại một phía.
  3. Lực cắt: tổng các lực thẳng đứng ở phía đó. Mômen uốn: tổng mômen của chúng quanh mặt cắt.
  4. Để tìm mômen lớn nhất, hãy tìm nơi lực cắt bằng không.

Trọng tâm và mômen quán tính mặt cắt

Trọng tâm
ȳ = ΣAiyi/ΣAi
Hình chữ nhật
I = bh³/12
Định lý trục song song
I = Ic + A·d²
Mặt cắt ghép
I = Σ(Ic,i + Aidi²)

Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suất

Tâm
C = (σx + σy)/2
Bán kính
R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
Ứng suất chính
σ1,2 = C ± R
Phương chính
tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
Mặt phẳng nghiêng
σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ

Phương pháp

  1. Tính tâm của vòng tròn Mohr: C = (σx + σy)/2.
  2. Tính bán kính: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
  3. Các ứng suất chính là C ± R và ứng suất tiếp lớn nhất trong mặt phẳng là R.
  4. Các góc trên vòng tròn gấp đôi các góc trên phần tử: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Độ võng của dầm

Tải tập trung ở giữa nhịp
δ = PL³/(48EI)
Tải phân bố đều, dầm đơn giản
δ = 5wL⁴/(384EI)
Công xôn, tải ở đầu
δ = PL³/(3EI)
Công xôn, tải phân bố đều
δ = wL⁴/(8EI)
Nguyên lý xếp chồng
δ = δ1 + δ2

Mất ổn định cột

Tải Euler
Pcr = π²EI/(KL)²
Hệ số chiều dài tính toán
K = 1 khớp–khớp, 0,5 ngàm–ngàm, 0,7 ngàm–khớp, 2 ngàm–tự do
Ứng suất tới hạn
σcr = Pcr/A
Độ mảnh
λ = KL/r, r = √(I/A)

2Bài tập

1.Ứng suất và biến dạng dọc trụcTrung bình
P = ?12300 mm300 mmØ20Ø50δ = 0,25 mm

Một thanh gồm một đoạn thép (đường kính 20 mm, chiều dài 300 mm, E = 200 GPa) nối đầu với đầu với một đoạn làm bằng đồng thanh (đường kính 50 mm, chiều dài 300 mm, E = 110 GPa). Nó được ngàm một đầu và bị kéo ở đầu kia. Tìm tải dọc trục P làm nó giãn tổng cộng 0,25 mm.

đoạn 1: thép, Ø20 mm, 300 mm, E = 200 GPađoạn 2: đồng thanh, Ø50 mm, 300 mm, E = 110 GPaδ = 0,25 mm
P = kN
2.Ứng suất và biến dạng dọc trụcKhó
Ø 40 mmNhôm1 mØ 12 mmNhôm0,5 mP = 95 kN

Thanh bậc được ngàm vào tường và chịu tải ở đầu tự do. Tìm tổng độ giãn dài δ.

P = 95 kNđoạn 1: Ø40 mm, 1 m, nhôm (E = 70 GPa)đoạn 2: Ø12 mm, 0,5 m, nhôm (E = 70 GPa)
δ = mm
3.Xoắn của trụcTrung bình
d = 20 mmT = 100 N·m250 mmφ = 3,51°

Trong một thí nghiệm xoắn, một mẫu đặc đường kính 20 mm bị xoắn bởi mô-men xoắn 100 N·m. Hai đầu của một đoạn đo dài 250 mm quay 3,51° so với nhau (vật liệu vẫn còn đàn hồi). Tìm mô-đun cắt G của vật liệu.

T = 100 N·md = 20 mmL = 250 mmφ = 3,51°
G = GPa
4.Xoắn của trụcKhó
d = ?50 kW, 1450 rpm

Một trục đặc nhôm truyền 50 kW ở 1450 rpm. Ứng suất cắt không được vượt quá 60 MPa và góc xoắn không được vượt quá 1° trên mỗi m chiều dài. Tìm đường kính nhỏ nhất d thỏa mãn cả hai giới hạn.

P = 50 kWN = 1450 rpmτallow = 60 MPaθallow = 1°/mG = 26 GPa
d = mm
5.Lực cắt và mômen uốnTrung bình
M0​ = 35 kN·mAB3,5 m2,5 m

Dầm đơn giản chịu một ngẫu lực cùng chiều kim đồng hồ M0 = 35 kN·m tại x = 3,5 m tính từ A, và không có tải nào khác. Tìm mô-men uốn Mx ngay bên phải ngẫu lực. Dùng quy ước mô-men làm võng xuống là dương và lực cắt hướng lên trên mặt cắt bên trái là dương.

L = 6 mM0 = 35 kN·m cùng chiều kim đồng hồ, tại 3,5 m
Mx = kN·m
6.Lực cắt và mômen uốnKhó
w = 8 kN/mP = 20 kNABmặt cắt3,5 m3,5 m1 m

Tìm mômen uốn Mx tại mặt cắt x = 3,5 m tính từ gối A. Coi mômen làm dầm võng xuống là dương và lực cắt hướng lên trên mặt trái là dương.

L = 8 mP = 20 kN tại 7 mw = 8 kN/m từ 0 đến 8 mx = 3,5 m
Mx = kN·m
7.Trọng tâm và mômen quán tính mặt cắtTrung bình
100 mm300 mm210 mmØ40xIx​ = ?

Một tấm 100 mm × 300 mm có một lỗ tròn đường kính 40 mm trên đường tâm thẳng đứng, tâm lỗ cách đáy 210 mm. Tìm mômen quán tính diện tích Ix quanh trục nằm ngang đi qua trọng tâm.

b = 100 mmh = 300 mmd = 40 mmtâm lỗ: y = 210 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
8.Trọng tâm và mômen quán tính mặt cắtKhó
2201028014xM = 10 kN·mkích thước tính bằng mm

Mặt cắt chữ T được dùng làm dầm với cánh ở trên và chịu mômen uốn làm võng xuống 10 kN·m. Tìm ứng suất uốn σdưới ở mép dưới.

bf = 220 mmtf = 10 mmtw = 14 mmhw = 280 mmM = 10 kN·m
σdưới = MPa
9.Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suấtTrung bình
σy​ = −60MPaτxy​ = ?

Một điểm có σₓ = 0 MPa và σᵧ = −60 MPa. Ứng suất cắt τxy (độ lớn) có thể lớn đến mức nào trước khi ứng suất chính lớn nhất đạt 55 MPa?

σx = 0 MPaσy = −60 MPaσ1 = 55 MPa
τxy = MPa
10.Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suấtKhó
σx​ = 90σy​ = −50τxy​ = 50MPa

Một điểm trong chi tiết chịu tải có σₓ = 90 MPa, σᵧ = −50 MPa và τₓᵧ = 50 MPa (kéo là dương). Tìm ứng suất pháp σθ trên một mặt có pháp tuyến xoay 60° ngược chiều kim đồng hồ so với trục x.

σx = 90 MPaσy = −50 MPaτxy = 50 MPaθ = 60°
σθ = MPa
11.Độ võng của dầmTrung bình
w = 20 kN/mABθ3 m

Một dầm đơn giản chịu tải phân bố đều w trên toàn bộ nhịp. Tìm góc xoay θA của dầm tại gối A, theo radian.

w = 20 kN/mL = 3 mE = 70 GPa (nhôm)I = 8,5 × 10⁶ mm⁴
θA = rad
12.Độ võng của dầmKhó
P = 23 kNABδ2,5 m1,5 m

Một dầm đơn giản chịu lực tập trung P tại vị trí cách gối B một đoạn b = 1,5 m. Tìm độ võng lớn nhất δmax của dầm.

P = 23 kNb = 1,5 mL = 4 mE = 200 GPa (thép)I = 120 × 10⁶ mm⁴
δmax = mm
13.Mất ổn định cộtTrung bình
PL = 1,5 md = 40 mmmặt cắt ngang

Một cột dài L làm bằng thép được hai đầu khớp. Dùng công thức Euler, tìm tải trọng oằn tới hạn Pcr của nó.

L = 1,5 mE = 200 GPa (thép)d = 40 mm
Pcr = kN
14.Mất ổn định cộtKhó
PL = 5 md = 50 mmmặt cắt ngang

Một cột dài L làm bằng thép được ngàm cả hai đầu. Tìm độ mảnh của nó và ứng suất oằn tới hạn σcr theo công thức Euler.

L = 5 mE = 200 GPa (thép)d = 50 mm
σcr = MPa

3Dung dịch

1.Ứng suất và biến dạng dọc trục

Đáp số: P = 40,56 kN

Hai vật liệu: khi nối tiếp (cái này sau cái kia) mỗi đoạn chịu cùng một lực và các độ giãn dài cộng lại: δ = P·Σ L/(E·A). Khi song song (cạnh nhau giữa các tấm cứng) cả hai phần co lại cùng một lượng, nên biến dạng của chúng bằng nhau: phần cứng hơn nhận phần tải lớn hơn, Pi = P·EiAi/ΣEA, và σi = Ei·ε. Một thanh bị giữ giữa hai vách cứng với tải đặt tại chỗ nối là siêu tĩnh: hai đoạn chia tải theo tỉ lệ độ cứng k = EA/L của chúng.

Diện tích

A₁ = 314,2 mm², A₂ = 1963 mm²

Các độ mềm

L₁/(E₁A₁) = 300/(200000·314,2) = 4,775 × 10⁻⁶ mm/N
L₂/(E₂A₂) = 300/(110000·1963) = 1,389 × 10⁻⁶ mm/N

Tải

P = 0,25/6,164 × 10⁻⁶ = 40560 N = 40,56 kN

Đáp số

P = 40,56 kN
2.Ứng suất và biến dạng dọc trục

Đáp số: δ = 7,08 mm

Cấu kiện chịu tải dọc trục: mỗi đoạn lăng trụ tuân theo δ = PL/(AE). Với các cấu kiện nối tiếp, độ giãn dài cộng lại.

Cùng một lực trong cả hai đoạn

Đầu tự do chịu lực P, nên mọi mặt cắt của thanh đều chịu cùng một lực dọc trục P. Chỉ có diện tích và vật liệu thay đổi.

A1 = π·40²/4 = 1257 mm², A2 = π·12²/4 = 113,1 mm²
σ1 = 75,6 MPa
σ2 = 840 MPa

Cộng độ giãn dài của các đoạn

δ1 = σ1L1/E1 = 75,6·1000/70000 = 1,08 mm
δ2 = σ2L2/E2 = 840·500/70000 = 6 mm
δ = δ1 + δ2 = 7,08 mm

Đáp số

δ = 7,08 mm
3.Xoắn của trục

Đáp số: G = 25,98 GPa

Xoắn thanh tròn: ứng suất tiếp tăng tuyến tính từ không ở tâm đến τmax = T·r/J ở bề mặt, với J = πd⁴/32 cho trục đặc và J = π(do⁴ − di⁴)/32 cho trục rỗng. Góc xoắn là φ = TL/(GJ) tính bằng radian. Công suất và mômen xoắn liên hệ với nhau qua P = T·ω.

Mô-men quán tính độc cực và góc

J = π·20⁴/32 = 15708 mm⁴
φ = 3,51·π/180 = 0,06126 rad

Mô đun trượt

T = 100 N·m = 100000 N·mm
G = TL/(Jφ) = 100000·250/(15708·0,06126) = 25980 MPa
G = 25,98 GPa

Đáp số

G = 25,98 GPa

So sánh: thép ≈ 80 GPa, đồng thau ≈ 39 GPa, nhôm ≈ 26 GPa.

4.Xoắn của trục

Đáp số: d = 52,14 mm

Xoắn thanh tròn: ứng suất tiếp tăng tuyến tính từ không ở tâm đến τmax = T·r/J ở bề mặt, với J = πd⁴/32 cho trục đặc và J = π(do⁴ − di⁴)/32 cho trục rỗng. Góc xoắn là φ = TL/(GJ) tính bằng radian. Công suất và mômen xoắn liên hệ với nhau qua P = T·ω.

Mômen xoắn

ω = 2πN/60 = 2π·1450/60 = 151,8 rad/s
T = P/ω = 50000/151,8 = 329,3 N·m

Đường kính theo điều kiện bền

T = 329,3 N·m = 329286 N·mm
dτ = ∛(16·329286/(π·60)) = 30,35 mm

Đường kính theo điều kiện cứng

θ = 1·π/180/1000 = 1,745 × 10⁻⁵ rad/mm
G = 26 GPa = 26000 MPa
dφ = (32·329286/(π·26000·1,745 × 10⁻⁵))1/4 = 52,14 mm

Đường kính quyết định

Cả hai giới hạn đều phải thỏa, nên đường kính lớn hơn quyết định.

d = max(30,35, 52,14) = 52,14 mm

Đáp số

d = 52,14 mm

Ở đây điều kiện cứng quyết định.

5.Lực cắt và mômen uốn

Đáp số: Mx = 14,58 kN·m

Phương pháp mặt cắt: cắt dầm tại vị trí cần tìm nội lực và giữ lại một phía. Lực cắt V cân bằng với các lực thẳng đứng ở phía đó, và mômen uốn M cân bằng với mômen của chúng quanh mặt cắt. Một ngẫu lực đặt vào làm biểu đồ mô-men uốn nhảy một đoạn bằng độ lớn của ngẫu lực.

Phản lực gối

Mô-men đối với A, chiều ngược chiều kim đồng hồ là dương: RB·L − M0 = 0. Cân bằng theo phương thẳng đứng: RA + RB = 0.

RB = M0/L = 35/6 = 5,833 kN (hướng lên)
RA = −RB = −5,833 kN (hướng xuống)

Cắt ngay bên phải ngẫu lực

Bây giờ phần bên trái chứa RA và ngẫu lực.

Mx = RA·a + M0 = −5,833·3,5 + 35 = 14,58 kN·m

Đáp số

Mx = 14,58 kN·m
6.Lực cắt và mômen uốn

Đáp số: Mx = 71,75 kN·m

Phương pháp mặt cắt: cắt dầm tại vị trí cần tìm nội lực và giữ lại một phía. Lực cắt V cân bằng với các lực thẳng đứng ở phía đó, và mômen uốn M cân bằng với mômen của chúng quanh mặt cắt.

Phản lực gối

Cân bằng của cả dầm.

Hợp lực của tải phân bố đều: W = w·ℓ = 8·8 = 64 kN, đặt tại x̄ = 4 m
ΣMA = 0: RB·8 = 20·7 + 8·8·4
RB = 396/8 = 49,5 kN
ΣFy = 0: RA = 84 − 49,5 = 34,5 kN
w = 8 kN/mP = 20 kNABRA​ = 34,5RB​ = 49,5mặt cắt3,5 m3,5 m1 m

Cắt tại x = 3,5 m và giữ phần bên trái

Chỉ các lực bên trái mặt cắt xuất hiện. Phần tải phân bố đều được thay bằng một lực đặt tại giữa phần đó.

M = RA·x − (mỗi tải bên trái mặt cắt × cánh tay đòn đến mặt cắt)
Mx = 34,5·3,5 − 8·3,5·1,75 = 71,75 kN·m

Đáp số

Mx = 71,75 kN·m
7.Trọng tâm và mômen quán tính mặt cắt

Đáp số: Ix = 220,2 × 10⁶ mm⁴

Tiết diện có lỗ: coi lỗ là một diện tích âm. Trọng tâm là ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), với A₁, y₁ cho tấm đầy đủ và A₂, y₂ cho lỗ. Với mômen quán tính diện tích quanh trục đi qua trọng tâm, dùng định lý trục song song cho từng phần rồi trừ lỗ: I = (Ic1 + A₁d₁²) − (Ic2 + A₂d₂²), trong đó d là khoảng cách từ trọng tâm riêng của mỗi phần đến trục đi qua ȳ. Hình chữ nhật có Ic = bh³/12 và hình tròn có Ic = πd⁴/64.

Trọng tâm

ȳ = (30000·150 − 1257·210)/(30000 − 1257) = 147,4 mm

Tấm đầy đủ quanh ȳ

100·300³/12 + 30000·2,623² = 225,2 × 10⁶ mm⁴

Lỗ quanh ȳ

π·40⁴/64 + 1257·62,62² = 5,054 × 10⁶ mm⁴

Trừ

Ix = 220,2 × 10⁶ mm⁴

Đáp số

Ix = 220,2 × 10⁶ mm⁴
8.Trọng tâm và mômen quán tính mặt cắt

Đáp số: σdưới = 34,77 MPa

Diện tích ghép: chia mặt cắt thành các hình chữ nhật. Trọng tâm là trung bình có trọng số theo diện tích ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Mômen quán tính của mặt cắt đối với trục đi qua trọng tâm bằng tổng bh³/12 của từng phần và số hạng trục song song A·d², trong đó d là khoảng cách từ trọng tâm của phần đó đến trọng tâm chung. Ứng suất uốn là σ = M·y/I.

Chia thành hai hình chữ nhật

Đo mọi y từ mép dưới.

cánh: Af = 220·10 = 2200 mm², yf = 280 + 10/2 = 285 mm
bụng: Aw = 14·280 = 3920 mm², yw = 280/2 = 140 mm

Trọng tâm

ȳ = (Afyf + Awyw)/(Af + Aw) = (2200·285 + 3920·140)/6120 = 192,1 mm

Định lý trục song song

cánh: 220·10³/12 + 2200·(285 − 192,1)² = 1,9 × 10⁷ mm⁴
bụng: 14·280³/12 + 3920·(140 − 192,1)² = 3,626 × 10⁷ mm⁴
Ix = 1,9 × 10⁷ + 3,626 × 10⁷ = 5,526 × 10⁷ mm⁴

Ứng suất uốn

Mép dưới cách trục ȳ.

y = 192,1 mm
σ = M·y/I = 1 × 10⁷·192,1/5,526 × 10⁷ = 34,77 MPa

Đáp số

σdưới = 34,77 MPa
9.Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suất

Đáp số: τxy = 79,53 MPa

Biến đổi ứng suất phẳng: trên một mặt xoay góc θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Vòng tròn Mohr cho thấy tất cả các mặt cùng lúc: tâm của nó ở C = (σₓ + σᵧ)/2 và bán kính là R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Các ứng suất chính là C ± R, và ứng suất tiếp lớn nhất trong mặt phẳng là R.

Bán kính cần thiết

C = (0 + (−60))/2 = −30 MPa
R = σ1 − C = 55 − (−30) = 85 MPa
στxyCσ1​σ2​

Ứng suất tiếp

τxy = √(R² − ((σₓ − σᵧ)/2)²) = √(85² − 30²) = 79,53 MPa

Đáp số

τxy = 79,53 MPa
10.Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suất

Đáp số: σθ = 28,3 MPa

Biến đổi ứng suất phẳng: trên một mặt xoay góc θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Vòng tròn Mohr cho thấy tất cả các mặt cùng lúc: tâm của nó ở C = (σₓ + σᵧ)/2 và bán kính là R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Các ứng suất chính là C ± R, và ứng suất tiếp lớn nhất trong mặt phẳng là R.

Phương trình biến đổi

σθ = 20 + 70·−0,5 + 50·0,866 = 28,3 MPa

Đáp số

σθ = 28,3 MPa
11.Độ võng của dầm

Đáp số: θA = 0,03782 rad

Độ võng của dầm: độ võng có được bằng cách tích phân độ cong M/(EI) hai lần. Các trường hợp tiêu chuẩn đã được lập bảng, ví dụ PL³/(3EI) cho dầm công xôn chịu tải ở đầu tự do và 5wL⁴/(384EI) cho dầm đơn giản chịu tải phân bố đều toàn nhịp. Độ võng do các tải riêng rẽ cộng lại (xếp chồng). Góc xoay θ = dv/dx là tích phân bậc một của M/(EI); với các đơn vị nhất quán, nó có đơn vị radian.

Đơn vị nhất quán

Làm việc theo N và mm: P theo N, w theo N/mm (kN/m = N/mm), L theo mm, E theo N/mm² (GPa × 1000), I theo mm⁴.

w = 20 N/mm, L = 3000 mm
EI = 5,95 × 10¹¹ N·mm²

Góc xoay ở đầu

θA = wL³/(24EI) = 20·3000³/(24·5,95 × 10¹¹) = 0,03782 rad

Đáp số

θA = 0,03782 rad

Đó là 2,167°.

12.Độ võng của dầm

Đáp số: δmax = 1,175 mm

Độ võng của dầm: độ võng có được bằng cách tích phân độ cong M/(EI) hai lần. Các trường hợp tiêu chuẩn đã được lập bảng, ví dụ PL³/(3EI) cho dầm công xôn chịu tải ở đầu tự do và 5wL⁴/(384EI) cho dầm đơn giản chịu tải phân bố đều toàn nhịp. Độ võng do các tải riêng rẽ cộng lại (xếp chồng).

Đơn vị nhất quán

Làm việc theo N và mm: P theo N, w theo N/mm (kN/m = N/mm), L theo mm, E theo N/mm² (GPa × 1000), I theo mm⁴.

P = 23000 N, b = 1500 mm, L = 4000 mm
EI = 2,4 × 10¹³ N·mm²

Vị trí của giá trị lớn nhất

Cho góc xoay trong đoạn dài hơn bằng không sẽ cho vị trí này.

x = √((L² − b²)/3) = √((4000² − 1500²)/3) = 2141 mm

Độ võng lớn nhất

δmax = Pb(L² − b²)3/2/(9√3·EIL) = 1,175 mm

Đáp số

δmax = 1,175 mm
13.Mất ổn định cột

Đáp số: Pcr = 110,2 kN

Mất ổn định Euler: một cột mảnh mất ổn định tại Pcr = π²EI/(KL)², trong đó KL là chiều dài tính toán: K = 1 cho khớp–khớp, 2 cho ngàm–tự do, 0,7 cho ngàm–khớp và 0,5 cho ngàm–ngàm. Cột oằn quanh trục có I nhỏ nhất. Công thức đúng với cột mảnh, có ứng suất tới hạn thấp hơn ứng suất chảy.

Mômen quán tính nhỏ nhất của mặt cắt

Mặt cắt tròn có cùng I đối với mọi trục.

I = πd⁴/64 = π·40⁴/64 = 125664 mm⁴

Chiều dài tính toán

KL = 1·1500 = 1500 mm

Tải trọng tới hạn

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·125664/1500² = 110245 N = 110,2 kN

Đáp số

Pcr = 110,2 kN
14.Mất ổn định cột

Đáp số: σcr = 49,35 MPa

Mất ổn định Euler: một cột mảnh mất ổn định tại Pcr = π²EI/(KL)², trong đó KL là chiều dài tính toán: K = 1 cho khớp–khớp, 2 cho ngàm–tự do, 0,7 cho ngàm–khớp và 0,5 cho ngàm–ngàm. Cột oằn quanh trục có I nhỏ nhất. Công thức đúng với cột mảnh, có ứng suất tới hạn thấp hơn ứng suất chảy.

Mômen quán tính nhỏ nhất của mặt cắt

Mặt cắt tròn có cùng I đối với mọi trục.

I = πd⁴/64 = π·50⁴/64 = 306796 mm⁴

Bán kính quán tính và độ mảnh

A = 1963 mm²
r = √(I/A) = √(306796/1963) = 12,5 mm
KL = 0,5·5000 = 2500 mm
KL/r = 2500/12,5 = 200

Ứng suất tới hạn

σcr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/200² = 49,35 MPa

Đáp số

σcr = 49,35 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials