Sức bền vật liệu: gói ôn nước rút

Bảng công thức, các bước phương pháp chính cho từng chủ đề và 14 bài tập, kèm lời giải đầy đủ ở cuối.

Bài mớiQuay lại môn học

Trong cửa sổ in, hãy chọn “Lưu dưới dạng PDF” để giữ một bản trên thiết bị của bạn.

1Công thức và phương pháp

Ứng suất và biến dạng dọc trục

Ứng suất pháp
σ = F/A
Biến dạng
ε = ΔL/L
Định luật Hooke
σ = E·ε
Độ giãn dài
ΔL = FL/(EA)
Biến dạng nhiệt
εT = α·ΔT

Xoắn của trục

Ứng suất tiếp
τ = T·r/J
Trục đặc
J = πd⁴/32
Trục rỗng
J = π(D⁴ − d⁴)/32
Góc xoắn
φ = TL/(GJ)
Công suất
P = T·ω = 2πnT/60

Phương pháp

  1. Tìm mômen quán tính độc cực: J = πd⁴/32 cho trục đặc.
  2. Ứng suất tiếp ở bề mặt: τ = T·r/J, với r là bán kính ngoài.
  3. Góc xoắn: φ = TL/(GJ) theo radian.
  4. Nếu cho công suất, hãy tìm mômen xoắn trước bằng P = T·ω, ω = 2πn/60.

Lực cắt và mômen uốn

Lực cắt và mômen
V = ΣF ở một phía, M = ΣF·d ở một phía
Ứng suất uốn
σ = M·y/I
Hình chữ nhật
I = bh³/12
Mômen chống uốn của mặt cắt
W = I/ymax
Dầm đơn giản, tải phân bố đều
Mmax = wL²/8

Phương pháp

  1. Tìm phản lực gối từ cân bằng của cả dầm.
  2. Cắt dầm tại mặt cắt bạn cần và giữ lại một phía.
  3. Lực cắt: tổng các lực thẳng đứng ở phía đó. Mômen uốn: tổng mômen của chúng quanh mặt cắt.
  4. Để tìm mômen lớn nhất, hãy tìm nơi lực cắt bằng không.

Trọng tâm và mômen quán tính mặt cắt

Trọng tâm
ȳ = ΣAiyi/ΣAi
Hình chữ nhật
I = bh³/12
Định lý trục song song
I = Ic + A·d²
Mặt cắt ghép
I = Σ(Ic,i + Aidi²)

Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suất

Tâm
C = (σx + σy)/2
Bán kính
R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
Ứng suất chính
σ1,2 = C ± R
Phương chính
tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
Mặt phẳng nghiêng
σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ

Phương pháp

  1. Tính tâm của vòng tròn Mohr: C = (σx + σy)/2.
  2. Tính bán kính: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
  3. Các ứng suất chính là C ± R và ứng suất tiếp lớn nhất trong mặt phẳng là R.
  4. Các góc trên vòng tròn gấp đôi các góc trên phần tử: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Độ võng của dầm

Tải tập trung ở giữa nhịp
δ = PL³/(48EI)
Tải phân bố đều, dầm đơn giản
δ = 5wL⁴/(384EI)
Công xôn, tải ở đầu
δ = PL³/(3EI)
Công xôn, tải phân bố đều
δ = wL⁴/(8EI)
Nguyên lý xếp chồng
δ = δ1 + δ2

Mất ổn định cột

Tải Euler
Pcr = π²EI/(KL)²
Hệ số chiều dài tính toán
K = 1 khớp–khớp, 0,5 ngàm–ngàm, 0,7 ngàm–khớp, 2 ngàm–tự do
Ứng suất tới hạn
σcr = Pcr/A
Độ mảnh
λ = KL/r, r = √(I/A)

2Bài tập

1.Ứng suất và biến dạng dọc trụcTrung bình
Ø 10 mmThép3 mP = 120 kN

Tìm biến dạng dọc trục ε trong thanh thép, tính bằng microstrain (µε = 10⁻⁶).

P = 120 kNd = 10 mmL = 3 mE = 200 GPa
ε = µε
2.Ứng suất và biến dạng dọc trụcKhó
Ø 30 mmNhôm2 mØ 20 mmThép2 mP = 90 kN

Thanh bậc được ngàm vào tường và chịu tải ở đầu tự do. Tìm ứng suất pháp lớn nhất σmax trong thanh.

P = 90 kNđoạn 1: Ø30 mm, 2 m, nhôm (E = 70 GPa)đoạn 2: Ø20 mm, 2 m, thép (E = 200 GPa)
σmax = MPa
3.Xoắn của trụcTrung bình
T = 500 N·md = 50 mmL = 2,5 mφ = ?

Một trục đặc thép được ngàm vào tường và bị xoắn bởi mômen xoắn T ở đầu tự do. Tìm góc xoắn φ của đầu tự do, theo độ.

T = 500 N·md = 50 mmL = 2,5 mG = 80 GPa
φ = °
4.Xoắn của trụcKhó
d = ?5 kW, 1450 rpm

Một trục đặc đồng thau truyền 5 kW ở 1450 rpm. Ứng suất cắt không được vượt quá 80 MPa và góc xoắn không được vượt quá 0,25° trên mỗi m chiều dài. Tìm đường kính nhỏ nhất d thỏa mãn cả hai giới hạn.

P = 5 kWN = 1450 rpmτallow = 80 MPaθallow = 0,25°/mG = 39 GPa
d = mm
5.Lực cắt và mômen uốnTrung bình
w = 5 kN/mABmặt cắt8,5 m1,5 m

Tìm mômen uốn Mx tại mặt cắt x = 8,5 m tính từ gối A. Coi mômen làm dầm võng xuống là dương và lực cắt hướng lên trên mặt trái là dương.

L = 10 mw = 5 kN/m từ 0 đến 10 mx = 8,5 m
Mx = kN·m
6.Lực cắt và mômen uốnKhó
w = 20 kN/mAB3 m3 m

Dầm đơn giản chịu tải phân bố đều trên một phần nhịp. Tìm khoảng cách x0 từ A đến mặt cắt có mô-men uốn lớn nhất.

L = 6 mw = 20 kN/m từ 3 đến 6 m
x0 = m
7.Trọng tâm và mômen quán tính mặt cắtTrung bình
xD = 150d = 130kích thước tính bằng mm

Một ống tròn có đường kính ngoài D = 150 mm và đường kính trong d = 130 mm. Tìm bán kính quán tính r của nó đối với trục nằm ngang qua trọng tâm.

D = 150 mmd = 130 mm
r = mm
8.Trọng tâm và mômen quán tính mặt cắtKhó
1803014014xM = 15 kN·mkích thước tính bằng mm

Mặt cắt chữ T được dùng làm dầm với cánh ở trên và chịu mômen uốn làm võng xuống 15 kN·m. Tìm ứng suất uốn σdưới ở mép dưới.

bf = 180 mmtf = 30 mmtw = 14 mmhw = 140 mmM = 15 kN·m
σdưới = MPa
9.Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suấtTrung bình
σx​ = −40σy​ = 100τxy​ = −60MPa

Một điểm trong một tấm mỏng ở trạng thái ứng suất phẳng: σₓ = −40 MPa, σᵧ = 100 MPa và τₓᵧ = −60 MPa, với σz = 0. Tìm ứng suất cắt lớn nhất tuyệt đối τabs tại điểm đó (xét mọi mặt trong không gian ba chiều).

σx = −40 MPaσy = 100 MPaτxy = −60 MPaσz = 0
τabs = MPa
10.Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suấtKhó
σx​ = 20σy​ = 0τxy​ = −50MPa

Một điểm trong chi tiết chịu tải có σₓ = 20 MPa, σᵧ = 0 MPa và τₓᵧ = −50 MPa (kéo là dương). Tìm ứng suất pháp σθ trên một mặt có pháp tuyến xoay 40° ngược chiều kim đồng hồ so với trục x.

σx = 20 MPaσy = 0 MPaτxy = −50 MPaθ = 40°
σθ = MPa
11.Độ võng của dầmTrung bình
w = 12 kN/mδL = 2 m

Một dầm công xôn chịu tải phân bố đều w trên toàn chiều dài. Tìm độ võng δ tại đầu tự do.

w = 12 kN/mL = 2 mE = 11 GPa (gỗ xẻ)I = 36 × 10⁶ mm⁴
δ = mm
12.Độ võng của dầmKhó
w = 5 kN/mδL = 5 m

Một dầm đơn giản chịu tải phân bố đều w. Độ võng của nó không được vượt quá nhịp/360. Tìm mômen quán tính nhỏ nhất của mặt cắt Ireq thỏa mãn giới hạn này.

w = 5 kN/mL = 5 mE = 11 GPa (gỗ xẻ)
Ireq = × 10⁶ mm⁴
13.Mất ổn định cộtTrung bình
PL = 5 md = 60 mmmặt cắt ngang

Một cột dài L làm bằng thép được ngàm cả hai đầu. Dùng công thức Euler, tìm tải trọng oằn tới hạn Pcr của nó.

L = 5 mE = 200 GPa (thép)d = 60 mm
Pcr = kN
14.Mất ổn định cộtKhó
PL = 5 md = 80 mmmặt cắt ngang

Một cột dài L làm bằng thép được ngàm ở chân và tự do ở đỉnh. Tìm độ mảnh của nó và ứng suất oằn tới hạn σcr theo công thức Euler.

L = 5 mE = 200 GPa (thép)d = 80 mm
σcr = MPa

3Dung dịch

1.Ứng suất và biến dạng dọc trục

Đáp số: ε = 7639 µε

Định luật Hooke: trong giới hạn đàn hồi σ = E·ε. Kết hợp với σ = P/A và ε = δ/L ta được δ = PL/(AE).

Ứng suất

A = π·10²/4 = 78,54 mm²
σ = P/A = 120·1000/78,54 = 1528 MPa

Biến dạng (định luật Hooke)

E for thép = 200 GPa = 200000 MPa.

ε = σ/E = 1528/200000 = 0,007639 = 7639 µε

Đáp số

ε = 7639 µε
2.Ứng suất và biến dạng dọc trục

Đáp số: σmax = 286,5 MPa

Cấu kiện chịu tải dọc trục: mỗi đoạn lăng trụ tuân theo δ = PL/(AE). Với các cấu kiện nối tiếp, độ giãn dài cộng lại.

Cùng một lực trong cả hai đoạn

Đầu tự do chịu lực P, nên mọi mặt cắt của thanh đều chịu cùng một lực dọc trục P. Chỉ có diện tích và vật liệu thay đổi.

A1 = π·30²/4 = 706,9 mm², A2 = π·20²/4 = 314,2 mm²
σ1 = 127,3 MPa
σ2 = 286,5 MPa

Ứng suất lớn nhất

Đoạn mảnh hơn có diện tích nhỏ hơn, nên chịu ứng suất lớn hơn.

σmax = 286,5 MPa

Đáp số

σmax = 286,5 MPa
3.Xoắn của trục

Đáp số: φ = 1,459 °

Xoắn thanh tròn: ứng suất tiếp tăng tuyến tính từ không ở tâm đến τmax = T·r/J ở bề mặt, với J = πd⁴/32 cho trục đặc và J = π(do⁴ − di⁴)/32 cho trục rỗng. Góc xoắn là φ = TL/(GJ) tính bằng radian. Công suất và mômen xoắn liên hệ với nhau qua P = T·ω.

Mômen quán tính độc cực của mặt cắt

J = π·50⁴/32 = 613592 mm⁴

Góc xoắn

φ = TL/(GJ) = 500·1000·2500/(80000·613592) = 0,02546 rad
φ = 0,02546·180/π = 1,459°

Đáp số

φ = 1,459°
4.Xoắn của trục

Đáp số: d = 37,47 mm

Xoắn thanh tròn: ứng suất tiếp tăng tuyến tính từ không ở tâm đến τmax = T·r/J ở bề mặt, với J = πd⁴/32 cho trục đặc và J = π(do⁴ − di⁴)/32 cho trục rỗng. Góc xoắn là φ = TL/(GJ) tính bằng radian. Công suất và mômen xoắn liên hệ với nhau qua P = T·ω.

Mômen xoắn

ω = 2πN/60 = 2π·1450/60 = 151,8 rad/s
T = P/ω = 5000/151,8 = 32,93 N·m

Đường kính theo điều kiện bền

T = 32,93 N·m = 32929 N·mm
dτ = ∛(16·32929/(π·80)) = 12,8 mm

Đường kính theo điều kiện cứng

θ = 0,25·π/180/1000 = 4,363 × 10⁻⁶ rad/mm
G = 39 GPa = 39000 MPa
dφ = (32·32929/(π·39000·4,363 × 10⁻⁶))1/4 = 37,47 mm

Đường kính quyết định

Cả hai giới hạn đều phải thỏa, nên đường kính lớn hơn quyết định.

d = max(12,8, 37,47) = 37,47 mm

Đáp số

d = 37,47 mm

Ở đây điều kiện cứng quyết định.

5.Lực cắt và mômen uốn

Đáp số: Mx = 31,88 kN·m

Phương pháp mặt cắt: cắt dầm tại vị trí cần tìm nội lực và giữ lại một phía. Lực cắt V cân bằng với các lực thẳng đứng ở phía đó, và mômen uốn M cân bằng với mômen của chúng quanh mặt cắt.

Phản lực gối

Cân bằng của cả dầm.

Hợp lực của tải phân bố đều: W = w·ℓ = 5·10 = 50 kN, đặt tại x̄ = 5 m
ΣMA = 0: RB·10 = 5·10·5
RB = 250/10 = 25 kN
ΣFy = 0: RA = 50 − 25 = 25 kN
w = 5 kN/mABRA​ = 25RB​ = 25mặt cắt8,5 m1,5 m

Cắt tại x = 8,5 m và giữ phần bên trái

Chỉ các lực bên trái mặt cắt xuất hiện. Phần tải phân bố đều được thay bằng một lực đặt tại giữa phần đó.

M = RA·x − (mỗi tải bên trái mặt cắt × cánh tay đòn đến mặt cắt)
Mx = 25·8,5 − 5·8,5·4,25 = 31,88 kN·m

Đáp số

Mx = 31,88 kN·m
6.Lực cắt và mômen uốn

Đáp số: x0 = 3,75 m

Phương pháp mặt cắt: cắt dầm tại vị trí cần tìm nội lực và giữ lại một phía. Lực cắt V cân bằng với các lực thẳng đứng ở phía đó, và mômen uốn M cân bằng với mômen của chúng quanh mặt cắt. Mô-men lớn nhất: vì dM/dx = V, mô-men uốn đạt cực trị tại nơi lực cắt đi qua không, hoặc tại một lực tập trung hoặc bên trong một tải phân bố.

Phản lực gối

Cân bằng của cả dầm.

Hợp lực của tải phân bố đều: W = w·ℓ = 20·3 = 60 kN, đặt tại x̄ = 4,5 m
ΣMA = 0: RB·6 = 20·3·4,5
RB = 270/6 = 45 kN
ΣFy = 0: RA = 60 − 45 = 15 kN

Lực cắt bằng không

Lực cắt bắt đầu bằng RA, không đổi trên mọi đoạn không chịu tải và giảm với độ dốc w bên trong đoạn tải.

RA − w·(x0 − 3) = 0
x0 = 3 + 15/20 = 3,75 m

Đáp số

x0 = 3,75 m
7.Trọng tâm và mômen quán tính mặt cắt

Đáp số: r = 49,62 mm

Mô-men quán tính của tiết diện: với hình chữ nhật đối với trục qua trọng tâm của nó I = bh³/12, và đối với trục đáy bh³/3 (định lý trục song song I = Ic + A·d²). Lỗ rỗng được xử lý bằng cách trừ đi I của nó, miễn là cả hai phần có chung một trục. Mô-đun chống uốn đàn hồi là S = I/c, với c là khoảng cách đến thớ ngoài cùng. Bán kính quán tính r = √(I/A) là khoảng cách mà tại đó toàn bộ diện tích cho cùng giá trị I; nó được dùng trong bài toán mất ổn định của cột.

Diện tích thực và mô-men quán tính

A = π(D² − d²)/4 = 4398 mm²
I = π(D⁴ − d⁴)/64 = 1,083 × 10⁷ mm⁴

Bán kính quán tính

r = √(I/A) = √(1,083 × 10⁷/4398) = 49,62 mm

Đáp số

r = 49,62 mm
8.Trọng tâm và mômen quán tính mặt cắt

Đáp số: σdưới = 141,9 MPa

Diện tích ghép: chia mặt cắt thành các hình chữ nhật. Trọng tâm là trung bình có trọng số theo diện tích ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Mômen quán tính của mặt cắt đối với trục đi qua trọng tâm bằng tổng bh³/12 của từng phần và số hạng trục song song A·d², trong đó d là khoảng cách từ trọng tâm của phần đó đến trọng tâm chung. Ứng suất uốn là σ = M·y/I.

Chia thành hai hình chữ nhật

Đo mọi y từ mép dưới.

cánh: Af = 180·30 = 5400 mm², yf = 140 + 30/2 = 155 mm
bụng: Aw = 14·140 = 1960 mm², yw = 140/2 = 70 mm

Trọng tâm

ȳ = (Afyf + Awyw)/(Af + Aw) = (5400·155 + 1960·70)/7360 = 132,4 mm

Định lý trục song song

cánh: 180·30³/12 + 5400·(155 − 132,4)² = 3,172 × 10⁶ mm⁴
bụng: 14·140³/12 + 1960·(70 − 132,4)² = 1,082 × 10⁷ mm⁴
Ix = 3,172 × 10⁶ + 1,082 × 10⁷ = 1,4 × 10⁷ mm⁴

Ứng suất uốn

Mép dưới cách trục ȳ.

y = 132,4 mm
σ = M·y/I = 1,5 × 10⁷·132,4/1,4 × 10⁷ = 141,9 MPa

Đáp số

σdưới = 141,9 MPa
9.Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suất

Đáp số: τabs = 92,2 MPa

Biến đổi ứng suất phẳng: trên một mặt xoay góc θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Vòng tròn Mohr cho thấy tất cả các mặt cùng lúc: tâm của nó ở C = (σₓ + σᵧ)/2 và bán kính là R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Các ứng suất chính là C ± R, và ứng suất tiếp lớn nhất trong mặt phẳng là R. Trong không gian ba chiều, ứng suất cắt lớn nhất tuyệt đối là (σmax − σmin)/2 trên cả ba ứng suất chính; trong ứng suất phẳng, ứng suất thứ ba bằng không.

στxyCσ1​σ2​

Các ứng suất chính trong mặt phẳng

C = 30 MPa, R = √((−70)² + (−60)²) = 92,2 MPa
σ1 = 122,2 MPa, σ2 = −62,2 MPa, σz = 0

Vòng tròn lớn nhất trong ba vòng tròn

τ = max(|σ1 − σ2|, |σ1|, |σ2|)/2 = max(184,4, 122,2, 62,2)/2 = 92,2 MPa

Đáp số

τabs = 92,2 MPa

Ở đây σ₁ và σ₂ trái dấu, nên giá trị lớn nhất trong mặt phẳng R cũng là giá trị lớn nhất tuyệt đối.

10.Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suất

Đáp số: σθ = −37,5 MPa

Biến đổi ứng suất phẳng: trên một mặt xoay góc θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Vòng tròn Mohr cho thấy tất cả các mặt cùng lúc: tâm của nó ở C = (σₓ + σᵧ)/2 và bán kính là R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Các ứng suất chính là C ± R, và ứng suất tiếp lớn nhất trong mặt phẳng là R.

Phương trình biến đổi

σθ = 10 + 10·0,1736 + −50·0,9848 = −37,5 MPa

Đáp số

σθ = −37,5 MPa
11.Độ võng của dầm

Đáp số: δ = 60,61 mm

Độ võng của dầm: độ võng có được bằng cách tích phân độ cong M/(EI) hai lần. Các trường hợp tiêu chuẩn đã được lập bảng, ví dụ PL³/(3EI) cho dầm công xôn chịu tải ở đầu tự do và 5wL⁴/(384EI) cho dầm đơn giản chịu tải phân bố đều toàn nhịp. Độ võng do các tải riêng rẽ cộng lại (xếp chồng).

Đơn vị nhất quán

Làm việc theo N và mm: P theo N, w theo N/mm (kN/m = N/mm), L theo mm, E theo N/mm² (GPa × 1000), I theo mm⁴.

w = 12 N/mm, L = 2000 mm
EI = 3,96 × 10¹¹ N·mm²

Độ võng

δ = wL⁴/(8EI) = 12·2000⁴/(8·3,96 × 10¹¹) = 60,61 mm

Đáp số

δ = 60,61 mm
12.Độ võng của dầm

Đáp số: Ireq = 266,3 × 10⁶ mm⁴

Độ võng của dầm: độ võng có được bằng cách tích phân độ cong M/(EI) hai lần. Các trường hợp tiêu chuẩn đã được lập bảng, ví dụ PL³/(3EI) cho dầm công xôn chịu tải ở đầu tự do và 5wL⁴/(384EI) cho dầm đơn giản chịu tải phân bố đều toàn nhịp. Độ võng do các tải riêng rẽ cộng lại (xếp chồng).

Giới hạn độ võng

δallow = L/360 = 5000/360 = 13,89 mm

Mômen quán tính mặt cắt yêu cầu

I = 5wL⁴/(384·E·δallow) = 5·5·5000⁴/(384·11000·13,89) = 2,663 × 10⁸ mm⁴
Ireq = 266,3 × 10⁶ mm⁴

Đáp số

Ireq = 266,3 × 10⁶ mm⁴
13.Mất ổn định cột

Đáp số: Pcr = 200,9 kN

Mất ổn định Euler: một cột mảnh mất ổn định tại Pcr = π²EI/(KL)², trong đó KL là chiều dài tính toán: K = 1 cho khớp–khớp, 2 cho ngàm–tự do, 0,7 cho ngàm–khớp và 0,5 cho ngàm–ngàm. Cột oằn quanh trục có I nhỏ nhất. Công thức đúng với cột mảnh, có ứng suất tới hạn thấp hơn ứng suất chảy.

Mômen quán tính nhỏ nhất của mặt cắt

Mặt cắt tròn có cùng I đối với mọi trục.

I = πd⁴/64 = π·60⁴/64 = 636173 mm⁴

Chiều dài tính toán

KL = 0,5·5000 = 2500 mm

Tải trọng tới hạn

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·636173/2500² = 200921 N = 200,9 kN

Đáp số

Pcr = 200,9 kN
14.Mất ổn định cột

Đáp số: σcr = 7,896 MPa

Mất ổn định Euler: một cột mảnh mất ổn định tại Pcr = π²EI/(KL)², trong đó KL là chiều dài tính toán: K = 1 cho khớp–khớp, 2 cho ngàm–tự do, 0,7 cho ngàm–khớp và 0,5 cho ngàm–ngàm. Cột oằn quanh trục có I nhỏ nhất. Công thức đúng với cột mảnh, có ứng suất tới hạn thấp hơn ứng suất chảy.

Mômen quán tính nhỏ nhất của mặt cắt

Mặt cắt tròn có cùng I đối với mọi trục.

I = πd⁴/64 = π·80⁴/64 = 2,011 × 10⁶ mm⁴

Bán kính quán tính và độ mảnh

A = 5027 mm²
r = √(I/A) = √(2,011 × 10⁶/5027) = 20 mm
KL = 2·5000 = 10000 mm
KL/r = 10000/20 = 500

Ứng suất tới hạn

σcr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/500² = 7,896 MPa

Đáp số

σcr = 7,896 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials