Sức bền vật liệu: gói ôn nước rút

Bảng công thức, các bước phương pháp chính cho từng chủ đề và 14 bài tập, kèm lời giải đầy đủ ở cuối.

Bài mớiQuay lại môn học

Trong cửa sổ in, hãy chọn “Lưu dưới dạng PDF” để giữ một bản trên thiết bị của bạn.

1Công thức và phương pháp

Ứng suất và biến dạng dọc trục

Ứng suất pháp
σ = F/A
Biến dạng
ε = ΔL/L
Định luật Hooke
σ = E·ε
Độ giãn dài
ΔL = FL/(EA)
Biến dạng nhiệt
εT = α·ΔT

Xoắn của trục

Ứng suất tiếp
τ = T·r/J
Trục đặc
J = πd⁴/32
Trục rỗng
J = π(D⁴ − d⁴)/32
Góc xoắn
φ = TL/(GJ)
Công suất
P = T·ω = 2πnT/60

Phương pháp

  1. Tìm mômen quán tính độc cực: J = πd⁴/32 cho trục đặc.
  2. Ứng suất tiếp ở bề mặt: τ = T·r/J, với r là bán kính ngoài.
  3. Góc xoắn: φ = TL/(GJ) theo radian.
  4. Nếu cho công suất, hãy tìm mômen xoắn trước bằng P = T·ω, ω = 2πn/60.

Lực cắt và mômen uốn

Lực cắt và mômen
V = ΣF ở một phía, M = ΣF·d ở một phía
Ứng suất uốn
σ = M·y/I
Hình chữ nhật
I = bh³/12
Mômen chống uốn của mặt cắt
W = I/ymax
Dầm đơn giản, tải phân bố đều
Mmax = wL²/8

Phương pháp

  1. Tìm phản lực gối từ cân bằng của cả dầm.
  2. Cắt dầm tại mặt cắt bạn cần và giữ lại một phía.
  3. Lực cắt: tổng các lực thẳng đứng ở phía đó. Mômen uốn: tổng mômen của chúng quanh mặt cắt.
  4. Để tìm mômen lớn nhất, hãy tìm nơi lực cắt bằng không.

Trọng tâm và mômen quán tính mặt cắt

Trọng tâm
ȳ = ΣAiyi/ΣAi
Hình chữ nhật
I = bh³/12
Định lý trục song song
I = Ic + A·d²
Mặt cắt ghép
I = Σ(Ic,i + Aidi²)

Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suất

Tâm
C = (σx + σy)/2
Bán kính
R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
Ứng suất chính
σ1,2 = C ± R
Phương chính
tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
Mặt phẳng nghiêng
σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ

Phương pháp

  1. Tính tâm của vòng tròn Mohr: C = (σx + σy)/2.
  2. Tính bán kính: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
  3. Các ứng suất chính là C ± R và ứng suất tiếp lớn nhất trong mặt phẳng là R.
  4. Các góc trên vòng tròn gấp đôi các góc trên phần tử: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Độ võng của dầm

Tải tập trung ở giữa nhịp
δ = PL³/(48EI)
Tải phân bố đều, dầm đơn giản
δ = 5wL⁴/(384EI)
Công xôn, tải ở đầu
δ = PL³/(3EI)
Công xôn, tải phân bố đều
δ = wL⁴/(8EI)
Nguyên lý xếp chồng
δ = δ1 + δ2

Mất ổn định cột

Tải Euler
Pcr = π²EI/(KL)²
Hệ số chiều dài tính toán
K = 1 khớp–khớp, 0,5 ngàm–ngàm, 0,7 ngàm–khớp, 2 ngàm–tự do
Ứng suất tới hạn
σcr = Pcr/A
Độ mảnh
λ = KL/r, r = √(I/A)

2Bài tập

1.Ứng suất và biến dạng dọc trụcTrung bình
Ø 25 mmThép2 mP = 50 kN

Tìm độ giãn dài δ của thanh thép dưới tải trọng dọc trục.

P = 50 kNd = 25 mmL = 2 mE = 200 GPa
δ = mm
2.Ứng suất và biến dạng dọc trụcKhó
Ø 40 mmNhôm2 mØ 16 mmNhôm1 mP = 30 kN

Thanh bậc được ngàm vào tường và chịu tải ở đầu tự do. Tìm tổng độ giãn dài δ.

P = 30 kNđoạn 1: Ø40 mm, 2 m, nhôm (E = 70 GPa)đoạn 2: Ø16 mm, 1 m, nhôm (E = 70 GPa)
δ = mm
3.Xoắn của trụcTrung bình
T = 750 N·md = 30 mmL = 0,5 mφ = ?

Một trục đặc thép được ngàm vào tường và bị xoắn bởi mômen xoắn T ở đầu tự do. Tìm góc xoắn φ của đầu tự do, theo độ.

T = 750 N·md = 30 mmL = 0,5 mG = 80 GPa
φ = °
4.Xoắn của trụcKhó
d = 30 mmTB​ = 2000 N·mTC​ = 500 N·mABC2 m1,5 m

Một trục đặc đồng thau đường kính 30 mm được ngàm tại A. Một mô-men xoắn 2000 N·m tác dụng tại B, cách A 2 m, và một mô-men xoắn 500 N·m ngược chiều tác dụng tại đầu tự do C, cách thêm 1,5 m. Tìm ứng suất cắt lớn nhất τmax trong trục.

d = 30 mmTB = 2000 N·mTC = 500 N·mAB = 2 mBC = 1,5 m
τmax = MPa
5.Lực cắt và mômen uốnTrung bình
w = 6 kN/mABmặt cắt3,5 m6,5 m

Tìm lực cắt Vx tại mặt cắt x = 3,5 m tính từ gối A. Coi mômen làm dầm võng xuống là dương và lực cắt hướng lên trên mặt trái là dương.

L = 10 mw = 6 kN/m từ 0 đến 10 mx = 3,5 m
Vx = kN
6.Lực cắt và mômen uốnKhó
4 kN/m35 kN25 kNABCDEFG2 m2 m2 m2 m2 m2 m

Các điểm đánh dấu từ A đến G chia dầm thành sáu phần bằng nhau. Tại điểm nào mômen uốn có độ lớn lớn nhất, dù võng hay vồng? Nhấp vào nó trong sơ đồ.

35 kN @ 12 m25 kN @ 8 m4 kN/m, 0–10 m
  1. 1A (x = 0 m)
  2. 2B (x = 2 m)
  3. 3C (x = 4 m)
  4. 4D (x = 6 m)
  5. 5E (x = 8 m)
  6. 6F (x = 10 m)
  7. 7G (x = 12 m)
7.Trọng tâm và mômen quán tính mặt cắtTrung bình
2504801414xkích thước tính bằng mm

Một tiết diện chữ I đối xứng có các cánh rộng 250 mm và dày 14 mm, chiều cao tổng thể 480 mm và bụng dày 14 mm. Tìm mô-men quán tính Ix của nó đối với trục nằm ngang x qua trọng tâm.

B = 250 mmH = 480 mmtf = 14 mmtw = 14 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
8.Trọng tâm và mômen quán tính mặt cắtKhó
100500248xM = 40 kN·mkích thước tính bằng mm

Một tiết diện chữ I đối xứng có các cánh rộng 100 mm và dày 24 mm, chiều cao tổng thể 500 mm và bụng dày 8 mm. Nó chịu mô-men uốn 40 kN·m quanh trục x. Tìm độ lớn của ứng suất uốn σj tại chỗ nối giữa bụng và cánh trên.

B = 100 mmH = 500 mmtf = 24 mmtw = 8 mmM = 40 kN·m
σj = MPa
9.Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suấtTrung bình
σx​ = 30σy​ = −40τxy​ = 10MPa

Một điểm trong chi tiết chịu tải có σₓ = 30 MPa, σᵧ = −40 MPa và τₓᵧ = 10 MPa (kéo là dương). Tìm góc θp từ trục x đến phương của ứng suất chính lớn nhất, trong khoảng −90° đến 90°.

σx = 30 MPaσy = −40 MPaτxy = 10 MPa
θp = °
10.Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suấtKhó
σx​ = 40σy​ = −30τxy​ = −30MPa

Một điểm trong một tấm mỏng ở trạng thái ứng suất phẳng: σₓ = 40 MPa, σᵧ = −30 MPa và τₓᵧ = −30 MPa (σz = 0). Tìm ứng suất tương đương von Mises σvM.

σx = 40 MPaσy = −30 MPaτxy = −30 MPa
σvM = MPa
11.Độ võng của dầmTrung bình
w = 6 kN/mδL = 1,5 m

Một dầm đơn giản chịu tải phân bố đều w trên toàn nhịp. Tìm độ võng lớn nhất δmax, tại giữa nhịp.

w = 6 kN/mL = 1,5 mE = 11 GPa (gỗ xẻ)I = 8,5 × 10⁶ mm⁴
δmax = mm
12.Độ võng của dầmKhó
w = 3 kN/mABδ5 m

Một dầm gỗ đơn giản có tiết diện chữ nhật, rộng 150 mm, chịu tải phân bố đều w trên toàn bộ nhịp. Độ võng tại giữa nhịp không được vượt quá nhịp/250. Tìm chiều cao tiết diện nhỏ nhất hreq.

w = 3 kN/mL = 5 mE = 11 GPa (gỗ xẻ)b = 150 mm
hreq = mm
13.Mất ổn định cộtTrung bình
PL = 5 md = 25 mmmặt cắt ngang

Một cột dài L làm bằng nhôm được ngàm cả hai đầu. Dùng công thức Euler, tìm tải trọng oằn tới hạn Pcr của nó.

L = 5 mE = 70 GPa (nhôm)d = 25 mm
Pcr = kN
14.Mất ổn định cộtKhó
PL = 2,5 md = 50 mmmặt cắt ngang

Một cột dài L làm bằng thép được ngàm ở chân và tự do ở đỉnh. Tìm độ mảnh của nó và ứng suất oằn tới hạn σcr theo công thức Euler.

L = 2,5 mE = 200 GPa (thép)d = 50 mm
σcr = MPa

3Dung dịch

1.Ứng suất và biến dạng dọc trục

Đáp số: δ = 1,019 mm

Định luật Hooke: trong giới hạn đàn hồi σ = E·ε. Kết hợp với σ = P/A và ε = δ/L ta được δ = PL/(AE).

Ứng suất

A = π·25²/4 = 490,9 mm²
σ = P/A = 50·1000/490,9 = 101,9 MPa

Biến dạng (định luật Hooke)

E for thép = 200 GPa = 200000 MPa.

ε = σ/E = 101,9/200000 = 0,0005093 = 509,3 µε

Độ giãn dài

δ = ε·L = 0,0005093·2000 mm = 1,019 mm

Đáp số

δ = 1,019 mm
2.Ứng suất và biến dạng dọc trục

Đáp số: δ = 2,814 mm

Cấu kiện chịu tải dọc trục: mỗi đoạn lăng trụ tuân theo δ = PL/(AE). Với các cấu kiện nối tiếp, độ giãn dài cộng lại.

Cùng một lực trong cả hai đoạn

Đầu tự do chịu lực P, nên mọi mặt cắt của thanh đều chịu cùng một lực dọc trục P. Chỉ có diện tích và vật liệu thay đổi.

A1 = π·40²/4 = 1257 mm², A2 = π·16²/4 = 201,1 mm²
σ1 = 23,87 MPa
σ2 = 149,2 MPa

Cộng độ giãn dài của các đoạn

δ1 = σ1L1/E1 = 23,87·2000/70000 = 0,6821 mm
δ2 = σ2L2/E2 = 149,2·1000/70000 = 2,132 mm
δ = δ1 + δ2 = 2,814 mm

Đáp số

δ = 2,814 mm
3.Xoắn của trục

Đáp số: φ = 3,377 °

Xoắn thanh tròn: ứng suất tiếp tăng tuyến tính từ không ở tâm đến τmax = T·r/J ở bề mặt, với J = πd⁴/32 cho trục đặc và J = π(do⁴ − di⁴)/32 cho trục rỗng. Góc xoắn là φ = TL/(GJ) tính bằng radian. Công suất và mômen xoắn liên hệ với nhau qua P = T·ω.

Mômen quán tính độc cực của mặt cắt

J = π·30⁴/32 = 79522 mm⁴

Góc xoắn

φ = TL/(GJ) = 750·1000·500/(80000·79522) = 0,05895 rad
φ = 0,05895·180/π = 3,377°

Đáp số

φ = 3,377°
4.Xoắn của trục

Đáp số: τmax = 282,9 MPa

Xoắn thanh tròn: ứng suất tiếp tăng tuyến tính từ không ở tâm đến τmax = T·r/J ở bề mặt, với J = πd⁴/32 cho trục đặc và J = π(do⁴ − di⁴)/32 cho trục rỗng. Góc xoắn là φ = TL/(GJ) tính bằng radian. Công suất và mômen xoắn liên hệ với nhau qua P = T·ω.

Các mô-men xoắn nội lực

Chiều của TC được lấy là dương.

TBC = TC = 500 N·m
TAB = TC − TB = 500 − 2000 = −1500 N·m

Ứng suất tiếp lớn nhất

Đoạn có mô-men xoắn nội lực lớn nhất có ứng suất lớn nhất (cùng đường kính).

|T|max = 1500 N·m
τmax = 16·1,5 × 10⁶/(π·30³) = 282,9 MPa

Đáp số

τmax = 282,9 MPa
5.Lực cắt và mômen uốn

Đáp số: Vx = 9 kN

Phương pháp mặt cắt: cắt dầm tại vị trí cần tìm nội lực và giữ lại một phía. Lực cắt V cân bằng với các lực thẳng đứng ở phía đó, và mômen uốn M cân bằng với mômen của chúng quanh mặt cắt.

Phản lực gối

Cân bằng của cả dầm.

Hợp lực của tải phân bố đều: W = w·ℓ = 6·10 = 60 kN, đặt tại x̄ = 5 m
ΣMA = 0: RB·10 = 6·10·5
RB = 300/10 = 30 kN
ΣFy = 0: RA = 60 − 30 = 30 kN
w = 6 kN/mABRA​ = 30RB​ = 30mặt cắt3,5 m6,5 m

Cắt tại x = 3,5 m và giữ phần bên trái

Chỉ các lực bên trái mặt cắt xuất hiện. Phần tải phân bố đều được thay bằng một lực đặt tại giữa phần đó.

V = RA − (mọi tải hướng xuống bên trái mặt cắt)
Vx = 30 − 6·3,5 = 9 kN

Đáp số

Vx = 9 kN
6.Lực cắt và mômen uốn

Đáp số: F (x = 10 m)

Mômen uốn lớn nhất: M đổi độ dốc ở bất cứ chỗ nào lực cắt thay đổi, nên các đỉnh của nó nằm nơi lực cắt đi qua không: dưới một tải tập trung, bên trong một tải phân bố, hoặc trên một gối của phần công-xon. Tại ngàm của dầm công-xon, mômen lớn nhất ở chân tường. So sánh độ lớn của M tại những chỗ đó, dù là mômen làm võng hay làm vồng.

Phản lực gối

Lấy mômen quanh một gối tựa, rồi dùng cân bằng lực thẳng đứng.

R1 = 18 kN, R2 = 82 kN

Mômen uốn tại mỗi điểm đánh dấu

Cộng các mômen của mọi lực ở một phía của mặt cắt. Võng là dương, vồng là âm.

MA = 0, MB = 28, MC = 40, MD = 36, ME = 16, MF = −70 kN·m, MG = 0

Đáp số

Điểm đánh dấu F: MF = −70 kN·m
7.Trọng tâm và mômen quán tính mặt cắt

Đáp số: Ix = 487,9 × 10⁶ mm⁴

Mô-men quán tính của tiết diện: với hình chữ nhật đối với trục qua trọng tâm của nó I = bh³/12, và đối với trục đáy bh³/3 (định lý trục song song I = Ic + A·d²). Lỗ rỗng được xử lý bằng cách trừ đi I của nó, miễn là cả hai phần có chung một trục. Mô-đun chống uốn đàn hồi là S = I/c, với c là khoảng cách đến thớ ngoài cùng.

Hình chữ nhật ngoài trừ hai phần khuyết hai bên

Hai phần khuyết cộng lại rộng (B − tw) và cao hw = H − 2tf, và có chung trục x.

hw = 480 − 2·14 = 452 mm
Ix = (B·H³ − (B − tw)·hw³)/12 = (250·480³ − 236·452³)/12
Ix = 4,879 × 10⁸ mm⁴ = 487,9 × 10⁶ mm⁴

Đáp số

Ix = 487,9 × 10⁶ mm⁴
8.Trọng tâm và mômen quán tính mặt cắt

Đáp số: σj = 27,09 MPa

Diện tích ghép: chia mặt cắt thành các hình chữ nhật. Trọng tâm là trung bình có trọng số theo diện tích ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Mômen quán tính của mặt cắt đối với trục đi qua trọng tâm bằng tổng bh³/12 của từng phần và số hạng trục song song A·d², trong đó d là khoảng cách từ trọng tâm của phần đó đến trọng tâm chung. Ứng suất uốn là σ = M·y/I.

Hình chữ nhật ngoài trừ hai phần khuyết hai bên

Hai phần khuyết cộng lại rộng (B − tw) và cao hw = H − 2tf, và có chung trục x.

hw = 500 − 2·24 = 452 mm
Ix = (B·H³ − (B − tw)·hw³)/12 = (100·500³ − 92·452³)/12
Ix = 3,337 × 10⁸ mm⁴

Ứng suất uốn

y = 250 − 24 = 226 mm
σ = M·y/I = 4 × 10⁷·226/3,337 × 10⁸ = 27,09 MPa

Đáp số

σj = 27,09 MPa
9.Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suất

Đáp số: θp = 7,973 °

Biến đổi ứng suất phẳng: trên một mặt xoay góc θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Vòng tròn Mohr cho thấy tất cả các mặt cùng lúc: tâm của nó ở C = (σₓ + σᵧ)/2 và bán kính là R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Các ứng suất chính là C ± R, và ứng suất tiếp lớn nhất trong mặt phẳng là R.

στxyCσ1​σ2​

Góc trên vòng tròn

Điểm x nằm ở góc 2θp so với trục σ trên vòng tròn Mohr; góc phần tư suy ra từ dấu của σₓ − σᵧ và τₓᵧ.

2θp = atan2(2·10, 30 − −40) = 15,95°

Góc trên phần tử

θp = 7,973°

Đáp số

θp = 7,973°

Góc dương là ngược chiều kim đồng hồ.

10.Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suất

Đáp số: σvM = 80 MPa

Biến đổi ứng suất phẳng: trên một mặt xoay góc θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Vòng tròn Mohr cho thấy tất cả các mặt cùng lúc: tâm của nó ở C = (σₓ + σᵧ)/2 và bán kính là R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Các ứng suất chính là C ± R, và ứng suất tiếp lớn nhất trong mặt phẳng là R. Tiêu chuẩn chảy: von Mises dự đoán vật liệu chảy khi σvM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²) đạt σY; Tresca khi ứng suất cắt lớn nhất tuyệt đối đạt σY/2.

στxyCσ1​σ2​

Ứng suất chính

C = 5 MPa, R = 46,1 MPa
σ1 = 51,1 MPa, σ2 = −41,1 MPa, σ3 = 0

Von Mises

σvM = √(51,1² − 51,1·(−41,1) + (−41,1)²) = 80 MPa

Đáp số

σvM = 80 MPa
11.Độ võng của dầm

Đáp số: δmax = 4,23 mm

Độ võng của dầm: độ võng có được bằng cách tích phân độ cong M/(EI) hai lần. Các trường hợp tiêu chuẩn đã được lập bảng, ví dụ PL³/(3EI) cho dầm công xôn chịu tải ở đầu tự do và 5wL⁴/(384EI) cho dầm đơn giản chịu tải phân bố đều toàn nhịp. Độ võng do các tải riêng rẽ cộng lại (xếp chồng).

Đơn vị nhất quán

Làm việc theo N và mm: P theo N, w theo N/mm (kN/m = N/mm), L theo mm, E theo N/mm² (GPa × 1000), I theo mm⁴.

w = 6 N/mm, L = 1500 mm
EI = 9,35 × 10¹⁰ N·mm²

Độ võng

δmax = 5wL⁴/(384EI) = 5·6·1500⁴/(384·9,35 × 10¹⁰) = 4,23 mm

Đáp số

δmax = 4,23 mm
12.Độ võng của dầm

Đáp số: hreq = 207,1 mm

Độ võng của dầm: độ võng có được bằng cách tích phân độ cong M/(EI) hai lần. Các trường hợp tiêu chuẩn đã được lập bảng, ví dụ PL³/(3EI) cho dầm công xôn chịu tải ở đầu tự do và 5wL⁴/(384EI) cho dầm đơn giản chịu tải phân bố đều toàn nhịp. Độ võng do các tải riêng rẽ cộng lại (xếp chồng).

Đơn vị nhất quán

Làm việc theo N và mm: P theo N, w theo N/mm (kN/m = N/mm), L theo mm, E theo N/mm² (GPa × 1000), I theo mm⁴.

w = 3 N/mm, L = 5000 mm, E = 11000 N/mm²

Giới hạn độ võng

δallow = L/250 = 5000/250 = 20 mm

Mômen quán tính mặt cắt yêu cầu

Ireq = 5wL⁴/(384·E·δallow) = 5·3·5000⁴/(384·11000·20) = 1,11 × 10⁸ mm⁴

Chiều cao cần thiết

bh³/12 = Ireq → h = (12·1,11 × 10⁸/150)1/3 = 207,1 mm

Đáp số

hreq = 207,1 mm

Trong thực tế, hãy chọn chiều cao tiêu chuẩn kế tiếp lớn hơn giá trị này.

13.Mất ổn định cột

Đáp số: Pcr = 2,12 kN

Mất ổn định Euler: một cột mảnh mất ổn định tại Pcr = π²EI/(KL)², trong đó KL là chiều dài tính toán: K = 1 cho khớp–khớp, 2 cho ngàm–tự do, 0,7 cho ngàm–khớp và 0,5 cho ngàm–ngàm. Cột oằn quanh trục có I nhỏ nhất. Công thức đúng với cột mảnh, có ứng suất tới hạn thấp hơn ứng suất chảy.

Mômen quán tính nhỏ nhất của mặt cắt

Mặt cắt tròn có cùng I đối với mọi trục.

I = πd⁴/64 = π·25⁴/64 = 19175 mm⁴

Chiều dài tính toán

KL = 0,5·5000 = 2500 mm

Tải trọng tới hạn

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·19175/2500² = 2120 N = 2,12 kN

Đáp số

Pcr = 2,12 kN
14.Mất ổn định cột

Đáp số: σcr = 12,34 MPa

Mất ổn định Euler: một cột mảnh mất ổn định tại Pcr = π²EI/(KL)², trong đó KL là chiều dài tính toán: K = 1 cho khớp–khớp, 2 cho ngàm–tự do, 0,7 cho ngàm–khớp và 0,5 cho ngàm–ngàm. Cột oằn quanh trục có I nhỏ nhất. Công thức đúng với cột mảnh, có ứng suất tới hạn thấp hơn ứng suất chảy.

Mômen quán tính nhỏ nhất của mặt cắt

Mặt cắt tròn có cùng I đối với mọi trục.

I = πd⁴/64 = π·50⁴/64 = 306796 mm⁴

Bán kính quán tính và độ mảnh

A = 1963 mm²
r = √(I/A) = √(306796/1963) = 12,5 mm
KL = 2·2500 = 5000 mm
KL/r = 5000/12,5 = 400

Ứng suất tới hạn

σcr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/400² = 12,34 MPa

Đáp số

σcr = 12,34 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials