Sức bền vật liệu: gói ôn nước rút

Bảng công thức, các bước phương pháp chính cho từng chủ đề và 14 bài tập, kèm lời giải đầy đủ ở cuối.

Bài mớiQuay lại môn học

Trong cửa sổ in, hãy chọn “Lưu dưới dạng PDF” để giữ một bản trên thiết bị của bạn.

1Công thức và phương pháp

Ứng suất và biến dạng dọc trục

Ứng suất pháp
σ = F/A
Biến dạng
ε = ΔL/L
Định luật Hooke
σ = E·ε
Độ giãn dài
ΔL = FL/(EA)
Biến dạng nhiệt
εT = α·ΔT

Xoắn của trục

Ứng suất tiếp
τ = T·r/J
Trục đặc
J = πd⁴/32
Trục rỗng
J = π(D⁴ − d⁴)/32
Góc xoắn
φ = TL/(GJ)
Công suất
P = T·ω = 2πnT/60

Phương pháp

  1. Tìm mômen quán tính độc cực: J = πd⁴/32 cho trục đặc.
  2. Ứng suất tiếp ở bề mặt: τ = T·r/J, với r là bán kính ngoài.
  3. Góc xoắn: φ = TL/(GJ) theo radian.
  4. Nếu cho công suất, hãy tìm mômen xoắn trước bằng P = T·ω, ω = 2πn/60.

Lực cắt và mômen uốn

Lực cắt và mômen
V = ΣF ở một phía, M = ΣF·d ở một phía
Ứng suất uốn
σ = M·y/I
Hình chữ nhật
I = bh³/12
Mômen chống uốn của mặt cắt
W = I/ymax
Dầm đơn giản, tải phân bố đều
Mmax = wL²/8

Phương pháp

  1. Tìm phản lực gối từ cân bằng của cả dầm.
  2. Cắt dầm tại mặt cắt bạn cần và giữ lại một phía.
  3. Lực cắt: tổng các lực thẳng đứng ở phía đó. Mômen uốn: tổng mômen của chúng quanh mặt cắt.
  4. Để tìm mômen lớn nhất, hãy tìm nơi lực cắt bằng không.

Trọng tâm và mômen quán tính mặt cắt

Trọng tâm
ȳ = ΣAiyi/ΣAi
Hình chữ nhật
I = bh³/12
Định lý trục song song
I = Ic + A·d²
Mặt cắt ghép
I = Σ(Ic,i + Aidi²)

Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suất

Tâm
C = (σx + σy)/2
Bán kính
R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
Ứng suất chính
σ1,2 = C ± R
Phương chính
tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
Mặt phẳng nghiêng
σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ

Phương pháp

  1. Tính tâm của vòng tròn Mohr: C = (σx + σy)/2.
  2. Tính bán kính: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
  3. Các ứng suất chính là C ± R và ứng suất tiếp lớn nhất trong mặt phẳng là R.
  4. Các góc trên vòng tròn gấp đôi các góc trên phần tử: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Độ võng của dầm

Tải tập trung ở giữa nhịp
δ = PL³/(48EI)
Tải phân bố đều, dầm đơn giản
δ = 5wL⁴/(384EI)
Công xôn, tải ở đầu
δ = PL³/(3EI)
Công xôn, tải phân bố đều
δ = wL⁴/(8EI)
Nguyên lý xếp chồng
δ = δ1 + δ2

Mất ổn định cột

Tải Euler
Pcr = π²EI/(KL)²
Hệ số chiều dài tính toán
K = 1 khớp–khớp, 0,5 ngàm–ngàm, 0,7 ngàm–khớp, 2 ngàm–tự do
Ứng suất tới hạn
σcr = Pcr/A
Độ mảnh
λ = KL/r, r = √(I/A)

2Bài tập

1.Ứng suất và biến dạng dọc trụcTrung bình
Ø 12 mmĐồng thau2 mP = 25 kN

Tìm độ giãn dài δ của thanh đồng thau dưới tải trọng dọc trục.

P = 25 kNd = 12 mmL = 2 mE = 100 GPa
δ = mm
2.Ứng suất và biến dạng dọc trụcKhó
Ø 40 mmNhôm2 mØ 20 mmĐồng0,5 mP = 60 kN

Thanh bậc được ngàm vào tường và chịu tải ở đầu tự do. Tìm tổng độ giãn dài δ.

P = 60 kNđoạn 1: Ø40 mm, 2 m, nhôm (E = 70 GPa)đoạn 2: Ø20 mm, 0,5 m, đồng (E = 117 GPa)
δ = mm
3.Xoắn của trụcTrung bình
T = 250 N·md = 40 mmL = 1,5 mφ = ?

Một trục đặc thép được ngàm vào tường và bị xoắn bởi mômen xoắn T ở đầu tự do. Tìm góc xoắn φ của đầu tự do, theo độ.

T = 250 N·md = 40 mmL = 1,5 mG = 80 GPa
φ = °
4.Xoắn của trụcKhó
do​ = ?10 kW, 1500 rpm

Một trục rỗng phải truyền 10 kW ở 1500 rpm. Đường kính trong của nó bằng 0,75 lần đường kính ngoài, và ứng suất cắt không được vượt quá 75 MPa. Tìm đường kính ngoài nhỏ nhất do.

P = 10 kWN = 1500 rpmdi/do = 0,75τallow = 75 MPa
do = mm
5.Lực cắt và mômen uốnTrung bình
P1​ = 65 kNP2​ = 65 kNAB1,5 m1,5 m1 m

Dầm đơn giản chịu hai lực tập trung. Tìm mô-men uốn lớn nhất Mmax trong dầm.

L = 4 mP1 = 65 kN tại 1,5 mP2 = 65 kN tại 3 m
Mmax = kN·m
6.Lực cắt và mômen uốnKhó
8 kN/m10 kN35 kN35 kNABCDEFG1 m1 m1 m1 m1 m1 m

Các điểm đánh dấu từ A đến G chia dầm thành sáu phần bằng nhau. Tại điểm nào mômen uốn có độ lớn lớn nhất, dù võng hay vồng? Nhấp vào nó trong sơ đồ.

10 kN @ 0 m35 kN @ 6 m35 kN @ 4 m8 kN/m, 1–5 m
  1. 1A (x = 0 m)
  2. 2B (x = 1 m)
  3. 3C (x = 2 m)
  4. 4D (x = 3 m)
  5. 5E (x = 4 m)
  6. 6F (x = 5 m)
  7. 7G (x = 6 m)
7.Trọng tâm và mômen quán tính mặt cắtTrung bình
2801012010xkích thước tính bằng mm

Tìm mômen quán tính Ix của mặt cắt chữ T đối với trục ngang x đi qua trọng tâm.

bf = 280 mmtf = 10 mmtw = 10 mmhw = 120 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
8.Trọng tâm và mômen quán tính mặt cắtKhó
1603012010xM võng xuốngkích thước tính bằng mm

Một dầm gang có tiết diện chữ T như hình, cánh nằm phía trên. Ứng suất cho phép là 50 MPa khi kéo và 100 MPa khi nén. Tìm mô-men uốn võng xuống lớn nhất Mallow mà dầm có thể chịu.

bf = 160 mmtf = 30 mmtw = 10 mmhw = 120 mmσt,allow = 50 MPaσc,allow = 100 MPa
Mallow = kN·m
9.Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suấtTrung bình
σx​ = −50σy​ = 0τxy​ = 20MPa

Một điểm trong chi tiết chịu tải có σₓ = −50 MPa, σᵧ = 0 MPa và τₓᵧ = 20 MPa (kéo là dương). Tìm ứng suất tiếp lớn nhất trong mặt phẳng τmax.

σx = −50 MPaσy = 0 MPaτxy = 20 MPa
τmax = MPa
10.Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suấtKhó
σx​ = 100σy​ = 10τxy​ = −50MPa

Một điểm trong chi tiết chịu tải có σₓ = 100 MPa, σᵧ = 10 MPa và τₓᵧ = −50 MPa (kéo là dương). Tìm ứng suất pháp σθ trên một mặt có pháp tuyến xoay 20° ngược chiều kim đồng hồ so với trục x.

σx = 100 MPaσy = 10 MPaτxy = −50 MPaθ = 20°
σθ = MPa
11.Độ võng của dầmTrung bình
P = 21 kNABδ1 m1 m

Một dầm công-xôn dài L ngàm tại A và chịu lực tập trung P tại vị trí cách A một đoạn a = 1 m. Tìm độ võng δP dưới tải.

P = 21 kNa = 1 mL = 2 mE = 11 GPa (gỗ xẻ)I = 120 × 10⁶ mm⁴
δP = mm
12.Độ võng của dầmKhó
w = 15 kN/mδL = 2,5 m

Một dầm đơn giản chịu tải phân bố đều w. Độ võng của nó không được vượt quá nhịp/360. Tìm mômen quán tính nhỏ nhất của mặt cắt Ireq thỏa mãn giới hạn này.

w = 15 kN/mL = 2,5 mE = 11 GPa (gỗ xẻ)
Ireq = × 10⁶ mm⁴
13.Mất ổn định cộtTrung bình
PL = 5 md = 40 mmmặt cắt ngang

Một cột dài L làm bằng thép được ngàm cả hai đầu. Dùng công thức Euler, tìm tải trọng oằn tới hạn Pcr của nó.

L = 5 mE = 200 GPa (thép)d = 40 mm
Pcr = kN
14.Mất ổn định cộtKhó
P = 140 kNL = 2,5 md = ?mặt cắt ngang

Một cột tròn đặc dài L làm bằng nhôm được hai đầu khớp. Nó phải chịu 140 kN với hệ số an toàn 2 chống oằn. Tìm đường kính nhỏ nhất d.

P = 140 kNn = 2L = 2,5 mE = 70 GPa (nhôm)
d = mm

3Dung dịch

1.Ứng suất và biến dạng dọc trục

Đáp số: δ = 4,421 mm

Định luật Hooke: trong giới hạn đàn hồi σ = E·ε. Kết hợp với σ = P/A và ε = δ/L ta được δ = PL/(AE).

Ứng suất

A = π·12²/4 = 113,1 mm²
σ = P/A = 25·1000/113,1 = 221 MPa

Biến dạng (định luật Hooke)

E for đồng thau = 100 GPa = 100000 MPa.

ε = σ/E = 221/100000 = 0,00221 = 2210 µε

Độ giãn dài

δ = ε·L = 0,00221·2000 mm = 4,421 mm

Đáp số

δ = 4,421 mm
2.Ứng suất và biến dạng dọc trục

Đáp số: δ = 2,18 mm

Cấu kiện chịu tải dọc trục: mỗi đoạn lăng trụ tuân theo δ = PL/(AE). Với các cấu kiện nối tiếp, độ giãn dài cộng lại.

Cùng một lực trong cả hai đoạn

Đầu tự do chịu lực P, nên mọi mặt cắt của thanh đều chịu cùng một lực dọc trục P. Chỉ có diện tích và vật liệu thay đổi.

A1 = π·40²/4 = 1257 mm², A2 = π·20²/4 = 314,2 mm²
σ1 = 47,75 MPa
σ2 = 191 MPa

Cộng độ giãn dài của các đoạn

δ1 = σ1L1/E1 = 47,75·2000/70000 = 1,364 mm
δ2 = σ2L2/E2 = 191·500/117000 = 0,8162 mm
δ = δ1 + δ2 = 2,18 mm

Đáp số

δ = 2,18 mm
3.Xoắn của trục

Đáp số: φ = 1,069 °

Xoắn thanh tròn: ứng suất tiếp tăng tuyến tính từ không ở tâm đến τmax = T·r/J ở bề mặt, với J = πd⁴/32 cho trục đặc và J = π(do⁴ − di⁴)/32 cho trục rỗng. Góc xoắn là φ = TL/(GJ) tính bằng radian. Công suất và mômen xoắn liên hệ với nhau qua P = T·ω.

Mômen quán tính độc cực của mặt cắt

J = π·40⁴/32 = 251327 mm⁴

Góc xoắn

φ = TL/(GJ) = 250·1000·1500/(80000·251327) = 0,01865 rad
φ = 0,01865·180/π = 1,069°

Đáp số

φ = 1,069°
4.Xoắn của trục

Đáp số: do = 18,49 mm

Xoắn thanh tròn: ứng suất tiếp tăng tuyến tính từ không ở tâm đến τmax = T·r/J ở bề mặt, với J = πd⁴/32 cho trục đặc và J = π(do⁴ − di⁴)/32 cho trục rỗng. Góc xoắn là φ = TL/(GJ) tính bằng radian. Công suất và mômen xoắn liên hệ với nhau qua P = T·ω.

Mômen xoắn

ω = 2πN/60 = 2π·1500/60 = 157,1 rad/s
T = P/ω = 10000/157,1 = 63,66 N·m

Đường kính ngoài từ ứng suất cho phép

T = 63,66 N·m = 63662 N·mm
1 − k⁴ = 1 − 0,75⁴ = 0,6836
do = ∛(16T/(π·τallow·(1 − k⁴))) = ∛(16·63662/(π·75·0,6836)) = 18,49 mm
di = 0,75·18,49 = 13,87 mm

Đáp số

do = 18,49 mm

Một trục đặc sẽ cần d = 16,29 mm; trục rỗng lớn hơn một chút nhưng nhẹ hơn nhiều.

5.Lực cắt và mômen uốn

Đáp số: Mmax = 85,31 kN·m

Phương pháp mặt cắt: cắt dầm tại vị trí cần tìm nội lực và giữ lại một phía. Lực cắt V cân bằng với các lực thẳng đứng ở phía đó, và mômen uốn M cân bằng với mômen của chúng quanh mặt cắt. Mô-men lớn nhất: vì dM/dx = V, mô-men uốn đạt cực trị tại nơi lực cắt đi qua không, hoặc tại một lực tập trung hoặc bên trong một tải phân bố.

Phản lực gối

Cân bằng của cả dầm.

ΣMA = 0: RB·4 = 65·1,5 + 65·3
RB = 292,5/4 = 73,13 kN
ΣFy = 0: RA = 130 − 73,13 = 56,88 kN

Mô-men dưới mỗi tải

Giữ phần bên trái của mỗi tải.

dưới P1: M = RA·1,5 = 56,88·1,5 = 85,31 kN·m
dưới P2: M = RB·1 = 73,13·1 = 73,13 kN·m

Giá trị lớn nhất

Mmax = 85,31 kN·m (dưới P1)

Đáp số

Mmax = 85,31 kN·m
6.Lực cắt và mômen uốn

Đáp số: F (x = 5 m)

Mômen uốn lớn nhất: M đổi độ dốc ở bất cứ chỗ nào lực cắt thay đổi, nên các đỉnh của nó nằm nơi lực cắt đi qua không: dưới một tải tập trung, bên trong một tải phân bố, hoặc trên một gối của phần công-xon. Tại ngàm của dầm công-xon, mômen lớn nhất ở chân tường. So sánh độ lớn của M tại những chỗ đó, dù là mômen làm võng hay làm vồng.

Phản lực gối

Lấy mômen quanh một gối tựa, rồi dùng cân bằng lực thẳng đứng.

R1 = 28,5 kN, R2 = 83,5 kN

Mômen uốn tại mỗi điểm đánh dấu

Cộng các mômen của mọi lực ở một phía của mặt cắt. Võng là dương, vồng là âm.

MA = 0, MB = −10, MC = 4,5, MD = 11, ME = 9,5, MF = −35 kN·m, MG = 0

Đáp số

Điểm đánh dấu F: MF = −35 kN·m
7.Trọng tâm và mômen quán tính mặt cắt

Đáp số: Ix = 5,012 × 10⁶ mm⁴

Diện tích ghép: chia mặt cắt thành các hình chữ nhật. Trọng tâm là trung bình có trọng số theo diện tích ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Mômen quán tính của mặt cắt đối với trục đi qua trọng tâm bằng tổng bh³/12 của từng phần và số hạng trục song song A·d², trong đó d là khoảng cách từ trọng tâm của phần đó đến trọng tâm chung. Ứng suất uốn là σ = M·y/I.

Chia thành hai hình chữ nhật

Đo mọi y từ mép dưới.

cánh: Af = 280·10 = 2800 mm², yf = 120 + 10/2 = 125 mm
bụng: Aw = 10·120 = 1200 mm², yw = 120/2 = 60 mm

Trọng tâm

ȳ = (Afyf + Awyw)/(Af + Aw) = (2800·125 + 1200·60)/4000 = 105,5 mm

Định lý trục song song

cánh: 280·10³/12 + 2800·(125 − 105,5)² = 1,088 × 10⁶ mm⁴
bụng: 10·120³/12 + 1200·(60 − 105,5)² = 3,924 × 10⁶ mm⁴
Ix = 1,088 × 10⁶ + 3,924 × 10⁶ = 5,012 × 10⁶ mm⁴ = 5,012 × 10⁶ mm⁴

Đáp số

Ix = 5,012 × 10⁶ mm⁴
8.Trọng tâm và mômen quán tính mặt cắt

Đáp số: Mallow = 3 kN·m

Diện tích ghép: chia mặt cắt thành các hình chữ nhật. Trọng tâm là trung bình có trọng số theo diện tích ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Mômen quán tính của mặt cắt đối với trục đi qua trọng tâm bằng tổng bh³/12 của từng phần và số hạng trục song song A·d², trong đó d là khoảng cách từ trọng tâm của phần đó đến trọng tâm chung. Ứng suất uốn là σ = M·y/I.

Trọng tâm

ȳ = (4800·135 + 1200·60)/6000 = 120 mm
cạnh trên: c = 150 − 120 = 30 mm

Mômen quán tính mặt cắt

I = 160·30³/12 + 4800·15² + 10·120³/12 + 1200·60² = 7,2 × 10⁶ mm⁴

Mô-men cho phép theo từng cạnh

Võng xuống: thớ trên chịu nén, thớ dưới chịu kéo.

cạnh trên: M = 100·7,2 × 10⁶/30 = 24 kN·m
cạnh dưới: M = 50·7,2 × 10⁶/120 = 3 kN·m

Giá trị quyết định

Mallow = min = 3 kN·m (cạnh dưới)

Đáp số

Mallow = 3 kN·m
9.Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suất

Đáp số: τmax = 32,02 MPa

Biến đổi ứng suất phẳng: trên một mặt xoay góc θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Vòng tròn Mohr cho thấy tất cả các mặt cùng lúc: tâm của nó ở C = (σₓ + σᵧ)/2 và bán kính là R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Các ứng suất chính là C ± R, và ứng suất tiếp lớn nhất trong mặt phẳng là R.

στxyCτmax​

Bán kính vòng tròn Mohr

τmax = R = √(((−50 − 0)/2)² + 20²) = 32,02 MPa

Đáp số

τmax = 32,02 MPa
10.Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suất

Đáp số: σθ = 57,33 MPa

Biến đổi ứng suất phẳng: trên một mặt xoay góc θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Vòng tròn Mohr cho thấy tất cả các mặt cùng lúc: tâm của nó ở C = (σₓ + σᵧ)/2 và bán kính là R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Các ứng suất chính là C ± R, và ứng suất tiếp lớn nhất trong mặt phẳng là R.

Phương trình biến đổi

σθ = 55 + 45·0,766 + −50·0,6428 = 57,33 MPa

Đáp số

σθ = 57,33 MPa
11.Độ võng của dầm

Đáp số: δP = 5,303 mm

Độ võng của dầm: độ võng có được bằng cách tích phân độ cong M/(EI) hai lần. Các trường hợp tiêu chuẩn đã được lập bảng, ví dụ PL³/(3EI) cho dầm công xôn chịu tải ở đầu tự do và 5wL⁴/(384EI) cho dầm đơn giản chịu tải phân bố đều toàn nhịp. Độ võng do các tải riêng rẽ cộng lại (xếp chồng).

Đơn vị nhất quán

Làm việc theo N và mm: P theo N, w theo N/mm (kN/m = N/mm), L theo mm, E theo N/mm² (GPa × 1000), I theo mm⁴.

P = 21000 N, a = 1000 mm, L = 2000 mm
EI = 1,32 × 10¹² N·mm²

Độ võng dưới tải

δP = Pa³/(3EI) = 21000·1000³/(3·1,32 × 10¹²) = 5,303 mm

Đáp số

δP = 5,303 mm
12.Độ võng của dầm

Đáp số: Ireq = 99,88 × 10⁶ mm⁴

Độ võng của dầm: độ võng có được bằng cách tích phân độ cong M/(EI) hai lần. Các trường hợp tiêu chuẩn đã được lập bảng, ví dụ PL³/(3EI) cho dầm công xôn chịu tải ở đầu tự do và 5wL⁴/(384EI) cho dầm đơn giản chịu tải phân bố đều toàn nhịp. Độ võng do các tải riêng rẽ cộng lại (xếp chồng).

Giới hạn độ võng

δallow = L/360 = 2500/360 = 6,944 mm

Mômen quán tính mặt cắt yêu cầu

I = 5wL⁴/(384·E·δallow) = 5·15·2500⁴/(384·11000·6,944) = 9,988 × 10⁷ mm⁴
Ireq = 99,88 × 10⁶ mm⁴

Đáp số

Ireq = 99,88 × 10⁶ mm⁴
13.Mất ổn định cột

Đáp số: Pcr = 39,69 kN

Mất ổn định Euler: một cột mảnh mất ổn định tại Pcr = π²EI/(KL)², trong đó KL là chiều dài tính toán: K = 1 cho khớp–khớp, 2 cho ngàm–tự do, 0,7 cho ngàm–khớp và 0,5 cho ngàm–ngàm. Cột oằn quanh trục có I nhỏ nhất. Công thức đúng với cột mảnh, có ứng suất tới hạn thấp hơn ứng suất chảy.

Mômen quán tính nhỏ nhất của mặt cắt

Mặt cắt tròn có cùng I đối với mọi trục.

I = πd⁴/64 = π·40⁴/64 = 125664 mm⁴

Chiều dài tính toán

KL = 0,5·5000 = 2500 mm

Tải trọng tới hạn

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·125664/2500² = 39688 N = 39,69 kN

Đáp số

Pcr = 39,69 kN
14.Mất ổn định cột

Đáp số: d = 84,76 mm

Mất ổn định Euler: một cột mảnh mất ổn định tại Pcr = π²EI/(KL)², trong đó KL là chiều dài tính toán: K = 1 cho khớp–khớp, 2 cho ngàm–tự do, 0,7 cho ngàm–khớp và 0,5 cho ngàm–ngàm. Cột oằn quanh trục có I nhỏ nhất. Công thức đúng với cột mảnh, có ứng suất tới hạn thấp hơn ứng suất chảy.

Tải trọng tới hạn yêu cầu

Pcr = n·P = 2·140000 = 280000 N
KL = 1·2500 = 2500 mm

Giải tìm đường kính

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·280000·2500²/(π³·70000))^(1/4) = 84,76 mm

Đáp số

d = 84,76 mm

Kiểm tra: độ mảnh KL/r là 118, nên cột là mảnh và công thức Euler áp dụng được.

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials