Sức bền vật liệu: gói ôn nước rút

Bảng công thức, các bước phương pháp chính cho từng chủ đề và 14 bài tập, kèm lời giải đầy đủ ở cuối.

Bài mớiQuay lại môn học

Trong cửa sổ in, hãy chọn “Lưu dưới dạng PDF” để giữ một bản trên thiết bị của bạn.

1Công thức và phương pháp

Ứng suất và biến dạng dọc trục

Ứng suất pháp
σ = F/A
Biến dạng
ε = ΔL/L
Định luật Hooke
σ = E·ε
Độ giãn dài
ΔL = FL/(EA)
Biến dạng nhiệt
εT = α·ΔT

Xoắn của trục

Ứng suất tiếp
τ = T·r/J
Trục đặc
J = πd⁴/32
Trục rỗng
J = π(D⁴ − d⁴)/32
Góc xoắn
φ = TL/(GJ)
Công suất
P = T·ω = 2πnT/60

Phương pháp

  1. Tìm mômen quán tính độc cực: J = πd⁴/32 cho trục đặc.
  2. Ứng suất tiếp ở bề mặt: τ = T·r/J, với r là bán kính ngoài.
  3. Góc xoắn: φ = TL/(GJ) theo radian.
  4. Nếu cho công suất, hãy tìm mômen xoắn trước bằng P = T·ω, ω = 2πn/60.

Lực cắt và mômen uốn

Lực cắt và mômen
V = ΣF ở một phía, M = ΣF·d ở một phía
Ứng suất uốn
σ = M·y/I
Hình chữ nhật
I = bh³/12
Mômen chống uốn của mặt cắt
W = I/ymax
Dầm đơn giản, tải phân bố đều
Mmax = wL²/8

Phương pháp

  1. Tìm phản lực gối từ cân bằng của cả dầm.
  2. Cắt dầm tại mặt cắt bạn cần và giữ lại một phía.
  3. Lực cắt: tổng các lực thẳng đứng ở phía đó. Mômen uốn: tổng mômen của chúng quanh mặt cắt.
  4. Để tìm mômen lớn nhất, hãy tìm nơi lực cắt bằng không.

Trọng tâm và mômen quán tính mặt cắt

Trọng tâm
ȳ = ΣAiyi/ΣAi
Hình chữ nhật
I = bh³/12
Định lý trục song song
I = Ic + A·d²
Mặt cắt ghép
I = Σ(Ic,i + Aidi²)

Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suất

Tâm
C = (σx + σy)/2
Bán kính
R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
Ứng suất chính
σ1,2 = C ± R
Phương chính
tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
Mặt phẳng nghiêng
σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ

Phương pháp

  1. Tính tâm của vòng tròn Mohr: C = (σx + σy)/2.
  2. Tính bán kính: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
  3. Các ứng suất chính là C ± R và ứng suất tiếp lớn nhất trong mặt phẳng là R.
  4. Các góc trên vòng tròn gấp đôi các góc trên phần tử: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Độ võng của dầm

Tải tập trung ở giữa nhịp
δ = PL³/(48EI)
Tải phân bố đều, dầm đơn giản
δ = 5wL⁴/(384EI)
Công xôn, tải ở đầu
δ = PL³/(3EI)
Công xôn, tải phân bố đều
δ = wL⁴/(8EI)
Nguyên lý xếp chồng
δ = δ1 + δ2

Mất ổn định cột

Tải Euler
Pcr = π²EI/(KL)²
Hệ số chiều dài tính toán
K = 1 khớp–khớp, 0,5 ngàm–ngàm, 0,7 ngàm–khớp, 2 ngàm–tự do
Ứng suất tới hạn
σcr = Pcr/A
Độ mảnh
λ = KL/r, r = √(I/A)

2Bài tập

1.Ứng suất và biến dạng dọc trụcTrung bình
Ø 25 mmĐồng3 mP = 75 kN

Tìm biến dạng dọc trục ε trong thanh đồng, tính bằng microstrain (µε = 10⁻⁶).

P = 75 kNd = 25 mmL = 3 mE = 117 GPa
ε = µε
2.Ứng suất và biến dạng dọc trụcKhó
Ø 40 mmĐồng thau1,5 mØ 20 mmThép0,5 mP = 35 kN

Thanh bậc được ngàm vào tường và chịu tải ở đầu tự do. Tìm tổng độ giãn dài δ.

P = 35 kNđoạn 1: Ø40 mm, 1,5 m, đồng thau (E = 100 GPa)đoạn 2: Ø20 mm, 0,5 m, thép (E = 200 GPa)
δ = mm
3.Xoắn của trụcTrung bình
T = 100 N·md = 30 mmL = 3 mφ = ?

Một trục đặc thép được ngàm vào tường và bị xoắn bởi mômen xoắn T ở đầu tự do. Tìm góc xoắn φ của đầu tự do, theo độ.

T = 100 N·md = 30 mmL = 3 mG = 80 GPa
φ = °
4.Xoắn của trụcKhó
Tdo​ = 50 mm, di​ = 40 mm

Một trục rỗng truyền 20 kW ở 1450 rpm. Tìm ứng suất tiếp lớn nhất τmax trong trục.

P = 20 kWN = 1450 rpmdo = 50 mmdi = 40 mm
τmax = MPa
5.Lực cắt và mômen uốnTrung bình
w = 3 kN/mABmặt cắt1,5 m2,5 m

Tìm lực cắt Vx tại mặt cắt x = 1,5 m tính từ gối A. Coi mômen làm dầm võng xuống là dương và lực cắt hướng lên trên mặt trái là dương.

L = 4 mw = 3 kN/m từ 0 đến 4 mx = 1,5 m
Vx = kN
6.Lực cắt và mômen uốnKhó
w = 8 kN/mP = 60 kNABmặt cắt2,5 m1,5 m

Tìm mômen uốn Mx tại mặt cắt x = 2,5 m tính từ gối A. Coi mômen làm dầm võng xuống là dương và lực cắt hướng lên trên mặt trái là dương.

L = 4 mP = 60 kN tại 2,5 mw = 8 kN/m từ 0 đến 4 mx = 2,5 m
Mx = kN·m
7.Trọng tâm và mômen quán tính mặt cắtTrung bình
200 mm200 mm140 mmØ30xIx​ = ?

Một tấm 200 mm × 200 mm có một lỗ tròn đường kính 30 mm trên đường tâm thẳng đứng, tâm lỗ cách đáy 140 mm. Tìm mômen quán tính diện tích Ix quanh trục nằm ngang đi qua trọng tâm.

b = 200 mmh = 200 mmd = 30 mmtâm lỗ: y = 140 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
8.Trọng tâm và mômen quán tính mặt cắtKhó
13016024300128xkích thước tính bằng mm

Một tiết diện chữ I hàn có cánh trên 130 × 24 mm, bụng cao 300 mm và dày 8 mm, và cánh dưới 160 × 12 mm (chiều rộng × chiều dày). Tìm mô-men quán tính Ix của nó đối với trục nằm ngang x qua trọng tâm.

cánh trên: 130 × 24 mmbụng: 8 × 300 mmcánh dưới: 160 × 12 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
9.Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suấtTrung bình
σx​ = 60σy​ = −60MPaτxy​ = ?

Một điểm có σₓ = 60 MPa và σᵧ = −60 MPa. Ứng suất cắt τxy (độ lớn) có thể lớn đến mức nào trước khi ứng suất chính lớn nhất đạt 95 MPa?

σx = 60 MPaσy = −60 MPaσ1 = 95 MPa
τxy = MPa
10.Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suấtKhó
σx​ = −50σy​ = −50τxy​ = −50MPa

Một điểm trong một tấm mỏng ở trạng thái ứng suất phẳng: σₓ = −50 MPa, σᵧ = −50 MPa và τₓᵧ = −50 MPa (σz = 0). Tìm ứng suất tương đương von Mises σvM.

σx = −50 MPaσy = −50 MPaτxy = −50 MPa
σvM = MPa
11.Độ võng của dầmTrung bình
w = 15 kN/mδL = 2,5 m

Một dầm đơn giản chịu tải phân bố đều w trên toàn nhịp. Tìm độ võng lớn nhất δmax, tại giữa nhịp.

w = 15 kN/mL = 2,5 mE = 200 GPa (thép)I = 8,5 × 10⁶ mm⁴
δmax = mm
12.Độ võng của dầmKhó
P = 50 kNAB1,5 m1,5 m

Một dầm công-xôn có gối chống ngàm tại A và tựa đơn (chống) tại B. Dầm chịu một lực tập trung P tại giữa nhịp. EI không đổi. Tìm phản lực RB tại gối chống.

L = 3 mP = 50 kN tại 1,5 m
RB = kN
13.Mất ổn định cộtTrung bình
PL = 4 md = 40 mmmặt cắt ngang

Một cột dài L làm bằng thép được ngàm ở chân và tự do ở đỉnh. Dùng công thức Euler, tìm tải trọng oằn tới hạn Pcr của nó.

L = 4 mE = 200 GPa (thép)d = 40 mm
Pcr = kN
14.Mất ổn định cộtKhó
P = 10 kNL = 1,5 md = ?mặt cắt ngang

Một cột tròn đặc dài L làm bằng thép được ngàm cả hai đầu. Nó phải chịu 10 kN với hệ số an toàn 3 chống oằn. Tìm đường kính nhỏ nhất d.

P = 10 kNn = 3L = 1,5 mE = 200 GPa (thép)
d = mm

3Dung dịch

1.Ứng suất và biến dạng dọc trục

Đáp số: ε = 1306 µε

Định luật Hooke: trong giới hạn đàn hồi σ = E·ε. Kết hợp với σ = P/A và ε = δ/L ta được δ = PL/(AE).

Ứng suất

A = π·25²/4 = 490,9 mm²
σ = P/A = 75·1000/490,9 = 152,8 MPa

Biến dạng (định luật Hooke)

E for đồng = 117 GPa = 117000 MPa.

ε = σ/E = 152,8/117000 = 0,001306 = 1306 µε

Đáp số

ε = 1306 µε
2.Ứng suất và biến dạng dọc trục

Đáp số: δ = 0,6963 mm

Cấu kiện chịu tải dọc trục: mỗi đoạn lăng trụ tuân theo δ = PL/(AE). Với các cấu kiện nối tiếp, độ giãn dài cộng lại.

Cùng một lực trong cả hai đoạn

Đầu tự do chịu lực P, nên mọi mặt cắt của thanh đều chịu cùng một lực dọc trục P. Chỉ có diện tích và vật liệu thay đổi.

A1 = π·40²/4 = 1257 mm², A2 = π·20²/4 = 314,2 mm²
σ1 = 27,85 MPa
σ2 = 111,4 MPa

Cộng độ giãn dài của các đoạn

δ1 = σ1L1/E1 = 27,85·1500/100000 = 0,4178 mm
δ2 = σ2L2/E2 = 111,4·500/200000 = 0,2785 mm
δ = δ1 + δ2 = 0,6963 mm

Đáp số

δ = 0,6963 mm
3.Xoắn của trục

Đáp số: φ = 2,702 °

Xoắn thanh tròn: ứng suất tiếp tăng tuyến tính từ không ở tâm đến τmax = T·r/J ở bề mặt, với J = πd⁴/32 cho trục đặc và J = π(do⁴ − di⁴)/32 cho trục rỗng. Góc xoắn là φ = TL/(GJ) tính bằng radian. Công suất và mômen xoắn liên hệ với nhau qua P = T·ω.

Mômen quán tính độc cực của mặt cắt

J = π·30⁴/32 = 79522 mm⁴

Góc xoắn

φ = TL/(GJ) = 100·1000·3000/(80000·79522) = 0,04716 rad
φ = 0,04716·180/π = 2,702°

Đáp số

φ = 2,702°
4.Xoắn của trục

Đáp số: τmax = 9,09 MPa

Xoắn thanh tròn: ứng suất tiếp tăng tuyến tính từ không ở tâm đến τmax = T·r/J ở bề mặt, với J = πd⁴/32 cho trục đặc và J = π(do⁴ − di⁴)/32 cho trục rỗng. Góc xoắn là φ = TL/(GJ) tính bằng radian. Công suất và mômen xoắn liên hệ với nhau qua P = T·ω.

Mômen xoắn

ω = 2πN/60 = 2π·1450/60 = 151,8 rad/s
T = P/ω = 20000/151,8 = 131,7 N·m

Mômen quán tính độc cực của mặt cắt

J = π(50⁴ − 40⁴)/32 = 362265 mm⁴

Ứng suất tiếp lớn nhất

τmax = T·(do/2)/J = 131714·25/362265 = 9,09 MPa

Đáp số

τmax = 9,09 MPa
5.Lực cắt và mômen uốn

Đáp số: Vx = 1,5 kN

Phương pháp mặt cắt: cắt dầm tại vị trí cần tìm nội lực và giữ lại một phía. Lực cắt V cân bằng với các lực thẳng đứng ở phía đó, và mômen uốn M cân bằng với mômen của chúng quanh mặt cắt.

Phản lực gối

Cân bằng của cả dầm.

Hợp lực của tải phân bố đều: W = w·ℓ = 3·4 = 12 kN, đặt tại x̄ = 2 m
ΣMA = 0: RB·4 = 3·4·2
RB = 24/4 = 6 kN
ΣFy = 0: RA = 12 − 6 = 6 kN
w = 3 kN/mABRA​ = 6RB​ = 6mặt cắt1,5 m2,5 m

Cắt tại x = 1,5 m và giữ phần bên trái

Chỉ các lực bên trái mặt cắt xuất hiện. Phần tải phân bố đều được thay bằng một lực đặt tại giữa phần đó.

V = RA − (mọi tải hướng xuống bên trái mặt cắt)
Vx = 6 − 3·1,5 = 1,5 kN

Đáp số

Vx = 1,5 kN
6.Lực cắt và mômen uốn

Đáp số: Mx = 71,25 kN·m

Phương pháp mặt cắt: cắt dầm tại vị trí cần tìm nội lực và giữ lại một phía. Lực cắt V cân bằng với các lực thẳng đứng ở phía đó, và mômen uốn M cân bằng với mômen của chúng quanh mặt cắt.

Phản lực gối

Cân bằng của cả dầm.

Hợp lực của tải phân bố đều: W = w·ℓ = 8·4 = 32 kN, đặt tại x̄ = 2 m
ΣMA = 0: RB·4 = 60·2,5 + 8·4·2
RB = 214/4 = 53,5 kN
ΣFy = 0: RA = 92 − 53,5 = 38,5 kN
w = 8 kN/mP = 60 kNABRA​ = 38,5RB​ = 53,5mặt cắt2,5 m1,5 m

Cắt tại x = 2,5 m và giữ phần bên trái

Chỉ các lực bên trái mặt cắt xuất hiện. Phần tải phân bố đều được thay bằng một lực đặt tại giữa phần đó.

M = RA·x − (mỗi tải bên trái mặt cắt × cánh tay đòn đến mặt cắt)
Mx = 38,5·2,5 − 8·2,5·1,25 = 71,25 kN·m

Đáp số

Mx = 71,25 kN·m
7.Trọng tâm và mômen quán tính mặt cắt

Đáp số: Ix = 132,1 × 10⁶ mm⁴

Tiết diện có lỗ: coi lỗ là một diện tích âm. Trọng tâm là ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), với A₁, y₁ cho tấm đầy đủ và A₂, y₂ cho lỗ. Với mômen quán tính diện tích quanh trục đi qua trọng tâm, dùng định lý trục song song cho từng phần rồi trừ lỗ: I = (Ic1 + A₁d₁²) − (Ic2 + A₂d₂²), trong đó d là khoảng cách từ trọng tâm riêng của mỗi phần đến trục đi qua ȳ. Hình chữ nhật có Ic = bh³/12 và hình tròn có Ic = πd⁴/64.

Trọng tâm

ȳ = (40000·100 − 706,9·140)/(40000 − 706,9) = 99,28 mm

Tấm đầy đủ quanh ȳ

200·200³/12 + 40000·0,7196² = 133,4 × 10⁶ mm⁴

Lỗ quanh ȳ

π·30⁴/64 + 706,9·40,72² = 1,212 × 10⁶ mm⁴

Trừ

Ix = 132,1 × 10⁶ mm⁴

Đáp số

Ix = 132,1 × 10⁶ mm⁴
8.Trọng tâm và mômen quán tính mặt cắt

Đáp số: Ix = 141,1 × 10⁶ mm⁴

Diện tích ghép: chia mặt cắt thành các hình chữ nhật. Trọng tâm là trung bình có trọng số theo diện tích ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Mômen quán tính của mặt cắt đối với trục đi qua trọng tâm bằng tổng bh³/12 của từng phần và số hạng trục song song A·d², trong đó d là khoảng cách từ trọng tâm của phần đó đến trọng tâm chung. Ứng suất uốn là σ = M·y/I.

Chia thành ba hình chữ nhật

Đo mọi y từ mép dưới.

cánh trên: A = 3120 mm², y = 324 mm
bụng: A = 2400 mm², y = 162 mm
cánh dưới: A = 1920 mm², y = 6 mm

Trọng tâm

ȳ = (3120·324 + 2400·162 + 1920·6)/7440 = 189,7 mm

Định lý trục song song

cánh trên: 130·24³/12 + 3120·134,3² = 5,644 × 10⁷ mm⁴
bụng: 8·300³/12 + 2400·27,68² = 1,984 × 10⁷ mm⁴
cánh dưới: 160·12³/12 + 1920·183,7² = 6,48 × 10⁷ mm⁴
Ix = 5,644 × 10⁷ + 1,984 × 10⁷ + 6,48 × 10⁷
Ix = 1,411 × 10⁸ mm⁴ = 141,1 × 10⁶ mm⁴

Đáp số

Ix = 141,1 × 10⁶ mm⁴
9.Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suất

Đáp số: τxy = 73,65 MPa

Biến đổi ứng suất phẳng: trên một mặt xoay góc θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Vòng tròn Mohr cho thấy tất cả các mặt cùng lúc: tâm của nó ở C = (σₓ + σᵧ)/2 và bán kính là R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Các ứng suất chính là C ± R, và ứng suất tiếp lớn nhất trong mặt phẳng là R.

Bán kính cần thiết

C = (60 + (−60))/2 = 0 MPa
R = σ1 − C = 95 − 0 = 95 MPa
στxyCσ1​σ2​

Ứng suất tiếp

τxy = √(R² − ((σₓ − σᵧ)/2)²) = √(95² − 60²) = 73,65 MPa

Đáp số

τxy = 73,65 MPa
10.Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suất

Đáp số: σvM = 100 MPa

Biến đổi ứng suất phẳng: trên một mặt xoay góc θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Vòng tròn Mohr cho thấy tất cả các mặt cùng lúc: tâm của nó ở C = (σₓ + σᵧ)/2 và bán kính là R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Các ứng suất chính là C ± R, và ứng suất tiếp lớn nhất trong mặt phẳng là R. Tiêu chuẩn chảy: von Mises dự đoán vật liệu chảy khi σvM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²) đạt σY; Tresca khi ứng suất cắt lớn nhất tuyệt đối đạt σY/2.

στxyCσ1​σ2​

Ứng suất chính

C = −50 MPa, R = 50 MPa
σ1 = 0 MPa, σ2 = −100 MPa, σ3 = 0

Von Mises

σvM = √(0² − 0·(−100) + (−100)²) = 100 MPa

Đáp số

σvM = 100 MPa
11.Độ võng của dầm

Đáp số: δmax = 4,488 mm

Độ võng của dầm: độ võng có được bằng cách tích phân độ cong M/(EI) hai lần. Các trường hợp tiêu chuẩn đã được lập bảng, ví dụ PL³/(3EI) cho dầm công xôn chịu tải ở đầu tự do và 5wL⁴/(384EI) cho dầm đơn giản chịu tải phân bố đều toàn nhịp. Độ võng do các tải riêng rẽ cộng lại (xếp chồng).

Đơn vị nhất quán

Làm việc theo N và mm: P theo N, w theo N/mm (kN/m = N/mm), L theo mm, E theo N/mm² (GPa × 1000), I theo mm⁴.

w = 15 N/mm, L = 2500 mm
EI = 1,7 × 10¹² N·mm²

Độ võng

δmax = 5wL⁴/(384EI) = 5·15·2500⁴/(384·1,7 × 10¹²) = 4,488 mm

Đáp số

δmax = 4,488 mm
12.Độ võng của dầm

Đáp số: RB = 15,63 kN

Độ võng của dầm: độ võng có được bằng cách tích phân độ cong M/(EI) hai lần. Các trường hợp tiêu chuẩn đã được lập bảng, ví dụ PL³/(3EI) cho dầm công xôn chịu tải ở đầu tự do và 5wL⁴/(384EI) cho dầm đơn giản chịu tải phân bố đều toàn nhịp. Độ võng do các tải riêng rẽ cộng lại (xếp chồng). Với dầm siêu tĩnh, hãy bỏ một liên kết thừa và đòi hỏi độ võng tại đó bằng không (điều kiện tương thích).

Bỏ gối chống đi

Khi không có gối chống, dầm là một dầm công-xôn. Đầu tự do của nó sẽ võng dưới tải.

δload = P(L/2)²(3L − L/2)/(6EI) = 5PL³/(48EI)

Điều kiện tương thích tại gối chống

Chỉ riêng lực chống RB nâng đầu tự do lên một đoạn RBL³/(3EI). Gối chống giữ B có độ võng bằng không, nên hai độ võng phải triệt tiêu nhau. EI được khử.

RB·L³/(3EI) = 5PL³/(48EI) → RB = 5P/16 = 5·50/16 = 15,63 kN

Đáp số

RB = 15,63 kN
13.Mất ổn định cột

Đáp số: Pcr = 3,876 kN

Mất ổn định Euler: một cột mảnh mất ổn định tại Pcr = π²EI/(KL)², trong đó KL là chiều dài tính toán: K = 1 cho khớp–khớp, 2 cho ngàm–tự do, 0,7 cho ngàm–khớp và 0,5 cho ngàm–ngàm. Cột oằn quanh trục có I nhỏ nhất. Công thức đúng với cột mảnh, có ứng suất tới hạn thấp hơn ứng suất chảy.

Mômen quán tính nhỏ nhất của mặt cắt

Mặt cắt tròn có cùng I đối với mọi trục.

I = πd⁴/64 = π·40⁴/64 = 125664 mm⁴

Chiều dài tính toán

KL = 2·4000 = 8000 mm

Tải trọng tới hạn

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·125664/8000² = 3876 N = 3,876 kN

Đáp số

Pcr = 3,876 kN
14.Mất ổn định cột

Đáp số: d = 20,43 mm

Mất ổn định Euler: một cột mảnh mất ổn định tại Pcr = π²EI/(KL)², trong đó KL là chiều dài tính toán: K = 1 cho khớp–khớp, 2 cho ngàm–tự do, 0,7 cho ngàm–khớp và 0,5 cho ngàm–ngàm. Cột oằn quanh trục có I nhỏ nhất. Công thức đúng với cột mảnh, có ứng suất tới hạn thấp hơn ứng suất chảy.

Tải trọng tới hạn yêu cầu

Pcr = n·P = 3·10000 = 30000 N
KL = 0,5·1500 = 750 mm

Giải tìm đường kính

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·30000·750²/(π³·200000))^(1/4) = 20,43 mm

Đáp số

d = 20,43 mm

Kiểm tra: độ mảnh KL/r là 146,9, nên cột là mảnh và công thức Euler áp dụng được.

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials