Sức bền vật liệu: gói ôn nước rút

Bảng công thức, các bước phương pháp chính cho từng chủ đề và 14 bài tập, kèm lời giải đầy đủ ở cuối.

Bài mới Quay lại môn học

Trong cửa sổ in, hãy chọn “Lưu dưới dạng PDF” để giữ một bản trên thiết bị của bạn.

1Công thức và phương pháp

Ứng suất và biến dạng dọc trục

Ứng suất pháp: σ = F/A
Biến dạng: ε = ΔL/L
Định luật Hooke: σ = E·ε
Độ giãn dài: ΔL = FL/(EA)
Biến dạng nhiệt: ε_T = α·ΔT

Xoắn của trục

Ứng suất tiếp: τ = T·r/J
Trục đặc: J = πd⁴/32
Trục rỗng: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Góc xoắn: φ = TL/(GJ)
Công suất: P = T·ω = 2πnT/60

Phương pháp

Tìm mômen quán tính độc cực: J = πd⁴/32 cho trục đặc.
Ứng suất tiếp ở bề mặt: τ = T·r/J, với r là bán kính ngoài.
Góc xoắn: φ = TL/(GJ) theo radian.
Nếu cho công suất, hãy tìm mômen xoắn trước bằng P = T·ω, ω = 2πn/60.

Lực cắt và mômen uốn

Lực cắt và mômen: V = ΣF ở một phía, M = ΣF·d ở một phía
Ứng suất uốn: σ = M·y/I
Hình chữ nhật: I = bh³/12
Mômen chống uốn của mặt cắt: W = I/y_max
Dầm đơn giản, tải phân bố đều: M_max = wL²/8

Phương pháp

Tìm phản lực gối từ cân bằng của cả dầm.
Cắt dầm tại mặt cắt bạn cần và giữ lại một phía.
Lực cắt: tổng các lực thẳng đứng ở phía đó. Mômen uốn: tổng mômen của chúng quanh mặt cắt.
Để tìm mômen lớn nhất, hãy tìm nơi lực cắt bằng không.

Trọng tâm và mômen quán tính mặt cắt

Trọng tâm: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Hình chữ nhật: I = bh³/12
Định lý trục song song: I = I_c + A·d²
Mặt cắt ghép: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suất

Tâm: C = (σ_x + σ_y)/2
Bán kính: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Ứng suất chính: σ_1,2 = C ± R
Phương chính: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Mặt phẳng nghiêng: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Phương pháp

Tính tâm của vòng tròn Mohr: C = (σx + σy)/2.
Tính bán kính: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Các ứng suất chính là C ± R và ứng suất tiếp lớn nhất trong mặt phẳng là R.
Các góc trên vòng tròn gấp đôi các góc trên phần tử: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Độ võng của dầm

Tải tập trung ở giữa nhịp: δ = PL³/(48EI)
Tải phân bố đều, dầm đơn giản: δ = 5wL⁴/(384EI)
Công xôn, tải ở đầu: δ = PL³/(3EI)
Công xôn, tải phân bố đều: δ = wL⁴/(8EI)
Nguyên lý xếp chồng: δ = δ₁ + δ₂

Mất ổn định cột

Tải Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Hệ số chiều dài tính toán: K = 1 khớp–khớp, 0,5 ngàm–ngàm, 0,7 ngàm–khớp, 2 ngàm–tự do
Ứng suất tới hạn: σ_cr = P_cr/A
Độ mảnh: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Bài tập

1.Ứng suất và biến dạng dọc trụcTrung bình

Tìm biến dạng dọc trục ε trong thanh nhôm, tính bằng microstrain (µε = 10⁻⁶).

P = 10 kNd = 16 mmL = 2 mE = 70 GPa

ε = µε

2.Ứng suất và biến dạng dọc trụcKhó

Thanh bậc được ngàm vào tường và chịu tải ở đầu tự do. Tìm ứng suất pháp lớn nhất σ_max trong thanh.

P = 25 kNđoạn 1: Ø35 mm, 0,5 m, đồng (E = 117 GPa)đoạn 2: Ø20 mm, 0,5 m, nhôm (E = 70 GPa)

σ_max = MPa

3.Xoắn của trụcTrung bình

Một trục đặc thép được ngàm vào tường và bị xoắn bởi mômen xoắn T ở đầu tự do. Tìm góc xoắn φ của đầu tự do, theo độ.

T = 200 N·md = 20 mmL = 1,2 mG = 80 GPa

φ = °

4.Xoắn của trụcKhó

Một trục đặc đồng thau đường kính 60 mm được ngàm tại A. Một mô-men xoắn 1000 N·m tác dụng tại B, cách A 0,8 m, và một mô-men xoắn 100 N·m ngược chiều tác dụng tại đầu tự do C, cách thêm 1 m. Tìm độ lớn của góc xoắn φ_C của đầu C, theo độ.

d = 60 mmT_B = 1000 N·mT_C = 100 N·mAB = 0,8 mBC = 1 mG = 39 GPa

φ_C = °

5.Lực cắt và mômen uốnTrung bình

Dầm đặt trên gối cố định tại A và gối con lăn tại B, và đoạn công-xôn nhô ra khỏi B một đoạn 1 m tới đầu tự do C. Dầm chịu một lực tập trung P₁ giữa hai gối và một lực tập trung P₂ tại C. Tìm mô-men uốn M_x dưới tải P₁. Dùng quy ước mô-men làm võng xuống là dương và lực cắt hướng lên trên mặt cắt bên trái là dương.

L = 6 mP₁ = 65 kN tại 2,5 mP₂ = 10 kN tại 6 mcác gối tại x = 0 và x = 5 m

M_x = kN·m

6.Lực cắt và mômen uốnKhó

Tìm mômen uốn M_x tại mặt cắt x = 1 m tính từ gối A. Coi mômen làm dầm võng xuống là dương và lực cắt hướng lên trên mặt trái là dương.

L = 8 mP = 50 kN tại 1 mw = 3 kN/m từ 0 đến 8 mx = 1 m

M_x = kN·m

7.Trọng tâm và mômen quán tính mặt cắtTrung bình

Tìm mômen quán tính I_x của mặt cắt chữ T đối với trục ngang x đi qua trọng tâm.

b_f = 180 mmt_f = 15 mmt_w = 18 mmh_w = 180 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Trọng tâm và mômen quán tính mặt cắtKhó

Một tấm 120 mm × 200 mm có một lỗ khoét hình chữ nhật rộng 40 mm và cao 50 mm, đặt giữa đường tâm thẳng đứng với tâm cách đáy 60 mm. Tìm mômen quán tính diện tích I_x quanh trục nằm ngang đi qua trọng tâm.

b = 120 mmh = 200 mmlỗ khoét: 40 × 50 mmtâm lỗ: y = 60 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

9.Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suấtTrung bình

Một điểm trong chi tiết chịu tải có σₓ = 20 MPa, σᵧ = −70 MPa và τₓᵧ = −40 MPa (kéo là dương). Tìm góc θ_p từ trục x đến phương của ứng suất chính lớn nhất, trong khoảng −90° đến 90°.

σ_x = 20 MPaσ_y = −70 MPaτ_xy = −40 MPa

θ_p = °

10.Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suấtKhó

Một điểm trong một tấm mỏng ở trạng thái ứng suất phẳng: σₓ = −40 MPa, σᵧ = 20 MPa và τₓᵧ = 40 MPa (σ_z = 0). Tìm ứng suất tương đương von Mises σ_vM.

σ_x = −40 MPaσ_y = 20 MPaτ_xy = 40 MPa

σ_vM = MPa

11.Độ võng của dầmTrung bình

Một dầm đơn giản chịu tải phân bố đều w trên toàn nhịp. Tìm độ võng lớn nhất δ_max, tại giữa nhịp.

w = 4 kN/mL = 8 mE = 200 GPa (thép)I = 84 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

12.Độ võng của dầmKhó

Một dầm đơn giản chịu tải phân bố đều w. Độ võng của nó không được vượt quá nhịp/360. Tìm mômen quán tính nhỏ nhất của mặt cắt I_req thỏa mãn giới hạn này.

w = 15 kN/mL = 8 mE = 200 GPa (thép)

I_req = × 10⁶ mm⁴

13.Mất ổn định cộtTrung bình

Một cột dài L làm bằng nhôm được ngàm cả hai đầu. Dùng công thức Euler, tìm tải trọng oằn tới hạn P_cr của nó.

L = 1,5 mE = 70 GPa (nhôm)d = 20 mm

P_cr = kN

14.Mất ổn định cộtKhó

Một cột tròn đặc dài L làm bằng thép được hai đầu khớp. Nó phải chịu 90 kN với hệ số an toàn 3 chống oằn. Tìm đường kính nhỏ nhất d.

P = 90 kNn = 3L = 1,5 mE = 200 GPa (thép)

d = mm

3Dung dịch

1.Ứng suất và biến dạng dọc trục

Đáp số: ε = 710,5 µε

Định luật Hooke: trong giới hạn đàn hồi σ = E·ε. Kết hợp với σ = P/A và ε = δ/L ta được δ = PL/(AE).

Ứng suất

A = π·16²/4 = 201,1 mm²

σ = P/A = 10·1000/201,1 = 49,74 MPa

Biến dạng (định luật Hooke)

E for nhôm = 70 GPa = 70000 MPa.

ε = σ/E = 49,74/70000 = 0,0007105 = 710,5 µε

Đáp số

ε = 710,5 µε

2.Ứng suất và biến dạng dọc trục

Đáp số: σ_max = 79,58 MPa

Cấu kiện chịu tải dọc trục: mỗi đoạn lăng trụ tuân theo δ = PL/(AE). Với các cấu kiện nối tiếp, độ giãn dài cộng lại.

Cùng một lực trong cả hai đoạn

Đầu tự do chịu lực P, nên mọi mặt cắt của thanh đều chịu cùng một lực dọc trục P. Chỉ có diện tích và vật liệu thay đổi.

A₁ = π·35²/4 = 962,1 mm², A₂ = π·20²/4 = 314,2 mm²

σ₁ = 25,98 MPa

σ₂ = 79,58 MPa

Ứng suất lớn nhất

Đoạn mảnh hơn có diện tích nhỏ hơn, nên chịu ứng suất lớn hơn.

σ_max = 79,58 MPa

Đáp số

σ_max = 79,58 MPa

3.Xoắn của trục

Đáp số: φ = 10,94 °

Xoắn thanh tròn: ứng suất tiếp tăng tuyến tính từ không ở tâm đến τ_max = T·r/J ở bề mặt, với J = πd⁴/32 cho trục đặc và J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 cho trục rỗng. Góc xoắn là φ = TL/(GJ) tính bằng radian. Công suất và mômen xoắn liên hệ với nhau qua P = T·ω.

Mômen quán tính độc cực của mặt cắt

J = π·20⁴/32 = 15708 mm⁴

Góc xoắn

φ = TL/(GJ) = 200·1000·1200/(80000·15708) = 0,191 rad

φ = 0,191·180/π = 10,94°

Đáp số

φ = 10,94°

4.Xoắn của trục

Đáp số: φ_C = 0,7159 °

Các mô-men xoắn nội lực

Chiều của T_C được lấy là dương.

T_BC = T_C = 100 N·m

T_AB = T_C − T_B = 100 − 1000 = −900 N·m

Góc xoắn của từng đoạn

J = π·60⁴/32 = 1,272 × 10⁶ mm⁴

G = 39 GPa = 39000 MPa

φ_AB = −900000·800/(39000·1,272 × 10⁶) = −0,01451 rad

φ_BC = 100000·1000/(39000·1,272 × 10⁶) = 0,002015 rad

Góc xoắn của đầu C

φ_C = −0,01451 + 0,002015 = −0,01249 rad → |φ_C| = 0,7159°

Đáp số

φ_C = 0,7159°

5.Lực cắt và mômen uốn

Đáp số: M_x = 76,25 kN·m

Phương pháp mặt cắt: cắt dầm tại vị trí cần tìm nội lực và giữ lại một phía. Lực cắt V cân bằng với các lực thẳng đứng ở phía đó, và mômen uốn M cân bằng với mômen của chúng quanh mặt cắt.

Phản lực gối

Cân bằng của toàn bộ dầm. Tải ở đoạn công-xôn cũng gây mô-men đối với A.

ΣM_A = 0: R_B·5 = 65·2,5 + 10·6

R_B = 222,5/5 = 44,5 kN

ΣF_y = 0: R_A = 75 − 44,5 = 30,5 kN

Cắt dưới P₁ và giữ phần bên trái

M_x = R_A·2,5 = 30,5·2,5 = 76,25 kN·m

Đáp số

M_x = 76,25 kN·m

6.Lực cắt và mômen uốn

Đáp số: M_x = 54,25 kN·m

Phản lực gối

Cân bằng của cả dầm.

Hợp lực của tải phân bố đều: W = w·ℓ = 3·8 = 24 kN, đặt tại x̄ = 4 m

ΣM_A = 0: R_B·8 = 50·1 + 3·8·4

R_B = 146/8 = 18,25 kN

ΣF_y = 0: R_A = 74 − 18,25 = 55,75 kN

Cắt tại x = 1 m và giữ phần bên trái

Chỉ các lực bên trái mặt cắt xuất hiện. Phần tải phân bố đều được thay bằng một lực đặt tại giữa phần đó.

M = R_A·x − (mỗi tải bên trái mặt cắt × cánh tay đòn đến mặt cắt)

M_x = 55,75·1 − 3·1·0,5 = 54,25 kN·m

Đáp số

M_x = 54,25 kN·m

7.Trọng tâm và mômen quán tính mặt cắt

Đáp số: I_x = 22,8 × 10⁶ mm⁴

Diện tích ghép: chia mặt cắt thành các hình chữ nhật. Trọng tâm là trung bình có trọng số theo diện tích ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Mômen quán tính của mặt cắt đối với trục đi qua trọng tâm bằng tổng bh³/12 của từng phần và số hạng trục song song A·d², trong đó d là khoảng cách từ trọng tâm của phần đó đến trọng tâm chung. Ứng suất uốn là σ = M·y/I.

Chia thành hai hình chữ nhật

Đo mọi y từ mép dưới.

cánh: A_f = 180·15 = 2700 mm², y_f = 180 + 15/2 = 187,5 mm

bụng: A_w = 18·180 = 3240 mm², y_w = 180/2 = 90 mm

Trọng tâm

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (2700·187,5 + 3240·90)/5940 = 134,3 mm

Định lý trục song song

cánh: 180·15³/12 + 2700·(187,5 − 134,3)² = 7,687 × 10⁶ mm⁴

bụng: 18·180³/12 + 3240·(90 − 134,3)² = 1,511 × 10⁷ mm⁴

I_x = 7,687 × 10⁶ + 1,511 × 10⁷ = 2,28 × 10⁷ mm⁴ = 22,8 × 10⁶ mm⁴

Đáp số

I_x = 22,8 × 10⁶ mm⁴

8.Trọng tâm và mômen quán tính mặt cắt

Đáp số: I_x = 76,09 × 10⁶ mm⁴

Tiết diện có lỗ: coi lỗ là một diện tích âm. Trọng tâm là ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), với A₁, y₁ cho tấm đầy đủ và A₂, y₂ cho lỗ. Với mômen quán tính diện tích quanh trục đi qua trọng tâm, dùng định lý trục song song cho từng phần rồi trừ lỗ: I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²), trong đó d là khoảng cách từ trọng tâm riêng của mỗi phần đến trục đi qua ȳ. Hình chữ nhật có I_c = bh³/12 và hình tròn có I_c = πd⁴/64.

Trọng tâm

ȳ = (24000·100 − 2000·60)/(24000 − 2000) = 103,6 mm

Tấm đầy đủ quanh ȳ

120·200³/12 + 24000·−3,636² = 80,32 × 10⁶ mm⁴

Lỗ quanh ȳ

40·50³/12 + 2000·−43,64² = 4,225 × 10⁶ mm⁴

Trừ

I_x = 76,09 × 10⁶ mm⁴

Đáp số

I_x = 76,09 × 10⁶ mm⁴

9.Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suất

Đáp số: θ_p = −20,82 °

Góc trên vòng tròn

Điểm x nằm ở góc 2θp so với trục σ trên vòng tròn Mohr; góc phần tư suy ra từ dấu của σₓ − σᵧ và τₓᵧ.

2θ_p = atan2(2·−40, 20 − −70) = −41,63°

Góc trên phần tử

θ_p = −20,82°

Đáp số

θ_p = −20,82°

Góc dương là ngược chiều kim đồng hồ.

10.Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suất

Đáp số: σ_vM = 87,18 MPa

Biến đổi ứng suất phẳng: trên một mặt xoay góc θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Vòng tròn Mohr cho thấy tất cả các mặt cùng lúc: tâm của nó ở C = (σₓ + σᵧ)/2 và bán kính là R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Các ứng suất chính là C ± R, và ứng suất tiếp lớn nhất trong mặt phẳng là R. Tiêu chuẩn chảy: von Mises dự đoán vật liệu chảy khi σ_vM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²) đạt σ_Y; Tresca khi ứng suất cắt lớn nhất tuyệt đối đạt σ_Y/2.

Ứng suất chính

C = −10 MPa, R = 50 MPa

σ₁ = 40 MPa, σ₂ = −60 MPa, σ₃ = 0

Von Mises

σ_vM = √(40² − 40·(−60) + (−60)²) = 87,18 MPa

Đáp số

σ_vM = 87,18 MPa

11.Độ võng của dầm

Đáp số: δ_max = 12,7 mm

Độ võng của dầm: độ võng có được bằng cách tích phân độ cong M/(EI) hai lần. Các trường hợp tiêu chuẩn đã được lập bảng, ví dụ PL³/(3EI) cho dầm công xôn chịu tải ở đầu tự do và 5wL⁴/(384EI) cho dầm đơn giản chịu tải phân bố đều toàn nhịp. Độ võng do các tải riêng rẽ cộng lại (xếp chồng).

Đơn vị nhất quán

Làm việc theo N và mm: P theo N, w theo N/mm (kN/m = N/mm), L theo mm, E theo N/mm² (GPa × 1000), I theo mm⁴.

w = 4 N/mm, L = 8000 mm

EI = 1,68 × 10¹³ N·mm²

Độ võng

δ_max = 5wL⁴/(384EI) = 5·4·8000⁴/(384·1,68 × 10¹³) = 12,7 mm

Đáp số

δ_max = 12,7 mm

12.Độ võng của dầm

Đáp số: I_req = 180 × 10⁶ mm⁴

Giới hạn độ võng

δ_allow = L/360 = 8000/360 = 22,22 mm

Mômen quán tính mặt cắt yêu cầu

I = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·15·8000⁴/(384·200000·22,22) = 1,8 × 10⁸ mm⁴

I_req = 180 × 10⁶ mm⁴

Đáp số

I_req = 180 × 10⁶ mm⁴

13.Mất ổn định cột

Đáp số: P_cr = 9,646 kN

Mất ổn định Euler: một cột mảnh mất ổn định tại P_cr = π²EI/(KL)², trong đó KL là chiều dài tính toán: K = 1 cho khớp–khớp, 2 cho ngàm–tự do, 0,7 cho ngàm–khớp và 0,5 cho ngàm–ngàm. Cột oằn quanh trục có I nhỏ nhất. Công thức đúng với cột mảnh, có ứng suất tới hạn thấp hơn ứng suất chảy.

Mômen quán tính nhỏ nhất của mặt cắt

Mặt cắt tròn có cùng I đối với mọi trục.

I = πd⁴/64 = π·20⁴/64 = 7854 mm⁴

Chiều dài tính toán

KL = 0,5·1500 = 750 mm

Tải trọng tới hạn

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·7854/750² = 9646 N = 9,646 kN

Đáp số

P_cr = 9,646 kN

14.Mất ổn định cột

Đáp số: d = 50,04 mm

Tải trọng tới hạn yêu cầu

P_cr = n·P = 3·90000 = 270000 N

KL = 1·1500 = 1500 mm

Giải tìm đường kính

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·270000·1500²/(π³·200000))^(1/4) = 50,04 mm

Đáp số

d = 50,04 mm

Kiểm tra: độ mảnh KL/r là 119,9, nên cột là mảnh và công thức Euler áp dụng được.

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials

Sức bền vật liệu: gói ôn nước rút

1Công thức và phương pháp

Ứng suất và biến dạng dọc trục

Xoắn của trục

Phương pháp

Lực cắt và mômen uốn

Phương pháp

Trọng tâm và mômen quán tính mặt cắt

Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suất

Phương pháp

Độ võng của dầm

Mất ổn định cột

2Bài tập

3Dung dịch

Ứng suất

Biến dạng (định luật Hooke)

Đáp số

Cùng một lực trong cả hai đoạn

Ứng suất lớn nhất

Đáp số

Mômen quán tính độc cực của mặt cắt

Góc xoắn

Đáp số

Các mô-men xoắn nội lực

Góc xoắn của từng đoạn

Góc xoắn của đầu C

Đáp số

Phản lực gối

Cắt dưới P1 và giữ phần bên trái

Đáp số

Phản lực gối

Cắt tại x = 1 m và giữ phần bên trái

Đáp số

Chia thành hai hình chữ nhật

Trọng tâm

Định lý trục song song

Đáp số

Trọng tâm

Tấm đầy đủ quanh ȳ

Lỗ quanh ȳ

Trừ

Đáp số

Góc trên vòng tròn

Góc trên phần tử

Đáp số

Ứng suất chính

Von Mises

Đáp số

Đơn vị nhất quán

Độ võng

Đáp số

Giới hạn độ võng

Mômen quán tính mặt cắt yêu cầu

Đáp số

Mômen quán tính nhỏ nhất của mặt cắt

Chiều dài tính toán

Tải trọng tới hạn

Đáp số

Tải trọng tới hạn yêu cầu

Giải tìm đường kính

Đáp số

Cắt dưới P₁ và giữ phần bên trái