Sức bền vật liệu: gói ôn nước rút

Bảng công thức, các bước phương pháp chính cho từng chủ đề và 14 bài tập, kèm lời giải đầy đủ ở cuối.

Bài mới Quay lại môn học

Trong cửa sổ in, hãy chọn “Lưu dưới dạng PDF” để giữ một bản trên thiết bị của bạn.

1Công thức và phương pháp

Ứng suất và biến dạng dọc trục

Ứng suất pháp: σ = F/A
Biến dạng: ε = ΔL/L
Định luật Hooke: σ = E·ε
Độ giãn dài: ΔL = FL/(EA)
Biến dạng nhiệt: ε_T = α·ΔT

Xoắn của trục

Ứng suất tiếp: τ = T·r/J
Trục đặc: J = πd⁴/32
Trục rỗng: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Góc xoắn: φ = TL/(GJ)
Công suất: P = T·ω = 2πnT/60

Phương pháp

Tìm mômen quán tính độc cực: J = πd⁴/32 cho trục đặc.
Ứng suất tiếp ở bề mặt: τ = T·r/J, với r là bán kính ngoài.
Góc xoắn: φ = TL/(GJ) theo radian.
Nếu cho công suất, hãy tìm mômen xoắn trước bằng P = T·ω, ω = 2πn/60.

Lực cắt và mômen uốn

Lực cắt và mômen: V = ΣF ở một phía, M = ΣF·d ở một phía
Ứng suất uốn: σ = M·y/I
Hình chữ nhật: I = bh³/12
Mômen chống uốn của mặt cắt: W = I/y_max
Dầm đơn giản, tải phân bố đều: M_max = wL²/8

Phương pháp

Tìm phản lực gối từ cân bằng của cả dầm.
Cắt dầm tại mặt cắt bạn cần và giữ lại một phía.
Lực cắt: tổng các lực thẳng đứng ở phía đó. Mômen uốn: tổng mômen của chúng quanh mặt cắt.
Để tìm mômen lớn nhất, hãy tìm nơi lực cắt bằng không.

Trọng tâm và mômen quán tính mặt cắt

Trọng tâm: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Hình chữ nhật: I = bh³/12
Định lý trục song song: I = I_c + A·d²
Mặt cắt ghép: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suất

Tâm: C = (σ_x + σ_y)/2
Bán kính: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Ứng suất chính: σ_1,2 = C ± R
Phương chính: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Mặt phẳng nghiêng: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Phương pháp

Tính tâm của vòng tròn Mohr: C = (σx + σy)/2.
Tính bán kính: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Các ứng suất chính là C ± R và ứng suất tiếp lớn nhất trong mặt phẳng là R.
Các góc trên vòng tròn gấp đôi các góc trên phần tử: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Độ võng của dầm

Tải tập trung ở giữa nhịp: δ = PL³/(48EI)
Tải phân bố đều, dầm đơn giản: δ = 5wL⁴/(384EI)
Công xôn, tải ở đầu: δ = PL³/(3EI)
Công xôn, tải phân bố đều: δ = wL⁴/(8EI)
Nguyên lý xếp chồng: δ = δ₁ + δ₂

Mất ổn định cột

Tải Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Hệ số chiều dài tính toán: K = 1 khớp–khớp, 0,5 ngàm–ngàm, 0,7 ngàm–khớp, 2 ngàm–tự do
Ứng suất tới hạn: σ_cr = P_cr/A
Độ mảnh: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Bài tập

1.Ứng suất và biến dạng dọc trụcTrung bình

Tìm biến dạng dọc trục ε trong thanh thép, tính bằng microstrain (µε = 10⁻⁶).

P = 15 kNd = 16 mmL = 1,5 mE = 200 GPa

ε = µε

2.Ứng suất và biến dạng dọc trụcKhó

Thanh bậc được ngàm vào tường và chịu tải ở đầu tự do. Tìm tổng độ giãn dài δ.

P = 120 kNđoạn 1: Ø25 mm, 1,5 m, thép (E = 200 GPa)đoạn 2: Ø16 mm, 2 m, đồng thau (E = 100 GPa)

δ = mm

3.Xoắn của trụcTrung bình

Một trục đặc đồng thau được ngàm vào tường và bị xoắn bởi mômen xoắn T ở đầu tự do. Tìm góc xoắn φ của đầu tự do, theo độ.

T = 400 N·md = 25 mmL = 0,5 mG = 39 GPa

φ = °

4.Xoắn của trụcKhó

Một trục đặc thép đường kính 40 mm được ngàm tại A. Một mô-men xoắn 400 N·m tác dụng tại B, cách A 1 m, và một mô-men xoắn 500 N·m cùng chiều tác dụng tại đầu tự do C, cách thêm 1 m. Tìm ứng suất cắt lớn nhất τ_max trong trục.

d = 40 mmT_B = 400 N·mT_C = 500 N·mAB = 1 mBC = 1 m

τ_max = MPa

5.Lực cắt và mômen uốnTrung bình

Dầm công-xôn ngàm tại A. Dầm chịu tải phân bố đều w trên toàn bộ chiều dài và một lực tập trung P tại vị trí cách A 2,5 m. Tìm mô-men uốn M_A tại ngàm A. Dùng quy ước mô-men làm võng xuống là dương và lực cắt hướng lên trên mặt cắt bên trái là dương.

L = 4 mP = 80 kN tại 2,5 mw = 2 kN/m từ 0 đến 4 m

M_A = kN·m

6.Lực cắt và mômen uốnKhó

Các điểm đánh dấu từ A đến G chia dầm thành sáu phần bằng nhau. Tại điểm nào mômen uốn có độ lớn lớn nhất, dù võng hay vồng? Nhấp vào nó trong sơ đồ.

60 kN @ 12 m10 kN @ 2 m10 kN/m, 0–8 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 2 m)
3C (x = 4 m)
4D (x = 6 m)
5E (x = 8 m)
6F (x = 10 m)
7G (x = 12 m)

7.Trọng tâm và mômen quán tính mặt cắtTrung bình

Một tiết diện chữ U đặt với mặt hở hướng lên: một bản đáy rộng 280 mm với hai cánh đứng, tổng chiều cao 170 mm. Đáy và các cánh đều dày 20 mm. Tìm độ cao ȳ của trọng tâm so với cạnh đáy.

b = 280 mmh = 170 mmt = 20 mm

ȳ = mm

8.Trọng tâm và mômen quán tính mặt cắtKhó

Một tấm 100 mm × 150 mm có một lỗ khoét hình chữ nhật rộng 50 mm và cao 40 mm, đặt giữa đường tâm thẳng đứng với tâm cách đáy 52,5 mm. Tìm mômen quán tính diện tích I_x quanh trục nằm ngang đi qua trọng tâm.

b = 100 mmh = 150 mmlỗ khoét: 50 × 40 mmtâm lỗ: y = 52,5 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

9.Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suấtTrung bình

Một điểm có σₓ = −20 MPa, σᵧ = −20 MPa và τₓᵧ = −20 MPa (kéo là dương). Phân tố được xoay 15° ngược chiều kim đồng hồ. Tìm ứng suất pháp σ_y′ trên các mặt của phân tố đã xoay vuông góc với trục y′ sau khi xoay.

σ_x = −20 MPaσ_y = −20 MPaτ_xy = −20 MPaθ = 15°

σ_y′ = MPa

10.Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suấtKhó

Một bể hình trụ thành mỏng có đường kính trong 1200 mm và chiều dày thành 6 mm chứa khí ở áp suất dư 0,8 MPa. Nó được làm từ tấm thép hàn theo một đường hàn xoắn ốc nghiêng 55° so với trục của hình trụ. Tìm ứng suất pháp σ_n tác dụng vuông góc với đường hàn.

D = 1200 mmt = 6 mmp = 0,8 MPaα = 55°

σ_n = MPa

11.Độ võng của dầmTrung bình

Một dầm công-xôn dài L ngàm tại A và chịu lực tập trung P tại vị trí cách A một đoạn a = 3 m. Tìm độ võng δ_B tại đầu tự do B.

P = 6 kNa = 3 mL = 4 mE = 200 GPa (thép)I = 8,5 × 10⁶ mm⁴

δ_B = mm

12.Độ võng của dầmKhó

Một dầm đơn giản chịu tải phân bố đều w. Độ võng của nó không được vượt quá nhịp/360. Tìm mômen quán tính nhỏ nhất của mặt cắt I_req thỏa mãn giới hạn này.

w = 5 kN/mL = 4 mE = 200 GPa (thép)

I_req = × 10⁶ mm⁴

13.Mất ổn định cộtTrung bình

Một cột dài L làm bằng thép được ngàm ở chân và khớp ở đỉnh. Dùng công thức Euler, tìm tải trọng oằn tới hạn P_cr của nó.

L = 2 mE = 200 GPa (thép)b × h = 20 × 100 mm

P_cr = kN

14.Mất ổn định cộtKhó

Một cột dài L làm bằng thép được ngàm ở chân và tự do ở đỉnh. Tìm độ mảnh của nó và ứng suất oằn tới hạn σ_cr theo công thức Euler.

L = 5 mE = 200 GPa (thép)d = 60 mm

σ_cr = MPa

3Dung dịch

1.Ứng suất và biến dạng dọc trục

Đáp số: ε = 373 µε

Định luật Hooke: trong giới hạn đàn hồi σ = E·ε. Kết hợp với σ = P/A và ε = δ/L ta được δ = PL/(AE).

Ứng suất

A = π·16²/4 = 201,1 mm²

σ = P/A = 15·1000/201,1 = 74,6 MPa

Biến dạng (định luật Hooke)

E for thép = 200 GPa = 200000 MPa.

ε = σ/E = 74,6/200000 = 0,000373 = 373 µε

Đáp số

ε = 373 µε

2.Ứng suất và biến dạng dọc trục

Đáp số: δ = 13,77 mm

Cấu kiện chịu tải dọc trục: mỗi đoạn lăng trụ tuân theo δ = PL/(AE). Với các cấu kiện nối tiếp, độ giãn dài cộng lại.

Cùng một lực trong cả hai đoạn

Đầu tự do chịu lực P, nên mọi mặt cắt của thanh đều chịu cùng một lực dọc trục P. Chỉ có diện tích và vật liệu thay đổi.

A₁ = π·25²/4 = 490,9 mm², A₂ = π·16²/4 = 201,1 mm²

σ₁ = 244,5 MPa

σ₂ = 596,8 MPa

Cộng độ giãn dài của các đoạn

δ₁ = σ₁L₁/E₁ = 244,5·1500/200000 = 1,833 mm

δ₂ = σ₂L₂/E₂ = 596,8·2000/100000 = 11,94 mm

δ = δ₁ + δ₂ = 13,77 mm

Đáp số

δ = 13,77 mm

3.Xoắn của trục

Đáp số: φ = 7,662 °

Xoắn thanh tròn: ứng suất tiếp tăng tuyến tính từ không ở tâm đến τ_max = T·r/J ở bề mặt, với J = πd⁴/32 cho trục đặc và J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 cho trục rỗng. Góc xoắn là φ = TL/(GJ) tính bằng radian. Công suất và mômen xoắn liên hệ với nhau qua P = T·ω.

Mômen quán tính độc cực của mặt cắt

J = π·25⁴/32 = 38350 mm⁴

Góc xoắn

φ = TL/(GJ) = 400·1000·500/(39000·38350) = 0,1337 rad

φ = 0,1337·180/π = 7,662°

Đáp số

φ = 7,662°

4.Xoắn của trục

Đáp số: τ_max = 71,62 MPa

Các mô-men xoắn nội lực

Chiều của T_C được lấy là dương.

T_BC = T_C = 500 N·m

T_AB = T_C + T_B = 500 + 400 = 900 N·m

Ứng suất tiếp lớn nhất

Đoạn có mô-men xoắn nội lực lớn nhất có ứng suất lớn nhất (cùng đường kính).

|T|_max = 900 N·m

τ_max = 16·900000/(π·40³) = 71,62 MPa

Đáp số

τ_max = 71,62 MPa

5.Lực cắt và mômen uốn

Đáp số: M_A = −216 kN·m

Phương pháp mặt cắt: cắt dầm tại vị trí cần tìm nội lực và giữ lại một phía. Lực cắt V cân bằng với các lực thẳng đứng ở phía đó, và mômen uốn M cân bằng với mômen của chúng quanh mặt cắt.

Giữ phần đầu tự do

P: −80·2,5 = −200 kN·m

w: −2·4²/2 = −16 kN·m

M_A = −200 − 16 = −216 kN·m

Đáp số

M_A = −216 kN·m

Dấu âm nghĩa là uốn võng lên: thớ trên chịu kéo.

6.Lực cắt và mômen uốn

Đáp số: E (x = 8 m)

Mômen uốn lớn nhất: M đổi độ dốc ở bất cứ chỗ nào lực cắt thay đổi, nên các đỉnh của nó nằm nơi lực cắt đi qua không: dưới một tải tập trung, bên trong một tải phân bố, hoặc trên một gối của phần công-xon. Tại ngàm của dầm công-xon, mômen lớn nhất ở chân tường. So sánh độ lớn của M tại những chỗ đó, dù là mômen làm võng hay làm vồng.

Phản lực gối

Lấy mômen quanh một gối tựa, rồi dùng cân bằng lực thẳng đứng.

R₁ = 17,5 kN, R₂ = 132,5 kN

Mômen uốn tại mỗi điểm đánh dấu

Cộng các mômen của mọi lực ở một phía của mặt cắt. Võng là dương, vồng là âm.

M_A = 0, M_B = 15, M_C = −30, M_D = −115, M_E = −240 kN·m, M_F = −120, M_G = 0

Đáp số

Điểm đánh dấu E: M_E = −240 kN·m

7.Trọng tâm và mômen quán tính mặt cắt

Đáp số: ȳ = 53,97 mm

Diện tích ghép: chia mặt cắt thành các hình chữ nhật. Trọng tâm là trung bình có trọng số theo diện tích ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Mômen quán tính của mặt cắt đối với trục đi qua trọng tâm bằng tổng bh³/12 của từng phần và số hạng trục song song A·d², trong đó d là khoảng cách từ trọng tâm của phần đó đến trọng tâm chung. Ứng suất uốn là σ = M·y/I.

Chia thành các hình chữ nhật

Lấy đáy với toàn bộ chiều rộng và hai cánh phía trên nó (cao h − t), để không có phần nào bị tính hai lần.

nền: A₁ = 280·20 = 5600 mm², y₁ = 10 mm

hai cánh: A₂ = 2·20·150 = 6000 mm², y₂ = 20 + 150/2 = 95 mm

Trọng tâm

ȳ = (5600·10 + 6000·95)/11600 = 53,97 mm

Đáp số

ȳ = 53,97 mm

8.Trọng tâm và mômen quán tính mặt cắt

Đáp số: I_x = 26,69 × 10⁶ mm⁴

Tiết diện có lỗ: coi lỗ là một diện tích âm. Trọng tâm là ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), với A₁, y₁ cho tấm đầy đủ và A₂, y₂ cho lỗ. Với mômen quán tính diện tích quanh trục đi qua trọng tâm, dùng định lý trục song song cho từng phần rồi trừ lỗ: I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²), trong đó d là khoảng cách từ trọng tâm riêng của mỗi phần đến trục đi qua ȳ. Hình chữ nhật có I_c = bh³/12 và hình tròn có I_c = πd⁴/64.

Trọng tâm

ȳ = (15000·75 − 2000·52,5)/(15000 − 2000) = 78,46 mm

Tấm đầy đủ quanh ȳ

100·150³/12 + 15000·−3,462² = 28,3 × 10⁶ mm⁴

Lỗ quanh ȳ

50·40³/12 + 2000·−25,96² = 1,615 × 10⁶ mm⁴

Trừ

I_x = 26,69 × 10⁶ mm⁴

Đáp số

I_x = 26,69 × 10⁶ mm⁴

9.Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suất

Đáp số: σ_y′ = −10 MPa

Biến đổi ứng suất phẳng: trên một mặt xoay góc θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Vòng tròn Mohr cho thấy tất cả các mặt cùng lúc: tâm của nó ở C = (σₓ + σᵧ)/2 và bán kính là R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Các ứng suất chính là C ± R, và ứng suất tiếp lớn nhất trong mặt phẳng là R.

Phương trình biến đổi cho mặt y′

σ_y′ = −20 − 0·0,866 − (−20)·0,5 = −10 MPa

Kiểm tra

Tổng các ứng suất pháp không thay đổi khi xoay.

σ_x′ = −30 MPa, σ_x′ + σ_y′ = −40 = σ_x + σ_y

Đáp số

σ_y′ = −10 MPa

10.Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suất

Đáp số: σ_n = 53,16 MPa

Các ứng suất trong thành

r = 1200/2 = 600 mm

σ_h = pr/t = 0,8·600/6 = 80 MPa

σ_a = pr/(2t) = 40 MPa

Biến đổi sang đường hàn

Lấy x dọc theo trục (σ_a) và y theo chiều vòng (σ_h). Pháp tuyến của đường hàn tạo góc 90° − α với trục.

σ_n = 40·sin²55° + 80·cos²55° = 53,16 MPa

Đáp số

σ_n = 53,16 MPa

11.Độ võng của dầm

Đáp số: δ_B = 47,65 mm

Độ võng của dầm: độ võng có được bằng cách tích phân độ cong M/(EI) hai lần. Các trường hợp tiêu chuẩn đã được lập bảng, ví dụ PL³/(3EI) cho dầm công xôn chịu tải ở đầu tự do và 5wL⁴/(384EI) cho dầm đơn giản chịu tải phân bố đều toàn nhịp. Độ võng do các tải riêng rẽ cộng lại (xếp chồng).

Đơn vị nhất quán

Làm việc theo N và mm: P theo N, w theo N/mm (kN/m = N/mm), L theo mm, E theo N/mm² (GPa × 1000), I theo mm⁴.

P = 6000 N, a = 3000 mm, L = 4000 mm

EI = 1,7 × 10¹² N·mm²

Độ võng ở đầu tự do

Độ võng tại tải cộng góc xoay tại tải nhân với chiều dài còn lại.

δ_P = Pa³/(3EI) = 31,76 mm

θ_P = Pa²/(2EI) = 0,01588 rad

δ_B = δ_P + θ_P·(L − a) = Pa²(3L − a)/(6EI) = 47,65 mm

Đáp số

δ_B = 47,65 mm

12.Độ võng của dầm

Đáp số: I_req = 7,5 × 10⁶ mm⁴

Giới hạn độ võng

δ_allow = L/360 = 4000/360 = 11,11 mm

Mômen quán tính mặt cắt yêu cầu

I = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·5·4000⁴/(384·200000·11,11) = 7,5 × 10⁶ mm⁴

I_req = 7,5 × 10⁶ mm⁴

Đáp số

I_req = 7,5 × 10⁶ mm⁴

13.Mất ổn định cột

Đáp số: P_cr = 67,14 kN

Mất ổn định Euler: một cột mảnh mất ổn định tại P_cr = π²EI/(KL)², trong đó KL là chiều dài tính toán: K = 1 cho khớp–khớp, 2 cho ngàm–tự do, 0,7 cho ngàm–khớp và 0,5 cho ngàm–ngàm. Cột oằn quanh trục có I nhỏ nhất. Công thức đúng với cột mảnh, có ứng suất tới hạn thấp hơn ứng suất chảy.

Mômen quán tính nhỏ nhất của mặt cắt

Hình chữ nhật oằn quanh trục yếu, dùng kích thước nhỏ hơn lập phương.

I_min = h·b³/12 = 100·20³/12 = 66667 mm⁴

Chiều dài tính toán

KL = 0,7·2000 = 1400 mm

Tải trọng tới hạn

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·66667/1400² = 67140 N = 67,14 kN

Đáp số

P_cr = 67,14 kN

14.Mất ổn định cột

Đáp số: σ_cr = 4,441 MPa

Mômen quán tính nhỏ nhất của mặt cắt

Mặt cắt tròn có cùng I đối với mọi trục.

I = πd⁴/64 = π·60⁴/64 = 636173 mm⁴

Bán kính quán tính và độ mảnh

A = 2827 mm²

r = √(I/A) = √(636173/2827) = 15 mm

KL = 2·5000 = 10000 mm

KL/r = 10000/15 = 666,7

Ứng suất tới hạn

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/666,7² = 4,441 MPa

Đáp số

σ_cr = 4,441 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials