Sức bền vật liệu: gói ôn nước rút

Bảng công thức, các bước phương pháp chính cho từng chủ đề và 14 bài tập, kèm lời giải đầy đủ ở cuối.

Bài mới Quay lại môn học

Trong cửa sổ in, hãy chọn “Lưu dưới dạng PDF” để giữ một bản trên thiết bị của bạn.

1Công thức và phương pháp

Ứng suất và biến dạng dọc trục

Ứng suất pháp: σ = F/A
Biến dạng: ε = ΔL/L
Định luật Hooke: σ = E·ε
Độ giãn dài: ΔL = FL/(EA)
Biến dạng nhiệt: ε_T = α·ΔT

Xoắn của trục

Ứng suất tiếp: τ = T·r/J
Trục đặc: J = πd⁴/32
Trục rỗng: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Góc xoắn: φ = TL/(GJ)
Công suất: P = T·ω = 2πnT/60

Phương pháp

Tìm mômen quán tính độc cực: J = πd⁴/32 cho trục đặc.
Ứng suất tiếp ở bề mặt: τ = T·r/J, với r là bán kính ngoài.
Góc xoắn: φ = TL/(GJ) theo radian.
Nếu cho công suất, hãy tìm mômen xoắn trước bằng P = T·ω, ω = 2πn/60.

Lực cắt và mômen uốn

Lực cắt và mômen: V = ΣF ở một phía, M = ΣF·d ở một phía
Ứng suất uốn: σ = M·y/I
Hình chữ nhật: I = bh³/12
Mômen chống uốn của mặt cắt: W = I/y_max
Dầm đơn giản, tải phân bố đều: M_max = wL²/8

Phương pháp

Tìm phản lực gối từ cân bằng của cả dầm.
Cắt dầm tại mặt cắt bạn cần và giữ lại một phía.
Lực cắt: tổng các lực thẳng đứng ở phía đó. Mômen uốn: tổng mômen của chúng quanh mặt cắt.
Để tìm mômen lớn nhất, hãy tìm nơi lực cắt bằng không.

Trọng tâm và mômen quán tính mặt cắt

Trọng tâm: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Hình chữ nhật: I = bh³/12
Định lý trục song song: I = I_c + A·d²
Mặt cắt ghép: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suất

Tâm: C = (σ_x + σ_y)/2
Bán kính: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Ứng suất chính: σ_1,2 = C ± R
Phương chính: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Mặt phẳng nghiêng: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Phương pháp

Tính tâm của vòng tròn Mohr: C = (σx + σy)/2.
Tính bán kính: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Các ứng suất chính là C ± R và ứng suất tiếp lớn nhất trong mặt phẳng là R.
Các góc trên vòng tròn gấp đôi các góc trên phần tử: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Độ võng của dầm

Tải tập trung ở giữa nhịp: δ = PL³/(48EI)
Tải phân bố đều, dầm đơn giản: δ = 5wL⁴/(384EI)
Công xôn, tải ở đầu: δ = PL³/(3EI)
Công xôn, tải phân bố đều: δ = wL⁴/(8EI)
Nguyên lý xếp chồng: δ = δ₁ + δ₂

Mất ổn định cột

Tải Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Hệ số chiều dài tính toán: K = 1 khớp–khớp, 0,5 ngàm–ngàm, 0,7 ngàm–khớp, 2 ngàm–tự do
Ứng suất tới hạn: σ_cr = P_cr/A
Độ mảnh: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Bài tập

1.Ứng suất và biến dạng dọc trụcTrung bình

Một thanh gồm một đoạn thép (đường kính 25 mm, chiều dài 600 mm, E = 200 GPa) nối đầu với đầu với một đoạn làm bằng nhôm (đường kính 50 mm, chiều dài 300 mm, E = 70 GPa). Nó được ngàm một đầu và bị kéo ở đầu kia. Tìm tải dọc trục P làm nó giãn tổng cộng 0,5 mm.

đoạn 1: thép, Ø25 mm, 600 mm, E = 200 GPađoạn 2: nhôm, Ø50 mm, 300 mm, E = 70 GPaδ = 0,5 mm

P = kN

2.Ứng suất và biến dạng dọc trụcKhó

Thanh bậc được ngàm vào tường và chịu tải ở đầu tự do. Tìm ứng suất pháp lớn nhất σ_max trong thanh.

P = 75 kNđoạn 1: Ø35 mm, 1 m, thép (E = 200 GPa)đoạn 2: Ø20 mm, 0,5 m, nhôm (E = 70 GPa)

σ_max = MPa

3.Xoắn của trụcTrung bình

Một trục đặc đồng thau được ngàm vào tường và bị xoắn bởi mômen xoắn T ở đầu tự do. Tìm góc xoắn φ của đầu tự do, theo độ.

T = 250 N·md = 25 mmL = 2 mG = 39 GPa

φ = °

4.Xoắn của trụcKhó

Một trục đặc thép đường kính 30 mm được ngàm vào các tường cứng ở cả hai đầu A và B. Một mô-men xoắn 500 N·m đặt tại C, cách A 1,5 m và cách B 2,5 m. Tìm ứng suất cắt lớn nhất τ_max trong trục.

d = 30 mmT₀ = 500 N·ma = 1,5 mb = 2,5 m

τ_max = MPa

5.Lực cắt và mômen uốnTrung bình

Các điểm đánh dấu từ A đến G chia dầm thành sáu phần bằng nhau. Tại điểm nào mômen uốn có độ lớn lớn nhất, dù võng hay vồng? Nhấp vào nó trong sơ đồ.

35 kN @ 6 m15 kN @ 4 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 2 m)
3C (x = 4 m)
4D (x = 6 m)
5E (x = 8 m)
6F (x = 10 m)
7G (x = 12 m)

6.Lực cắt và mômen uốnKhó

Dầm đơn giản chịu tải phân bố đều w trên toàn bộ nhịp và một lực tập trung P. Tìm mô-men uốn lớn nhất M_max trong dầm.

L = 8 mP = 40 kN tại 5 mw = 8 kN/m từ 0 đến 8 m

M_max = kN·m

7.Trọng tâm và mômen quán tính mặt cắtTrung bình

Tìm mômen quán tính I_x của mặt cắt chữ T đối với trục ngang x đi qua trọng tâm.

b_f = 240 mmt_f = 25 mmt_w = 20 mmh_w = 220 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Trọng tâm và mômen quán tính mặt cắtKhó

Mặt cắt chữ T được dùng làm dầm với cánh ở trên và chịu mômen uốn làm võng xuống 25 kN·m. Tìm độ lớn ứng suất uốn σ_trên ở mép trên.

b_f = 180 mmt_f = 10 mmt_w = 10 mmh_w = 260 mmM = 25 kN·m

σ_trên = MPa

9.Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suấtTrung bình

Một điểm trong một tấm mỏng ở trạng thái ứng suất phẳng: σₓ = −20 MPa, σᵧ = −80 MPa và τₓᵧ = 30 MPa, với σ_z = 0. Tìm ứng suất cắt lớn nhất tuyệt đối τ_abs tại điểm đó (xét mọi mặt trong không gian ba chiều).

σ_x = −20 MPaσ_y = −80 MPaτ_xy = 30 MPaσ_z = 0

τ_abs = MPa

10.Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suấtKhó

Một điểm trong chi tiết chịu tải có σₓ = 50 MPa, σᵧ = 80 MPa và τₓᵧ = −10 MPa (kéo là dương). Tìm ứng suất pháp σ_θ trên một mặt có pháp tuyến xoay 50° ngược chiều kim đồng hồ so với trục x.

σ_x = 50 MPaσ_y = 80 MPaτ_xy = −10 MPaθ = 50°

σ_θ = MPa

11.Độ võng của dầmTrung bình

Một dầm công xôn chịu tải phân bố đều w trên toàn chiều dài. Tìm độ võng δ tại đầu tự do.

w = 20 kN/mL = 1,5 mE = 11 GPa (gỗ xẻ)I = 84 × 10⁶ mm⁴

δ = mm

12.Độ võng của dầmKhó

Một dầm công-xôn có gối chống ngàm tại A và tựa đơn (chống) tại B. Dầm chịu một lực tập trung P tại giữa nhịp. EI không đổi. Tìm độ lớn của mô-men uốn M_A tại đầu ngàm.

L = 4 mP = 55 kN tại 2 m

M_A = kN·m

13.Mất ổn định cộtTrung bình

Một cột dài L làm bằng thép được ngàm ở chân và khớp ở đỉnh. Dùng công thức Euler, tìm tải trọng oằn tới hạn P_cr của nó.

L = 1 mE = 200 GPa (thép)d = 25 mm

P_cr = kN

14.Mất ổn định cộtKhó

Một cột dài L làm bằng nhôm được hai đầu khớp. Tìm độ mảnh của nó và ứng suất oằn tới hạn σ_cr theo công thức Euler.

L = 2,5 mE = 70 GPa (nhôm)d = 80 mm

σ_cr = MPa

3Dung dịch

1.Ứng suất và biến dạng dọc trục

Đáp số: P = 60,28 kN

Hai vật liệu: khi nối tiếp (cái này sau cái kia) mỗi đoạn chịu cùng một lực và các độ giãn dài cộng lại: δ = P·Σ L/(E·A). Khi song song (cạnh nhau giữa các tấm cứng) cả hai phần co lại cùng một lượng, nên biến dạng của chúng bằng nhau: phần cứng hơn nhận phần tải lớn hơn, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, và σ_i = E_i·ε. Một thanh bị giữ giữa hai vách cứng với tải đặt tại chỗ nối là siêu tĩnh: hai đoạn chia tải theo tỉ lệ độ cứng k = EA/L của chúng.

Diện tích

A₁ = 490,9 mm², A₂ = 1963 mm²

Các độ mềm

L₁/(E₁A₁) = 600/(200000·490,9) = 6,112 × 10⁻⁶ mm/N

L₂/(E₂A₂) = 300/(70000·1963) = 2,183 × 10⁻⁶ mm/N

Tải

P = 0,5/8,294 × 10⁻⁶ = 60283 N = 60,28 kN

Đáp số

P = 60,28 kN

2.Ứng suất và biến dạng dọc trục

Đáp số: σ_max = 238,7 MPa

Cấu kiện chịu tải dọc trục: mỗi đoạn lăng trụ tuân theo δ = PL/(AE). Với các cấu kiện nối tiếp, độ giãn dài cộng lại.

Cùng một lực trong cả hai đoạn

Đầu tự do chịu lực P, nên mọi mặt cắt của thanh đều chịu cùng một lực dọc trục P. Chỉ có diện tích và vật liệu thay đổi.

A₁ = π·35²/4 = 962,1 mm², A₂ = π·20²/4 = 314,2 mm²

σ₁ = 77,95 MPa

σ₂ = 238,7 MPa

Ứng suất lớn nhất

Đoạn mảnh hơn có diện tích nhỏ hơn, nên chịu ứng suất lớn hơn.

σ_max = 238,7 MPa

Đáp số

σ_max = 238,7 MPa

3.Xoắn của trục

Đáp số: φ = 19,15 °

Mômen quán tính độc cực của mặt cắt

J = π·25⁴/32 = 38350 mm⁴

Góc xoắn

φ = TL/(GJ) = 250·1000·2000/(39000·38350) = 0,3343 rad

φ = 0,3343·180/π = 19,15°

Đáp số

φ = 19,15°

4.Xoắn của trục

Đáp số: τ_max = 58,95 MPa

Xoắn thanh tròn: ứng suất tiếp tăng tuyến tính từ không ở tâm đến τ_max = T·r/J ở bề mặt, với J = πd⁴/32 cho trục đặc và J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 cho trục rỗng. Góc xoắn là φ = TL/(GJ) tính bằng radian. Công suất và mômen xoắn liên hệ với nhau qua P = T·ω. Khi cả hai đầu bị ngàm, tĩnh học chỉ cho T_A + T_B = T₀; phương trình thứ hai là điều kiện tương thích (góc xoắn của hai phần bằng nhau tại tiết diện chịu tải).

Cân bằng và tương thích

T_A + T_B = 500

T_A·a = T_B·b

T_A = 500·2,5/4 = 312,5 N·m

T_B = 500·1,5/4 = 187,5 N·m

Ứng suất tiếp lớn nhất

Mô-men xoắn lớn hơn trong hai mô-men quyết định (cùng đường kính).

τ_max = 16·312500/(π·30³) = 58,95 MPa

Đáp số

τ_max = 58,95 MPa

5.Lực cắt và mômen uốn

Đáp số: D (x = 6 m)

Mômen uốn lớn nhất: M đổi độ dốc ở bất cứ chỗ nào lực cắt thay đổi, nên các đỉnh của nó nằm nơi lực cắt đi qua không: dưới một tải tập trung, bên trong một tải phân bố, hoặc trên một gối của phần công-xon. Tại ngàm của dầm công-xon, mômen lớn nhất ở chân tường. So sánh độ lớn của M tại những chỗ đó, dù là mômen làm võng hay làm vồng.

Phản lực gối

Lấy mômen quanh một gối tựa, rồi dùng cân bằng lực thẳng đứng.

R₁ = 27,5 kN, R₂ = 22,5 kN

Mômen uốn tại mỗi điểm đánh dấu

Cộng các mômen của mọi lực ở một phía của mặt cắt. Võng là dương, vồng là âm.

M_A = 0, M_B = 55, M_C = 110, M_D = 135 kN·m, M_E = 90, M_F = 45, M_G = 0

Đáp số

Điểm đánh dấu D: M_D = 135 kN·m

6.Lực cắt và mômen uốn

Đáp số: M_max = 135 kN·m

Phương pháp mặt cắt: cắt dầm tại vị trí cần tìm nội lực và giữ lại một phía. Lực cắt V cân bằng với các lực thẳng đứng ở phía đó, và mômen uốn M cân bằng với mômen của chúng quanh mặt cắt. Mô-men lớn nhất: vì dM/dx = V, mô-men uốn đạt cực trị tại nơi lực cắt đi qua không, hoặc tại một lực tập trung hoặc bên trong một tải phân bố.

Phản lực gối

Cân bằng của cả dầm.

Hợp lực của tải phân bố đều: W = w·ℓ = 8·8 = 64 kN, đặt tại x̄ = 4 m

ΣM_A = 0: R_B·8 = 40·5 + 8·8·4

R_B = 456/8 = 57 kN

ΣF_y = 0: R_A = 104 − 57 = 47 kN

V = 0 ở đâu?

V(5⁻) = R_A − w·5 = 7 kN

V(5⁺) = 7 − 40 = −33 kN

Lực cắt đổi dấu tại tải, nên giá trị lớn nhất nằm dưới tải.

Mô-men lớn nhất

M_max = R_A·5 − w·5²/2 = 47·5 − 8·5²/2 = 135 kN·m

Đáp số

M_max = 135 kN·m

Nó xảy ra tại x = 5 m tính từ A.

7.Trọng tâm và mômen quán tính mặt cắt

Đáp số: I_x = 56,15 × 10⁶ mm⁴

Diện tích ghép: chia mặt cắt thành các hình chữ nhật. Trọng tâm là trung bình có trọng số theo diện tích ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Mômen quán tính của mặt cắt đối với trục đi qua trọng tâm bằng tổng bh³/12 của từng phần và số hạng trục song song A·d², trong đó d là khoảng cách từ trọng tâm của phần đó đến trọng tâm chung. Ứng suất uốn là σ = M·y/I.

Chia thành hai hình chữ nhật

Đo mọi y từ mép dưới.

cánh: A_f = 240·25 = 6000 mm², y_f = 220 + 25/2 = 232,5 mm

bụng: A_w = 20·220 = 4400 mm², y_w = 220/2 = 110 mm

Trọng tâm

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (6000·232,5 + 4400·110)/10400 = 180,7 mm

Định lý trục song song

cánh: 240·25³/12 + 6000·(232,5 − 180,7)² = 1,643 × 10⁷ mm⁴

bụng: 20·220³/12 + 4400·(110 − 180,7)² = 3,972 × 10⁷ mm⁴

I_x = 1,643 × 10⁷ + 3,972 × 10⁷ = 5,615 × 10⁷ mm⁴ = 56,15 × 10⁶ mm⁴

Đáp số

I_x = 56,15 × 10⁶ mm⁴

8.Trọng tâm và mômen quán tính mặt cắt

Đáp số: σ_trên = 62,25 MPa

Chia thành hai hình chữ nhật

Đo mọi y từ mép dưới.

cánh: A_f = 180·10 = 1800 mm², y_f = 260 + 10/2 = 265 mm

bụng: A_w = 10·260 = 2600 mm², y_w = 260/2 = 130 mm

Trọng tâm

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (1800·265 + 2600·130)/4400 = 185,2 mm

Định lý trục song song

cánh: 180·10³/12 + 1800·(265 − 185,2)² = 1,147 × 10⁷ mm⁴

bụng: 10·260³/12 + 2600·(130 − 185,2)² = 2,258 × 10⁷ mm⁴

I_x = 1,147 × 10⁷ + 2,258 × 10⁷ = 3,405 × 10⁷ mm⁴

Ứng suất uốn

Mép trên cách trục h − ȳ.

y = 270 − 185,2 = 84,77 mm

σ = M·y/I = 2,5 × 10⁷·84,77/3,405 × 10⁷ = 62,25 MPa

Đáp số

σ_trên = 62,25 MPa

9.Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suất

Đáp số: τ_abs = 46,21 MPa

Biến đổi ứng suất phẳng: trên một mặt xoay góc θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Vòng tròn Mohr cho thấy tất cả các mặt cùng lúc: tâm của nó ở C = (σₓ + σᵧ)/2 và bán kính là R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Các ứng suất chính là C ± R, và ứng suất tiếp lớn nhất trong mặt phẳng là R. Trong không gian ba chiều, ứng suất cắt lớn nhất tuyệt đối là (σ_max − σ_min)/2 trên cả ba ứng suất chính; trong ứng suất phẳng, ứng suất thứ ba bằng không.

Các ứng suất chính trong mặt phẳng

C = −50 MPa, R = √(30² + 30²) = 42,43 MPa

σ₁ = −7,574 MPa, σ₂ = −92,43 MPa, σ_z = 0

Vòng tròn lớn nhất trong ba vòng tròn

τ = max(|σ₁ − σ₂|, |σ₁|, |σ₂|)/2 = max(84,85, 7,574, 92,43)/2 = 46,21 MPa

Đáp số

τ_abs = 46,21 MPa

Ở đây vòng tròn ngoài mặt phẳng quyết định: giá trị lớn nhất tuyệt đối lớn hơn giá trị lớn nhất trong mặt phẳng R.

10.Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suất

Đáp số: σ_θ = 57,76 MPa

Phương trình biến đổi

σ_θ = 65 + −15·−0,1736 + −10·0,9848 = 57,76 MPa

Đáp số

σ_θ = 57,76 MPa

11.Độ võng của dầm

Đáp số: δ = 13,7 mm

Độ võng của dầm: độ võng có được bằng cách tích phân độ cong M/(EI) hai lần. Các trường hợp tiêu chuẩn đã được lập bảng, ví dụ PL³/(3EI) cho dầm công xôn chịu tải ở đầu tự do và 5wL⁴/(384EI) cho dầm đơn giản chịu tải phân bố đều toàn nhịp. Độ võng do các tải riêng rẽ cộng lại (xếp chồng).

Đơn vị nhất quán

Làm việc theo N và mm: P theo N, w theo N/mm (kN/m = N/mm), L theo mm, E theo N/mm² (GPa × 1000), I theo mm⁴.

w = 20 N/mm, L = 1500 mm

EI = 9,24 × 10¹¹ N·mm²

Độ võng

δ = wL⁴/(8EI) = 20·1500⁴/(8·9,24 × 10¹¹) = 13,7 mm

Đáp số

δ = 13,7 mm

12.Độ võng của dầm

Đáp số: M_A = 41,25 kN·m

Bỏ gối chống đi

Khi không có gối chống, dầm là một dầm công-xôn. Đầu tự do của nó sẽ võng dưới tải.

δ_load = P(L/2)²(3L − L/2)/(6EI) = 5PL³/(48EI)

Điều kiện tương thích tại gối chống

Chỉ riêng lực chống R_B nâng đầu tự do lên một đoạn R_BL³/(3EI). Gối chống giữ B có độ võng bằng không, nên hai độ võng phải triệt tiêu nhau. EI được khử.

R_B·L³/(3EI) = 5PL³/(48EI) → R_B = 5P/16 = 5·55/16 = 17,19 kN

Mô-men tại đầu ngàm

Mô-men đối với A của các tải và lực chống.

M_A = P·L/2 − R_B·L = 110 − 68,75 = 41,25 kN·m

Đáp số

M_A = 41,25 kN·m

13.Mất ổn định cột

Đáp số: P_cr = 77,24 kN

Mất ổn định Euler: một cột mảnh mất ổn định tại P_cr = π²EI/(KL)², trong đó KL là chiều dài tính toán: K = 1 cho khớp–khớp, 2 cho ngàm–tự do, 0,7 cho ngàm–khớp và 0,5 cho ngàm–ngàm. Cột oằn quanh trục có I nhỏ nhất. Công thức đúng với cột mảnh, có ứng suất tới hạn thấp hơn ứng suất chảy.

Mômen quán tính nhỏ nhất của mặt cắt

Mặt cắt tròn có cùng I đối với mọi trục.

I = πd⁴/64 = π·25⁴/64 = 19175 mm⁴

Chiều dài tính toán

KL = 0,7·1000 = 700 mm

Tải trọng tới hạn

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·19175/700² = 77244 N = 77,24 kN

Đáp số

P_cr = 77,24 kN

14.Mất ổn định cột

Đáp số: σ_cr = 44,22 MPa

Mômen quán tính nhỏ nhất của mặt cắt

Mặt cắt tròn có cùng I đối với mọi trục.

I = πd⁴/64 = π·80⁴/64 = 2,011 × 10⁶ mm⁴

Bán kính quán tính và độ mảnh

A = 5027 mm²

r = √(I/A) = √(2,011 × 10⁶/5027) = 20 mm

KL = 1·2500 = 2500 mm

KL/r = 2500/20 = 125

Ứng suất tới hạn

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/125² = 44,22 MPa

Đáp số

σ_cr = 44,22 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials