Sức bền vật liệu: gói ôn nước rút

Bảng công thức, các bước phương pháp chính cho từng chủ đề và 14 bài tập, kèm lời giải đầy đủ ở cuối.

Bài mới Quay lại môn học

Trong cửa sổ in, hãy chọn “Lưu dưới dạng PDF” để giữ một bản trên thiết bị của bạn.

1Công thức và phương pháp

Ứng suất và biến dạng dọc trục

Ứng suất pháp: σ = F/A
Biến dạng: ε = ΔL/L
Định luật Hooke: σ = E·ε
Độ giãn dài: ΔL = FL/(EA)
Biến dạng nhiệt: ε_T = α·ΔT

Xoắn của trục

Ứng suất tiếp: τ = T·r/J
Trục đặc: J = πd⁴/32
Trục rỗng: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Góc xoắn: φ = TL/(GJ)
Công suất: P = T·ω = 2πnT/60

Phương pháp

Tìm mômen quán tính độc cực: J = πd⁴/32 cho trục đặc.
Ứng suất tiếp ở bề mặt: τ = T·r/J, với r là bán kính ngoài.
Góc xoắn: φ = TL/(GJ) theo radian.
Nếu cho công suất, hãy tìm mômen xoắn trước bằng P = T·ω, ω = 2πn/60.

Lực cắt và mômen uốn

Lực cắt và mômen: V = ΣF ở một phía, M = ΣF·d ở một phía
Ứng suất uốn: σ = M·y/I
Hình chữ nhật: I = bh³/12
Mômen chống uốn của mặt cắt: W = I/y_max
Dầm đơn giản, tải phân bố đều: M_max = wL²/8

Phương pháp

Tìm phản lực gối từ cân bằng của cả dầm.
Cắt dầm tại mặt cắt bạn cần và giữ lại một phía.
Lực cắt: tổng các lực thẳng đứng ở phía đó. Mômen uốn: tổng mômen của chúng quanh mặt cắt.
Để tìm mômen lớn nhất, hãy tìm nơi lực cắt bằng không.

Trọng tâm và mômen quán tính mặt cắt

Trọng tâm: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Hình chữ nhật: I = bh³/12
Định lý trục song song: I = I_c + A·d²
Mặt cắt ghép: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suất

Tâm: C = (σ_x + σ_y)/2
Bán kính: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Ứng suất chính: σ_1,2 = C ± R
Phương chính: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Mặt phẳng nghiêng: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Phương pháp

Tính tâm của vòng tròn Mohr: C = (σx + σy)/2.
Tính bán kính: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Các ứng suất chính là C ± R và ứng suất tiếp lớn nhất trong mặt phẳng là R.
Các góc trên vòng tròn gấp đôi các góc trên phần tử: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Độ võng của dầm

Tải tập trung ở giữa nhịp: δ = PL³/(48EI)
Tải phân bố đều, dầm đơn giản: δ = 5wL⁴/(384EI)
Công xôn, tải ở đầu: δ = PL³/(3EI)
Công xôn, tải phân bố đều: δ = wL⁴/(8EI)
Nguyên lý xếp chồng: δ = δ₁ + δ₂

Mất ổn định cột

Tải Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Hệ số chiều dài tính toán: K = 1 khớp–khớp, 0,5 ngàm–ngàm, 0,7 ngàm–khớp, 2 ngàm–tự do
Ứng suất tới hạn: σ_cr = P_cr/A
Độ mảnh: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Bài tập

1.Ứng suất và biến dạng dọc trụcTrung bình

Một thanh gồm một đoạn thép (đường kính 40 mm, chiều dài 600 mm, E = 200 GPa) nối đầu với đầu với một đoạn làm bằng đồng thau (đường kính 50 mm, chiều dài 500 mm, E = 100 GPa). Nó được ngàm một đầu và bị kéo ở đầu kia. Tìm tải dọc trục P làm nó giãn tổng cộng 0,2 mm.

đoạn 1: thép, Ø40 mm, 600 mm, E = 200 GPađoạn 2: đồng thau, Ø50 mm, 500 mm, E = 100 GPaδ = 0,2 mm

P = kN

2.Ứng suất và biến dạng dọc trụcKhó

Thanh bậc được ngàm vào tường và chịu tải ở đầu tự do. Tìm tổng độ giãn dài δ.

P = 65 kNđoạn 1: Ø40 mm, 1 m, đồng thau (E = 100 GPa)đoạn 2: Ø12 mm, 2 m, đồng (E = 117 GPa)

δ = mm

3.Xoắn của trụcTrung bình

Một trục đặc thép có bậc được ngàm tại A. Đoạn AB có đường kính 40 mm và chiều dài 1 m; đoạn BC có đường kính 20 mm và chiều dài 1,2 m. Một mô-men xoắn 400 N·m tác dụng tại đầu tự do C. Tìm góc xoắn φ_C của đầu C, theo độ.

T = 400 N·md₁ = 40 mm, L₁ = 1 md₂ = 20 mm, L₂ = 1,2 mG = 80 GPa

φ_C = °

4.Xoắn của trụcKhó

Một trục đặc phải truyền 5 kW ở 300 rpm mà ứng suất tiếp không vượt quá 50 MPa. Tìm đường kính nhỏ nhất d thỏa mãn.

P = 5 kWN = 300 rpmτ_allow = 50 MPa

d = mm

5.Lực cắt và mômen uốnTrung bình

Các điểm đánh dấu từ A đến G chia dầm thành sáu phần bằng nhau. Tại điểm nào mômen uốn có độ lớn lớn nhất, dù võng hay vồng? Nhấp vào nó trong sơ đồ.

50 kN @ 8 m50 kN @ 2 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 2 m)
3C (x = 4 m)
4D (x = 6 m)
5E (x = 8 m)
6F (x = 10 m)
7G (x = 12 m)

6.Lực cắt và mômen uốnKhó

Tìm mômen uốn M_x tại mặt cắt x = 1,5 m tính từ gối A. Coi mômen làm dầm võng xuống là dương và lực cắt hướng lên trên mặt trái là dương.

L = 4 mP = 40 kN tại 1,5 mw = 12 kN/m từ 0 đến 4 mx = 1,5 m

M_x = kN·m

7.Trọng tâm và mômen quán tính mặt cắtTrung bình

Một ống tròn có đường kính ngoài D = 70 mm và đường kính trong d = 62 mm. Tìm bán kính quán tính r của nó đối với trục nằm ngang qua trọng tâm.

D = 70 mmd = 62 mm

r = mm

8.Trọng tâm và mômen quán tính mặt cắtKhó

Mặt cắt chữ T được dùng làm dầm với cánh ở trên và chịu mômen uốn làm võng xuống 50 kN·m. Tìm độ lớn ứng suất uốn σ_trên ở mép trên.

b_f = 200 mmt_f = 15 mmt_w = 10 mmh_w = 180 mmM = 50 kN·m

σ_trên = MPa

9.Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suấtTrung bình

Một điểm trong chi tiết chịu tải có σₓ = −50 MPa, σᵧ = 110 MPa và τₓᵧ = −60 MPa (kéo là dương). Tìm ứng suất tiếp lớn nhất trong mặt phẳng τ_max.

σ_x = −50 MPaσ_y = 110 MPaτ_xy = −60 MPa

τ_max = MPa

10.Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suấtKhó

Một điểm trong chi tiết chịu tải có σₓ = 90 MPa, σᵧ = −60 MPa và τₓᵧ = 20 MPa (kéo là dương). Tìm ứng suất pháp σ_θ trên một mặt có pháp tuyến xoay 15° ngược chiều kim đồng hồ so với trục x.

σ_x = 90 MPaσ_y = −60 MPaτ_xy = 20 MPaθ = 15°

σ_θ = MPa

11.Độ võng của dầmTrung bình

Một dầm đơn giản chịu lực tập trung P tại vị trí cách gối A một đoạn a = 4,5 m. Tìm độ võng δ_P dưới tải.

P = 14 kNa = 4,5 mL = 6 mE = 11 GPa (gỗ xẻ)I = 120 × 10⁶ mm⁴

δ_P = mm

12.Độ võng của dầmKhó

Một dầm đơn giản chịu tải phân bố đều w. Độ võng của nó không được vượt quá nhịp/360. Tìm mômen quán tính nhỏ nhất của mặt cắt I_req thỏa mãn giới hạn này.

w = 5 kN/mL = 2,5 mE = 11 GPa (gỗ xẻ)

I_req = × 10⁶ mm⁴

13.Mất ổn định cộtTrung bình

Một cột dài L làm bằng nhôm được ngàm cả hai đầu. Dùng công thức Euler, tìm tải trọng oằn tới hạn P_cr của nó.

L = 1,5 mE = 70 GPa (nhôm)b × h = 25 × 80 mm

P_cr = kN

14.Mất ổn định cộtKhó

Một cột tròn đặc dài L làm bằng nhôm được hai đầu khớp. Nó phải chịu 105 kN với hệ số an toàn 2 chống oằn. Tìm đường kính nhỏ nhất d.

P = 105 kNn = 2L = 2,5 mE = 70 GPa (nhôm)

d = mm

3Dung dịch

1.Ứng suất và biến dạng dọc trục

Đáp số: P = 40,54 kN

Hai vật liệu: khi nối tiếp (cái này sau cái kia) mỗi đoạn chịu cùng một lực và các độ giãn dài cộng lại: δ = P·Σ L/(E·A). Khi song song (cạnh nhau giữa các tấm cứng) cả hai phần co lại cùng một lượng, nên biến dạng của chúng bằng nhau: phần cứng hơn nhận phần tải lớn hơn, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, và σ_i = E_i·ε. Một thanh bị giữ giữa hai vách cứng với tải đặt tại chỗ nối là siêu tĩnh: hai đoạn chia tải theo tỉ lệ độ cứng k = EA/L của chúng.

Diện tích

A₁ = 1257 mm², A₂ = 1963 mm²

Các độ mềm

L₁/(E₁A₁) = 600/(200000·1257) = 2,387 × 10⁻⁶ mm/N

L₂/(E₂A₂) = 500/(100000·1963) = 2,546 × 10⁻⁶ mm/N

Tải

P = 0,2/4,934 × 10⁻⁶ = 40537 N = 40,54 kN

Đáp số

P = 40,54 kN

2.Ứng suất và biến dạng dọc trục

Đáp số: δ = 10,34 mm

Cấu kiện chịu tải dọc trục: mỗi đoạn lăng trụ tuân theo δ = PL/(AE). Với các cấu kiện nối tiếp, độ giãn dài cộng lại.

Cùng một lực trong cả hai đoạn

Đầu tự do chịu lực P, nên mọi mặt cắt của thanh đều chịu cùng một lực dọc trục P. Chỉ có diện tích và vật liệu thay đổi.

A₁ = π·40²/4 = 1257 mm², A₂ = π·12²/4 = 113,1 mm²

σ₁ = 51,73 MPa

σ₂ = 574,7 MPa

Cộng độ giãn dài của các đoạn

δ₁ = σ₁L₁/E₁ = 51,73·1000/100000 = 0,5173 mm

δ₂ = σ₂L₂/E₂ = 574,7·2000/117000 = 9,824 mm

δ = δ₁ + δ₂ = 10,34 mm

Đáp số

δ = 10,34 mm

3.Xoắn của trục

Đáp số: φ_C = 23,03 °

Xoắn thanh tròn: ứng suất tiếp tăng tuyến tính từ không ở tâm đến τ_max = T·r/J ở bề mặt, với J = πd⁴/32 cho trục đặc và J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 cho trục rỗng. Góc xoắn là φ = TL/(GJ) tính bằng radian. Công suất và mômen xoắn liên hệ với nhau qua P = T·ω.

Các mô-men quán tính độc cực

J₁ = π·40⁴/32 = 251327 mm⁴

J₂ = π·20⁴/32 = 15708 mm⁴

Góc xoắn của từng đoạn

T = 400 N·m = 400000 N·mm

G = 80 GPa = 80000 MPa

φ_AB = 400000·1000/(80000·251327) = 0,01989 rad

φ_BC = 400000·1200/(80000·15708) = 0,382 rad

Tổng góc xoắn

φ_C = 0,01989 + 0,382 = 0,4019 rad = 23,03°

Đáp số

φ_C = 23,03°

4.Xoắn của trục

Đáp số: d = 25,31 mm

Mômen xoắn

ω = 2πN/60 = 2π·300/60 = 31,42 rad/s

T = P/ω = 5000/31,42 = 159,2 N·m

Đường kính từ ứng suất cho phép

d = ∛(16T/(π·τ_allow)) = ∛(16·159155/(π·50)) = 25,31 mm

Đáp số

d = 25,31 mm

Trong thực tế bạn sẽ làm tròn lên kích thước tiêu chuẩn kế tiếp.

5.Lực cắt và mômen uốn

Đáp số: E (x = 8 m)

Mômen uốn lớn nhất: M đổi độ dốc ở bất cứ chỗ nào lực cắt thay đổi, nên các đỉnh của nó nằm nơi lực cắt đi qua không: dưới một tải tập trung, bên trong một tải phân bố, hoặc trên một gối của phần công-xon. Tại ngàm của dầm công-xon, mômen lớn nhất ở chân tường. So sánh độ lớn của M tại những chỗ đó, dù là mômen làm võng hay làm vồng.

Phản lực gối

Lấy mômen quanh một gối tựa, rồi dùng cân bằng lực thẳng đứng.

R₁ = 58,33 kN, R₂ = 41,67 kN

Mômen uốn tại mỗi điểm đánh dấu

Cộng các mômen của mọi lực ở một phía của mặt cắt. Võng là dương, vồng là âm.

M_A = 0, M_B = 116,7, M_C = 133,3, M_D = 150, M_E = 166,7 kN·m, M_F = 83,33, M_G = 0

Đáp số

Điểm đánh dấu E: M_E = 166,7 kN·m

6.Lực cắt và mômen uốn

Đáp số: M_x = 60 kN·m

Phương pháp mặt cắt: cắt dầm tại vị trí cần tìm nội lực và giữ lại một phía. Lực cắt V cân bằng với các lực thẳng đứng ở phía đó, và mômen uốn M cân bằng với mômen của chúng quanh mặt cắt.

Phản lực gối

Cân bằng của cả dầm.

Hợp lực của tải phân bố đều: W = w·ℓ = 12·4 = 48 kN, đặt tại x̄ = 2 m

ΣM_A = 0: R_B·4 = 40·1,5 + 12·4·2

R_B = 156/4 = 39 kN

ΣF_y = 0: R_A = 88 − 39 = 49 kN

Cắt tại x = 1,5 m và giữ phần bên trái

Chỉ các lực bên trái mặt cắt xuất hiện. Phần tải phân bố đều được thay bằng một lực đặt tại giữa phần đó.

M = R_A·x − (mỗi tải bên trái mặt cắt × cánh tay đòn đến mặt cắt)

M_x = 49·1,5 − 12·1,5·0,75 = 60 kN·m

Đáp số

M_x = 60 kN·m

7.Trọng tâm và mômen quán tính mặt cắt

Đáp số: r = 23,38 mm

Mô-men quán tính của tiết diện: với hình chữ nhật đối với trục qua trọng tâm của nó I = bh³/12, và đối với trục đáy bh³/3 (định lý trục song song I = I_c + A·d²). Lỗ rỗng được xử lý bằng cách trừ đi I của nó, miễn là cả hai phần có chung một trục. Mô-đun chống uốn đàn hồi là S = I/c, với c là khoảng cách đến thớ ngoài cùng. Bán kính quán tính r = √(I/A) là khoảng cách mà tại đó toàn bộ diện tích cho cùng giá trị I; nó được dùng trong bài toán mất ổn định của cột.

Diện tích thực và mô-men quán tính

A = π(D² − d²)/4 = 829,4 mm²

I = π(D⁴ − d⁴)/64 = 453256 mm⁴

Bán kính quán tính

r = √(I/A) = √(453256/829,4) = 23,38 mm

Đáp số

r = 23,38 mm

8.Trọng tâm và mômen quán tính mặt cắt

Đáp số: σ_trên = 141,1 MPa

Diện tích ghép: chia mặt cắt thành các hình chữ nhật. Trọng tâm là trung bình có trọng số theo diện tích ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Mômen quán tính của mặt cắt đối với trục đi qua trọng tâm bằng tổng bh³/12 của từng phần và số hạng trục song song A·d², trong đó d là khoảng cách từ trọng tâm của phần đó đến trọng tâm chung. Ứng suất uốn là σ = M·y/I.

Chia thành hai hình chữ nhật

Đo mọi y từ mép dưới.

cánh: A_f = 200·15 = 3000 mm², y_f = 180 + 15/2 = 187,5 mm

bụng: A_w = 10·180 = 1800 mm², y_w = 180/2 = 90 mm

Trọng tâm

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (3000·187,5 + 1800·90)/4800 = 150,9 mm

Định lý trục song song

cánh: 200·15³/12 + 3000·(187,5 − 150,9)² = 4,067 × 10⁶ mm⁴

bụng: 10·180³/12 + 1800·(90 − 150,9)² = 1,154 × 10⁷ mm⁴

I_x = 4,067 × 10⁶ + 1,154 × 10⁷ = 1,561 × 10⁷ mm⁴

Ứng suất uốn

Mép trên cách trục h − ȳ.

y = 195 − 150,9 = 44,06 mm

σ = M·y/I = 5 × 10⁷·44,06/1,561 × 10⁷ = 141,1 MPa

Đáp số

σ_trên = 141,1 MPa

9.Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suất

Đáp số: τ_max = 100 MPa

Biến đổi ứng suất phẳng: trên một mặt xoay góc θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Vòng tròn Mohr cho thấy tất cả các mặt cùng lúc: tâm của nó ở C = (σₓ + σᵧ)/2 và bán kính là R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Các ứng suất chính là C ± R, và ứng suất tiếp lớn nhất trong mặt phẳng là R.

Bán kính vòng tròn Mohr

τ_max = R = √(((−50 − 110)/2)² + −60²) = 100 MPa

Đáp số

τ_max = 100 MPa

10.Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suất

Đáp số: σ_θ = 89,95 MPa

Phương trình biến đổi

σ_θ = 15 + 75·0,866 + 20·0,5 = 89,95 MPa

Đáp số

σ_θ = 89,95 MPa

11.Độ võng của dầm

Đáp số: δ_P = 26,85 mm

Độ võng của dầm: độ võng có được bằng cách tích phân độ cong M/(EI) hai lần. Các trường hợp tiêu chuẩn đã được lập bảng, ví dụ PL³/(3EI) cho dầm công xôn chịu tải ở đầu tự do và 5wL⁴/(384EI) cho dầm đơn giản chịu tải phân bố đều toàn nhịp. Độ võng do các tải riêng rẽ cộng lại (xếp chồng).

Đơn vị nhất quán

Làm việc theo N và mm: P theo N, w theo N/mm (kN/m = N/mm), L theo mm, E theo N/mm² (GPa × 1000), I theo mm⁴.

P = 14000 N, a = 4500 mm, b = 1500 mm, L = 6000 mm

EI = 1,32 × 10¹² N·mm²

Độ võng dưới tải

δ_P = Pa²b²/(3EIL) = 14000·4500²·1500²/(3·1,32 × 10¹²·6000) = 26,85 mm

Đáp số

δ_P = 26,85 mm

12.Độ võng của dầm

Đáp số: I_req = 33,29 × 10⁶ mm⁴

Giới hạn độ võng

δ_allow = L/360 = 2500/360 = 6,944 mm

Mômen quán tính mặt cắt yêu cầu

I = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·5·2500⁴/(384·11000·6,944) = 3,329 × 10⁷ mm⁴

I_req = 33,29 × 10⁶ mm⁴

Đáp số

I_req = 33,29 × 10⁶ mm⁴

13.Mất ổn định cột

Đáp số: P_cr = 127,9 kN

Mất ổn định Euler: một cột mảnh mất ổn định tại P_cr = π²EI/(KL)², trong đó KL là chiều dài tính toán: K = 1 cho khớp–khớp, 2 cho ngàm–tự do, 0,7 cho ngàm–khớp và 0,5 cho ngàm–ngàm. Cột oằn quanh trục có I nhỏ nhất. Công thức đúng với cột mảnh, có ứng suất tới hạn thấp hơn ứng suất chảy.

Mômen quán tính nhỏ nhất của mặt cắt

Hình chữ nhật oằn quanh trục yếu, dùng kích thước nhỏ hơn lập phương.

I_min = h·b³/12 = 80·25³/12 = 104167 mm⁴

Chiều dài tính toán

KL = 0,5·1500 = 750 mm

Tải trọng tới hạn

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·104167/750² = 127939 N = 127,9 kN

Đáp số

P_cr = 127,9 kN

14.Mất ổn định cột

Đáp số: d = 78,87 mm

Tải trọng tới hạn yêu cầu

P_cr = n·P = 2·105000 = 210000 N

KL = 1·2500 = 2500 mm

Giải tìm đường kính

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·210000·2500²/(π³·70000))^(1/4) = 78,87 mm

Đáp số

d = 78,87 mm

Kiểm tra: độ mảnh KL/r là 126,8, nên cột là mảnh và công thức Euler áp dụng được.

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials