Sức bền vật liệu: gói ôn nước rút

Bảng công thức, các bước phương pháp chính cho từng chủ đề và 14 bài tập, kèm lời giải đầy đủ ở cuối.

Bài mới Quay lại môn học

Trong cửa sổ in, hãy chọn “Lưu dưới dạng PDF” để giữ một bản trên thiết bị của bạn.

1Công thức và phương pháp

Ứng suất và biến dạng dọc trục

Ứng suất pháp: σ = F/A
Biến dạng: ε = ΔL/L
Định luật Hooke: σ = E·ε
Độ giãn dài: ΔL = FL/(EA)
Biến dạng nhiệt: ε_T = α·ΔT

Xoắn của trục

Ứng suất tiếp: τ = T·r/J
Trục đặc: J = πd⁴/32
Trục rỗng: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Góc xoắn: φ = TL/(GJ)
Công suất: P = T·ω = 2πnT/60

Phương pháp

Tìm mômen quán tính độc cực: J = πd⁴/32 cho trục đặc.
Ứng suất tiếp ở bề mặt: τ = T·r/J, với r là bán kính ngoài.
Góc xoắn: φ = TL/(GJ) theo radian.
Nếu cho công suất, hãy tìm mômen xoắn trước bằng P = T·ω, ω = 2πn/60.

Lực cắt và mômen uốn

Lực cắt và mômen: V = ΣF ở một phía, M = ΣF·d ở một phía
Ứng suất uốn: σ = M·y/I
Hình chữ nhật: I = bh³/12
Mômen chống uốn của mặt cắt: W = I/y_max
Dầm đơn giản, tải phân bố đều: M_max = wL²/8

Phương pháp

Tìm phản lực gối từ cân bằng của cả dầm.
Cắt dầm tại mặt cắt bạn cần và giữ lại một phía.
Lực cắt: tổng các lực thẳng đứng ở phía đó. Mômen uốn: tổng mômen của chúng quanh mặt cắt.
Để tìm mômen lớn nhất, hãy tìm nơi lực cắt bằng không.

Trọng tâm và mômen quán tính mặt cắt

Trọng tâm: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Hình chữ nhật: I = bh³/12
Định lý trục song song: I = I_c + A·d²
Mặt cắt ghép: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suất

Tâm: C = (σ_x + σ_y)/2
Bán kính: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Ứng suất chính: σ_1,2 = C ± R
Phương chính: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Mặt phẳng nghiêng: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Phương pháp

Tính tâm của vòng tròn Mohr: C = (σx + σy)/2.
Tính bán kính: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Các ứng suất chính là C ± R và ứng suất tiếp lớn nhất trong mặt phẳng là R.
Các góc trên vòng tròn gấp đôi các góc trên phần tử: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Độ võng của dầm

Tải tập trung ở giữa nhịp: δ = PL³/(48EI)
Tải phân bố đều, dầm đơn giản: δ = 5wL⁴/(384EI)
Công xôn, tải ở đầu: δ = PL³/(3EI)
Công xôn, tải phân bố đều: δ = wL⁴/(8EI)
Nguyên lý xếp chồng: δ = δ₁ + δ₂

Mất ổn định cột

Tải Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Hệ số chiều dài tính toán: K = 1 khớp–khớp, 0,5 ngàm–ngàm, 0,7 ngàm–khớp, 2 ngàm–tự do
Ứng suất tới hạn: σ_cr = P_cr/A
Độ mảnh: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Bài tập

1.Ứng suất và biến dạng dọc trụcTrung bình

Một thanh thép (đường kính 20 mm, E = 200 GPa) nằm trong một ống làm bằng đồng thanh (đường kính ngoài 100 mm, đường kính trong 60 mm, E = 110 GPa). Cả hai dài 500 mm và bị nén cùng nhau giữa các tấm cứng bởi 250 kN. Tìm độ co ngắn δ.

P = 250 kNthanh: Ø20 mm, E = 200 GPaống: Ø100/Ø60 mm, E = 110 GPaL = 500 mm

δ = mm

2.Ứng suất và biến dạng dọc trụcKhó

Thanh bậc được ngàm vào tường và chịu tải ở đầu tự do. Tìm tổng độ giãn dài δ.

P = 25 kNđoạn 1: Ø25 mm, 1 m, đồng (E = 117 GPa)đoạn 2: Ø16 mm, 1,5 m, thép (E = 200 GPa)

δ = mm

3.Xoắn của trụcTrung bình

Một trục đặc thép được ngàm vào tường và bị xoắn bởi mômen xoắn T ở đầu tự do. Tìm góc xoắn φ của đầu tự do, theo độ.

T = 500 N·md = 20 mmL = 0,8 mG = 80 GPa

φ = °

4.Xoắn của trụcKhó

Một trục đặc nhôm đường kính 30 mm được ngàm vào các tường cứng ở cả hai đầu A và B. Một mô-men xoắn 1000 N·m đặt tại C, cách A 0,5 m và cách B 1 m. Tìm góc quay φ_C của tiết diện C, theo độ.

d = 30 mmT₀ = 1000 N·ma = 0,5 mb = 1 mG = 26 GPa

φ_C = °

5.Lực cắt và mômen uốnTrung bình

Dầm công-xôn ngàm tại A. Dầm chịu tải phân bố đều w trên toàn bộ chiều dài và một lực tập trung P tại vị trí cách A 1,5 m. Tìm mô-men uốn M_A tại ngàm A. Dùng quy ước mô-men làm võng xuống là dương và lực cắt hướng lên trên mặt cắt bên trái là dương.

L = 2 mP = 60 kN tại 1,5 mw = 5 kN/m từ 0 đến 2 m

M_A = kN·m

6.Lực cắt và mômen uốnKhó

Các điểm đánh dấu từ A đến G chia dầm thành sáu phần bằng nhau. Tại điểm nào mômen uốn có độ lớn lớn nhất, dù võng hay vồng? Nhấp vào nó trong sơ đồ.

55 kN @ 6 m45 kN @ 3 m15 kN/m, 0–4 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 1 m)
3C (x = 2 m)
4D (x = 3 m)
5E (x = 4 m)
6F (x = 5 m)
7G (x = 6 m)

7.Trọng tâm và mômen quán tính mặt cắtTrung bình

Một tiết diện chữ I đối xứng có các cánh rộng 130 mm và dày 18 mm, chiều cao tổng thể 240 mm và bụng dày 8 mm. Tìm mô-men quán tính I_x của nó đối với trục nằm ngang x qua trọng tâm.

B = 130 mmH = 240 mmt_f = 18 mmt_w = 8 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Trọng tâm và mômen quán tính mặt cắtKhó

Một dầm gang có tiết diện chữ T như hình, cánh nằm phía trên. Ứng suất cho phép là 35 MPa khi kéo và 150 MPa khi nén. Tìm mô-men uốn võng xuống lớn nhất M_allow mà dầm có thể chịu.

b_f = 140 mmt_f = 30 mmt_w = 20 mmh_w = 200 mmσ_t,allow = 35 MPaσ_c,allow = 150 MPa

M_allow = kN·m

9.Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suấtTrung bình

Một điểm trong chi tiết chịu tải có σₓ = −50 MPa, σᵧ = −10 MPa và τₓᵧ = −20 MPa (kéo là dương). Tìm góc θ_p từ trục x đến phương của ứng suất chính lớn nhất, trong khoảng −90° đến 90°.

σ_x = −50 MPaσ_y = −10 MPaτ_xy = −20 MPa

θ_p = °

10.Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suấtKhó

Một điểm trong một tấm mỏng ở trạng thái ứng suất phẳng: σₓ = −40 MPa, σᵧ = 60 MPa và τₓᵧ = 50 MPa (σ_z = 0). Tìm ứng suất tương đương von Mises σ_vM.

σ_x = −40 MPaσ_y = 60 MPaτ_xy = 50 MPa

σ_vM = MPa

11.Độ võng của dầmTrung bình

Một dầm công-xôn dài L ngàm tại A và chịu lực tập trung P tại vị trí cách A một đoạn a = 0,5 m. Tìm độ võng δ_B tại đầu tự do B.

P = 28 kNa = 0,5 mL = 2,5 mE = 70 GPa (nhôm)I = 8,5 × 10⁶ mm⁴

δ_B = mm

12.Độ võng của dầmKhó

Một dầm gỗ đơn giản có tiết diện chữ nhật, rộng 100 mm, chịu tải phân bố đều w trên toàn bộ nhịp. Độ võng tại giữa nhịp không được vượt quá nhịp/360. Tìm chiều cao tiết diện nhỏ nhất h_req.

w = 1,5 kN/mL = 4,5 mE = 11 GPa (gỗ xẻ)b = 100 mm

h_req = mm

13.Mất ổn định cộtTrung bình

Một cột dài L làm bằng thép được ngàm ở chân và khớp ở đỉnh. Dùng công thức Euler, tìm tải trọng oằn tới hạn P_cr của nó.

L = 1,5 mE = 200 GPa (thép)b × h = 25 × 40 mm

P_cr = kN

14.Mất ổn định cộtKhó

Một cột dài L làm bằng thép được ngàm ở chân và tự do ở đỉnh. Tìm độ mảnh của nó và ứng suất oằn tới hạn σ_cr theo công thức Euler.

L = 1 mE = 200 GPa (thép)d = 40 mm

σ_cr = MPa

3Dung dịch

1.Ứng suất và biến dạng dọc trục

Đáp số: δ = 0,203 mm

Hai vật liệu: khi nối tiếp (cái này sau cái kia) mỗi đoạn chịu cùng một lực và các độ giãn dài cộng lại: δ = P·Σ L/(E·A). Khi song song (cạnh nhau giữa các tấm cứng) cả hai phần co lại cùng một lượng, nên biến dạng của chúng bằng nhau: phần cứng hơn nhận phần tải lớn hơn, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, và σ_i = E_i·ε. Một thanh bị giữ giữa hai vách cứng với tải đặt tại chỗ nối là siêu tĩnh: hai đoạn chia tải theo tỉ lệ độ cứng k = EA/L của chúng.

Diện tích

A_r = π·20²/4 = 314,2 mm²

A_t = π(100² − 60²)/4 = 5027 mm²

Độ cứng dọc trục kết hợp

ΣEA = 200·10³·314,2 + 110·10³·5027 = 6,158 × 10⁸ N

Độ co ngắn

δ = 250000·500/6,158 × 10⁸ = 0,203 mm

Đáp số

δ = 0,203 mm

2.Ứng suất và biến dạng dọc trục

Đáp số: δ = 1,368 mm

Cấu kiện chịu tải dọc trục: mỗi đoạn lăng trụ tuân theo δ = PL/(AE). Với các cấu kiện nối tiếp, độ giãn dài cộng lại.

Cùng một lực trong cả hai đoạn

Đầu tự do chịu lực P, nên mọi mặt cắt của thanh đều chịu cùng một lực dọc trục P. Chỉ có diện tích và vật liệu thay đổi.

A₁ = π·25²/4 = 490,9 mm², A₂ = π·16²/4 = 201,1 mm²

σ₁ = 50,93 MPa

σ₂ = 124,3 MPa

Cộng độ giãn dài của các đoạn

δ₁ = σ₁L₁/E₁ = 50,93·1000/117000 = 0,4353 mm

δ₂ = σ₂L₂/E₂ = 124,3·1500/200000 = 0,9325 mm

δ = δ₁ + δ₂ = 1,368 mm

Đáp số

δ = 1,368 mm

3.Xoắn của trục

Đáp số: φ = 18,24 °

Mômen quán tính độc cực của mặt cắt

J = π·20⁴/32 = 15708 mm⁴

Góc xoắn

φ = TL/(GJ) = 500·1000·800/(80000·15708) = 0,3183 rad

φ = 0,3183·180/π = 18,24°

Đáp số

φ = 18,24°

4.Xoắn của trục

Đáp số: φ_C = 9,237 °

Xoắn thanh tròn: ứng suất tiếp tăng tuyến tính từ không ở tâm đến τ_max = T·r/J ở bề mặt, với J = πd⁴/32 cho trục đặc và J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 cho trục rỗng. Góc xoắn là φ = TL/(GJ) tính bằng radian. Công suất và mômen xoắn liên hệ với nhau qua P = T·ω. Khi cả hai đầu bị ngàm, tĩnh học chỉ cho T_A + T_B = T₀; phương trình thứ hai là điều kiện tương thích (góc xoắn của hai phần bằng nhau tại tiết diện chịu tải).

Cân bằng và tương thích

T_A + T_B = 1000

T_A·a = T_B·b

T_A = 1000·1/1,5 = 666,7 N·m

T_B = 1000·0,5/1,5 = 333,3 N·m

Góc quay của C

Dùng đoạn AC: nó được ngàm tại A và chịu T_A.

J = π·30⁴/32 = 79522 mm⁴

G = 26 GPa = 26000 MPa

φ_C = T_A·a/(GJ) = 666667·500/(26000·79522) = 0,1612 rad = 9,237°

Đáp số

φ_C = 9,237°

5.Lực cắt và mômen uốn

Đáp số: M_A = −100 kN·m

Phương pháp mặt cắt: cắt dầm tại vị trí cần tìm nội lực và giữ lại một phía. Lực cắt V cân bằng với các lực thẳng đứng ở phía đó, và mômen uốn M cân bằng với mômen của chúng quanh mặt cắt.

Giữ phần đầu tự do

P: −60·1,5 = −90 kN·m

w: −5·2²/2 = −10 kN·m

M_A = −90 − 10 = −100 kN·m

Đáp số

M_A = −100 kN·m

Dấu âm nghĩa là uốn võng lên: thớ trên chịu kéo.

6.Lực cắt và mômen uốn

Đáp số: E (x = 4 m)

Mômen uốn lớn nhất: M đổi độ dốc ở bất cứ chỗ nào lực cắt thay đổi, nên các đỉnh của nó nằm nơi lực cắt đi qua không: dưới một tải tập trung, bên trong một tải phân bố, hoặc trên một gối của phần công-xon. Tại ngàm của dầm công-xon, mômen lớn nhất ở chân tường. So sánh độ lớn của M tại những chỗ đó, dù là mômen làm võng hay làm vồng.

Phản lực gối

Lấy mômen quanh một gối tựa, rồi dùng cân bằng lực thẳng đứng.

R₁ = 13,75 kN, R₂ = 146,3 kN

Mômen uốn tại mỗi điểm đánh dấu

Cộng các mômen của mọi lực ở một phía của mặt cắt. Võng là dương, vồng là âm.

M_A = 0, M_B = 6,25, M_C = −2,5, M_D = −26,25, M_E = −110 kN·m, M_F = −55, M_G = 0

Đáp số

Điểm đánh dấu E: M_E = −110 kN·m

7.Trọng tâm và mômen quán tính mặt cắt

Đáp số: I_x = 63,45 × 10⁶ mm⁴

Mô-men quán tính của tiết diện: với hình chữ nhật đối với trục qua trọng tâm của nó I = bh³/12, và đối với trục đáy bh³/3 (định lý trục song song I = I_c + A·d²). Lỗ rỗng được xử lý bằng cách trừ đi I của nó, miễn là cả hai phần có chung một trục. Mô-đun chống uốn đàn hồi là S = I/c, với c là khoảng cách đến thớ ngoài cùng.

Hình chữ nhật ngoài trừ hai phần khuyết hai bên

Hai phần khuyết cộng lại rộng (B − t_w) và cao h_w = H − 2t_f, và có chung trục x.

h_w = 240 − 2·18 = 204 mm

I_x = (B·H³ − (B − t_w)·h_w³)/12 = (130·240³ − 122·204³)/12

I_x = 6,345 × 10⁷ mm⁴ = 63,45 × 10⁶ mm⁴

Đáp số

I_x = 63,45 × 10⁶ mm⁴

8.Trọng tâm và mômen quán tính mặt cắt

Đáp số: M_allow = 8,974 kN·m

Diện tích ghép: chia mặt cắt thành các hình chữ nhật. Trọng tâm là trung bình có trọng số theo diện tích ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Mômen quán tính của mặt cắt đối với trục đi qua trọng tâm bằng tổng bh³/12 của từng phần và số hạng trục song song A·d², trong đó d là khoảng cách từ trọng tâm của phần đó đến trọng tâm chung. Ứng suất uốn là σ = M·y/I.

Trọng tâm

ȳ = (4200·215 + 4000·100)/8200 = 158,9 mm

cạnh trên: c = 230 − 158,9 = 71,1 mm

Mômen quán tính mặt cắt

I = 140·30³/12 + 4200·56,1² + 20·200³/12 + 4000·58,9² = 4,074 × 10⁷ mm⁴

Mô-men cho phép theo từng cạnh

Võng xuống: thớ trên chịu nén, thớ dưới chịu kéo.

cạnh trên: M = 150·4,074 × 10⁷/71,1 = 85,96 kN·m

cạnh dưới: M = 35·4,074 × 10⁷/158,9 = 8,974 kN·m

Giá trị quyết định

M_allow = min = 8,974 kN·m (cạnh dưới)

Đáp số

M_allow = 8,974 kN·m

9.Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suất

Đáp số: θ_p = −67,5 °

Góc trên vòng tròn

Điểm x nằm ở góc 2θp so với trục σ trên vòng tròn Mohr; góc phần tư suy ra từ dấu của σₓ − σᵧ và τₓᵧ.

2θ_p = atan2(2·−20, −50 − −10) = −135°

Góc trên phần tử

θ_p = −67,5°

Đáp số

θ_p = −67,5°

Góc dương là ngược chiều kim đồng hồ.

10.Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suất

Đáp số: σ_vM = 122,9 MPa

Biến đổi ứng suất phẳng: trên một mặt xoay góc θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Vòng tròn Mohr cho thấy tất cả các mặt cùng lúc: tâm của nó ở C = (σₓ + σᵧ)/2 và bán kính là R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Các ứng suất chính là C ± R, và ứng suất tiếp lớn nhất trong mặt phẳng là R. Tiêu chuẩn chảy: von Mises dự đoán vật liệu chảy khi σ_vM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²) đạt σ_Y; Tresca khi ứng suất cắt lớn nhất tuyệt đối đạt σ_Y/2.

Ứng suất chính

C = 10 MPa, R = 70,71 MPa

σ₁ = 80,71 MPa, σ₂ = −60,71 MPa, σ₃ = 0

Von Mises

σ_vM = √(80,71² − 80,71·(−60,71) + (−60,71)²) = 122,9 MPa

Đáp số

σ_vM = 122,9 MPa

11.Độ võng của dầm

Đáp số: δ_B = 13,73 mm

Độ võng của dầm: độ võng có được bằng cách tích phân độ cong M/(EI) hai lần. Các trường hợp tiêu chuẩn đã được lập bảng, ví dụ PL³/(3EI) cho dầm công xôn chịu tải ở đầu tự do và 5wL⁴/(384EI) cho dầm đơn giản chịu tải phân bố đều toàn nhịp. Độ võng do các tải riêng rẽ cộng lại (xếp chồng).

Đơn vị nhất quán

Làm việc theo N và mm: P theo N, w theo N/mm (kN/m = N/mm), L theo mm, E theo N/mm² (GPa × 1000), I theo mm⁴.

P = 28000 N, a = 500 mm, L = 2500 mm

EI = 5,95 × 10¹¹ N·mm²

Độ võng ở đầu tự do

Độ võng tại tải cộng góc xoay tại tải nhân với chiều dài còn lại.

δ_P = Pa³/(3EI) = 1,961 mm

θ_P = Pa²/(2EI) = 0,005882 rad

δ_B = δ_P + θ_P·(L − a) = Pa²(3L − a)/(6EI) = 13,73 mm

Đáp số

δ_B = 13,73 mm

12.Độ võng của dầm

Đáp số: h_req = 191,2 mm

Đơn vị nhất quán

Làm việc theo N và mm: P theo N, w theo N/mm (kN/m = N/mm), L theo mm, E theo N/mm² (GPa × 1000), I theo mm⁴.

w = 1,5 N/mm, L = 4500 mm, E = 11000 N/mm²

Giới hạn độ võng

δ_allow = L/360 = 4500/360 = 12,5 mm

Mômen quán tính mặt cắt yêu cầu

I_req = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·1,5·4500⁴/(384·11000·12,5) = 5,825 × 10⁷ mm⁴

Chiều cao cần thiết

bh³/12 = I_req → h = (12·5,825 × 10⁷/100)^1/3 = 191,2 mm

Đáp số

h_req = 191,2 mm

Trong thực tế, hãy chọn chiều cao tiêu chuẩn kế tiếp lớn hơn giá trị này.

13.Mất ổn định cột

Đáp số: P_cr = 93,25 kN

Mất ổn định Euler: một cột mảnh mất ổn định tại P_cr = π²EI/(KL)², trong đó KL là chiều dài tính toán: K = 1 cho khớp–khớp, 2 cho ngàm–tự do, 0,7 cho ngàm–khớp và 0,5 cho ngàm–ngàm. Cột oằn quanh trục có I nhỏ nhất. Công thức đúng với cột mảnh, có ứng suất tới hạn thấp hơn ứng suất chảy.

Mômen quán tính nhỏ nhất của mặt cắt

Hình chữ nhật oằn quanh trục yếu, dùng kích thước nhỏ hơn lập phương.

I_min = h·b³/12 = 40·25³/12 = 52083 mm⁴

Chiều dài tính toán

KL = 0,7·1500 = 1050 mm

Tải trọng tới hạn

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·52083/1050² = 93250 N = 93,25 kN

Đáp số

P_cr = 93,25 kN

14.Mất ổn định cột

Đáp số: σ_cr = 49,35 MPa

Mômen quán tính nhỏ nhất của mặt cắt

Mặt cắt tròn có cùng I đối với mọi trục.

I = πd⁴/64 = π·40⁴/64 = 125664 mm⁴

Bán kính quán tính và độ mảnh

A = 1257 mm²

r = √(I/A) = √(125664/1257) = 10 mm

KL = 2·1000 = 2000 mm

KL/r = 2000/10 = 200

Ứng suất tới hạn

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/200² = 49,35 MPa

Đáp số

σ_cr = 49,35 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials