Sức bền vật liệu: gói ôn nước rút

Bảng công thức, các bước phương pháp chính cho từng chủ đề và 14 bài tập, kèm lời giải đầy đủ ở cuối.

Bài mới Quay lại môn học

Trong cửa sổ in, hãy chọn “Lưu dưới dạng PDF” để giữ một bản trên thiết bị của bạn.

1Công thức và phương pháp

Ứng suất và biến dạng dọc trục

Ứng suất pháp: σ = F/A
Biến dạng: ε = ΔL/L
Định luật Hooke: σ = E·ε
Độ giãn dài: ΔL = FL/(EA)
Biến dạng nhiệt: ε_T = α·ΔT

Xoắn của trục

Ứng suất tiếp: τ = T·r/J
Trục đặc: J = πd⁴/32
Trục rỗng: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Góc xoắn: φ = TL/(GJ)
Công suất: P = T·ω = 2πnT/60

Phương pháp

Tìm mômen quán tính độc cực: J = πd⁴/32 cho trục đặc.
Ứng suất tiếp ở bề mặt: τ = T·r/J, với r là bán kính ngoài.
Góc xoắn: φ = TL/(GJ) theo radian.
Nếu cho công suất, hãy tìm mômen xoắn trước bằng P = T·ω, ω = 2πn/60.

Lực cắt và mômen uốn

Lực cắt và mômen: V = ΣF ở một phía, M = ΣF·d ở một phía
Ứng suất uốn: σ = M·y/I
Hình chữ nhật: I = bh³/12
Mômen chống uốn của mặt cắt: W = I/y_max
Dầm đơn giản, tải phân bố đều: M_max = wL²/8

Phương pháp

Tìm phản lực gối từ cân bằng của cả dầm.
Cắt dầm tại mặt cắt bạn cần và giữ lại một phía.
Lực cắt: tổng các lực thẳng đứng ở phía đó. Mômen uốn: tổng mômen của chúng quanh mặt cắt.
Để tìm mômen lớn nhất, hãy tìm nơi lực cắt bằng không.

Trọng tâm và mômen quán tính mặt cắt

Trọng tâm: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Hình chữ nhật: I = bh³/12
Định lý trục song song: I = I_c + A·d²
Mặt cắt ghép: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suất

Tâm: C = (σ_x + σ_y)/2
Bán kính: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Ứng suất chính: σ_1,2 = C ± R
Phương chính: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Mặt phẳng nghiêng: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Phương pháp

Tính tâm của vòng tròn Mohr: C = (σx + σy)/2.
Tính bán kính: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Các ứng suất chính là C ± R và ứng suất tiếp lớn nhất trong mặt phẳng là R.
Các góc trên vòng tròn gấp đôi các góc trên phần tử: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Độ võng của dầm

Tải tập trung ở giữa nhịp: δ = PL³/(48EI)
Tải phân bố đều, dầm đơn giản: δ = 5wL⁴/(384EI)
Công xôn, tải ở đầu: δ = PL³/(3EI)
Công xôn, tải phân bố đều: δ = wL⁴/(8EI)
Nguyên lý xếp chồng: δ = δ₁ + δ₂

Mất ổn định cột

Tải Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Hệ số chiều dài tính toán: K = 1 khớp–khớp, 0,5 ngàm–ngàm, 0,7 ngàm–khớp, 2 ngàm–tự do
Ứng suất tới hạn: σ_cr = P_cr/A
Độ mảnh: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Bài tập

1.Ứng suất và biến dạng dọc trụcTrung bình

Một thanh thép (đường kính 25 mm, E = 200 GPa) nằm trong một ống làm bằng nhôm (đường kính ngoài 80 mm, đường kính trong 60 mm, E = 70 GPa). Cả hai dài 600 mm và bị nén cùng nhau giữa các tấm cứng bởi 80 kN. Tìm độ co ngắn δ.

P = 80 kNthanh: Ø25 mm, E = 200 GPaống: Ø80/Ø60 mm, E = 70 GPaL = 600 mm

δ = mm

2.Ứng suất và biến dạng dọc trụcKhó

Một đoạn thép (đường kính 40 mm, chiều dài 300 mm, E = 200 GPa) và một đoạn làm bằng đồng thanh (đường kính 30 mm, chiều dài 200 mm, E = 110 GPa) được nối đầu với đầu và ngàm giữa hai vách cứng. Một tải dọc trục 20 kN tác dụng tại chỗ nối, hướng về phía đoạn 2. Tìm độ lớn ứng suất σ₂ trong đoạn 2.

đoạn 1: thép, Ø40 mm, 300 mm, E = 200 GPađoạn 2: đồng thanh, Ø30 mm, 200 mm, E = 110 GPaP = 20 kN

σ₂ = MPa

3.Xoắn của trụcTrung bình

Một trục đặc đồng thau được ngàm vào tường và bị xoắn bởi mômen xoắn T ở đầu tự do. Tìm góc xoắn φ của đầu tự do, theo độ.

T = 250 N·md = 30 mmL = 2 mG = 39 GPa

φ = °

4.Xoắn của trụcKhó

Một trục đặc thép đường kính 60 mm được ngàm vào các tường cứng ở cả hai đầu A và B. Một mô-men xoắn 200 N·m đặt tại C, cách A 3 m và cách B 1,5 m. Tìm mô-men phản lực T_A tại tường A.

d = 60 mmT₀ = 200 N·ma = 3 mb = 1,5 m

T_A = N·m

5.Lực cắt và mômen uốnTrung bình

Các điểm đánh dấu từ A đến G chia dầm thành sáu phần bằng nhau. Tại điểm nào mômen uốn có độ lớn lớn nhất, dù võng hay vồng? Nhấp vào nó trong sơ đồ.

20 kN @ 6 m10 kN @ 4 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 2 m)
3C (x = 4 m)
4D (x = 6 m)
5E (x = 8 m)
6F (x = 10 m)
7G (x = 12 m)

6.Lực cắt và mômen uốnKhó

Tìm mômen uốn M_x tại mặt cắt x = 3,5 m tính từ gối A. Coi mômen làm dầm võng xuống là dương và lực cắt hướng lên trên mặt trái là dương.

L = 5 mP = 25 kN tại 1,5 mw = 6 kN/m từ 0 đến 5 mx = 3,5 m

M_x = kN·m

7.Trọng tâm và mômen quán tính mặt cắtTrung bình

Một tiết diện chữ I đối xứng có các cánh rộng 160 mm và dày 12 mm, chiều cao tổng thể 500 mm và bụng dày 6 mm. Tìm mô-men quán tính I_x của nó đối với trục nằm ngang x qua trọng tâm.

B = 160 mmH = 500 mmt_f = 12 mmt_w = 6 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Trọng tâm và mômen quán tính mặt cắtKhó

Mặt cắt chữ T được dùng làm dầm với cánh ở trên và chịu mômen uốn làm võng xuống 50 kN·m. Tìm ứng suất uốn σ_dưới ở mép dưới.

b_f = 200 mmt_f = 25 mmt_w = 8 mmh_w = 260 mmM = 50 kN·m

σ_dưới = MPa

9.Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suấtTrung bình

Một điểm có σₓ = −20 MPa, σᵧ = −40 MPa và τₓᵧ = 30 MPa (kéo là dương). Tìm góc θ_s, trong khoảng từ −90° đến 90°, từ trục x đến pháp tuyến của mặt có ứng suất cắt đạt giá trị dương lớn nhất +R (ứng suất cắt dương cùng chiều với τₓᵧ).

σ_x = −20 MPaσ_y = −40 MPaτ_xy = 30 MPa

θ_s = °

10.Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suấtKhó

Một điểm trong chi tiết chịu tải có σₓ = 150 MPa, σᵧ = 50 MPa và τₓᵧ = 30 MPa (kéo là dương). Tìm ứng suất tiếp τ_θ trên một mặt có pháp tuyến xoay 20° ngược chiều kim đồng hồ so với trục x (dương cùng chiều với τₓᵧ).

σ_x = 150 MPaσ_y = 50 MPaτ_xy = 30 MPaθ = 20°

τ_θ = MPa

11.Độ võng của dầmTrung bình

Một dầm công-xôn dài L ngàm tại A và chịu lực tập trung P tại vị trí cách A một đoạn a = 1,5 m. Tìm độ võng δ_B tại đầu tự do B.

P = 29 kNa = 1,5 mL = 6 mE = 200 GPa (thép)I = 84 × 10⁶ mm⁴

δ_B = mm

12.Độ võng của dầmKhó

Một dầm đơn giản chịu tải phân bố đều w. Độ võng của nó không được vượt quá nhịp/360. Tìm mômen quán tính nhỏ nhất của mặt cắt I_req thỏa mãn giới hạn này.

w = 20 kN/mL = 2 mE = 70 GPa (nhôm)

I_req = × 10⁶ mm⁴

13.Mất ổn định cộtTrung bình

Một cột dài L làm bằng nhôm được hai đầu khớp. Dùng công thức Euler, tìm tải trọng oằn tới hạn P_cr của nó.

L = 5 mE = 70 GPa (nhôm)b × h = 50 × 100 mm

P_cr = kN

14.Mất ổn định cộtKhó

Một cột tròn đặc dài L làm bằng nhôm được ngàm ở chân và khớp ở đỉnh. Nó phải chịu 120 kN với hệ số an toàn 2,5 chống oằn. Tìm đường kính nhỏ nhất d.

P = 120 kNn = 2,5L = 3 mE = 70 GPa (nhôm)

d = mm

3Dung dịch

1.Ứng suất và biến dạng dọc trục

Đáp số: δ = 0,1904 mm

Hai vật liệu: khi nối tiếp (cái này sau cái kia) mỗi đoạn chịu cùng một lực và các độ giãn dài cộng lại: δ = P·Σ L/(E·A). Khi song song (cạnh nhau giữa các tấm cứng) cả hai phần co lại cùng một lượng, nên biến dạng của chúng bằng nhau: phần cứng hơn nhận phần tải lớn hơn, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, và σ_i = E_i·ε. Một thanh bị giữ giữa hai vách cứng với tải đặt tại chỗ nối là siêu tĩnh: hai đoạn chia tải theo tỉ lệ độ cứng k = EA/L của chúng.

Diện tích

A_r = π·25²/4 = 490,9 mm²

A_t = π(80² − 60²)/4 = 2199 mm²

Độ cứng dọc trục kết hợp

ΣEA = 200·10³·490,9 + 70·10³·2199 = 2,521 × 10⁸ N

Độ co ngắn

δ = 80000·600/2,521 × 10⁸ = 0,1904 mm

Đáp số

δ = 0,1904 mm

2.Ứng suất và biến dạng dọc trục

Đáp số: σ₂ = 8,968 MPa

Các độ cứng

k₁ = 200000·1257/300 = 837758 N/mm

k₂ = 110000·706,9/200 = 388772 N/mm

Phần của đoạn 2

F₂ = 20000·388772/1,227 × 10⁶ = 6339 N

Ứng suất

σ₂ = 6339/706,9 = 8,968 MPa (nén)

Đáp số

σ₂ = 8,968 MPa

3.Xoắn của trục

Đáp số: φ = 9,237 °

Mômen quán tính độc cực của mặt cắt

J = π·30⁴/32 = 79522 mm⁴

Góc xoắn

φ = TL/(GJ) = 250·1000·2000/(39000·79522) = 0,1612 rad

φ = 0,1612·180/π = 9,237°

Đáp số

φ = 9,237°

4.Xoắn của trục

Đáp số: T_A = 66,67 N·m

Xoắn thanh tròn: ứng suất tiếp tăng tuyến tính từ không ở tâm đến τ_max = T·r/J ở bề mặt, với J = πd⁴/32 cho trục đặc và J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 cho trục rỗng. Góc xoắn là φ = TL/(GJ) tính bằng radian. Công suất và mômen xoắn liên hệ với nhau qua P = T·ω. Khi cả hai đầu bị ngàm, tĩnh học chỉ cho T_A + T_B = T₀; phương trình thứ hai là điều kiện tương thích (góc xoắn của hai phần bằng nhau tại tiết diện chịu tải).

Cân bằng và tương thích

T_A + T_B = 200

T_A·a = T_B·b

T_A = 200·1,5/4,5 = 66,67 N·m

T_B = 200·3/4,5 = 133,3 N·m

Đáp số

T_A = 66,67 N·m

5.Lực cắt và mômen uốn

Đáp số: D (x = 6 m)

Mômen uốn lớn nhất: M đổi độ dốc ở bất cứ chỗ nào lực cắt thay đổi, nên các đỉnh của nó nằm nơi lực cắt đi qua không: dưới một tải tập trung, bên trong một tải phân bố, hoặc trên một gối của phần công-xon. Tại ngàm của dầm công-xon, mômen lớn nhất ở chân tường. So sánh độ lớn của M tại những chỗ đó, dù là mômen làm võng hay làm vồng.

Phản lực gối

Lấy mômen quanh một gối tựa, rồi dùng cân bằng lực thẳng đứng.

R₁ = 16,67 kN, R₂ = 13,33 kN

Mômen uốn tại mỗi điểm đánh dấu

Cộng các mômen của mọi lực ở một phía của mặt cắt. Võng là dương, vồng là âm.

M_A = 0, M_B = 33,33, M_C = 66,67, M_D = 80 kN·m, M_E = 53,33, M_F = 26,67, M_G = 0

Đáp số

Điểm đánh dấu D: M_D = 80 kN·m

6.Lực cắt và mômen uốn

Đáp số: M_x = 27 kN·m

Phương pháp mặt cắt: cắt dầm tại vị trí cần tìm nội lực và giữ lại một phía. Lực cắt V cân bằng với các lực thẳng đứng ở phía đó, và mômen uốn M cân bằng với mômen của chúng quanh mặt cắt.

Phản lực gối

Cân bằng của cả dầm.

Hợp lực của tải phân bố đều: W = w·ℓ = 6·5 = 30 kN, đặt tại x̄ = 2,5 m

ΣM_A = 0: R_B·5 = 25·1,5 + 6·5·2,5

R_B = 112,5/5 = 22,5 kN

ΣF_y = 0: R_A = 55 − 22,5 = 32,5 kN

Cắt tại x = 3,5 m và giữ phần bên trái

Chỉ các lực bên trái mặt cắt xuất hiện. Phần tải phân bố đều được thay bằng một lực đặt tại giữa phần đó.

M = R_A·x − (mỗi tải bên trái mặt cắt × cánh tay đòn đến mặt cắt)

M_x = 32,5·3,5 − 25·(3,5 − 1,5) − 6·3,5·1,75 = 27 kN·m

Đáp số

M_x = 27 kN·m

7.Trọng tâm và mômen quán tính mặt cắt

Đáp số: I_x = 282,6 × 10⁶ mm⁴

Mô-men quán tính của tiết diện: với hình chữ nhật đối với trục qua trọng tâm của nó I = bh³/12, và đối với trục đáy bh³/3 (định lý trục song song I = I_c + A·d²). Lỗ rỗng được xử lý bằng cách trừ đi I của nó, miễn là cả hai phần có chung một trục. Mô-đun chống uốn đàn hồi là S = I/c, với c là khoảng cách đến thớ ngoài cùng.

Hình chữ nhật ngoài trừ hai phần khuyết hai bên

Hai phần khuyết cộng lại rộng (B − t_w) và cao h_w = H − 2t_f, và có chung trục x.

h_w = 500 − 2·12 = 476 mm

I_x = (B·H³ − (B − t_w)·h_w³)/12 = (160·500³ − 154·476³)/12

I_x = 2,826 × 10⁸ mm⁴ = 282,6 × 10⁶ mm⁴

Đáp số

I_x = 282,6 × 10⁶ mm⁴

8.Trọng tâm và mômen quán tính mặt cắt

Đáp số: σ_dưới = 275,8 MPa

Diện tích ghép: chia mặt cắt thành các hình chữ nhật. Trọng tâm là trung bình có trọng số theo diện tích ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Mômen quán tính của mặt cắt đối với trục đi qua trọng tâm bằng tổng bh³/12 của từng phần và số hạng trục song song A·d², trong đó d là khoảng cách từ trọng tâm của phần đó đến trọng tâm chung. Ứng suất uốn là σ = M·y/I.

Chia thành hai hình chữ nhật

Đo mọi y từ mép dưới.

cánh: A_f = 200·25 = 5000 mm², y_f = 260 + 25/2 = 272,5 mm

bụng: A_w = 8·260 = 2080 mm², y_w = 260/2 = 130 mm

Trọng tâm

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (5000·272,5 + 2080·130)/7080 = 230,6 mm

Định lý trục song song

cánh: 200·25³/12 + 5000·(272,5 − 230,6)² = 9,024 × 10⁶ mm⁴

bụng: 8·260³/12 + 2080·(130 − 230,6)² = 3,278 × 10⁷ mm⁴

I_x = 9,024 × 10⁶ + 3,278 × 10⁷ = 4,181 × 10⁷ mm⁴

Ứng suất uốn

Mép dưới cách trục ȳ.

y = 230,6 mm

σ = M·y/I = 5 × 10⁷·230,6/4,181 × 10⁷ = 275,8 MPa

Đáp số

σ_dưới = 275,8 MPa

9.Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suất

Đáp số: θ_s = −9,217 °

Biến đổi ứng suất phẳng: trên một mặt xoay góc θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Vòng tròn Mohr cho thấy tất cả các mặt cùng lúc: tâm của nó ở C = (σₓ + σᵧ)/2 và bán kính là R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Các ứng suất chính là C ± R, và ứng suất tiếp lớn nhất trong mặt phẳng là R.

Góc trên vòng tròn

Trên vòng tròn Mohr, điểm trên cùng (+R) lệch 90° so với điểm chính σ₁; trên phân tố đó là 45°.

cos 2θ_s = 30/31,62 = 0,9487, sin 2θ_s = −10/31,62 = −0,3162

2θ_s = atan2(−10, 30) = −18,43°

Góc trên phần tử

θ_s = −9,217°

kiểm tra: θ_s − θ_p = −9,217 − 35,78 = −45°

Đáp số

θ_s = −9,217°

Góc dương là ngược chiều kim đồng hồ.

10.Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suất

Đáp số: τ_θ = −9,158 MPa

Phương trình biến đổi

τ_θ = −50·0,6428 + 30·0,766 = −9,158 MPa

Đáp số

τ_θ = −9,158 MPa

11.Độ võng của dầm

Đáp số: δ_B = 10,68 mm

Độ võng của dầm: độ võng có được bằng cách tích phân độ cong M/(EI) hai lần. Các trường hợp tiêu chuẩn đã được lập bảng, ví dụ PL³/(3EI) cho dầm công xôn chịu tải ở đầu tự do và 5wL⁴/(384EI) cho dầm đơn giản chịu tải phân bố đều toàn nhịp. Độ võng do các tải riêng rẽ cộng lại (xếp chồng).

Đơn vị nhất quán

Làm việc theo N và mm: P theo N, w theo N/mm (kN/m = N/mm), L theo mm, E theo N/mm² (GPa × 1000), I theo mm⁴.

P = 29000 N, a = 1500 mm, L = 6000 mm

EI = 1,68 × 10¹³ N·mm²

Độ võng ở đầu tự do

Độ võng tại tải cộng góc xoay tại tải nhân với chiều dài còn lại.

δ_P = Pa³/(3EI) = 1,942 mm

θ_P = Pa²/(2EI) = 0,001942 rad

δ_B = δ_P + θ_P·(L − a) = Pa²(3L − a)/(6EI) = 10,68 mm

Đáp số

δ_B = 10,68 mm

12.Độ võng của dầm

Đáp số: I_req = 10,71 × 10⁶ mm⁴

Giới hạn độ võng

δ_allow = L/360 = 2000/360 = 5,556 mm

Mômen quán tính mặt cắt yêu cầu

I = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·20·2000⁴/(384·70000·5,556) = 1,071 × 10⁷ mm⁴

I_req = 10,71 × 10⁶ mm⁴

Đáp số

I_req = 10,71 × 10⁶ mm⁴

13.Mất ổn định cột

Đáp số: P_cr = 28,79 kN

Mất ổn định Euler: một cột mảnh mất ổn định tại P_cr = π²EI/(KL)², trong đó KL là chiều dài tính toán: K = 1 cho khớp–khớp, 2 cho ngàm–tự do, 0,7 cho ngàm–khớp và 0,5 cho ngàm–ngàm. Cột oằn quanh trục có I nhỏ nhất. Công thức đúng với cột mảnh, có ứng suất tới hạn thấp hơn ứng suất chảy.

Mômen quán tính nhỏ nhất của mặt cắt

Hình chữ nhật oằn quanh trục yếu, dùng kích thước nhỏ hơn lập phương.

I_min = h·b³/12 = 100·50³/12 = 1,042 × 10⁶ mm⁴

Chiều dài tính toán

KL = 1·5000 = 5000 mm

Tải trọng tới hạn

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·1,042 × 10⁶/5000² = 28786 N = 28,79 kN

Đáp số

P_cr = 28,79 kN

14.Mất ổn định cột

Đáp số: d = 79,03 mm

Tải trọng tới hạn yêu cầu

P_cr = n·P = 2,5·120000 = 300000 N

KL = 0,7·3000 = 2100 mm

Giải tìm đường kính

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·300000·2100²/(π³·70000))^(1/4) = 79,03 mm

Đáp số

d = 79,03 mm

Kiểm tra: độ mảnh KL/r là 106,3, nên cột là mảnh và công thức Euler áp dụng được.

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials