Sức bền vật liệu: gói ôn nước rút

Bảng công thức, các bước phương pháp chính cho từng chủ đề và 14 bài tập, kèm lời giải đầy đủ ở cuối.

Bài mớiQuay lại môn học

Trong cửa sổ in, hãy chọn “Lưu dưới dạng PDF” để giữ một bản trên thiết bị của bạn.

1Công thức và phương pháp

Ứng suất và biến dạng dọc trục

Ứng suất pháp
σ = F/A
Biến dạng
ε = ΔL/L
Định luật Hooke
σ = E·ε
Độ giãn dài
ΔL = FL/(EA)
Biến dạng nhiệt
εT = α·ΔT

Xoắn của trục

Ứng suất tiếp
τ = T·r/J
Trục đặc
J = πd⁴/32
Trục rỗng
J = π(D⁴ − d⁴)/32
Góc xoắn
φ = TL/(GJ)
Công suất
P = T·ω = 2πnT/60

Phương pháp

  1. Tìm mômen quán tính độc cực: J = πd⁴/32 cho trục đặc.
  2. Ứng suất tiếp ở bề mặt: τ = T·r/J, với r là bán kính ngoài.
  3. Góc xoắn: φ = TL/(GJ) theo radian.
  4. Nếu cho công suất, hãy tìm mômen xoắn trước bằng P = T·ω, ω = 2πn/60.

Lực cắt và mômen uốn

Lực cắt và mômen
V = ΣF ở một phía, M = ΣF·d ở một phía
Ứng suất uốn
σ = M·y/I
Hình chữ nhật
I = bh³/12
Mômen chống uốn của mặt cắt
W = I/ymax
Dầm đơn giản, tải phân bố đều
Mmax = wL²/8

Phương pháp

  1. Tìm phản lực gối từ cân bằng của cả dầm.
  2. Cắt dầm tại mặt cắt bạn cần và giữ lại một phía.
  3. Lực cắt: tổng các lực thẳng đứng ở phía đó. Mômen uốn: tổng mômen của chúng quanh mặt cắt.
  4. Để tìm mômen lớn nhất, hãy tìm nơi lực cắt bằng không.

Trọng tâm và mômen quán tính mặt cắt

Trọng tâm
ȳ = ΣAiyi/ΣAi
Hình chữ nhật
I = bh³/12
Định lý trục song song
I = Ic + A·d²
Mặt cắt ghép
I = Σ(Ic,i + Aidi²)

Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suất

Tâm
C = (σx + σy)/2
Bán kính
R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
Ứng suất chính
σ1,2 = C ± R
Phương chính
tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
Mặt phẳng nghiêng
σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ

Phương pháp

  1. Tính tâm của vòng tròn Mohr: C = (σx + σy)/2.
  2. Tính bán kính: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
  3. Các ứng suất chính là C ± R và ứng suất tiếp lớn nhất trong mặt phẳng là R.
  4. Các góc trên vòng tròn gấp đôi các góc trên phần tử: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Độ võng của dầm

Tải tập trung ở giữa nhịp
δ = PL³/(48EI)
Tải phân bố đều, dầm đơn giản
δ = 5wL⁴/(384EI)
Công xôn, tải ở đầu
δ = PL³/(3EI)
Công xôn, tải phân bố đều
δ = wL⁴/(8EI)
Nguyên lý xếp chồng
δ = δ1 + δ2

Mất ổn định cột

Tải Euler
Pcr = π²EI/(KL)²
Hệ số chiều dài tính toán
K = 1 khớp–khớp, 0,5 ngàm–ngàm, 0,7 ngàm–khớp, 2 ngàm–tự do
Ứng suất tới hạn
σcr = Pcr/A
Độ mảnh
λ = KL/r, r = √(I/A)

2Bài tập

1.Ứng suất và biến dạng dọc trụcTrung bình
P = ?12600 mm500 mmØ30Ø40δ = 0,5 mm

Một thanh gồm một đoạn thép (đường kính 30 mm, chiều dài 600 mm, E = 200 GPa) nối đầu với đầu với một đoạn làm bằng nhôm (đường kính 40 mm, chiều dài 500 mm, E = 70 GPa). Nó được ngàm một đầu và bị kéo ở đầu kia. Tìm tải dọc trục P làm nó giãn tổng cộng 0,5 mm.

đoạn 1: thép, Ø30 mm, 600 mm, E = 200 GPađoạn 2: nhôm, Ø40 mm, 500 mm, E = 70 GPaδ = 0,5 mm
P = kN
2.Ứng suất và biến dạng dọc trụcKhó
Ø 30 mmĐồng1,5 mØ 16 mmNhôm1,5 mP = 45 kN

Thanh bậc được ngàm vào tường và chịu tải ở đầu tự do. Tìm tổng độ giãn dài δ.

P = 45 kNđoạn 1: Ø30 mm, 1,5 m, đồng (E = 117 GPa)đoạn 2: Ø16 mm, 1,5 m, nhôm (E = 70 GPa)
δ = mm
3.Xoắn của trụcTrung bình
T = 200 N·md = 30 mmL = 1,2 mφ = ?

Một trục đặc thép được ngàm vào tường và bị xoắn bởi mômen xoắn T ở đầu tự do. Tìm góc xoắn φ của đầu tự do, theo độ.

T = 200 N·md = 30 mmL = 1,2 mG = 80 GPa
φ = °
4.Xoắn của trụcKhó
do​ = ?75 kW, 1800 rpm

Một trục rỗng phải truyền 75 kW ở 1800 rpm. Đường kính trong của nó bằng 0,6 lần đường kính ngoài, và ứng suất cắt không được vượt quá 75 MPa. Tìm đường kính ngoài nhỏ nhất do.

P = 75 kWN = 1800 rpmdi/do = 0,6τallow = 75 MPa
do = mm
5.Lực cắt và mômen uốnTrung bình
P1​ = 55 kNP2​ = 40 kNAB1 m1 m8 m

Dầm đơn giản chịu hai lực tập trung. Tìm mô-men uốn lớn nhất Mmax trong dầm.

L = 10 mP1 = 55 kN tại 1 mP2 = 40 kN tại 2 m
Mmax = kN·m
6.Lực cắt và mômen uốnKhó
12 kN/m35 kNABCDEFG1 m1 m1 m1 m1 m1 m

Các điểm đánh dấu từ A đến G chia dầm thành sáu phần bằng nhau. Tại điểm nào mômen uốn có độ lớn lớn nhất, dù võng hay vồng? Nhấp vào nó trong sơ đồ.

35 kN @ 6 m12 kN/m, 0–5 m
  1. 1A (x = 0 m)
  2. 2B (x = 1 m)
  3. 3C (x = 2 m)
  4. 4D (x = 3 m)
  5. 5E (x = 4 m)
  6. 6F (x = 5 m)
  7. 7G (x = 6 m)
7.Trọng tâm và mômen quán tính mặt cắtTrung bình
2202016020xkích thước tính bằng mm

Tìm mômen quán tính Ix của mặt cắt chữ T đối với trục ngang x đi qua trọng tâm.

bf = 220 mmtf = 20 mmtw = 20 mmhw = 160 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
8.Trọng tâm và mômen quán tính mặt cắtKhó
150 mm150 mm52,5 mm60 × 40xIx​ = ?

Một tấm 150 mm × 150 mm có một lỗ khoét hình chữ nhật rộng 60 mm và cao 40 mm, đặt giữa đường tâm thẳng đứng với tâm cách đáy 52,5 mm. Tìm mômen quán tính diện tích Ix quanh trục nằm ngang đi qua trọng tâm.

b = 150 mmh = 150 mmlỗ khoét: 60 × 40 mmtâm lỗ: y = 52,5 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
9.Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suấtTrung bình
σx​ = 100σy​ = 10τxy​ = −20MPa

Một điểm có σₓ = 100 MPa, σᵧ = 10 MPa và τₓᵧ = −20 MPa (kéo là dương). Tìm góc θs, trong khoảng từ −90° đến 90°, từ trục x đến pháp tuyến của mặt có ứng suất cắt đạt giá trị dương lớn nhất +R (ứng suất cắt dương cùng chiều với τₓᵧ).

σx = 100 MPaσy = 10 MPaτxy = −20 MPa
θs = °
10.Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suấtKhó
σx​ = −40σy​ = 40τxy​ = −10MPa

Một điểm trong một tấm mỏng ở trạng thái ứng suất phẳng: σₓ = −40 MPa, σᵧ = 40 MPa và τₓᵧ = −10 MPa (σz = 0). Tìm ứng suất tương đương von Mises σvM.

σx = −40 MPaσy = 40 MPaτxy = −10 MPa
σvM = MPa
11.Độ võng của dầmTrung bình
P = 20 kNABδ3 m2 m

Một dầm đơn giản chịu lực tập trung P tại vị trí cách gối A một đoạn a = 3 m. Tìm độ võng δP dưới tải.

P = 20 kNa = 3 mL = 5 mE = 200 GPa (thép)I = 57 × 10⁶ mm⁴
δP = mm
12.Độ võng của dầmKhó
w = 4 kN/mABδ3,5 m

Một dầm gỗ đơn giản có tiết diện chữ nhật, rộng 100 mm, chịu tải phân bố đều w trên toàn bộ nhịp. Độ võng tại giữa nhịp không được vượt quá nhịp/250. Tìm chiều cao tiết diện nhỏ nhất hreq.

w = 4 kN/mL = 3,5 mE = 11 GPa (gỗ xẻ)b = 100 mm
hreq = mm
13.Mất ổn định cộtTrung bình
PL = 1,5 md = 40 mmmặt cắt ngang

Một cột dài L làm bằng nhôm được hai đầu khớp. Dùng công thức Euler, tìm tải trọng oằn tới hạn Pcr của nó.

L = 1,5 mE = 70 GPa (nhôm)d = 40 mm
Pcr = kN
14.Mất ổn định cộtKhó
PL = 1 md = 40 mmmặt cắt ngang

Một cột dài L làm bằng nhôm được ngàm ở chân và tự do ở đỉnh. Tìm độ mảnh của nó và ứng suất oằn tới hạn σcr theo công thức Euler.

L = 1 mE = 70 GPa (nhôm)d = 40 mm
σcr = MPa

3Dung dịch

1.Ứng suất và biến dạng dọc trục

Đáp số: P = 50,36 kN

Hai vật liệu: khi nối tiếp (cái này sau cái kia) mỗi đoạn chịu cùng một lực và các độ giãn dài cộng lại: δ = P·Σ L/(E·A). Khi song song (cạnh nhau giữa các tấm cứng) cả hai phần co lại cùng một lượng, nên biến dạng của chúng bằng nhau: phần cứng hơn nhận phần tải lớn hơn, Pi = P·EiAi/ΣEA, và σi = Ei·ε. Một thanh bị giữ giữa hai vách cứng với tải đặt tại chỗ nối là siêu tĩnh: hai đoạn chia tải theo tỉ lệ độ cứng k = EA/L của chúng.

Diện tích

A₁ = 706,9 mm², A₂ = 1257 mm²

Các độ mềm

L₁/(E₁A₁) = 600/(200000·706,9) = 4,244 × 10⁻⁶ mm/N
L₂/(E₂A₂) = 500/(70000·1257) = 5,684 × 10⁻⁶ mm/N

Tải

P = 0,5/9,928 × 10⁻⁶ = 50361 N = 50,36 kN

Đáp số

P = 50,36 kN
2.Ứng suất và biến dạng dọc trục

Đáp số: δ = 5,612 mm

Cấu kiện chịu tải dọc trục: mỗi đoạn lăng trụ tuân theo δ = PL/(AE). Với các cấu kiện nối tiếp, độ giãn dài cộng lại.

Cùng một lực trong cả hai đoạn

Đầu tự do chịu lực P, nên mọi mặt cắt của thanh đều chịu cùng một lực dọc trục P. Chỉ có diện tích và vật liệu thay đổi.

A1 = π·30²/4 = 706,9 mm², A2 = π·16²/4 = 201,1 mm²
σ1 = 63,66 MPa
σ2 = 223,8 MPa

Cộng độ giãn dài của các đoạn

δ1 = σ1L1/E1 = 63,66·1500/117000 = 0,8162 mm
δ2 = σ2L2/E2 = 223,8·1500/70000 = 4,796 mm
δ = δ1 + δ2 = 5,612 mm

Đáp số

δ = 5,612 mm
3.Xoắn của trục

Đáp số: φ = 2,162 °

Xoắn thanh tròn: ứng suất tiếp tăng tuyến tính từ không ở tâm đến τmax = T·r/J ở bề mặt, với J = πd⁴/32 cho trục đặc và J = π(do⁴ − di⁴)/32 cho trục rỗng. Góc xoắn là φ = TL/(GJ) tính bằng radian. Công suất và mômen xoắn liên hệ với nhau qua P = T·ω.

Mômen quán tính độc cực của mặt cắt

J = π·30⁴/32 = 79522 mm⁴

Góc xoắn

φ = TL/(GJ) = 200·1000·1200/(80000·79522) = 0,03773 rad
φ = 0,03773·180/π = 2,162°

Đáp số

φ = 2,162°
4.Xoắn của trục

Đáp số: do = 31,43 mm

Xoắn thanh tròn: ứng suất tiếp tăng tuyến tính từ không ở tâm đến τmax = T·r/J ở bề mặt, với J = πd⁴/32 cho trục đặc và J = π(do⁴ − di⁴)/32 cho trục rỗng. Góc xoắn là φ = TL/(GJ) tính bằng radian. Công suất và mômen xoắn liên hệ với nhau qua P = T·ω.

Mômen xoắn

ω = 2πN/60 = 2π·1800/60 = 188,5 rad/s
T = P/ω = 75000/188,5 = 397,9 N·m

Đường kính ngoài từ ứng suất cho phép

T = 397,9 N·m = 397887 N·mm
1 − k⁴ = 1 − 0,6⁴ = 0,8704
do = ∛(16T/(π·τallow·(1 − k⁴))) = ∛(16·397887/(π·75·0,8704)) = 31,43 mm
di = 0,6·31,43 = 18,86 mm

Đáp số

do = 31,43 mm

Một trục đặc sẽ cần d = 30,01 mm; trục rỗng lớn hơn một chút nhưng nhẹ hơn nhiều.

5.Lực cắt và mômen uốn

Đáp số: Mmax = 108 kN·m

Phương pháp mặt cắt: cắt dầm tại vị trí cần tìm nội lực và giữ lại một phía. Lực cắt V cân bằng với các lực thẳng đứng ở phía đó, và mômen uốn M cân bằng với mômen của chúng quanh mặt cắt. Mô-men lớn nhất: vì dM/dx = V, mô-men uốn đạt cực trị tại nơi lực cắt đi qua không, hoặc tại một lực tập trung hoặc bên trong một tải phân bố.

Phản lực gối

Cân bằng của cả dầm.

ΣMA = 0: RB·10 = 55·1 + 40·2
RB = 135/10 = 13,5 kN
ΣFy = 0: RA = 95 − 13,5 = 81,5 kN

Mô-men dưới mỗi tải

Giữ phần bên trái của mỗi tải.

dưới P1: M = RA·1 = 81,5·1 = 81,5 kN·m
dưới P2: M = RB·8 = 13,5·8 = 108 kN·m

Giá trị lớn nhất

Mmax = 108 kN·m (dưới P2)

Đáp số

Mmax = 108 kN·m
6.Lực cắt và mômen uốn

Đáp số: F (x = 5 m)

Mômen uốn lớn nhất: M đổi độ dốc ở bất cứ chỗ nào lực cắt thay đổi, nên các đỉnh của nó nằm nơi lực cắt đi qua không: dưới một tải tập trung, bên trong một tải phân bố, hoặc trên một gối của phần công-xon. Tại ngàm của dầm công-xon, mômen lớn nhất ở chân tường. So sánh độ lớn của M tại những chỗ đó, dù là mômen làm võng hay làm vồng.

Phản lực gối

Lấy mômen quanh một gối tựa, rồi dùng cân bằng lực thẳng đứng.

R1 = 23 kN, R2 = 72 kN

Mômen uốn tại mỗi điểm đánh dấu

Cộng các mômen của mọi lực ở một phía của mặt cắt. Võng là dương, vồng là âm.

MA = 0, MB = 17, MC = 22, MD = 15, ME = −4, MF = −35 kN·m, MG = 0

Đáp số

Điểm đánh dấu F: MF = −35 kN·m
7.Trọng tâm và mômen quán tính mặt cắt

Đáp số: Ix = 21,98 × 10⁶ mm⁴

Diện tích ghép: chia mặt cắt thành các hình chữ nhật. Trọng tâm là trung bình có trọng số theo diện tích ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Mômen quán tính của mặt cắt đối với trục đi qua trọng tâm bằng tổng bh³/12 của từng phần và số hạng trục song song A·d², trong đó d là khoảng cách từ trọng tâm của phần đó đến trọng tâm chung. Ứng suất uốn là σ = M·y/I.

Chia thành hai hình chữ nhật

Đo mọi y từ mép dưới.

cánh: Af = 220·20 = 4400 mm², yf = 160 + 20/2 = 170 mm
bụng: Aw = 20·160 = 3200 mm², yw = 160/2 = 80 mm

Trọng tâm

ȳ = (Afyf + Awyw)/(Af + Aw) = (4400·170 + 3200·80)/7600 = 132,1 mm

Định lý trục song song

cánh: 220·20³/12 + 4400·(170 − 132,1)² = 6,465 × 10⁶ mm⁴
bụng: 20·160³/12 + 3200·(80 − 132,1)² = 1,551 × 10⁷ mm⁴
Ix = 6,465 × 10⁶ + 1,551 × 10⁷ = 2,198 × 10⁷ mm⁴ = 21,98 × 10⁶ mm⁴

Đáp số

Ix = 21,98 × 10⁶ mm⁴
8.Trọng tâm và mômen quán tính mặt cắt

Đáp số: Ix = 40,51 × 10⁶ mm⁴

Tiết diện có lỗ: coi lỗ là một diện tích âm. Trọng tâm là ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), với A₁, y₁ cho tấm đầy đủ và A₂, y₂ cho lỗ. Với mômen quán tính diện tích quanh trục đi qua trọng tâm, dùng định lý trục song song cho từng phần rồi trừ lỗ: I = (Ic1 + A₁d₁²) − (Ic2 + A₂d₂²), trong đó d là khoảng cách từ trọng tâm riêng của mỗi phần đến trục đi qua ȳ. Hình chữ nhật có Ic = bh³/12 và hình tròn có Ic = πd⁴/64.

Trọng tâm

ȳ = (22500·75 − 2400·52,5)/(22500 − 2400) = 77,69 mm

Tấm đầy đủ quanh ȳ

150·150³/12 + 22500·−2,687² = 42,35 × 10⁶ mm⁴

Lỗ quanh ȳ

60·40³/12 + 2400·−25,19² = 1,842 × 10⁶ mm⁴

Trừ

Ix = 40,51 × 10⁶ mm⁴

Đáp số

Ix = 40,51 × 10⁶ mm⁴
9.Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suất

Đáp số: θs = −56,98 °

Biến đổi ứng suất phẳng: trên một mặt xoay góc θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Vòng tròn Mohr cho thấy tất cả các mặt cùng lúc: tâm của nó ở C = (σₓ + σᵧ)/2 và bán kính là R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Các ứng suất chính là C ± R, và ứng suất tiếp lớn nhất trong mặt phẳng là R.

στxyCτmax​

Góc trên vòng tròn

Trên vòng tròn Mohr, điểm trên cùng (+R) lệch 90° so với điểm chính σ₁; trên phân tố đó là 45°.

cos 2θs = −20/49,24 = −0,4061, sin 2θs = −45/49,24 = −0,9138
2θs = atan2(−45, −20) = −114°

Góc trên phần tử

θs = −56,98°
kiểm tra: θs − θp = −56,98 − (−11,98) = −45°

Đáp số

θs = −56,98°

Góc dương là ngược chiều kim đồng hồ.

10.Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suất

Đáp số: σvM = 71,41 MPa

Biến đổi ứng suất phẳng: trên một mặt xoay góc θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Vòng tròn Mohr cho thấy tất cả các mặt cùng lúc: tâm của nó ở C = (σₓ + σᵧ)/2 và bán kính là R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Các ứng suất chính là C ± R, và ứng suất tiếp lớn nhất trong mặt phẳng là R. Tiêu chuẩn chảy: von Mises dự đoán vật liệu chảy khi σvM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²) đạt σY; Tresca khi ứng suất cắt lớn nhất tuyệt đối đạt σY/2.

στxyCσ1​σ2​

Ứng suất chính

C = 0 MPa, R = 41,23 MPa
σ1 = 41,23 MPa, σ2 = −41,23 MPa, σ3 = 0

Von Mises

σvM = √(41,23² − 41,23·(−41,23) + (−41,23)²) = 71,41 MPa

Đáp số

σvM = 71,41 MPa
11.Độ võng của dầm

Đáp số: δP = 4,211 mm

Độ võng của dầm: độ võng có được bằng cách tích phân độ cong M/(EI) hai lần. Các trường hợp tiêu chuẩn đã được lập bảng, ví dụ PL³/(3EI) cho dầm công xôn chịu tải ở đầu tự do và 5wL⁴/(384EI) cho dầm đơn giản chịu tải phân bố đều toàn nhịp. Độ võng do các tải riêng rẽ cộng lại (xếp chồng).

Đơn vị nhất quán

Làm việc theo N và mm: P theo N, w theo N/mm (kN/m = N/mm), L theo mm, E theo N/mm² (GPa × 1000), I theo mm⁴.

P = 20000 N, a = 3000 mm, b = 2000 mm, L = 5000 mm
EI = 1,14 × 10¹³ N·mm²

Độ võng dưới tải

δP = Pa²b²/(3EIL) = 20000·3000²·2000²/(3·1,14 × 10¹³·5000) = 4,211 mm

Đáp số

δP = 4,211 mm
12.Độ võng của dầm

Đáp số: hreq = 182,6 mm

Độ võng của dầm: độ võng có được bằng cách tích phân độ cong M/(EI) hai lần. Các trường hợp tiêu chuẩn đã được lập bảng, ví dụ PL³/(3EI) cho dầm công xôn chịu tải ở đầu tự do và 5wL⁴/(384EI) cho dầm đơn giản chịu tải phân bố đều toàn nhịp. Độ võng do các tải riêng rẽ cộng lại (xếp chồng).

Đơn vị nhất quán

Làm việc theo N và mm: P theo N, w theo N/mm (kN/m = N/mm), L theo mm, E theo N/mm² (GPa × 1000), I theo mm⁴.

w = 4 N/mm, L = 3500 mm, E = 11000 N/mm²

Giới hạn độ võng

δallow = L/250 = 3500/250 = 14 mm

Mômen quán tính mặt cắt yêu cầu

Ireq = 5wL⁴/(384·E·δallow) = 5·4·3500⁴/(384·11000·14) = 5,075 × 10⁷ mm⁴

Chiều cao cần thiết

bh³/12 = Ireq → h = (12·5,075 × 10⁷/100)1/3 = 182,6 mm

Đáp số

hreq = 182,6 mm

Trong thực tế, hãy chọn chiều cao tiêu chuẩn kế tiếp lớn hơn giá trị này.

13.Mất ổn định cột

Đáp số: Pcr = 38,59 kN

Mất ổn định Euler: một cột mảnh mất ổn định tại Pcr = π²EI/(KL)², trong đó KL là chiều dài tính toán: K = 1 cho khớp–khớp, 2 cho ngàm–tự do, 0,7 cho ngàm–khớp và 0,5 cho ngàm–ngàm. Cột oằn quanh trục có I nhỏ nhất. Công thức đúng với cột mảnh, có ứng suất tới hạn thấp hơn ứng suất chảy.

Mômen quán tính nhỏ nhất của mặt cắt

Mặt cắt tròn có cùng I đối với mọi trục.

I = πd⁴/64 = π·40⁴/64 = 125664 mm⁴

Chiều dài tính toán

KL = 1·1500 = 1500 mm

Tải trọng tới hạn

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·125664/1500² = 38586 N = 38,59 kN

Đáp số

Pcr = 38,59 kN
14.Mất ổn định cột

Đáp số: σcr = 17,27 MPa

Mất ổn định Euler: một cột mảnh mất ổn định tại Pcr = π²EI/(KL)², trong đó KL là chiều dài tính toán: K = 1 cho khớp–khớp, 2 cho ngàm–tự do, 0,7 cho ngàm–khớp và 0,5 cho ngàm–ngàm. Cột oằn quanh trục có I nhỏ nhất. Công thức đúng với cột mảnh, có ứng suất tới hạn thấp hơn ứng suất chảy.

Mômen quán tính nhỏ nhất của mặt cắt

Mặt cắt tròn có cùng I đối với mọi trục.

I = πd⁴/64 = π·40⁴/64 = 125664 mm⁴

Bán kính quán tính và độ mảnh

A = 1257 mm²
r = √(I/A) = √(125664/1257) = 10 mm
KL = 2·1000 = 2000 mm
KL/r = 2000/10 = 200

Ứng suất tới hạn

σcr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/200² = 17,27 MPa

Đáp số

σcr = 17,27 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials