Sức bền vật liệu: gói ôn nước rút

Bảng công thức, các bước phương pháp chính cho từng chủ đề và 14 bài tập, kèm lời giải đầy đủ ở cuối.

Bài mớiQuay lại môn học

Trong cửa sổ in, hãy chọn “Lưu dưới dạng PDF” để giữ một bản trên thiết bị của bạn.

1Công thức và phương pháp

Ứng suất và biến dạng dọc trục

Ứng suất pháp
σ = F/A
Biến dạng
ε = ΔL/L
Định luật Hooke
σ = E·ε
Độ giãn dài
ΔL = FL/(EA)
Biến dạng nhiệt
εT = α·ΔT

Xoắn của trục

Ứng suất tiếp
τ = T·r/J
Trục đặc
J = πd⁴/32
Trục rỗng
J = π(D⁴ − d⁴)/32
Góc xoắn
φ = TL/(GJ)
Công suất
P = T·ω = 2πnT/60

Phương pháp

  1. Tìm mômen quán tính độc cực: J = πd⁴/32 cho trục đặc.
  2. Ứng suất tiếp ở bề mặt: τ = T·r/J, với r là bán kính ngoài.
  3. Góc xoắn: φ = TL/(GJ) theo radian.
  4. Nếu cho công suất, hãy tìm mômen xoắn trước bằng P = T·ω, ω = 2πn/60.

Lực cắt và mômen uốn

Lực cắt và mômen
V = ΣF ở một phía, M = ΣF·d ở một phía
Ứng suất uốn
σ = M·y/I
Hình chữ nhật
I = bh³/12
Mômen chống uốn của mặt cắt
W = I/ymax
Dầm đơn giản, tải phân bố đều
Mmax = wL²/8

Phương pháp

  1. Tìm phản lực gối từ cân bằng của cả dầm.
  2. Cắt dầm tại mặt cắt bạn cần và giữ lại một phía.
  3. Lực cắt: tổng các lực thẳng đứng ở phía đó. Mômen uốn: tổng mômen của chúng quanh mặt cắt.
  4. Để tìm mômen lớn nhất, hãy tìm nơi lực cắt bằng không.

Trọng tâm và mômen quán tính mặt cắt

Trọng tâm
ȳ = ΣAiyi/ΣAi
Hình chữ nhật
I = bh³/12
Định lý trục song song
I = Ic + A·d²
Mặt cắt ghép
I = Σ(Ic,i + Aidi²)

Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suất

Tâm
C = (σx + σy)/2
Bán kính
R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
Ứng suất chính
σ1,2 = C ± R
Phương chính
tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
Mặt phẳng nghiêng
σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ

Phương pháp

  1. Tính tâm của vòng tròn Mohr: C = (σx + σy)/2.
  2. Tính bán kính: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
  3. Các ứng suất chính là C ± R và ứng suất tiếp lớn nhất trong mặt phẳng là R.
  4. Các góc trên vòng tròn gấp đôi các góc trên phần tử: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Độ võng của dầm

Tải tập trung ở giữa nhịp
δ = PL³/(48EI)
Tải phân bố đều, dầm đơn giản
δ = 5wL⁴/(384EI)
Công xôn, tải ở đầu
δ = PL³/(3EI)
Công xôn, tải phân bố đều
δ = wL⁴/(8EI)
Nguyên lý xếp chồng
δ = δ1 + δ2

Mất ổn định cột

Tải Euler
Pcr = π²EI/(KL)²
Hệ số chiều dài tính toán
K = 1 khớp–khớp, 0,5 ngàm–ngàm, 0,7 ngàm–khớp, 2 ngàm–tự do
Ứng suất tới hạn
σcr = Pcr/A
Độ mảnh
λ = KL/r, r = √(I/A)

2Bài tập

1.Ứng suất và biến dạng dọc trụcTrung bình
P = ?12400 mm300 mmØ25Ø30δ = 0,5 mm

Một thanh gồm một đoạn thép (đường kính 25 mm, chiều dài 400 mm, E = 200 GPa) nối đầu với đầu với một đoạn làm bằng đồng thau (đường kính 30 mm, chiều dài 300 mm, E = 100 GPa). Nó được ngàm một đầu và bị kéo ở đầu kia. Tìm tải dọc trục P làm nó giãn tổng cộng 0,5 mm.

đoạn 1: thép, Ø25 mm, 400 mm, E = 200 GPađoạn 2: đồng thau, Ø30 mm, 300 mm, E = 100 GPaδ = 0,5 mm
P = kN
2.Ứng suất và biến dạng dọc trụcKhó
Ø 40 mmĐồng1 mØ 20 mmĐồng thau1,5 mP = 35 kN

Thanh bậc được ngàm vào tường và chịu tải ở đầu tự do. Tìm tổng độ giãn dài δ.

P = 35 kNđoạn 1: Ø40 mm, 1 m, đồng (E = 117 GPa)đoạn 2: Ø20 mm, 1,5 m, đồng thau (E = 100 GPa)
δ = mm
3.Xoắn của trụcTrung bình
do​ = 75, di​ = 53 mmT = 400 N·mL = 1 m

Một trục rỗng nhôm (đường kính ngoài 75 mm, đường kính trong 53 mm, chiều dài 1 m) được ngàm một đầu và bị xoắn bởi mô-men xoắn 400 N·m ở đầu kia. Tìm góc xoắn φ theo độ.

T = 400 N·mdo = 75 mmdi = 53 mmL = 1 mG = 26 GPa
φ = °
4.Xoắn của trụcKhó
Td = ?

Một trục đặc phải truyền 75 kW ở 1000 rpm mà ứng suất tiếp không vượt quá 40 MPa. Tìm đường kính nhỏ nhất d thỏa mãn.

P = 75 kWN = 1000 rpmτallow = 40 MPa
d = mm
5.Lực cắt và mômen uốnTrung bình
12 kN/m50 kNABCDEFG1 m1 m1 m1 m1 m1 m

Các điểm đánh dấu từ A đến G chia dầm thành sáu phần bằng nhau. Tại điểm nào mômen uốn có độ lớn lớn nhất, dù võng hay vồng? Nhấp vào nó trong sơ đồ.

50 kN @ 5 m12 kN/m, 2–6 m
  1. 1A (x = 0 m)
  2. 2B (x = 1 m)
  3. 3C (x = 2 m)
  4. 4D (x = 3 m)
  5. 5E (x = 4 m)
  6. 6F (x = 5 m)
  7. 7G (x = 6 m)
6.Lực cắt và mômen uốnKhó
w = 10 kN/mP = 55 kNABmặt cắt1 m9 m

Tìm mômen uốn Mx tại mặt cắt x = 1 m tính từ gối A. Coi mômen làm dầm võng xuống là dương và lực cắt hướng lên trên mặt trái là dương.

L = 10 mP = 55 kN tại 1 mw = 10 kN/m từ 0 đến 10 mx = 1 m
Mx = kN·m
7.Trọng tâm và mômen quán tính mặt cắtTrung bình
160190t = 18xkích thước tính bằng mm

Một tiết diện chữ U đặt với mặt hở hướng lên: một bản đáy rộng 160 mm với hai cánh đứng, tổng chiều cao 190 mm. Đáy và các cánh đều dày 18 mm. Tìm mô-men quán tính Ix của nó đối với trục nằm ngang x qua trọng tâm.

b = 160 mmh = 190 mmt = 18 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
8.Trọng tâm và mômen quán tính mặt cắtKhó
120 mm300 mm180 mm50 × 20xIx​ = ?

Một tấm 120 mm × 300 mm có một lỗ khoét hình chữ nhật rộng 50 mm và cao 20 mm, đặt giữa đường tâm thẳng đứng với tâm cách đáy 180 mm. Tìm mômen quán tính diện tích Ix quanh trục nằm ngang đi qua trọng tâm.

b = 120 mmh = 300 mmlỗ khoét: 50 × 20 mmtâm lỗ: y = 180 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
9.Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suấtTrung bình
σx​ = −20σy​ = −80τxy​ = 60MPa

Một điểm trong một tấm mỏng ở trạng thái ứng suất phẳng: σₓ = −20 MPa, σᵧ = −80 MPa và τₓᵧ = 60 MPa, với σz = 0. Tìm ứng suất cắt lớn nhất tuyệt đối τabs tại điểm đó (xét mọi mặt trong không gian ba chiều).

σx = −20 MPaσy = −80 MPaτxy = 60 MPaσz = 0
τabs = MPa
10.Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suấtKhó
σx​ = 160σy​ = −20τxy​ = 50MPa

Một điểm trong chi tiết chịu tải có σₓ = 160 MPa, σᵧ = −20 MPa và τₓᵧ = 50 MPa (kéo là dương). Tìm ứng suất pháp σθ trên một mặt có pháp tuyến xoay 45° ngược chiều kim đồng hồ so với trục x.

σx = 160 MPaσy = −20 MPaτxy = 50 MPaθ = 45°
σθ = MPa
11.Độ võng của dầmTrung bình
P = 23 kNABδ6,5 m1,5 m

Một dầm đơn giản chịu lực tập trung P tại vị trí cách gối A một đoạn a = 6,5 m. Tìm độ võng δP dưới tải.

P = 23 kNa = 6,5 mL = 8 mE = 200 GPa (thép)I = 12 × 10⁶ mm⁴
δP = mm
12.Độ võng của dầmKhó
P = 12 kNP = 12 kNABδ2 m2 m2 m

Một dầm đơn giản chịu hai lực tập trung P bằng nhau tại các điểm chia ba (cách mỗi gối L/3). Dùng nguyên lý chồng chất, tìm độ võng δmax tại giữa nhịp.

P = 12 kNL = 6 mE = 11 GPa (gỗ xẻ)I = 160 × 10⁶ mm⁴
δmax = mm
13.Mất ổn định cộtTrung bình
PL = 3 m25 × 50 mmmặt cắt ngang

Một cột dài L làm bằng nhôm được hai đầu khớp. Dùng công thức Euler, tìm tải trọng oằn tới hạn Pcr của nó.

L = 3 mE = 70 GPa (nhôm)b × h = 25 × 50 mm
Pcr = kN
14.Mất ổn định cộtKhó
P = 95 kNL = 4 md = ?mặt cắt ngang

Một cột tròn đặc dài L làm bằng nhôm được ngàm ở chân và tự do ở đỉnh. Nó phải chịu 95 kN với hệ số an toàn 3 chống oằn. Tìm đường kính nhỏ nhất d.

P = 95 kNn = 3L = 4 mE = 70 GPa (nhôm)
d = mm

3Dung dịch

1.Ứng suất và biến dạng dọc trục

Đáp số: P = 60,11 kN

Hai vật liệu: khi nối tiếp (cái này sau cái kia) mỗi đoạn chịu cùng một lực và các độ giãn dài cộng lại: δ = P·Σ L/(E·A). Khi song song (cạnh nhau giữa các tấm cứng) cả hai phần co lại cùng một lượng, nên biến dạng của chúng bằng nhau: phần cứng hơn nhận phần tải lớn hơn, Pi = P·EiAi/ΣEA, và σi = Ei·ε. Một thanh bị giữ giữa hai vách cứng với tải đặt tại chỗ nối là siêu tĩnh: hai đoạn chia tải theo tỉ lệ độ cứng k = EA/L của chúng.

Diện tích

A₁ = 490,9 mm², A₂ = 706,9 mm²

Các độ mềm

L₁/(E₁A₁) = 400/(200000·490,9) = 4,074 × 10⁻⁶ mm/N
L₂/(E₂A₂) = 300/(100000·706,9) = 4,244 × 10⁻⁶ mm/N

Tải

P = 0,5/8,318 × 10⁻⁶ = 60107 N = 60,11 kN

Đáp số

P = 60,11 kN
2.Ứng suất và biến dạng dọc trục

Đáp số: δ = 1,909 mm

Cấu kiện chịu tải dọc trục: mỗi đoạn lăng trụ tuân theo δ = PL/(AE). Với các cấu kiện nối tiếp, độ giãn dài cộng lại.

Cùng một lực trong cả hai đoạn

Đầu tự do chịu lực P, nên mọi mặt cắt của thanh đều chịu cùng một lực dọc trục P. Chỉ có diện tích và vật liệu thay đổi.

A1 = π·40²/4 = 1257 mm², A2 = π·20²/4 = 314,2 mm²
σ1 = 27,85 MPa
σ2 = 111,4 MPa

Cộng độ giãn dài của các đoạn

δ1 = σ1L1/E1 = 27,85·1000/117000 = 0,2381 mm
δ2 = σ2L2/E2 = 111,4·1500/100000 = 1,671 mm
δ = δ1 + δ2 = 1,909 mm

Đáp số

δ = 1,909 mm
3.Xoắn của trục

Đáp số: φ = 0,378 °

Xoắn thanh tròn: ứng suất tiếp tăng tuyến tính từ không ở tâm đến τmax = T·r/J ở bề mặt, với J = πd⁴/32 cho trục đặc và J = π(do⁴ − di⁴)/32 cho trục rỗng. Góc xoắn là φ = TL/(GJ) tính bằng radian. Công suất và mômen xoắn liên hệ với nhau qua P = T·ω.

Mômen quán tính độc cực của mặt cắt

J = π(75⁴ − 53⁴)/32 = 2,332 × 10⁶ mm⁴

Góc xoắn

T = 400 N·m = 400000 N·mm
L = 1 m = 1000 mm
G = 26 GPa = 26000 MPa
φ = TL/(GJ) = 400000·1000/(26000·2,332 × 10⁶) = 0,006598 rad
φ = 0,006598·180/π = 0,378°

Đáp số

φ = 0,378°
4.Xoắn của trục

Đáp số: d = 45,01 mm

Xoắn thanh tròn: ứng suất tiếp tăng tuyến tính từ không ở tâm đến τmax = T·r/J ở bề mặt, với J = πd⁴/32 cho trục đặc và J = π(do⁴ − di⁴)/32 cho trục rỗng. Góc xoắn là φ = TL/(GJ) tính bằng radian. Công suất và mômen xoắn liên hệ với nhau qua P = T·ω.

Mômen xoắn

ω = 2πN/60 = 2π·1000/60 = 104,7 rad/s
T = P/ω = 75000/104,7 = 716,2 N·m

Đường kính từ ứng suất cho phép

d = ∛(16T/(π·τallow)) = ∛(16·716197/(π·40)) = 45,01 mm

Đáp số

d = 45,01 mm

Trong thực tế bạn sẽ làm tròn lên kích thước tiêu chuẩn kế tiếp.

5.Lực cắt và mômen uốn

Đáp số: E (x = 4 m)

Mômen uốn lớn nhất: M đổi độ dốc ở bất cứ chỗ nào lực cắt thay đổi, nên các đỉnh của nó nằm nơi lực cắt đi qua không: dưới một tải tập trung, bên trong một tải phân bố, hoặc trên một gối của phần công-xon. Tại ngàm của dầm công-xon, mômen lớn nhất ở chân tường. So sánh độ lớn của M tại những chỗ đó, dù là mômen làm võng hay làm vồng.

Phản lực gối

Lấy mômen quanh một gối tựa, rồi dùng cân bằng lực thẳng đứng.

R1 = 24,33 kN, R2 = 73,67 kN

Mômen uốn tại mỗi điểm đánh dấu

Cộng các mômen của mọi lực ở một phía của mặt cắt. Võng là dương, vồng là âm.

MA = 0, MB = 24,33, MC = 48,67, MD = 67, ME = 73,33 kN·m, MF = 67,67, MG = 0

Đáp số

Điểm đánh dấu E: ME = 73,33 kN·m
6.Lực cắt và mômen uốn

Đáp số: Mx = 94,5 kN·m

Phương pháp mặt cắt: cắt dầm tại vị trí cần tìm nội lực và giữ lại một phía. Lực cắt V cân bằng với các lực thẳng đứng ở phía đó, và mômen uốn M cân bằng với mômen của chúng quanh mặt cắt.

Phản lực gối

Cân bằng của cả dầm.

Hợp lực của tải phân bố đều: W = w·ℓ = 10·10 = 100 kN, đặt tại x̄ = 5 m
ΣMA = 0: RB·10 = 55·1 + 10·10·5
RB = 555/10 = 55,5 kN
ΣFy = 0: RA = 155 − 55,5 = 99,5 kN
w = 10 kN/mP = 55 kNABRA​ = 99,5RB​ = 55,5mặt cắt1 m9 m

Cắt tại x = 1 m và giữ phần bên trái

Chỉ các lực bên trái mặt cắt xuất hiện. Phần tải phân bố đều được thay bằng một lực đặt tại giữa phần đó.

M = RA·x − (mỗi tải bên trái mặt cắt × cánh tay đòn đến mặt cắt)
Mx = 99,5·1 − 10·1·0,5 = 94,5 kN·m

Đáp số

Mx = 94,5 kN·m
7.Trọng tâm và mômen quán tính mặt cắt

Đáp số: Ix = 33,08 × 10⁶ mm⁴

Diện tích ghép: chia mặt cắt thành các hình chữ nhật. Trọng tâm là trung bình có trọng số theo diện tích ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Mômen quán tính của mặt cắt đối với trục đi qua trọng tâm bằng tổng bh³/12 của từng phần và số hạng trục song song A·d², trong đó d là khoảng cách từ trọng tâm của phần đó đến trọng tâm chung. Ứng suất uốn là σ = M·y/I.

Chia thành các hình chữ nhật

Lấy đáy với toàn bộ chiều rộng và hai cánh phía trên nó (cao h − t), để không có phần nào bị tính hai lần.

nền: A1 = 160·18 = 2880 mm², y1 = 9 mm
hai cánh: A2 = 2·18·172 = 6192 mm², y2 = 18 + 172/2 = 104 mm

Trọng tâm

ȳ = (2880·9 + 6192·104)/9072 = 73,84 mm

Định lý trục song song

nền: 160·18³/12 + 2880·(9 − 73,84)² = 1,219 × 10⁷ mm⁴
hai cánh: 2·18·172³/12 + 6192·(104 − 73,84)² = 2,09 × 10⁷ mm⁴
Ix = 1,219 × 10⁷ + 2,09 × 10⁷
Ix = 3,308 × 10⁷ mm⁴ = 33,08 × 10⁶ mm⁴

Đáp số

Ix = 33,08 × 10⁶ mm⁴
8.Trọng tâm và mômen quán tính mặt cắt

Đáp số: Ix = 269 × 10⁶ mm⁴

Tiết diện có lỗ: coi lỗ là một diện tích âm. Trọng tâm là ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), với A₁, y₁ cho tấm đầy đủ và A₂, y₂ cho lỗ. Với mômen quán tính diện tích quanh trục đi qua trọng tâm, dùng định lý trục song song cho từng phần rồi trừ lỗ: I = (Ic1 + A₁d₁²) − (Ic2 + A₂d₂²), trong đó d là khoảng cách từ trọng tâm riêng của mỗi phần đến trục đi qua ȳ. Hình chữ nhật có Ic = bh³/12 và hình tròn có Ic = πd⁴/64.

Trọng tâm

ȳ = (36000·150 − 1000·180)/(36000 − 1000) = 149,1 mm

Tấm đầy đủ quanh ȳ

120·300³/12 + 36000·0,8571² = 270 × 10⁶ mm⁴

Lỗ quanh ȳ

50·20³/12 + 1000·30,86² = 0,9855 × 10⁶ mm⁴

Trừ

Ix = 269 × 10⁶ mm⁴

Đáp số

Ix = 269 × 10⁶ mm⁴
9.Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suất

Đáp số: τabs = 67,08 MPa

Biến đổi ứng suất phẳng: trên một mặt xoay góc θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Vòng tròn Mohr cho thấy tất cả các mặt cùng lúc: tâm của nó ở C = (σₓ + σᵧ)/2 và bán kính là R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Các ứng suất chính là C ± R, và ứng suất tiếp lớn nhất trong mặt phẳng là R. Trong không gian ba chiều, ứng suất cắt lớn nhất tuyệt đối là (σmax − σmin)/2 trên cả ba ứng suất chính; trong ứng suất phẳng, ứng suất thứ ba bằng không.

στxyCσ1​σ2​

Các ứng suất chính trong mặt phẳng

C = −50 MPa, R = √(30² + 60²) = 67,08 MPa
σ1 = 17,08 MPa, σ2 = −117,1 MPa, σz = 0

Vòng tròn lớn nhất trong ba vòng tròn

τ = max(|σ1 − σ2|, |σ1|, |σ2|)/2 = max(134,2, 17,08, 117,1)/2 = 67,08 MPa

Đáp số

τabs = 67,08 MPa

Ở đây σ₁ và σ₂ trái dấu, nên giá trị lớn nhất trong mặt phẳng R cũng là giá trị lớn nhất tuyệt đối.

10.Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suất

Đáp số: σθ = 120 MPa

Biến đổi ứng suất phẳng: trên một mặt xoay góc θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Vòng tròn Mohr cho thấy tất cả các mặt cùng lúc: tâm của nó ở C = (σₓ + σᵧ)/2 và bán kính là R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Các ứng suất chính là C ± R, và ứng suất tiếp lớn nhất trong mặt phẳng là R.

Phương trình biến đổi

σθ = 70 + 90·0 + 50·1 = 120 MPa

Đáp số

σθ = 120 MPa
11.Độ võng của dầm

Đáp số: δP = 37,96 mm

Độ võng của dầm: độ võng có được bằng cách tích phân độ cong M/(EI) hai lần. Các trường hợp tiêu chuẩn đã được lập bảng, ví dụ PL³/(3EI) cho dầm công xôn chịu tải ở đầu tự do và 5wL⁴/(384EI) cho dầm đơn giản chịu tải phân bố đều toàn nhịp. Độ võng do các tải riêng rẽ cộng lại (xếp chồng).

Đơn vị nhất quán

Làm việc theo N và mm: P theo N, w theo N/mm (kN/m = N/mm), L theo mm, E theo N/mm² (GPa × 1000), I theo mm⁴.

P = 23000 N, a = 6500 mm, b = 1500 mm, L = 8000 mm
EI = 2,4 × 10¹² N·mm²

Độ võng dưới tải

δP = Pa²b²/(3EIL) = 23000·6500²·1500²/(3·2,4 × 10¹²·8000) = 37,96 mm

Đáp số

δP = 37,96 mm
12.Độ võng của dầm

Đáp số: δmax = 52,27 mm

Độ võng của dầm: độ võng có được bằng cách tích phân độ cong M/(EI) hai lần. Các trường hợp tiêu chuẩn đã được lập bảng, ví dụ PL³/(3EI) cho dầm công xôn chịu tải ở đầu tự do và 5wL⁴/(384EI) cho dầm đơn giản chịu tải phân bố đều toàn nhịp. Độ võng do các tải riêng rẽ cộng lại (xếp chồng).

Đơn vị nhất quán

Làm việc theo N và mm: P theo N, w theo N/mm (kN/m = N/mm), L theo mm, E theo N/mm² (GPa × 1000), I theo mm⁴.

P = 12000 N, L = 6000 mm
EI = 1,76 × 10¹² N·mm²

Một tải tại L/3

δ₁ = Pb(3L² − 4b²)/(48EI), b = L/3 = 2000 mm
δ₁ = 26,14 mm

Cộng cả hai tải

δmax = 2·δ₁ = 23PL³/(648EI) = 52,27 mm

Đáp số

δmax = 52,27 mm
13.Mất ổn định cột

Đáp số: Pcr = 4,998 kN

Mất ổn định Euler: một cột mảnh mất ổn định tại Pcr = π²EI/(KL)², trong đó KL là chiều dài tính toán: K = 1 cho khớp–khớp, 2 cho ngàm–tự do, 0,7 cho ngàm–khớp và 0,5 cho ngàm–ngàm. Cột oằn quanh trục có I nhỏ nhất. Công thức đúng với cột mảnh, có ứng suất tới hạn thấp hơn ứng suất chảy.

Mômen quán tính nhỏ nhất của mặt cắt

Hình chữ nhật oằn quanh trục yếu, dùng kích thước nhỏ hơn lập phương.

Imin = h·b³/12 = 50·25³/12 = 65104 mm⁴

Chiều dài tính toán

KL = 1·3000 = 3000 mm

Tải trọng tới hạn

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·65104/3000² = 4998 N = 4,998 kN

Đáp số

Pcr = 4,998 kN
14.Mất ổn định cột

Đáp số: d = 152,3 mm

Mất ổn định Euler: một cột mảnh mất ổn định tại Pcr = π²EI/(KL)², trong đó KL là chiều dài tính toán: K = 1 cho khớp–khớp, 2 cho ngàm–tự do, 0,7 cho ngàm–khớp và 0,5 cho ngàm–ngàm. Cột oằn quanh trục có I nhỏ nhất. Công thức đúng với cột mảnh, có ứng suất tới hạn thấp hơn ứng suất chảy.

Tải trọng tới hạn yêu cầu

Pcr = n·P = 3·95000 = 285000 N
KL = 2·4000 = 8000 mm

Giải tìm đường kính

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·285000·8000²/(π³·70000))^(1/4) = 152,3 mm

Đáp số

d = 152,3 mm

Kiểm tra: độ mảnh KL/r là 210,1, nên cột là mảnh và công thức Euler áp dụng được.

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials