Sức bền vật liệu: gói ôn nước rút

Bảng công thức, các bước phương pháp chính cho từng chủ đề và 14 bài tập, kèm lời giải đầy đủ ở cuối.

Bài mớiQuay lại môn học

Trong cửa sổ in, hãy chọn “Lưu dưới dạng PDF” để giữ một bản trên thiết bị của bạn.

1Công thức và phương pháp

Ứng suất và biến dạng dọc trục

Ứng suất pháp
σ = F/A
Biến dạng
ε = ΔL/L
Định luật Hooke
σ = E·ε
Độ giãn dài
ΔL = FL/(EA)
Biến dạng nhiệt
εT = α·ΔT

Xoắn của trục

Ứng suất tiếp
τ = T·r/J
Trục đặc
J = πd⁴/32
Trục rỗng
J = π(D⁴ − d⁴)/32
Góc xoắn
φ = TL/(GJ)
Công suất
P = T·ω = 2πnT/60

Phương pháp

  1. Tìm mômen quán tính độc cực: J = πd⁴/32 cho trục đặc.
  2. Ứng suất tiếp ở bề mặt: τ = T·r/J, với r là bán kính ngoài.
  3. Góc xoắn: φ = TL/(GJ) theo radian.
  4. Nếu cho công suất, hãy tìm mômen xoắn trước bằng P = T·ω, ω = 2πn/60.

Lực cắt và mômen uốn

Lực cắt và mômen
V = ΣF ở một phía, M = ΣF·d ở một phía
Ứng suất uốn
σ = M·y/I
Hình chữ nhật
I = bh³/12
Mômen chống uốn của mặt cắt
W = I/ymax
Dầm đơn giản, tải phân bố đều
Mmax = wL²/8

Phương pháp

  1. Tìm phản lực gối từ cân bằng của cả dầm.
  2. Cắt dầm tại mặt cắt bạn cần và giữ lại một phía.
  3. Lực cắt: tổng các lực thẳng đứng ở phía đó. Mômen uốn: tổng mômen của chúng quanh mặt cắt.
  4. Để tìm mômen lớn nhất, hãy tìm nơi lực cắt bằng không.

Trọng tâm và mômen quán tính mặt cắt

Trọng tâm
ȳ = ΣAiyi/ΣAi
Hình chữ nhật
I = bh³/12
Định lý trục song song
I = Ic + A·d²
Mặt cắt ghép
I = Σ(Ic,i + Aidi²)

Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suất

Tâm
C = (σx + σy)/2
Bán kính
R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
Ứng suất chính
σ1,2 = C ± R
Phương chính
tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
Mặt phẳng nghiêng
σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ

Phương pháp

  1. Tính tâm của vòng tròn Mohr: C = (σx + σy)/2.
  2. Tính bán kính: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
  3. Các ứng suất chính là C ± R và ứng suất tiếp lớn nhất trong mặt phẳng là R.
  4. Các góc trên vòng tròn gấp đôi các góc trên phần tử: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Độ võng của dầm

Tải tập trung ở giữa nhịp
δ = PL³/(48EI)
Tải phân bố đều, dầm đơn giản
δ = 5wL⁴/(384EI)
Công xôn, tải ở đầu
δ = PL³/(3EI)
Công xôn, tải phân bố đều
δ = wL⁴/(8EI)
Nguyên lý xếp chồng
δ = δ1 + δ2

Mất ổn định cột

Tải Euler
Pcr = π²EI/(KL)²
Hệ số chiều dài tính toán
K = 1 khớp–khớp, 0,5 ngàm–ngàm, 0,7 ngàm–khớp, 2 ngàm–tự do
Ứng suất tới hạn
σcr = Pcr/A
Độ mảnh
λ = KL/r, r = √(I/A)

2Bài tập

1.Ứng suất và biến dạng dọc trụcTrung bình
200 kNØ20110 GPaØ100/60500 mmδ = ?

Một thanh thép (đường kính 20 mm, E = 200 GPa) nằm trong một ống làm bằng đồng thanh (đường kính ngoài 100 mm, đường kính trong 60 mm, E = 110 GPa). Cả hai dài 500 mm và bị nén cùng nhau giữa các tấm cứng bởi 200 kN. Tìm độ co ngắn δ.

P = 200 kNthanh: Ø20 mm, E = 200 GPaống: Ø100/Ø60 mm, E = 110 GPaL = 500 mm
δ = mm
2.Ứng suất và biến dạng dọc trụcKhó
30 kN12400 mm200 mmØ25Ø40σ2​ = ?

Một đoạn thép (đường kính 25 mm, chiều dài 400 mm, E = 200 GPa) và một đoạn làm bằng nhôm (đường kính 40 mm, chiều dài 200 mm, E = 70 GPa) được nối đầu với đầu và ngàm giữa hai vách cứng. Một tải dọc trục 30 kN tác dụng tại chỗ nối, hướng về phía đoạn 2. Tìm độ lớn ứng suất σ2 trong đoạn 2.

đoạn 1: thép, Ø25 mm, 400 mm, E = 200 GPađoạn 2: nhôm, Ø40 mm, 200 mm, E = 70 GPaP = 30 kN
σ2 = MPa
3.Xoắn của trụcTrung bình
d = ?T = 500 N·mL = 0,5 m

Một trục thép đặc dài 0,5 m chịu mô-men xoắn 500 N·m. Góc xoắn giữa hai đầu không được vượt quá 3°. Tìm đường kính nhỏ nhất d đáp ứng giới hạn này.

T = 500 N·mL = 0,5 mG = 80 GPaφallow = 3°
d = mm
4.Xoắn của trụcKhó
Tdo​ = 100 mm, di​ = 60 mm

Một trục rỗng truyền 75 kW ở 500 rpm. Tìm ứng suất tiếp lớn nhất τmax trong trục.

P = 75 kWN = 500 rpmdo = 100 mmdi = 60 mm
τmax = MPa
5.Lực cắt và mômen uốnTrung bình
10 kN60 kNABCDEFG1 m1 m1 m1 m1 m1 m

Các điểm đánh dấu từ A đến G chia dầm thành sáu phần bằng nhau. Tại điểm nào mômen uốn có độ lớn lớn nhất, dù võng hay vồng? Nhấp vào nó trong sơ đồ.

10 kN @ 4 m60 kN @ 3 m
  1. 1A (x = 0 m)
  2. 2B (x = 1 m)
  3. 3C (x = 2 m)
  4. 4D (x = 3 m)
  5. 5E (x = 4 m)
  6. 6F (x = 5 m)
  7. 7G (x = 6 m)
6.Lực cắt và mômen uốnKhó
w = 12 kN/mAB3 m1 m

Dầm đơn giản chịu tải phân bố đều trên một phần nhịp. Tìm mô-men uốn lớn nhất Mmax trong dầm.

L = 4 mw = 12 kN/m từ 0 đến 3 m
Mmax = kN·m
7.Trọng tâm và mômen quán tính mặt cắtTrung bình
100 mm240 mm168 mmØ50xIx​ = ?

Một tấm 100 mm × 240 mm có một lỗ tròn đường kính 50 mm trên đường tâm thẳng đứng, tâm lỗ cách đáy 168 mm. Tìm mômen quán tính diện tích Ix quanh trục nằm ngang đi qua trọng tâm.

b = 100 mmh = 240 mmd = 50 mmtâm lỗ: y = 168 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
8.Trọng tâm và mômen quán tính mặt cắtKhó
1601030012xM = 15 kN·mkích thước tính bằng mm

Mặt cắt chữ T được dùng làm dầm với cánh ở trên và chịu mômen uốn làm võng xuống 15 kN·m. Tìm độ lớn ứng suất uốn σtrên ở mép trên.

bf = 160 mmtf = 10 mmtw = 12 mmhw = 300 mmM = 15 kN·m
σtrên = MPa
9.Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suấtTrung bình
σx​ = 150σy​ = −10τxy​ = −30MPa

Một điểm có σₓ = 150 MPa, σᵧ = −10 MPa và τₓᵧ = −30 MPa (kéo là dương). Tìm góc θs, trong khoảng từ −90° đến 90°, từ trục x đến pháp tuyến của mặt có ứng suất cắt đạt giá trị dương lớn nhất +R (ứng suất cắt dương cùng chiều với τₓᵧ).

σx = 150 MPaσy = −10 MPaτxy = −30 MPa
θs = °
10.Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suấtKhó
σx​τxy​bề mặt trên của trục

Một trục đặc đường kính 25 mm chịu một mô-men uốn 200 N·m cùng với mô-men xoắn 250 N·m. Tại bề mặt trên, nơi ứng suất uốn là kéo và lớn nhất, hãy tìm ứng suất chính lớn nhất σ1.

d = 25 mmM = 200 N·mT = 250 N·m
σ1 = MPa
11.Độ võng của dầmTrung bình
w = 12 kN/mP = 8 kNABδ2,5 m

Một dầm công-xôn chịu tải phân bố đều w trên toàn bộ chiều dài và một lực tập trung P tại đầu tự do. Dùng nguyên lý chồng chất, tìm độ võng δ tại đầu tự do.

P = 8 kNw = 12 kN/mL = 2,5 mE = 200 GPa (thép)I = 160 × 10⁶ mm⁴
δ = mm
12.Độ võng của dầmKhó
w = 5 kN/mAB6 m

Một dầm công-xôn có gối chống ngàm tại A và tựa đơn (chống) tại B. Dầm chịu tải phân bố đều w trên toàn bộ chiều dài. EI không đổi. Tìm độ lớn của mô-men uốn MA tại đầu ngàm.

L = 6 mw = 5 kN/m
MA = kN·m
13.Mất ổn định cộtTrung bình
PL = 4 m40 × 50 mmmặt cắt ngang

Một cột dài L làm bằng thép được ngàm ở chân và tự do ở đỉnh. Dùng công thức Euler, tìm tải trọng oằn tới hạn Pcr của nó.

L = 4 mE = 200 GPa (thép)b × h = 40 × 50 mm
Pcr = kN
14.Mất ổn định cộtKhó
PL = 1,5 md = 60 mmmặt cắt ngang

Một cột dài L làm bằng thép được ngàm ở chân và tự do ở đỉnh. Tìm độ mảnh của nó và ứng suất oằn tới hạn σcr theo công thức Euler.

L = 1,5 mE = 200 GPa (thép)d = 60 mm
σcr = MPa

3Dung dịch

1.Ứng suất và biến dạng dọc trục

Đáp số: δ = 0,1624 mm

Hai vật liệu: khi nối tiếp (cái này sau cái kia) mỗi đoạn chịu cùng một lực và các độ giãn dài cộng lại: δ = P·Σ L/(E·A). Khi song song (cạnh nhau giữa các tấm cứng) cả hai phần co lại cùng một lượng, nên biến dạng của chúng bằng nhau: phần cứng hơn nhận phần tải lớn hơn, Pi = P·EiAi/ΣEA, và σi = Ei·ε. Một thanh bị giữ giữa hai vách cứng với tải đặt tại chỗ nối là siêu tĩnh: hai đoạn chia tải theo tỉ lệ độ cứng k = EA/L của chúng.

Diện tích

Ar = π·20²/4 = 314,2 mm²
At = π(100² − 60²)/4 = 5027 mm²

Độ cứng dọc trục kết hợp

ΣEA = 200·10³·314,2 + 110·10³·5027 = 6,158 × 10⁸ N

Độ co ngắn

δ = 200000·500/6,158 × 10⁸ = 0,1624 mm

Đáp số

δ = 0,1624 mm
2.Ứng suất và biến dạng dọc trục

Đáp số: σ2 = 15,32 MPa

Hai vật liệu: khi nối tiếp (cái này sau cái kia) mỗi đoạn chịu cùng một lực và các độ giãn dài cộng lại: δ = P·Σ L/(E·A). Khi song song (cạnh nhau giữa các tấm cứng) cả hai phần co lại cùng một lượng, nên biến dạng của chúng bằng nhau: phần cứng hơn nhận phần tải lớn hơn, Pi = P·EiAi/ΣEA, và σi = Ei·ε. Một thanh bị giữ giữa hai vách cứng với tải đặt tại chỗ nối là siêu tĩnh: hai đoạn chia tải theo tỉ lệ độ cứng k = EA/L của chúng.

Các độ cứng

k₁ = 200000·490,9/400 = 245437 N/mm
k₂ = 70000·1257/200 = 439823 N/mm

Phần của đoạn 2

F2 = 30000·439823/685260 = 19255 N

Ứng suất

σ2 = 19255/1257 = 15,32 MPa (nén)

Đáp số

σ2 = 15,32 MPa
3.Xoắn của trục

Đáp số: d = 27,92 mm

Xoắn thanh tròn: ứng suất tiếp tăng tuyến tính từ không ở tâm đến τmax = T·r/J ở bề mặt, với J = πd⁴/32 cho trục đặc và J = π(do⁴ − di⁴)/32 cho trục rỗng. Góc xoắn là φ = TL/(GJ) tính bằng radian. Công suất và mômen xoắn liên hệ với nhau qua P = T·ω.

Mô-men quán tính độc cực cần thiết

T = 500 N·m = 500000 N·mm
L = 0,5 m = 500 mm
G = 80 GPa = 80000 MPa
φ = 3·π/180 = 0,05236 rad
J = TL/(Gφ) = 500000·500/(80000·0,05236) = 59683 mm⁴

Đường kính

d = (32J/π)1/4 = 27,92 mm

Đáp số

d = 27,92 mm

Trong thực tế bạn sẽ làm tròn lên kích thước tiêu chuẩn kế tiếp.

4.Xoắn của trục

Đáp số: τmax = 8,381 MPa

Xoắn thanh tròn: ứng suất tiếp tăng tuyến tính từ không ở tâm đến τmax = T·r/J ở bề mặt, với J = πd⁴/32 cho trục đặc và J = π(do⁴ − di⁴)/32 cho trục rỗng. Góc xoắn là φ = TL/(GJ) tính bằng radian. Công suất và mômen xoắn liên hệ với nhau qua P = T·ω.

Mômen xoắn

ω = 2πN/60 = 2π·500/60 = 52,36 rad/s
T = P/ω = 75000/52,36 = 1432 N·m

Mômen quán tính độc cực của mặt cắt

J = π(100⁴ − 60⁴)/32 = 8,545 × 10⁶ mm⁴

Ứng suất tiếp lớn nhất

τmax = T·(do/2)/J = 1,432 × 10⁶·50/8,545 × 10⁶ = 8,381 MPa

Đáp số

τmax = 8,381 MPa
5.Lực cắt và mômen uốn

Đáp số: D (x = 3 m)

Mômen uốn lớn nhất: M đổi độ dốc ở bất cứ chỗ nào lực cắt thay đổi, nên các đỉnh của nó nằm nơi lực cắt đi qua không: dưới một tải tập trung, bên trong một tải phân bố, hoặc trên một gối của phần công-xon. Tại ngàm của dầm công-xon, mômen lớn nhất ở chân tường. So sánh độ lớn của M tại những chỗ đó, dù là mômen làm võng hay làm vồng.

Phản lực gối

Lấy mômen quanh một gối tựa, rồi dùng cân bằng lực thẳng đứng.

R1 = 33,33 kN, R2 = 36,67 kN

Mômen uốn tại mỗi điểm đánh dấu

Cộng các mômen của mọi lực ở một phía của mặt cắt. Võng là dương, vồng là âm.

MA = 0, MB = 33,33, MC = 66,67, MD = 100 kN·m, ME = 73,33, MF = 36,67, MG = 0

Đáp số

Điểm đánh dấu D: MD = 100 kN·m
6.Lực cắt và mômen uốn

Đáp số: Mmax = 21,09 kN·m

Phương pháp mặt cắt: cắt dầm tại vị trí cần tìm nội lực và giữ lại một phía. Lực cắt V cân bằng với các lực thẳng đứng ở phía đó, và mômen uốn M cân bằng với mômen của chúng quanh mặt cắt. Mô-men lớn nhất: vì dM/dx = V, mô-men uốn đạt cực trị tại nơi lực cắt đi qua không, hoặc tại một lực tập trung hoặc bên trong một tải phân bố.

Phản lực gối

Cân bằng của cả dầm.

Hợp lực của tải phân bố đều: W = w·ℓ = 12·3 = 36 kN, đặt tại x̄ = 1,5 m
ΣMA = 0: RB·4 = 12·3·1,5
RB = 54/4 = 13,5 kN
ΣFy = 0: RA = 36 − 13,5 = 22,5 kN

Lực cắt bằng không

Lực cắt bắt đầu bằng RA, không đổi trên mọi đoạn không chịu tải và giảm với độ dốc w bên trong đoạn tải.

RA − w·(x0 − 0) = 0
x0 = 0 + 22,5/12 = 1,875 m

Mô-men lớn nhất

Mmax = RA·x0 − w·(x0 − 0)²/2 = 22,5·1,875 − 12·1,875²/2 = 21,09 kN·m

Đáp số

Mmax = 21,09 kN·m
7.Trọng tâm và mômen quán tính mặt cắt

Đáp số: Ix = 110 × 10⁶ mm⁴

Tiết diện có lỗ: coi lỗ là một diện tích âm. Trọng tâm là ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), với A₁, y₁ cho tấm đầy đủ và A₂, y₂ cho lỗ. Với mômen quán tính diện tích quanh trục đi qua trọng tâm, dùng định lý trục song song cho từng phần rồi trừ lỗ: I = (Ic1 + A₁d₁²) − (Ic2 + A₂d₂²), trong đó d là khoảng cách từ trọng tâm riêng của mỗi phần đến trục đi qua ȳ. Hình chữ nhật có Ic = bh³/12 và hình tròn có Ic = πd⁴/64.

Trọng tâm

ȳ = (24000·120 − 1963·168)/(24000 − 1963) = 115,7 mm

Tấm đầy đủ quanh ȳ

100·240³/12 + 24000·4,277² = 115,6 × 10⁶ mm⁴

Lỗ quanh ȳ

π·50⁴/64 + 1963·52,28² = 5,673 × 10⁶ mm⁴

Trừ

Ix = 110 × 10⁶ mm⁴

Đáp số

Ix = 110 × 10⁶ mm⁴
8.Trọng tâm và mômen quán tính mặt cắt

Đáp số: σtrên = 31,41 MPa

Diện tích ghép: chia mặt cắt thành các hình chữ nhật. Trọng tâm là trung bình có trọng số theo diện tích ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Mômen quán tính của mặt cắt đối với trục đi qua trọng tâm bằng tổng bh³/12 của từng phần và số hạng trục song song A·d², trong đó d là khoảng cách từ trọng tâm của phần đó đến trọng tâm chung. Ứng suất uốn là σ = M·y/I.

Chia thành hai hình chữ nhật

Đo mọi y từ mép dưới.

cánh: Af = 160·10 = 1600 mm², yf = 300 + 10/2 = 305 mm
bụng: Aw = 12·300 = 3600 mm², yw = 300/2 = 150 mm

Trọng tâm

ȳ = (Afyf + Awyw)/(Af + Aw) = (1600·305 + 3600·150)/5200 = 197,7 mm

Định lý trục song song

cánh: 160·10³/12 + 1600·(305 − 197,7)² = 1,844 × 10⁷ mm⁴
bụng: 12·300³/12 + 3600·(150 − 197,7)² = 3,519 × 10⁷ mm⁴
Ix = 1,844 × 10⁷ + 3,519 × 10⁷ = 5,363 × 10⁷ mm⁴

Ứng suất uốn

Mép trên cách trục h − ȳ.

y = 310 − 197,7 = 112,3 mm
σ = M·y/I = 1,5 × 10⁷·112,3/5,363 × 10⁷ = 31,41 MPa

Đáp số

σtrên = 31,41 MPa
9.Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suất

Đáp số: θs = −55,28 °

Biến đổi ứng suất phẳng: trên một mặt xoay góc θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Vòng tròn Mohr cho thấy tất cả các mặt cùng lúc: tâm của nó ở C = (σₓ + σᵧ)/2 và bán kính là R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Các ứng suất chính là C ± R, và ứng suất tiếp lớn nhất trong mặt phẳng là R.

στxyCτmax​

Góc trên vòng tròn

Trên vòng tròn Mohr, điểm trên cùng (+R) lệch 90° so với điểm chính σ₁; trên phân tố đó là 45°.

cos 2θs = −30/85,44 = −0,3511, sin 2θs = −80/85,44 = −0,9363
2θs = atan2(−80, −30) = −110,6°

Góc trên phần tử

θs = −55,28°
kiểm tra: θs − θp = −55,28 − (−10,28) = −45°

Đáp số

θs = −55,28°

Góc dương là ngược chiều kim đồng hồ.

10.Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suất

Đáp số: σ1 = 169,5 MPa

Biến đổi ứng suất phẳng: trên một mặt xoay góc θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Vòng tròn Mohr cho thấy tất cả các mặt cùng lúc: tâm của nó ở C = (σₓ + σᵧ)/2 và bán kính là R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Các ứng suất chính là C ± R, và ứng suất tiếp lớn nhất trong mặt phẳng là R.

Các ứng suất tại bề mặt

σ = 32M/(πd³) = 32·200000/(π·25³) = 130,4 MPa
τ = 16T/(πd³) = 16·250000/(π·25³) = 81,49 MPa
στxyCσ1​σ2​

Vòng tròn Mohr

C = σ/2 = 65,19 MPa
R = √(65,19² + 81,49²) = 104,4 MPa
σ1 = C + R = 169,5 MPa
σ2 = C − R = −39,16 MPa

Đáp số

σ1 = 169,5 MPa
11.Độ võng của dầm

Đáp số: δ = 3,133 mm

Độ võng của dầm: độ võng có được bằng cách tích phân độ cong M/(EI) hai lần. Các trường hợp tiêu chuẩn đã được lập bảng, ví dụ PL³/(3EI) cho dầm công xôn chịu tải ở đầu tự do và 5wL⁴/(384EI) cho dầm đơn giản chịu tải phân bố đều toàn nhịp. Độ võng do các tải riêng rẽ cộng lại (xếp chồng).

Đơn vị nhất quán

Làm việc theo N và mm: P theo N, w theo N/mm (kN/m = N/mm), L theo mm, E theo N/mm² (GPa × 1000), I theo mm⁴.

P = 8000 N, w = 12 N/mm, L = 2500 mm
EI = 3,2 × 10¹³ N·mm²

Từng tải riêng rẽ

δP = PL³/(3EI) = 8000·2500³/(3·3,2 × 10¹³) = 1,302 mm
δw = wL⁴/(8EI) = 12·2500⁴/(8·3,2 × 10¹³) = 1,831 mm

Cộng lại

δ = 1,302 + 1,831 = 3,133 mm

Đáp số

δ = 3,133 mm
12.Độ võng của dầm

Đáp số: MA = 22,5 kN·m

Độ võng của dầm: độ võng có được bằng cách tích phân độ cong M/(EI) hai lần. Các trường hợp tiêu chuẩn đã được lập bảng, ví dụ PL³/(3EI) cho dầm công xôn chịu tải ở đầu tự do và 5wL⁴/(384EI) cho dầm đơn giản chịu tải phân bố đều toàn nhịp. Độ võng do các tải riêng rẽ cộng lại (xếp chồng). Với dầm siêu tĩnh, hãy bỏ một liên kết thừa và đòi hỏi độ võng tại đó bằng không (điều kiện tương thích).

Bỏ gối chống đi

Khi không có gối chống, dầm là một dầm công-xôn. Đầu tự do của nó sẽ võng dưới tải.

δload = wL⁴/(8EI)

Điều kiện tương thích tại gối chống

Chỉ riêng lực chống RB nâng đầu tự do lên một đoạn RBL³/(3EI). Gối chống giữ B có độ võng bằng không, nên hai độ võng phải triệt tiêu nhau. EI được khử.

RB·L³/(3EI) = wL⁴/(8EI) → RB = 3wL/8 = 3·5·6/8 = 11,25 kN

Mô-men tại đầu ngàm

Mô-men đối với A của các tải và lực chống.

MA = wL²/2 − RB·L = 90 − 67,5 = 22,5 kN·m

Đáp số

MA = 22,5 kN·m
13.Mất ổn định cột

Đáp số: Pcr = 8,225 kN

Mất ổn định Euler: một cột mảnh mất ổn định tại Pcr = π²EI/(KL)², trong đó KL là chiều dài tính toán: K = 1 cho khớp–khớp, 2 cho ngàm–tự do, 0,7 cho ngàm–khớp và 0,5 cho ngàm–ngàm. Cột oằn quanh trục có I nhỏ nhất. Công thức đúng với cột mảnh, có ứng suất tới hạn thấp hơn ứng suất chảy.

Mômen quán tính nhỏ nhất của mặt cắt

Hình chữ nhật oằn quanh trục yếu, dùng kích thước nhỏ hơn lập phương.

Imin = h·b³/12 = 50·40³/12 = 266667 mm⁴

Chiều dài tính toán

KL = 2·4000 = 8000 mm

Tải trọng tới hạn

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·266667/8000² = 8225 N = 8,225 kN

Đáp số

Pcr = 8,225 kN
14.Mất ổn định cột

Đáp số: σcr = 49,35 MPa

Mất ổn định Euler: một cột mảnh mất ổn định tại Pcr = π²EI/(KL)², trong đó KL là chiều dài tính toán: K = 1 cho khớp–khớp, 2 cho ngàm–tự do, 0,7 cho ngàm–khớp và 0,5 cho ngàm–ngàm. Cột oằn quanh trục có I nhỏ nhất. Công thức đúng với cột mảnh, có ứng suất tới hạn thấp hơn ứng suất chảy.

Mômen quán tính nhỏ nhất của mặt cắt

Mặt cắt tròn có cùng I đối với mọi trục.

I = πd⁴/64 = π·60⁴/64 = 636173 mm⁴

Bán kính quán tính và độ mảnh

A = 2827 mm²
r = √(I/A) = √(636173/2827) = 15 mm
KL = 2·1500 = 3000 mm
KL/r = 3000/15 = 200

Ứng suất tới hạn

σcr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/200² = 49,35 MPa

Đáp số

σcr = 49,35 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials