Sức bền vật liệu: gói ôn nước rút

Bảng công thức, các bước phương pháp chính cho từng chủ đề và 14 bài tập, kèm lời giải đầy đủ ở cuối.

Bài mớiQuay lại môn học

Trong cửa sổ in, hãy chọn “Lưu dưới dạng PDF” để giữ một bản trên thiết bị của bạn.

1Công thức và phương pháp

Ứng suất và biến dạng dọc trục

Ứng suất pháp
σ = F/A
Biến dạng
ε = ΔL/L
Định luật Hooke
σ = E·ε
Độ giãn dài
ΔL = FL/(EA)
Biến dạng nhiệt
εT = α·ΔT

Xoắn của trục

Ứng suất tiếp
τ = T·r/J
Trục đặc
J = πd⁴/32
Trục rỗng
J = π(D⁴ − d⁴)/32
Góc xoắn
φ = TL/(GJ)
Công suất
P = T·ω = 2πnT/60

Phương pháp

  1. Tìm mômen quán tính độc cực: J = πd⁴/32 cho trục đặc.
  2. Ứng suất tiếp ở bề mặt: τ = T·r/J, với r là bán kính ngoài.
  3. Góc xoắn: φ = TL/(GJ) theo radian.
  4. Nếu cho công suất, hãy tìm mômen xoắn trước bằng P = T·ω, ω = 2πn/60.

Lực cắt và mômen uốn

Lực cắt và mômen
V = ΣF ở một phía, M = ΣF·d ở một phía
Ứng suất uốn
σ = M·y/I
Hình chữ nhật
I = bh³/12
Mômen chống uốn của mặt cắt
W = I/ymax
Dầm đơn giản, tải phân bố đều
Mmax = wL²/8

Phương pháp

  1. Tìm phản lực gối từ cân bằng của cả dầm.
  2. Cắt dầm tại mặt cắt bạn cần và giữ lại một phía.
  3. Lực cắt: tổng các lực thẳng đứng ở phía đó. Mômen uốn: tổng mômen của chúng quanh mặt cắt.
  4. Để tìm mômen lớn nhất, hãy tìm nơi lực cắt bằng không.

Trọng tâm và mômen quán tính mặt cắt

Trọng tâm
ȳ = ΣAiyi/ΣAi
Hình chữ nhật
I = bh³/12
Định lý trục song song
I = Ic + A·d²
Mặt cắt ghép
I = Σ(Ic,i + Aidi²)

Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suất

Tâm
C = (σx + σy)/2
Bán kính
R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
Ứng suất chính
σ1,2 = C ± R
Phương chính
tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
Mặt phẳng nghiêng
σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ

Phương pháp

  1. Tính tâm của vòng tròn Mohr: C = (σx + σy)/2.
  2. Tính bán kính: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
  3. Các ứng suất chính là C ± R và ứng suất tiếp lớn nhất trong mặt phẳng là R.
  4. Các góc trên vòng tròn gấp đôi các góc trên phần tử: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Độ võng của dầm

Tải tập trung ở giữa nhịp
δ = PL³/(48EI)
Tải phân bố đều, dầm đơn giản
δ = 5wL⁴/(384EI)
Công xôn, tải ở đầu
δ = PL³/(3EI)
Công xôn, tải phân bố đều
δ = wL⁴/(8EI)
Nguyên lý xếp chồng
δ = δ1 + δ2

Mất ổn định cột

Tải Euler
Pcr = π²EI/(KL)²
Hệ số chiều dài tính toán
K = 1 khớp–khớp, 0,5 ngàm–ngàm, 0,7 ngàm–khớp, 2 ngàm–tự do
Ứng suất tới hạn
σcr = Pcr/A
Độ mảnh
λ = KL/r, r = √(I/A)

2Bài tập

1.Ứng suất và biến dạng dọc trụcTrung bình
Ø 20 mmĐồng2 mP = 85 kN

Tìm độ giãn dài δ của thanh đồng dưới tải trọng dọc trục.

P = 85 kNd = 20 mmL = 2 mE = 117 GPa
δ = mm
2.Ứng suất và biến dạng dọc trụcKhó
Ø 35 mmNhôm1,5 mØ 20 mmThép0,5 mP = 50 kN

Thanh bậc được ngàm vào tường và chịu tải ở đầu tự do. Tìm ứng suất pháp lớn nhất σmax trong thanh.

P = 50 kNđoạn 1: Ø35 mm, 1,5 m, nhôm (E = 70 GPa)đoạn 2: Ø20 mm, 0,5 m, thép (E = 200 GPa)
σmax = MPa
3.Xoắn của trụcTrung bình
T = 100 N·md = 20 mmL = 0,5 mφ = ?

Một trục đặc nhôm được ngàm vào tường và bị xoắn bởi mômen xoắn T ở đầu tự do. Tìm góc xoắn φ của đầu tự do, theo độ.

T = 100 N·md = 20 mmL = 0,5 mG = 26 GPa
φ = °
4.Xoắn của trụcKhó
Td = ?

Một trục đặc phải truyền 15 kW ở 1500 rpm mà ứng suất tiếp không vượt quá 60 MPa. Tìm đường kính nhỏ nhất d thỏa mãn.

P = 15 kWN = 1500 rpmτallow = 60 MPa
d = mm
5.Lực cắt và mômen uốnTrung bình
w = 12 kN/mABmặt cắt9 m1 m

Tìm mômen uốn Mx tại mặt cắt x = 9 m tính từ gối A. Coi mômen làm dầm võng xuống là dương và lực cắt hướng lên trên mặt trái là dương.

L = 10 mw = 12 kN/m từ 0 đến 10 mx = 9 m
Mx = kN·m
6.Lực cắt và mômen uốnKhó
4 kN/m50 kN55 kNABCDEFG1 m1 m1 m1 m1 m1 m

Các điểm đánh dấu từ A đến G chia dầm thành sáu phần bằng nhau. Tại điểm nào mômen uốn có độ lớn lớn nhất, dù võng hay vồng? Nhấp vào nó trong sơ đồ.

50 kN @ 6 m55 kN @ 2 m4 kN/m, 0–5 m
  1. 1A (x = 0 m)
  2. 2B (x = 1 m)
  3. 3C (x = 2 m)
  4. 4D (x = 3 m)
  5. 5E (x = 4 m)
  6. 6F (x = 5 m)
  7. 7G (x = 6 m)
7.Trọng tâm và mômen quán tính mặt cắtTrung bình
xD = 240d = 212kích thước tính bằng mm

Một ống tròn có đường kính ngoài D = 240 mm và đường kính trong d = 212 mm. Tìm bán kính quán tính r của nó đối với trục nằm ngang qua trọng tâm.

D = 240 mmd = 212 mm
r = mm
8.Trọng tâm và mômen quán tính mặt cắtKhó
1202526020xM = 50 kN·mkích thước tính bằng mm

Mặt cắt chữ T được dùng làm dầm với cánh ở trên và chịu mômen uốn làm võng xuống 50 kN·m. Tìm độ lớn ứng suất uốn σtrên ở mép trên.

bf = 120 mmtf = 25 mmtw = 20 mmhw = 260 mmM = 50 kN·m
σtrên = MPa
9.Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suấtTrung bình
σx​ = 150σy​ = 30τxy​ = −60MPa

Một điểm có σₓ = 150 MPa, σᵧ = 30 MPa và τₓᵧ = −60 MPa (kéo là dương). Tìm góc θs, trong khoảng từ −90° đến 90°, từ trục x đến pháp tuyến của mặt có ứng suất cắt đạt giá trị dương lớn nhất +R (ứng suất cắt dương cùng chiều với τₓᵧ).

σx = 150 MPaσy = 30 MPaτxy = −60 MPa
θs = °
10.Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suấtKhó
σx​τxy​bề mặt của trục

Một trục đặc đường kính 20 mm chịu một lực nén dọc trục 60 kN cùng với mô-men xoắn 250 N·m. Tại bề mặt của trục, hãy tìm ứng suất chính lớn nhất σ1.

d = 20 mmF = −60 kNT = 250 N·m
σ1 = MPa
11.Độ võng của dầmTrung bình
P = 23 kNABδ1 m2 m

Một dầm đơn giản chịu lực tập trung P tại vị trí cách gối A một đoạn a = 1 m. Tìm độ võng δP dưới tải.

P = 23 kNa = 1 mL = 3 mE = 200 GPa (thép)I = 8,5 × 10⁶ mm⁴
δP = mm
12.Độ võng của dầmKhó
w = 20 kN/mδL = 3 m

Một dầm đơn giản chịu tải phân bố đều w. Độ võng của nó không được vượt quá nhịp/360. Tìm mômen quán tính nhỏ nhất của mặt cắt Ireq thỏa mãn giới hạn này.

w = 20 kN/mL = 3 mE = 11 GPa (gỗ xẻ)
Ireq = × 10⁶ mm⁴
13.Mất ổn định cộtTrung bình
PL = 3 m20 × 50 mmmặt cắt ngang

Một cột dài L làm bằng thép được ngàm cả hai đầu. Dùng công thức Euler, tìm tải trọng oằn tới hạn Pcr của nó.

L = 3 mE = 200 GPa (thép)b × h = 20 × 50 mm
Pcr = kN
14.Mất ổn định cộtKhó
P = 125 kNL = 2 md = ?mặt cắt ngang

Một cột tròn đặc dài L làm bằng thép được hai đầu khớp. Nó phải chịu 125 kN với hệ số an toàn 3 chống oằn. Tìm đường kính nhỏ nhất d.

P = 125 kNn = 3L = 2 mE = 200 GPa (thép)
d = mm

3Dung dịch

1.Ứng suất và biến dạng dọc trục

Đáp số: δ = 4,625 mm

Định luật Hooke: trong giới hạn đàn hồi σ = E·ε. Kết hợp với σ = P/A và ε = δ/L ta được δ = PL/(AE).

Ứng suất

A = π·20²/4 = 314,2 mm²
σ = P/A = 85·1000/314,2 = 270,6 MPa

Biến dạng (định luật Hooke)

E for đồng = 117 GPa = 117000 MPa.

ε = σ/E = 270,6/117000 = 0,002313 = 2313 µε

Độ giãn dài

δ = ε·L = 0,002313·2000 mm = 4,625 mm

Đáp số

δ = 4,625 mm
2.Ứng suất và biến dạng dọc trục

Đáp số: σmax = 159,2 MPa

Cấu kiện chịu tải dọc trục: mỗi đoạn lăng trụ tuân theo δ = PL/(AE). Với các cấu kiện nối tiếp, độ giãn dài cộng lại.

Cùng một lực trong cả hai đoạn

Đầu tự do chịu lực P, nên mọi mặt cắt của thanh đều chịu cùng một lực dọc trục P. Chỉ có diện tích và vật liệu thay đổi.

A1 = π·35²/4 = 962,1 mm², A2 = π·20²/4 = 314,2 mm²
σ1 = 51,97 MPa
σ2 = 159,2 MPa

Ứng suất lớn nhất

Đoạn mảnh hơn có diện tích nhỏ hơn, nên chịu ứng suất lớn hơn.

σmax = 159,2 MPa

Đáp số

σmax = 159,2 MPa
3.Xoắn của trục

Đáp số: φ = 7,015 °

Xoắn thanh tròn: ứng suất tiếp tăng tuyến tính từ không ở tâm đến τmax = T·r/J ở bề mặt, với J = πd⁴/32 cho trục đặc và J = π(do⁴ − di⁴)/32 cho trục rỗng. Góc xoắn là φ = TL/(GJ) tính bằng radian. Công suất và mômen xoắn liên hệ với nhau qua P = T·ω.

Mômen quán tính độc cực của mặt cắt

J = π·20⁴/32 = 15708 mm⁴

Góc xoắn

φ = TL/(GJ) = 100·1000·500/(26000·15708) = 0,1224 rad
φ = 0,1224·180/π = 7,015°

Đáp số

φ = 7,015°
4.Xoắn của trục

Đáp số: d = 20,09 mm

Xoắn thanh tròn: ứng suất tiếp tăng tuyến tính từ không ở tâm đến τmax = T·r/J ở bề mặt, với J = πd⁴/32 cho trục đặc và J = π(do⁴ − di⁴)/32 cho trục rỗng. Góc xoắn là φ = TL/(GJ) tính bằng radian. Công suất và mômen xoắn liên hệ với nhau qua P = T·ω.

Mômen xoắn

ω = 2πN/60 = 2π·1500/60 = 157,1 rad/s
T = P/ω = 15000/157,1 = 95,49 N·m

Đường kính từ ứng suất cho phép

d = ∛(16T/(π·τallow)) = ∛(16·95493/(π·60)) = 20,09 mm

Đáp số

d = 20,09 mm

Trong thực tế bạn sẽ làm tròn lên kích thước tiêu chuẩn kế tiếp.

5.Lực cắt và mômen uốn

Đáp số: Mx = 54 kN·m

Phương pháp mặt cắt: cắt dầm tại vị trí cần tìm nội lực và giữ lại một phía. Lực cắt V cân bằng với các lực thẳng đứng ở phía đó, và mômen uốn M cân bằng với mômen của chúng quanh mặt cắt.

Phản lực gối

Cân bằng của cả dầm.

Hợp lực của tải phân bố đều: W = w·ℓ = 12·10 = 120 kN, đặt tại x̄ = 5 m
ΣMA = 0: RB·10 = 12·10·5
RB = 600/10 = 60 kN
ΣFy = 0: RA = 120 − 60 = 60 kN
w = 12 kN/mABRA​ = 60RB​ = 60mặt cắt9 m1 m

Cắt tại x = 9 m và giữ phần bên trái

Chỉ các lực bên trái mặt cắt xuất hiện. Phần tải phân bố đều được thay bằng một lực đặt tại giữa phần đó.

M = RA·x − (mỗi tải bên trái mặt cắt × cánh tay đòn đến mặt cắt)
Mx = 60·9 − 12·9·4,5 = 54 kN·m

Đáp số

Mx = 54 kN·m
6.Lực cắt và mômen uốn

Đáp số: C (x = 2 m)

Mômen uốn lớn nhất: M đổi độ dốc ở bất cứ chỗ nào lực cắt thay đổi, nên các đỉnh của nó nằm nơi lực cắt đi qua không: dưới một tải tập trung, bên trong một tải phân bố, hoặc trên một gối của phần công-xon. Tại ngàm của dầm công-xon, mômen lớn nhất ở chân tường. So sánh độ lớn của M tại những chỗ đó, dù là mômen làm võng hay làm vồng.

Phản lực gối

Lấy mômen quanh một gối tựa, rồi dùng cân bằng lực thẳng đứng.

R1 = 33 kN, R2 = 92 kN

Mômen uốn tại mỗi điểm đánh dấu

Cộng các mômen của mọi lực ở một phía của mặt cắt. Võng là dương, vồng là âm.

MA = 0, MB = 31, MC = 58 kN·m, MD = 26, ME = −10, MF = −50, MG = 0

Đáp số

Điểm đánh dấu C: MC = 58 kN·m
7.Trọng tâm và mômen quán tính mặt cắt

Đáp số: r = 80,06 mm

Mô-men quán tính của tiết diện: với hình chữ nhật đối với trục qua trọng tâm của nó I = bh³/12, và đối với trục đáy bh³/3 (định lý trục song song I = Ic + A·d²). Lỗ rỗng được xử lý bằng cách trừ đi I của nó, miễn là cả hai phần có chung một trục. Mô-đun chống uốn đàn hồi là S = I/c, với c là khoảng cách đến thớ ngoài cùng. Bán kính quán tính r = √(I/A) là khoảng cách mà tại đó toàn bộ diện tích cho cùng giá trị I; nó được dùng trong bài toán mất ổn định của cột.

Diện tích thực và mô-men quán tính

A = π(D² − d²)/4 = 9940 mm²
I = π(D⁴ − d⁴)/64 = 6,371 × 10⁷ mm⁴

Bán kính quán tính

r = √(I/A) = √(6,371 × 10⁷/9940) = 80,06 mm

Đáp số

r = 80,06 mm
8.Trọng tâm và mômen quán tính mặt cắt

Đáp số: σtrên = 75,55 MPa

Diện tích ghép: chia mặt cắt thành các hình chữ nhật. Trọng tâm là trung bình có trọng số theo diện tích ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Mômen quán tính của mặt cắt đối với trục đi qua trọng tâm bằng tổng bh³/12 của từng phần và số hạng trục song song A·d², trong đó d là khoảng cách từ trọng tâm của phần đó đến trọng tâm chung. Ứng suất uốn là σ = M·y/I.

Chia thành hai hình chữ nhật

Đo mọi y từ mép dưới.

cánh: Af = 120·25 = 3000 mm², yf = 260 + 25/2 = 272,5 mm
bụng: Aw = 20·260 = 5200 mm², yw = 260/2 = 130 mm

Trọng tâm

ȳ = (Afyf + Awyw)/(Af + Aw) = (3000·272,5 + 5200·130)/8200 = 182,1 mm

Định lý trục song song

cánh: 120·25³/12 + 3000·(272,5 − 182,1)² = 2,465 × 10⁷ mm⁴
bụng: 20·260³/12 + 5200·(130 − 182,1)² = 4,343 × 10⁷ mm⁴
Ix = 2,465 × 10⁷ + 4,343 × 10⁷ = 6,808 × 10⁷ mm⁴

Ứng suất uốn

Mép trên cách trục h − ȳ.

y = 285 − 182,1 = 102,9 mm
σ = M·y/I = 5 × 10⁷·102,9/6,808 × 10⁷ = 75,55 MPa

Đáp số

σtrên = 75,55 MPa
9.Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suất

Đáp số: θs = −67,5 °

Biến đổi ứng suất phẳng: trên một mặt xoay góc θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Vòng tròn Mohr cho thấy tất cả các mặt cùng lúc: tâm của nó ở C = (σₓ + σᵧ)/2 và bán kính là R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Các ứng suất chính là C ± R, và ứng suất tiếp lớn nhất trong mặt phẳng là R.

στxyCτmax​

Góc trên vòng tròn

Trên vòng tròn Mohr, điểm trên cùng (+R) lệch 90° so với điểm chính σ₁; trên phân tố đó là 45°.

cos 2θs = −60/84,85 = −0,7071, sin 2θs = −60/84,85 = −0,7071
2θs = atan2(−60, −60) = −135°

Góc trên phần tử

θs = −67,5°
kiểm tra: θs − θp = −67,5 − (−22,5) = −45°

Đáp số

θs = −67,5°

Góc dương là ngược chiều kim đồng hồ.

10.Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suất

Đáp số: σ1 = 90,11 MPa

Biến đổi ứng suất phẳng: trên một mặt xoay góc θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Vòng tròn Mohr cho thấy tất cả các mặt cùng lúc: tâm của nó ở C = (σₓ + σᵧ)/2 và bán kính là R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Các ứng suất chính là C ± R, và ứng suất tiếp lớn nhất trong mặt phẳng là R.

Các ứng suất tại bề mặt

σ = F/A = −60000/(π·20²/4) = −60000/314,2 = −191 MPa
τ = 16T/(πd³) = 16·250000/(π·20³) = 159,2 MPa
στxyCσ1​σ2​

Vòng tròn Mohr

C = σ/2 = −95,49 MPa
R = √((−95,49)² + 159,2²) = 185,6 MPa
σ1 = C + R = 90,11 MPa
σ2 = C − R = −281,1 MPa

Đáp số

σ1 = 90,11 MPa
11.Độ võng của dầm

Đáp số: δP = 6,013 mm

Độ võng của dầm: độ võng có được bằng cách tích phân độ cong M/(EI) hai lần. Các trường hợp tiêu chuẩn đã được lập bảng, ví dụ PL³/(3EI) cho dầm công xôn chịu tải ở đầu tự do và 5wL⁴/(384EI) cho dầm đơn giản chịu tải phân bố đều toàn nhịp. Độ võng do các tải riêng rẽ cộng lại (xếp chồng).

Đơn vị nhất quán

Làm việc theo N và mm: P theo N, w theo N/mm (kN/m = N/mm), L theo mm, E theo N/mm² (GPa × 1000), I theo mm⁴.

P = 23000 N, a = 1000 mm, b = 2000 mm, L = 3000 mm
EI = 1,7 × 10¹² N·mm²

Độ võng dưới tải

δP = Pa²b²/(3EIL) = 23000·1000²·2000²/(3·1,7 × 10¹²·3000) = 6,013 mm

Đáp số

δP = 6,013 mm
12.Độ võng của dầm

Đáp số: Ireq = 230,1 × 10⁶ mm⁴

Độ võng của dầm: độ võng có được bằng cách tích phân độ cong M/(EI) hai lần. Các trường hợp tiêu chuẩn đã được lập bảng, ví dụ PL³/(3EI) cho dầm công xôn chịu tải ở đầu tự do và 5wL⁴/(384EI) cho dầm đơn giản chịu tải phân bố đều toàn nhịp. Độ võng do các tải riêng rẽ cộng lại (xếp chồng).

Giới hạn độ võng

δallow = L/360 = 3000/360 = 8,333 mm

Mômen quán tính mặt cắt yêu cầu

I = 5wL⁴/(384·E·δallow) = 5·20·3000⁴/(384·11000·8,333) = 2,301 × 10⁸ mm⁴
Ireq = 230,1 × 10⁶ mm⁴

Đáp số

Ireq = 230,1 × 10⁶ mm⁴
13.Mất ổn định cột

Đáp số: Pcr = 29,24 kN

Mất ổn định Euler: một cột mảnh mất ổn định tại Pcr = π²EI/(KL)², trong đó KL là chiều dài tính toán: K = 1 cho khớp–khớp, 2 cho ngàm–tự do, 0,7 cho ngàm–khớp và 0,5 cho ngàm–ngàm. Cột oằn quanh trục có I nhỏ nhất. Công thức đúng với cột mảnh, có ứng suất tới hạn thấp hơn ứng suất chảy.

Mômen quán tính nhỏ nhất của mặt cắt

Hình chữ nhật oằn quanh trục yếu, dùng kích thước nhỏ hơn lập phương.

Imin = h·b³/12 = 50·20³/12 = 33333 mm⁴

Chiều dài tính toán

KL = 0,5·3000 = 1500 mm

Tải trọng tới hạn

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·33333/1500² = 29243 N = 29,24 kN

Đáp số

Pcr = 29,24 kN
14.Mất ổn định cột

Đáp số: d = 62,73 mm

Mất ổn định Euler: một cột mảnh mất ổn định tại Pcr = π²EI/(KL)², trong đó KL là chiều dài tính toán: K = 1 cho khớp–khớp, 2 cho ngàm–tự do, 0,7 cho ngàm–khớp và 0,5 cho ngàm–ngàm. Cột oằn quanh trục có I nhỏ nhất. Công thức đúng với cột mảnh, có ứng suất tới hạn thấp hơn ứng suất chảy.

Tải trọng tới hạn yêu cầu

Pcr = n·P = 3·125000 = 375000 N
KL = 1·2000 = 2000 mm

Giải tìm đường kính

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·375000·2000²/(π³·200000))^(1/4) = 62,73 mm

Đáp số

d = 62,73 mm

Kiểm tra: độ mảnh KL/r là 127,5, nên cột là mảnh và công thức Euler áp dụng được.

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials