Sức bền vật liệu: gói ôn nước rút

Bảng công thức, các bước phương pháp chính cho từng chủ đề và 14 bài tập, kèm lời giải đầy đủ ở cuối.

Bài mớiQuay lại môn học

Trong cửa sổ in, hãy chọn “Lưu dưới dạng PDF” để giữ một bản trên thiết bị của bạn.

1Công thức và phương pháp

Ứng suất và biến dạng dọc trục

Ứng suất pháp
σ = F/A
Biến dạng
ε = ΔL/L
Định luật Hooke
σ = E·ε
Độ giãn dài
ΔL = FL/(EA)
Biến dạng nhiệt
εT = α·ΔT

Xoắn của trục

Ứng suất tiếp
τ = T·r/J
Trục đặc
J = πd⁴/32
Trục rỗng
J = π(D⁴ − d⁴)/32
Góc xoắn
φ = TL/(GJ)
Công suất
P = T·ω = 2πnT/60

Phương pháp

  1. Tìm mômen quán tính độc cực: J = πd⁴/32 cho trục đặc.
  2. Ứng suất tiếp ở bề mặt: τ = T·r/J, với r là bán kính ngoài.
  3. Góc xoắn: φ = TL/(GJ) theo radian.
  4. Nếu cho công suất, hãy tìm mômen xoắn trước bằng P = T·ω, ω = 2πn/60.

Lực cắt và mômen uốn

Lực cắt và mômen
V = ΣF ở một phía, M = ΣF·d ở một phía
Ứng suất uốn
σ = M·y/I
Hình chữ nhật
I = bh³/12
Mômen chống uốn của mặt cắt
W = I/ymax
Dầm đơn giản, tải phân bố đều
Mmax = wL²/8

Phương pháp

  1. Tìm phản lực gối từ cân bằng của cả dầm.
  2. Cắt dầm tại mặt cắt bạn cần và giữ lại một phía.
  3. Lực cắt: tổng các lực thẳng đứng ở phía đó. Mômen uốn: tổng mômen của chúng quanh mặt cắt.
  4. Để tìm mômen lớn nhất, hãy tìm nơi lực cắt bằng không.

Trọng tâm và mômen quán tính mặt cắt

Trọng tâm
ȳ = ΣAiyi/ΣAi
Hình chữ nhật
I = bh³/12
Định lý trục song song
I = Ic + A·d²
Mặt cắt ghép
I = Σ(Ic,i + Aidi²)

Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suất

Tâm
C = (σx + σy)/2
Bán kính
R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
Ứng suất chính
σ1,2 = C ± R
Phương chính
tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
Mặt phẳng nghiêng
σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ

Phương pháp

  1. Tính tâm của vòng tròn Mohr: C = (σx + σy)/2.
  2. Tính bán kính: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
  3. Các ứng suất chính là C ± R và ứng suất tiếp lớn nhất trong mặt phẳng là R.
  4. Các góc trên vòng tròn gấp đôi các góc trên phần tử: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Độ võng của dầm

Tải tập trung ở giữa nhịp
δ = PL³/(48EI)
Tải phân bố đều, dầm đơn giản
δ = 5wL⁴/(384EI)
Công xôn, tải ở đầu
δ = PL³/(3EI)
Công xôn, tải phân bố đều
δ = wL⁴/(8EI)
Nguyên lý xếp chồng
δ = δ1 + δ2

Mất ổn định cột

Tải Euler
Pcr = π²EI/(KL)²
Hệ số chiều dài tính toán
K = 1 khớp–khớp, 0,5 ngàm–ngàm, 0,7 ngàm–khớp, 2 ngàm–tự do
Ứng suất tới hạn
σcr = Pcr/A
Độ mảnh
λ = KL/r, r = √(I/A)

2Bài tập

1.Ứng suất và biến dạng dọc trụcTrung bình
300 kNØ25120 GPaØ120/50500 mmδ = ?

Một thanh thép (đường kính 25 mm, E = 200 GPa) nằm trong một ống làm bằng đồng (đường kính ngoài 120 mm, đường kính trong 50 mm, E = 120 GPa). Cả hai dài 500 mm và bị nén cùng nhau giữa các tấm cứng bởi 300 kN. Tìm độ co ngắn δ.

P = 300 kNthanh: Ø25 mm, E = 200 GPaống: Ø120/Ø50 mm, E = 120 GPaL = 500 mm
δ = mm
2.Ứng suất và biến dạng dọc trụcKhó
Ø 35 mmThép2 mØ 20 mmĐồng1 mP = 65 kN

Thanh bậc được ngàm vào tường và chịu tải ở đầu tự do. Tìm tổng độ giãn dài δ.

P = 65 kNđoạn 1: Ø35 mm, 2 m, thép (E = 200 GPa)đoạn 2: Ø20 mm, 1 m, đồng (E = 117 GPa)
δ = mm
3.Xoắn của trụcTrung bình
do​ = 40, di​ = 28 mmT = 200 N·mL = 1,5 m

Một trục rỗng đồng thau (đường kính ngoài 40 mm, đường kính trong 28 mm, chiều dài 1,5 m) được ngàm một đầu và bị xoắn bởi mô-men xoắn 200 N·m ở đầu kia. Tìm góc xoắn φ theo độ.

T = 200 N·mdo = 40 mmdi = 28 mmL = 1,5 mG = 39 GPa
φ = °
4.Xoắn của trụcKhó
d = ?10 kW, 1450 rpm

Một trục đặc nhôm truyền 10 kW ở 1450 rpm. Ứng suất cắt không được vượt quá 60 MPa và góc xoắn không được vượt quá 1° trên mỗi m chiều dài. Tìm đường kính nhỏ nhất d thỏa mãn cả hai giới hạn.

P = 10 kWN = 1450 rpmτallow = 60 MPaθallow = 1°/mG = 26 GPa
d = mm
5.Lực cắt và mômen uốnTrung bình
M0​ = 40 kN·mAB1,5 m2,5 m

Dầm đơn giản chịu một ngẫu lực cùng chiều kim đồng hồ M0 = 40 kN·m tại x = 1,5 m tính từ A, và không có tải nào khác. Tìm mô-men uốn Mx ngay bên trái ngẫu lực. Dùng quy ước mô-men làm võng xuống là dương và lực cắt hướng lên trên mặt cắt bên trái là dương.

L = 4 mM0 = 40 kN·m cùng chiều kim đồng hồ, tại 1,5 m
Mx = kN·m
6.Lực cắt và mômen uốnKhó
4 kN/m60 kN35 kNABCDEFG1 m1 m1 m1 m1 m1 m

Các điểm đánh dấu từ A đến G chia dầm thành sáu phần bằng nhau. Tại điểm nào mômen uốn có độ lớn lớn nhất, dù võng hay vồng? Nhấp vào nó trong sơ đồ.

60 kN @ 0 m35 kN @ 6 m4 kN/m, 1–5 m
  1. 1A (x = 0 m)
  2. 2B (x = 1 m)
  3. 3C (x = 2 m)
  4. 4D (x = 3 m)
  5. 5E (x = 4 m)
  6. 6F (x = 5 m)
  7. 7G (x = 6 m)
7.Trọng tâm và mômen quán tính mặt cắtTrung bình
2801526012xkích thước tính bằng mm

Tìm mômen quán tính Ix của mặt cắt chữ T đối với trục ngang x đi qua trọng tâm.

bf = 280 mmtf = 15 mmtw = 12 mmhw = 260 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
8.Trọng tâm và mômen quán tính mặt cắtKhó
2601030016xM = 40 kN·mkích thước tính bằng mm

Mặt cắt chữ T được dùng làm dầm với cánh ở trên và chịu mômen uốn làm võng xuống 40 kN·m. Tìm ứng suất uốn σdưới ở mép dưới.

bf = 260 mmtf = 10 mmtw = 16 mmhw = 300 mmM = 40 kN·m
σdưới = MPa
9.Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suấtTrung bình
σx​ = 120τxy​ = −50MPa

Một điểm có σₓ = 120 MPa, σᵧ = 0 MPa và τₓᵧ = −50 MPa (kéo là dương). Phân tố được xoay 60° ngược chiều kim đồng hồ. Tìm ứng suất pháp σy′ trên các mặt của phân tố đã xoay vuông góc với trục y′ sau khi xoay.

σx = 120 MPaσy = 0 MPaτxy = −50 MPaθ = 60°
σy′ = MPa
10.Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suấtKhó
σx​ = −20σy​ = 100τxy​ = 30MPa

Một điểm trong một tấm mỏng ở trạng thái ứng suất phẳng: σₓ = −20 MPa, σᵧ = 100 MPa và τₓᵧ = 30 MPa (σz = 0). Vật liệu có giới hạn chảy 355 MPa. Tìm hệ số an toàn n chống chảy theo tiêu chuẩn Tresca (ứng suất cắt lớn nhất).

σx = −20 MPaσy = 100 MPaτxy = 30 MPaσY = 355 MPa
n =
11.Độ võng của dầmTrung bình
P = 5 kNABδ4 m2 m

Một dầm đơn giản chịu lực tập trung P tại vị trí cách gối A một đoạn a = 4 m. Tìm độ võng δP dưới tải.

P = 5 kNa = 4 mL = 6 mE = 11 GPa (gỗ xẻ)I = 120 × 10⁶ mm⁴
δP = mm
12.Độ võng của dầmKhó
w = 10 kN/mδL = 3 m

Một dầm đơn giản chịu tải phân bố đều w. Độ võng của nó không được vượt quá nhịp/360. Tìm mômen quán tính nhỏ nhất của mặt cắt Ireq thỏa mãn giới hạn này.

w = 10 kN/mL = 3 mE = 11 GPa (gỗ xẻ)
Ireq = × 10⁶ mm⁴
13.Mất ổn định cộtTrung bình
PL = 1 m50 × 100 mmmặt cắt ngang

Một cột dài L làm bằng thép được ngàm ở chân và tự do ở đỉnh. Dùng công thức Euler, tìm tải trọng oằn tới hạn Pcr của nó.

L = 1 mE = 200 GPa (thép)b × h = 50 × 100 mm
Pcr = kN
14.Mất ổn định cộtKhó
P = 75 kNL = 3 md = ?mặt cắt ngang

Một cột tròn đặc dài L làm bằng thép được ngàm cả hai đầu. Nó phải chịu 75 kN với hệ số an toàn 3 chống oằn. Tìm đường kính nhỏ nhất d.

P = 75 kNn = 3L = 3 mE = 200 GPa (thép)
d = mm

3Dung dịch

1.Ứng suất và biến dạng dọc trục

Đáp số: δ = 0,123 mm

Hai vật liệu: khi nối tiếp (cái này sau cái kia) mỗi đoạn chịu cùng một lực và các độ giãn dài cộng lại: δ = P·Σ L/(E·A). Khi song song (cạnh nhau giữa các tấm cứng) cả hai phần co lại cùng một lượng, nên biến dạng của chúng bằng nhau: phần cứng hơn nhận phần tải lớn hơn, Pi = P·EiAi/ΣEA, và σi = Ei·ε. Một thanh bị giữ giữa hai vách cứng với tải đặt tại chỗ nối là siêu tĩnh: hai đoạn chia tải theo tỉ lệ độ cứng k = EA/L của chúng.

Diện tích

Ar = π·25²/4 = 490,9 mm²
At = π(120² − 50²)/4 = 9346 mm²

Độ cứng dọc trục kết hợp

ΣEA = 200·10³·490,9 + 120·10³·9346 = 1,22 × 10⁹ N

Độ co ngắn

δ = 300000·500/1,22 × 10⁹ = 0,123 mm

Đáp số

δ = 0,123 mm
2.Ứng suất và biến dạng dọc trục

Đáp số: δ = 2,444 mm

Cấu kiện chịu tải dọc trục: mỗi đoạn lăng trụ tuân theo δ = PL/(AE). Với các cấu kiện nối tiếp, độ giãn dài cộng lại.

Cùng một lực trong cả hai đoạn

Đầu tự do chịu lực P, nên mọi mặt cắt của thanh đều chịu cùng một lực dọc trục P. Chỉ có diện tích và vật liệu thay đổi.

A1 = π·35²/4 = 962,1 mm², A2 = π·20²/4 = 314,2 mm²
σ1 = 67,56 MPa
σ2 = 206,9 MPa

Cộng độ giãn dài của các đoạn

δ1 = σ1L1/E1 = 67,56·2000/200000 = 0,6756 mm
δ2 = σ2L2/E2 = 206,9·1000/117000 = 1,768 mm
δ = δ1 + δ2 = 2,444 mm

Đáp số

δ = 2,444 mm
3.Xoắn của trục

Đáp số: φ = 2,308 °

Xoắn thanh tròn: ứng suất tiếp tăng tuyến tính từ không ở tâm đến τmax = T·r/J ở bề mặt, với J = πd⁴/32 cho trục đặc và J = π(do⁴ − di⁴)/32 cho trục rỗng. Góc xoắn là φ = TL/(GJ) tính bằng radian. Công suất và mômen xoắn liên hệ với nhau qua P = T·ω.

Mômen quán tính độc cực của mặt cắt

J = π(40⁴ − 28⁴)/32 = 190984 mm⁴

Góc xoắn

T = 200 N·m = 200000 N·mm
L = 1,5 m = 1500 mm
G = 39 GPa = 39000 MPa
φ = TL/(GJ) = 200000·1500/(39000·190984) = 0,04028 rad
φ = 0,04028·180/π = 2,308°

Đáp số

φ = 2,308°
4.Xoắn của trục

Đáp số: d = 34,87 mm

Xoắn thanh tròn: ứng suất tiếp tăng tuyến tính từ không ở tâm đến τmax = T·r/J ở bề mặt, với J = πd⁴/32 cho trục đặc và J = π(do⁴ − di⁴)/32 cho trục rỗng. Góc xoắn là φ = TL/(GJ) tính bằng radian. Công suất và mômen xoắn liên hệ với nhau qua P = T·ω.

Mômen xoắn

ω = 2πN/60 = 2π·1450/60 = 151,8 rad/s
T = P/ω = 10000/151,8 = 65,86 N·m

Đường kính theo điều kiện bền

T = 65,86 N·m = 65857 N·mm
dτ = ∛(16·65857/(π·60)) = 17,75 mm

Đường kính theo điều kiện cứng

θ = 1·π/180/1000 = 1,745 × 10⁻⁵ rad/mm
G = 26 GPa = 26000 MPa
dφ = (32·65857/(π·26000·1,745 × 10⁻⁵))1/4 = 34,87 mm

Đường kính quyết định

Cả hai giới hạn đều phải thỏa, nên đường kính lớn hơn quyết định.

d = max(17,75, 34,87) = 34,87 mm

Đáp số

d = 34,87 mm

Ở đây điều kiện cứng quyết định.

5.Lực cắt và mômen uốn

Đáp số: Mx = −15 kN·m

Phương pháp mặt cắt: cắt dầm tại vị trí cần tìm nội lực và giữ lại một phía. Lực cắt V cân bằng với các lực thẳng đứng ở phía đó, và mômen uốn M cân bằng với mômen của chúng quanh mặt cắt. Một ngẫu lực đặt vào làm biểu đồ mô-men uốn nhảy một đoạn bằng độ lớn của ngẫu lực.

Phản lực gối

Mô-men đối với A, chiều ngược chiều kim đồng hồ là dương: RB·L − M0 = 0. Cân bằng theo phương thẳng đứng: RA + RB = 0.

RB = M0/L = 40/4 = 10 kN (hướng lên)
RA = −RB = −10 kN (hướng xuống)

Cắt ngay bên trái ngẫu lực

Phần bên trái chỉ chứa RA.

Mx = RA·a = −10·1,5 = −15 kN·m

Đáp số

Mx = −15 kN·m
6.Lực cắt và mômen uốn

Đáp số: B (x = 1 m)

Mômen uốn lớn nhất: M đổi độ dốc ở bất cứ chỗ nào lực cắt thay đổi, nên các đỉnh của nó nằm nơi lực cắt đi qua không: dưới một tải tập trung, bên trong một tải phân bố, hoặc trên một gối của phần công-xon. Tại ngàm của dầm công-xon, mômen lớn nhất ở chân tường. So sánh độ lớn của M tại những chỗ đó, dù là mômen làm võng hay làm vồng.

Phản lực gối

Lấy mômen quanh một gối tựa, rồi dùng cân bằng lực thẳng đứng.

R1 = 74,25 kN, R2 = 36,75 kN

Mômen uốn tại mỗi điểm đánh dấu

Cộng các mômen của mọi lực ở một phía của mặt cắt. Võng là dương, vồng là âm.

MA = 0, MB = −60 kN·m, MC = −47,75, MD = −39,5, ME = −35,25, MF = −35, MG = 0

Đáp số

Điểm đánh dấu B: MB = −60 kN·m
7.Trọng tâm và mômen quán tính mặt cắt

Đáp số: Ix = 51,5 × 10⁶ mm⁴

Diện tích ghép: chia mặt cắt thành các hình chữ nhật. Trọng tâm là trung bình có trọng số theo diện tích ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Mômen quán tính của mặt cắt đối với trục đi qua trọng tâm bằng tổng bh³/12 của từng phần và số hạng trục song song A·d², trong đó d là khoảng cách từ trọng tâm của phần đó đến trọng tâm chung. Ứng suất uốn là σ = M·y/I.

Chia thành hai hình chữ nhật

Đo mọi y từ mép dưới.

cánh: Af = 280·15 = 4200 mm², yf = 260 + 15/2 = 267,5 mm
bụng: Aw = 12·260 = 3120 mm², yw = 260/2 = 130 mm

Trọng tâm

ȳ = (Afyf + Awyw)/(Af + Aw) = (4200·267,5 + 3120·130)/7320 = 208,9 mm

Định lý trục song song

cánh: 280·15³/12 + 4200·(267,5 − 208,9)² = 1,45 × 10⁷ mm⁴
bụng: 12·260³/12 + 3120·(130 − 208,9)² = 3,7 × 10⁷ mm⁴
Ix = 1,45 × 10⁷ + 3,7 × 10⁷ = 5,15 × 10⁷ mm⁴ = 51,5 × 10⁶ mm⁴

Đáp số

Ix = 51,5 × 10⁶ mm⁴
8.Trọng tâm và mômen quán tính mặt cắt

Đáp số: σdưới = 106,9 MPa

Diện tích ghép: chia mặt cắt thành các hình chữ nhật. Trọng tâm là trung bình có trọng số theo diện tích ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Mômen quán tính của mặt cắt đối với trục đi qua trọng tâm bằng tổng bh³/12 của từng phần và số hạng trục song song A·d², trong đó d là khoảng cách từ trọng tâm của phần đó đến trọng tâm chung. Ứng suất uốn là σ = M·y/I.

Chia thành hai hình chữ nhật

Đo mọi y từ mép dưới.

cánh: Af = 260·10 = 2600 mm², yf = 300 + 10/2 = 305 mm
bụng: Aw = 16·300 = 4800 mm², yw = 300/2 = 150 mm

Trọng tâm

ȳ = (Afyf + Awyw)/(Af + Aw) = (2600·305 + 4800·150)/7400 = 204,5 mm

Định lý trục song song

cánh: 260·10³/12 + 2600·(305 − 204,5)² = 2,63 × 10⁷ mm⁴
bụng: 16·300³/12 + 4800·(150 − 204,5)² = 5,024 × 10⁷ mm⁴
Ix = 2,63 × 10⁷ + 5,024 × 10⁷ = 7,654 × 10⁷ mm⁴

Ứng suất uốn

Mép dưới cách trục ȳ.

y = 204,5 mm
σ = M·y/I = 4 × 10⁷·204,5/7,654 × 10⁷ = 106,9 MPa

Đáp số

σdưới = 106,9 MPa
9.Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suất

Đáp số: σy′ = 133,3 MPa

Biến đổi ứng suất phẳng: trên một mặt xoay góc θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Vòng tròn Mohr cho thấy tất cả các mặt cùng lúc: tâm của nó ở C = (σₓ + σᵧ)/2 và bán kính là R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Các ứng suất chính là C ± R, và ứng suất tiếp lớn nhất trong mặt phẳng là R.

Phương trình biến đổi cho mặt y′

σy′ = 60 − 60·(−0,5) − (−50)·0,866 = 133,3 MPa

Kiểm tra

Tổng các ứng suất pháp không thay đổi khi xoay.

σx′ = −13,3 MPa, σx′ + σy′ = 120 = σx + σy

Đáp số

σy′ = 133,3 MPa
10.Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suất

Đáp số: n = 2,646

Biến đổi ứng suất phẳng: trên một mặt xoay góc θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Vòng tròn Mohr cho thấy tất cả các mặt cùng lúc: tâm của nó ở C = (σₓ + σᵧ)/2 và bán kính là R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Các ứng suất chính là C ± R, và ứng suất tiếp lớn nhất trong mặt phẳng là R. Tiêu chuẩn chảy: von Mises dự đoán vật liệu chảy khi σvM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²) đạt σY; Tresca khi ứng suất cắt lớn nhất tuyệt đối đạt σY/2.

στxyCσ1​σ2​

Ứng suất chính

C = 40 MPa, R = 67,08 MPa
σ1 = 107,1 MPa, σ2 = −27,08 MPa, σ3 = 0

Tresca

σmax − σmin = 134,2 MPa
n = 355/134,2 = 2,646

Đáp số

n = 2,646

n > 1 nghĩa là điểm không bị chảy; Tresca thận trọng hơn von Mises một chút.

11.Độ võng của dầm

Đáp số: δP = 13,47 mm

Độ võng của dầm: độ võng có được bằng cách tích phân độ cong M/(EI) hai lần. Các trường hợp tiêu chuẩn đã được lập bảng, ví dụ PL³/(3EI) cho dầm công xôn chịu tải ở đầu tự do và 5wL⁴/(384EI) cho dầm đơn giản chịu tải phân bố đều toàn nhịp. Độ võng do các tải riêng rẽ cộng lại (xếp chồng).

Đơn vị nhất quán

Làm việc theo N và mm: P theo N, w theo N/mm (kN/m = N/mm), L theo mm, E theo N/mm² (GPa × 1000), I theo mm⁴.

P = 5000 N, a = 4000 mm, b = 2000 mm, L = 6000 mm
EI = 1,32 × 10¹² N·mm²

Độ võng dưới tải

δP = Pa²b²/(3EIL) = 5000·4000²·2000²/(3·1,32 × 10¹²·6000) = 13,47 mm

Đáp số

δP = 13,47 mm
12.Độ võng của dầm

Đáp số: Ireq = 115,1 × 10⁶ mm⁴

Độ võng của dầm: độ võng có được bằng cách tích phân độ cong M/(EI) hai lần. Các trường hợp tiêu chuẩn đã được lập bảng, ví dụ PL³/(3EI) cho dầm công xôn chịu tải ở đầu tự do và 5wL⁴/(384EI) cho dầm đơn giản chịu tải phân bố đều toàn nhịp. Độ võng do các tải riêng rẽ cộng lại (xếp chồng).

Giới hạn độ võng

δallow = L/360 = 3000/360 = 8,333 mm

Mômen quán tính mặt cắt yêu cầu

I = 5wL⁴/(384·E·δallow) = 5·10·3000⁴/(384·11000·8,333) = 1,151 × 10⁸ mm⁴
Ireq = 115,1 × 10⁶ mm⁴

Đáp số

Ireq = 115,1 × 10⁶ mm⁴
13.Mất ổn định cột

Đáp số: Pcr = 514 kN

Mất ổn định Euler: một cột mảnh mất ổn định tại Pcr = π²EI/(KL)², trong đó KL là chiều dài tính toán: K = 1 cho khớp–khớp, 2 cho ngàm–tự do, 0,7 cho ngàm–khớp và 0,5 cho ngàm–ngàm. Cột oằn quanh trục có I nhỏ nhất. Công thức đúng với cột mảnh, có ứng suất tới hạn thấp hơn ứng suất chảy.

Mômen quán tính nhỏ nhất của mặt cắt

Hình chữ nhật oằn quanh trục yếu, dùng kích thước nhỏ hơn lập phương.

Imin = h·b³/12 = 100·50³/12 = 1,042 × 10⁶ mm⁴

Chiều dài tính toán

KL = 2·1000 = 2000 mm

Tải trọng tới hạn

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·1,042 × 10⁶/2000² = 514042 N = 514 kN

Đáp số

Pcr = 514 kN
14.Mất ổn định cột

Đáp số: d = 47,81 mm

Mất ổn định Euler: một cột mảnh mất ổn định tại Pcr = π²EI/(KL)², trong đó KL là chiều dài tính toán: K = 1 cho khớp–khớp, 2 cho ngàm–tự do, 0,7 cho ngàm–khớp và 0,5 cho ngàm–ngàm. Cột oằn quanh trục có I nhỏ nhất. Công thức đúng với cột mảnh, có ứng suất tới hạn thấp hơn ứng suất chảy.

Tải trọng tới hạn yêu cầu

Pcr = n·P = 3·75000 = 225000 N
KL = 0,5·3000 = 1500 mm

Giải tìm đường kính

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·225000·1500²/(π³·200000))^(1/4) = 47,81 mm

Đáp số

d = 47,81 mm

Kiểm tra: độ mảnh KL/r là 125,5, nên cột là mảnh và công thức Euler áp dụng được.

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials