Sức bền vật liệu: gói ôn nước rút

Bảng công thức, các bước phương pháp chính cho từng chủ đề và 14 bài tập, kèm lời giải đầy đủ ở cuối.

Bài mới Quay lại môn học

Trong cửa sổ in, hãy chọn “Lưu dưới dạng PDF” để giữ một bản trên thiết bị của bạn.

1Công thức và phương pháp

Ứng suất và biến dạng dọc trục

Ứng suất pháp: σ = F/A
Biến dạng: ε = ΔL/L
Định luật Hooke: σ = E·ε
Độ giãn dài: ΔL = FL/(EA)
Biến dạng nhiệt: ε_T = α·ΔT

Xoắn của trục

Ứng suất tiếp: τ = T·r/J
Trục đặc: J = πd⁴/32
Trục rỗng: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Góc xoắn: φ = TL/(GJ)
Công suất: P = T·ω = 2πnT/60

Phương pháp

Tìm mômen quán tính độc cực: J = πd⁴/32 cho trục đặc.
Ứng suất tiếp ở bề mặt: τ = T·r/J, với r là bán kính ngoài.
Góc xoắn: φ = TL/(GJ) theo radian.
Nếu cho công suất, hãy tìm mômen xoắn trước bằng P = T·ω, ω = 2πn/60.

Lực cắt và mômen uốn

Lực cắt và mômen: V = ΣF ở một phía, M = ΣF·d ở một phía
Ứng suất uốn: σ = M·y/I
Hình chữ nhật: I = bh³/12
Mômen chống uốn của mặt cắt: W = I/y_max
Dầm đơn giản, tải phân bố đều: M_max = wL²/8

Phương pháp

Tìm phản lực gối từ cân bằng của cả dầm.
Cắt dầm tại mặt cắt bạn cần và giữ lại một phía.
Lực cắt: tổng các lực thẳng đứng ở phía đó. Mômen uốn: tổng mômen của chúng quanh mặt cắt.
Để tìm mômen lớn nhất, hãy tìm nơi lực cắt bằng không.

Trọng tâm và mômen quán tính mặt cắt

Trọng tâm: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Hình chữ nhật: I = bh³/12
Định lý trục song song: I = I_c + A·d²
Mặt cắt ghép: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suất

Tâm: C = (σ_x + σ_y)/2
Bán kính: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Ứng suất chính: σ_1,2 = C ± R
Phương chính: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Mặt phẳng nghiêng: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Phương pháp

Tính tâm của vòng tròn Mohr: C = (σx + σy)/2.
Tính bán kính: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Các ứng suất chính là C ± R và ứng suất tiếp lớn nhất trong mặt phẳng là R.
Các góc trên vòng tròn gấp đôi các góc trên phần tử: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Độ võng của dầm

Tải tập trung ở giữa nhịp: δ = PL³/(48EI)
Tải phân bố đều, dầm đơn giản: δ = 5wL⁴/(384EI)
Công xôn, tải ở đầu: δ = PL³/(3EI)
Công xôn, tải phân bố đều: δ = wL⁴/(8EI)
Nguyên lý xếp chồng: δ = δ₁ + δ₂

Mất ổn định cột

Tải Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Hệ số chiều dài tính toán: K = 1 khớp–khớp, 0,5 ngàm–ngàm, 0,7 ngàm–khớp, 2 ngàm–tự do
Ứng suất tới hạn: σ_cr = P_cr/A
Độ mảnh: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Bài tập

1.Ứng suất và biến dạng dọc trụcTrung bình

Một thanh gồm một đoạn thép (đường kính 25 mm, chiều dài 600 mm, E = 200 GPa) nối đầu với đầu với một đoạn làm bằng đồng thau (đường kính 30 mm, chiều dài 200 mm, E = 100 GPa). Nó được ngàm một đầu và bị kéo ở đầu kia. Tìm tải dọc trục P làm nó giãn tổng cộng 0,4 mm.

đoạn 1: thép, Ø25 mm, 600 mm, E = 200 GPađoạn 2: đồng thau, Ø30 mm, 200 mm, E = 100 GPaδ = 0,4 mm

P = kN

2.Ứng suất và biến dạng dọc trụcKhó

Thanh bậc được ngàm vào tường và chịu tải ở đầu tự do. Tìm tổng độ giãn dài δ.

P = 25 kNđoạn 1: Ø30 mm, 0,5 m, thép (E = 200 GPa)đoạn 2: Ø12 mm, 1 m, nhôm (E = 70 GPa)

δ = mm

3.Xoắn của trụcTrung bình

Một trục đặc đồng thau được ngàm vào tường và bị xoắn bởi mômen xoắn T ở đầu tự do. Tìm góc xoắn φ của đầu tự do, theo độ.

T = 400 N·md = 30 mmL = 0,5 mG = 39 GPa

φ = °

4.Xoắn của trụcKhó

Một trục đặc đồng thau đường kính 40 mm được ngàm tại A. Một mô-men xoắn 200 N·m tác dụng tại B, cách A 0,5 m, và một mô-men xoắn 100 N·m ngược chiều tác dụng tại đầu tự do C, cách thêm 3 m. Tìm độ lớn của góc xoắn φ_C của đầu C, theo độ.

d = 40 mmT_B = 200 N·mT_C = 100 N·mAB = 0,5 mBC = 3 mG = 39 GPa

φ_C = °

5.Lực cắt và mômen uốnTrung bình

Các điểm đánh dấu từ A đến G chia dầm thành sáu phần bằng nhau. Tại điểm nào mômen uốn có độ lớn lớn nhất, dù võng hay vồng? Nhấp vào nó trong sơ đồ.

10 kN @ 6 m60 kN @ 2 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 2 m)
3C (x = 4 m)
4D (x = 6 m)
5E (x = 8 m)
6F (x = 10 m)
7G (x = 12 m)

6.Lực cắt và mômen uốnKhó

Tìm mômen uốn M_x tại mặt cắt x = 3 m tính từ gối A. Coi mômen làm dầm võng xuống là dương và lực cắt hướng lên trên mặt trái là dương.

L = 5 mP = 45 kN tại 3 mw = 4 kN/m từ 0 đến 5 mx = 3 m

M_x = kN·m

7.Trọng tâm và mômen quán tính mặt cắtTrung bình

Tìm mômen quán tính I_x của mặt cắt chữ T đối với trục ngang x đi qua trọng tâm.

b_f = 140 mmt_f = 25 mmt_w = 12 mmh_w = 120 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Trọng tâm và mômen quán tính mặt cắtKhó

Một dầm gang có tiết diện chữ T như hình, cánh nằm phía trên. Ứng suất cho phép là 50 MPa khi kéo và 150 MPa khi nén. Tìm mô-men uốn võng xuống lớn nhất M_allow mà dầm có thể chịu.

b_f = 300 mmt_f = 30 mmt_w = 10 mmh_w = 300 mmσ_t,allow = 50 MPaσ_c,allow = 150 MPa

M_allow = kN·m

9.Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suấtTrung bình

Một điểm có σₓ = 110 MPa và σᵧ = −60 MPa. Ứng suất cắt τ_xy (độ lớn) có thể lớn đến mức nào trước khi ứng suất chính lớn nhất đạt 150 MPa?

σ_x = 110 MPaσ_y = −60 MPaσ₁ = 150 MPa

τ_xy = MPa

10.Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suấtKhó

Một điểm trong một tấm mỏng ở trạng thái ứng suất phẳng: σₓ = 120 MPa, σᵧ = −30 MPa và τₓᵧ = 60 MPa (σ_z = 0). Vật liệu có giới hạn chảy 350 MPa. Tìm hệ số an toàn n chống chảy theo tiêu chuẩn von Mises (năng lượng biến dạng hình dạng).

σ_x = 120 MPaσ_y = −30 MPaτ_xy = 60 MPaσ_Y = 350 MPa

n =

11.Độ võng của dầmTrung bình

Một dầm công-xôn dài L ngàm tại A và chịu lực tập trung P tại vị trí cách A một đoạn a = 1 m. Tìm độ võng δ_P dưới tải.

P = 23 kNa = 1 mL = 5 mE = 70 GPa (nhôm)I = 12 × 10⁶ mm⁴

δ_P = mm

12.Độ võng của dầmKhó

Một dầm đơn giản chịu tải phân bố đều w. Độ võng của nó không được vượt quá nhịp/360. Tìm mômen quán tính nhỏ nhất của mặt cắt I_req thỏa mãn giới hạn này.

w = 6 kN/mL = 1,5 mE = 70 GPa (nhôm)

I_req = × 10⁶ mm⁴

13.Mất ổn định cộtTrung bình

Một cột dài L làm bằng thép được ngàm ở chân và tự do ở đỉnh. Dùng công thức Euler, tìm tải trọng oằn tới hạn P_cr của nó.

L = 3 mE = 200 GPa (thép)b × h = 25 × 50 mm

P_cr = kN

14.Mất ổn định cộtKhó

Một cột tròn đặc dài L làm bằng thép được hai đầu khớp. Nó phải chịu 50 kN với hệ số an toàn 2,5 chống oằn. Tìm đường kính nhỏ nhất d.

P = 50 kNn = 2,5L = 2,5 mE = 200 GPa (thép)

d = mm

3Dung dịch

1.Ứng suất và biến dạng dọc trục

Đáp số: P = 44,74 kN

Hai vật liệu: khi nối tiếp (cái này sau cái kia) mỗi đoạn chịu cùng một lực và các độ giãn dài cộng lại: δ = P·Σ L/(E·A). Khi song song (cạnh nhau giữa các tấm cứng) cả hai phần co lại cùng một lượng, nên biến dạng của chúng bằng nhau: phần cứng hơn nhận phần tải lớn hơn, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, và σ_i = E_i·ε. Một thanh bị giữ giữa hai vách cứng với tải đặt tại chỗ nối là siêu tĩnh: hai đoạn chia tải theo tỉ lệ độ cứng k = EA/L của chúng.

Diện tích

A₁ = 490,9 mm², A₂ = 706,9 mm²

Các độ mềm

L₁/(E₁A₁) = 600/(200000·490,9) = 6,112 × 10⁻⁶ mm/N

L₂/(E₂A₂) = 200/(100000·706,9) = 2,829 × 10⁻⁶ mm/N

Tải

P = 0,4/8,941 × 10⁻⁶ = 44738 N = 44,74 kN

Đáp số

P = 44,74 kN

2.Ứng suất và biến dạng dọc trục

Đáp số: δ = 3,246 mm

Cấu kiện chịu tải dọc trục: mỗi đoạn lăng trụ tuân theo δ = PL/(AE). Với các cấu kiện nối tiếp, độ giãn dài cộng lại.

Cùng một lực trong cả hai đoạn

Đầu tự do chịu lực P, nên mọi mặt cắt của thanh đều chịu cùng một lực dọc trục P. Chỉ có diện tích và vật liệu thay đổi.

A₁ = π·30²/4 = 706,9 mm², A₂ = π·12²/4 = 113,1 mm²

σ₁ = 35,37 MPa

σ₂ = 221 MPa

Cộng độ giãn dài của các đoạn

δ₁ = σ₁L₁/E₁ = 35,37·500/200000 = 0,08842 mm

δ₂ = σ₂L₂/E₂ = 221·1000/70000 = 3,158 mm

δ = δ₁ + δ₂ = 3,246 mm

Đáp số

δ = 3,246 mm

3.Xoắn của trục

Đáp số: φ = 3,695 °

Xoắn thanh tròn: ứng suất tiếp tăng tuyến tính từ không ở tâm đến τ_max = T·r/J ở bề mặt, với J = πd⁴/32 cho trục đặc và J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 cho trục rỗng. Góc xoắn là φ = TL/(GJ) tính bằng radian. Công suất và mômen xoắn liên hệ với nhau qua P = T·ω.

Mômen quán tính độc cực của mặt cắt

J = π·30⁴/32 = 79522 mm⁴

Góc xoắn

φ = TL/(GJ) = 400·1000·500/(39000·79522) = 0,06449 rad

φ = 0,06449·180/π = 3,695°

Đáp số

φ = 3,695°

4.Xoắn của trục

Đáp số: φ_C = 1,461 °

Các mô-men xoắn nội lực

Chiều của T_C được lấy là dương.

T_BC = T_C = 100 N·m

T_AB = T_C − T_B = 100 − 200 = −100 N·m

Góc xoắn của từng đoạn

J = π·40⁴/32 = 251327 mm⁴

G = 39 GPa = 39000 MPa

φ_AB = −100000·500/(39000·251327) = −0,005101 rad

φ_BC = 100000·3000/(39000·251327) = 0,03061 rad

Góc xoắn của đầu C

φ_C = −0,005101 + 0,03061 = 0,02551 rad → |φ_C| = 1,461°

Đáp số

φ_C = 1,461°

5.Lực cắt và mômen uốn

Đáp số: B (x = 2 m)

Mômen uốn lớn nhất: M đổi độ dốc ở bất cứ chỗ nào lực cắt thay đổi, nên các đỉnh của nó nằm nơi lực cắt đi qua không: dưới một tải tập trung, bên trong một tải phân bố, hoặc trên một gối của phần công-xon. Tại ngàm của dầm công-xon, mômen lớn nhất ở chân tường. So sánh độ lớn của M tại những chỗ đó, dù là mômen làm võng hay làm vồng.

Phản lực gối

Lấy mômen quanh một gối tựa, rồi dùng cân bằng lực thẳng đứng.

R₁ = 55 kN, R₂ = 15 kN

Mômen uốn tại mỗi điểm đánh dấu

Cộng các mômen của mọi lực ở một phía của mặt cắt. Võng là dương, vồng là âm.

M_A = 0, M_B = 110 kN·m, M_C = 100, M_D = 90, M_E = 60, M_F = 30, M_G = 0

Đáp số

Điểm đánh dấu B: M_B = 110 kN·m

6.Lực cắt và mômen uốn

Đáp số: M_x = 66 kN·m

Phương pháp mặt cắt: cắt dầm tại vị trí cần tìm nội lực và giữ lại một phía. Lực cắt V cân bằng với các lực thẳng đứng ở phía đó, và mômen uốn M cân bằng với mômen của chúng quanh mặt cắt.

Phản lực gối

Cân bằng của cả dầm.

Hợp lực của tải phân bố đều: W = w·ℓ = 4·5 = 20 kN, đặt tại x̄ = 2,5 m

ΣM_A = 0: R_B·5 = 45·3 + 4·5·2,5

R_B = 185/5 = 37 kN

ΣF_y = 0: R_A = 65 − 37 = 28 kN

Cắt tại x = 3 m và giữ phần bên trái

Chỉ các lực bên trái mặt cắt xuất hiện. Phần tải phân bố đều được thay bằng một lực đặt tại giữa phần đó.

M = R_A·x − (mỗi tải bên trái mặt cắt × cánh tay đòn đến mặt cắt)

M_x = 28·3 − 4·3·1,5 = 66 kN·m

Đáp số

M_x = 66 kN·m

7.Trọng tâm và mômen quán tính mặt cắt

Đáp số: I_x = 7,273 × 10⁶ mm⁴

Diện tích ghép: chia mặt cắt thành các hình chữ nhật. Trọng tâm là trung bình có trọng số theo diện tích ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Mômen quán tính của mặt cắt đối với trục đi qua trọng tâm bằng tổng bh³/12 của từng phần và số hạng trục song song A·d², trong đó d là khoảng cách từ trọng tâm của phần đó đến trọng tâm chung. Ứng suất uốn là σ = M·y/I.

Chia thành hai hình chữ nhật

Đo mọi y từ mép dưới.

cánh: A_f = 140·25 = 3500 mm², y_f = 120 + 25/2 = 132,5 mm

bụng: A_w = 12·120 = 1440 mm², y_w = 120/2 = 60 mm

Trọng tâm

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (3500·132,5 + 1440·60)/4940 = 111,4 mm

Định lý trục song song

cánh: 140·25³/12 + 3500·(132,5 − 111,4)² = 1,745 × 10⁶ mm⁴

bụng: 12·120³/12 + 1440·(60 − 111,4)² = 5,527 × 10⁶ mm⁴

I_x = 1,745 × 10⁶ + 5,527 × 10⁶ = 7,273 × 10⁶ mm⁴ = 7,273 × 10⁶ mm⁴

Đáp số

I_x = 7,273 × 10⁶ mm⁴

8.Trọng tâm và mômen quán tính mặt cắt

Đáp số: M_allow = 15,42 kN·m

Trọng tâm

ȳ = (9000·315 + 3000·150)/12000 = 273,8 mm

cạnh trên: c = 330 − 273,8 = 56,25 mm

Mômen quán tính mặt cắt

I = 300·30³/12 + 9000·41,25² + 10·300³/12 + 3000·123,8² = 8,443 × 10⁷ mm⁴

Mô-men cho phép theo từng cạnh

Võng xuống: thớ trên chịu nén, thớ dưới chịu kéo.

cạnh trên: M = 150·8,443 × 10⁷/56,25 = 225,2 kN·m

cạnh dưới: M = 50·8,443 × 10⁷/273,8 = 15,42 kN·m

Giá trị quyết định

M_allow = min = 15,42 kN·m (cạnh dưới)

Đáp số

M_allow = 15,42 kN·m

9.Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suất

Đáp số: τ_xy = 91,65 MPa

Bán kính cần thiết

C = (110 + (−60))/2 = 25 MPa

R = σ₁ − C = 150 − 25 = 125 MPa

Ứng suất tiếp

τ_xy = √(R² − ((σₓ − σᵧ)/2)²) = √(125² − 85²) = 91,65 MPa

Đáp số

τ_xy = 91,65 MPa

10.Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suất

Đáp số: n = 2,031

Biến đổi ứng suất phẳng: trên một mặt xoay góc θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Vòng tròn Mohr cho thấy tất cả các mặt cùng lúc: tâm của nó ở C = (σₓ + σᵧ)/2 và bán kính là R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Các ứng suất chính là C ± R, và ứng suất tiếp lớn nhất trong mặt phẳng là R. Tiêu chuẩn chảy: von Mises dự đoán vật liệu chảy khi σ_vM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²) đạt σ_Y; Tresca khi ứng suất cắt lớn nhất tuyệt đối đạt σ_Y/2.

Ứng suất chính

C = 45 MPa, R = 96,05 MPa

σ₁ = 141 MPa, σ₂ = −51,05 MPa, σ₃ = 0

Von Mises

σ_vM = √(141² − 141·(−51,05) + (−51,05)²) = 172,3 MPa

n = 350/172,3 = 2,031

Đáp số

n = 2,031

n > 1 nghĩa là điểm không bị chảy; Tresca thận trọng hơn von Mises một chút.

11.Độ võng của dầm

Đáp số: δ_P = 9,127 mm

Độ võng của dầm: độ võng có được bằng cách tích phân độ cong M/(EI) hai lần. Các trường hợp tiêu chuẩn đã được lập bảng, ví dụ PL³/(3EI) cho dầm công xôn chịu tải ở đầu tự do và 5wL⁴/(384EI) cho dầm đơn giản chịu tải phân bố đều toàn nhịp. Độ võng do các tải riêng rẽ cộng lại (xếp chồng).

Đơn vị nhất quán

Làm việc theo N và mm: P theo N, w theo N/mm (kN/m = N/mm), L theo mm, E theo N/mm² (GPa × 1000), I theo mm⁴.

P = 23000 N, a = 1000 mm, L = 5000 mm

EI = 8,4 × 10¹¹ N·mm²

Độ võng dưới tải

δ_P = Pa³/(3EI) = 23000·1000³/(3·8,4 × 10¹¹) = 9,127 mm

Đáp số

δ_P = 9,127 mm

12.Độ võng của dầm

Đáp số: I_req = 1,356 × 10⁶ mm⁴

Giới hạn độ võng

δ_allow = L/360 = 1500/360 = 4,167 mm

Mômen quán tính mặt cắt yêu cầu

I = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·6·1500⁴/(384·70000·4,167) = 1,356 × 10⁶ mm⁴

I_req = 1,356 × 10⁶ mm⁴

Đáp số

I_req = 1,356 × 10⁶ mm⁴

13.Mất ổn định cột

Đáp số: P_cr = 3,57 kN

Mất ổn định Euler: một cột mảnh mất ổn định tại P_cr = π²EI/(KL)², trong đó KL là chiều dài tính toán: K = 1 cho khớp–khớp, 2 cho ngàm–tự do, 0,7 cho ngàm–khớp và 0,5 cho ngàm–ngàm. Cột oằn quanh trục có I nhỏ nhất. Công thức đúng với cột mảnh, có ứng suất tới hạn thấp hơn ứng suất chảy.

Mômen quán tính nhỏ nhất của mặt cắt

Hình chữ nhật oằn quanh trục yếu, dùng kích thước nhỏ hơn lập phương.

I_min = h·b³/12 = 50·25³/12 = 65104 mm⁴

Chiều dài tính toán

KL = 2·3000 = 6000 mm

Tải trọng tới hạn

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·65104/6000² = 3570 N = 3,57 kN

Đáp số

P_cr = 3,57 kN

14.Mất ổn định cột

Đáp số: d = 53,29 mm

Tải trọng tới hạn yêu cầu

P_cr = n·P = 2,5·50000 = 125000 N

KL = 1·2500 = 2500 mm

Giải tìm đường kính

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·125000·2500²/(π³·200000))^(1/4) = 53,29 mm

Đáp số

d = 53,29 mm

Kiểm tra: độ mảnh KL/r là 187,7, nên cột là mảnh và công thức Euler áp dụng được.

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials