Sức bền vật liệu: gói ôn nước rút

Bảng công thức, các bước phương pháp chính cho từng chủ đề và 14 bài tập, kèm lời giải đầy đủ ở cuối.

Bài mới Quay lại môn học

Trong cửa sổ in, hãy chọn “Lưu dưới dạng PDF” để giữ một bản trên thiết bị của bạn.

1Công thức và phương pháp

Ứng suất và biến dạng dọc trục

Ứng suất pháp: σ = F/A
Biến dạng: ε = ΔL/L
Định luật Hooke: σ = E·ε
Độ giãn dài: ΔL = FL/(EA)
Biến dạng nhiệt: ε_T = α·ΔT

Xoắn của trục

Ứng suất tiếp: τ = T·r/J
Trục đặc: J = πd⁴/32
Trục rỗng: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Góc xoắn: φ = TL/(GJ)
Công suất: P = T·ω = 2πnT/60

Phương pháp

Tìm mômen quán tính độc cực: J = πd⁴/32 cho trục đặc.
Ứng suất tiếp ở bề mặt: τ = T·r/J, với r là bán kính ngoài.
Góc xoắn: φ = TL/(GJ) theo radian.
Nếu cho công suất, hãy tìm mômen xoắn trước bằng P = T·ω, ω = 2πn/60.

Lực cắt và mômen uốn

Lực cắt và mômen: V = ΣF ở một phía, M = ΣF·d ở một phía
Ứng suất uốn: σ = M·y/I
Hình chữ nhật: I = bh³/12
Mômen chống uốn của mặt cắt: W = I/y_max
Dầm đơn giản, tải phân bố đều: M_max = wL²/8

Phương pháp

Tìm phản lực gối từ cân bằng của cả dầm.
Cắt dầm tại mặt cắt bạn cần và giữ lại một phía.
Lực cắt: tổng các lực thẳng đứng ở phía đó. Mômen uốn: tổng mômen của chúng quanh mặt cắt.
Để tìm mômen lớn nhất, hãy tìm nơi lực cắt bằng không.

Trọng tâm và mômen quán tính mặt cắt

Trọng tâm: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Hình chữ nhật: I = bh³/12
Định lý trục song song: I = I_c + A·d²
Mặt cắt ghép: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suất

Tâm: C = (σ_x + σ_y)/2
Bán kính: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Ứng suất chính: σ_1,2 = C ± R
Phương chính: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Mặt phẳng nghiêng: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Phương pháp

Tính tâm của vòng tròn Mohr: C = (σx + σy)/2.
Tính bán kính: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Các ứng suất chính là C ± R và ứng suất tiếp lớn nhất trong mặt phẳng là R.
Các góc trên vòng tròn gấp đôi các góc trên phần tử: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Độ võng của dầm

Tải tập trung ở giữa nhịp: δ = PL³/(48EI)
Tải phân bố đều, dầm đơn giản: δ = 5wL⁴/(384EI)
Công xôn, tải ở đầu: δ = PL³/(3EI)
Công xôn, tải phân bố đều: δ = wL⁴/(8EI)
Nguyên lý xếp chồng: δ = δ₁ + δ₂

Mất ổn định cột

Tải Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Hệ số chiều dài tính toán: K = 1 khớp–khớp, 0,5 ngàm–ngàm, 0,7 ngàm–khớp, 2 ngàm–tự do
Ứng suất tới hạn: σ_cr = P_cr/A
Độ mảnh: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Bài tập

1.Ứng suất và biến dạng dọc trụcTrung bình

Tìm biến dạng dọc trục ε trong thanh đồng thau, tính bằng microstrain (µε = 10⁻⁶).

P = 30 kNd = 12 mmL = 2,5 mE = 100 GPa

ε = µε

2.Ứng suất và biến dạng dọc trụcKhó

Một đoạn thép (đường kính 30 mm, chiều dài 300 mm, E = 200 GPa) và một đoạn làm bằng đồng (đường kính 30 mm, chiều dài 300 mm, E = 120 GPa) được nối đầu với đầu và ngàm giữa hai vách cứng. Một tải dọc trục 60 kN tác dụng tại chỗ nối, hướng về phía đoạn 2. Tìm độ lớn ứng suất σ₂ trong đoạn 2.

đoạn 1: thép, Ø30 mm, 300 mm, E = 200 GPađoạn 2: đồng, Ø30 mm, 300 mm, E = 120 GPaP = 60 kN

σ₂ = MPa

3.Xoắn của trụcTrung bình

Một trục đặc thép được ngàm vào tường và bị xoắn bởi mômen xoắn T ở đầu tự do. Tìm góc xoắn φ của đầu tự do, theo độ.

T = 1000 N·md = 50 mmL = 3 mG = 80 GPa

φ = °

4.Xoắn của trụcKhó

Một trục đặc nhôm truyền 10 kW ở 1500 rpm. Ứng suất cắt không được vượt quá 50 MPa và góc xoắn không được vượt quá 0,25° trên mỗi m chiều dài. Tìm đường kính nhỏ nhất d thỏa mãn cả hai giới hạn.

P = 10 kWN = 1500 rpmτ_allow = 50 MPaθ_allow = 0,25°/mG = 26 GPa

d = mm

5.Lực cắt và mômen uốnTrung bình

Các điểm đánh dấu từ A đến G chia dầm thành sáu phần bằng nhau. Tại điểm nào mômen uốn có độ lớn lớn nhất, dù võng hay vồng? Nhấp vào nó trong sơ đồ.

15 kN @ 5 m10 kN/m, 1–4 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 1 m)
3C (x = 2 m)
4D (x = 3 m)
5E (x = 4 m)
6F (x = 5 m)
7G (x = 6 m)

6.Lực cắt và mômen uốnKhó

Tìm mômen uốn M_x tại mặt cắt x = 1,5 m tính từ gối A. Coi mômen làm dầm võng xuống là dương và lực cắt hướng lên trên mặt trái là dương.

L = 6 mP = 55 kN tại 1,5 mw = 10 kN/m từ 0 đến 6 mx = 1,5 m

M_x = kN·m

7.Trọng tâm và mômen quán tính mặt cắtTrung bình

Tìm mômen quán tính I_x của mặt cắt chữ T đối với trục ngang x đi qua trọng tâm.

b_f = 220 mmt_f = 10 mmt_w = 18 mmh_w = 220 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Trọng tâm và mômen quán tính mặt cắtKhó

Mặt cắt chữ T được dùng làm dầm với cánh ở trên và chịu mômen uốn làm võng xuống 5 kN·m. Tìm độ lớn ứng suất uốn σ_trên ở mép trên.

b_f = 260 mmt_f = 20 mmt_w = 8 mmh_w = 160 mmM = 5 kN·m

σ_trên = MPa

9.Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suấtTrung bình

Một điểm trong chi tiết chịu tải có σₓ = 120 MPa, σᵧ = −70 MPa và τₓᵧ = 30 MPa (kéo là dương). Tìm ứng suất tiếp lớn nhất trong mặt phẳng τ_max.

σ_x = 120 MPaσ_y = −70 MPaτ_xy = 30 MPa

τ_max = MPa

10.Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suấtKhó

Một điểm trong chi tiết chịu tải có σₓ = 60 MPa, σᵧ = 80 MPa và τₓᵧ = 20 MPa (kéo là dương). Tìm ứng suất pháp σ_θ trên một mặt có pháp tuyến xoay 45° ngược chiều kim đồng hồ so với trục x.

σ_x = 60 MPaσ_y = 80 MPaτ_xy = 20 MPaθ = 45°

σ_θ = MPa

11.Độ võng của dầmTrung bình

Một dầm đơn giản chịu tải phân bố đều w trên toàn bộ nhịp. Tìm góc xoay θ_A của dầm tại gối A, theo radian.

w = 4 kN/mL = 2 mE = 70 GPa (nhôm)I = 8,5 × 10⁶ mm⁴

θ_A = rad

12.Độ võng của dầmKhó

Một dầm đơn giản chịu tải phân bố đều w. Độ võng của nó không được vượt quá nhịp/360. Tìm mômen quán tính nhỏ nhất của mặt cắt I_req thỏa mãn giới hạn này.

w = 8 kN/mL = 6 mE = 11 GPa (gỗ xẻ)

I_req = × 10⁶ mm⁴

13.Mất ổn định cộtTrung bình

Một cột dài L làm bằng nhôm được ngàm cả hai đầu. Dùng công thức Euler, tìm tải trọng oằn tới hạn P_cr của nó.

L = 1,5 mE = 70 GPa (nhôm)d = 30 mm

P_cr = kN

14.Mất ổn định cộtKhó

Một cột dài L làm bằng thép được ngàm ở chân và khớp ở đỉnh. Tìm độ mảnh của nó và ứng suất oằn tới hạn σ_cr theo công thức Euler.

L = 4 mE = 200 GPa (thép)d = 50 mm

σ_cr = MPa

3Dung dịch

1.Ứng suất và biến dạng dọc trục

Đáp số: ε = 2653 µε

Định luật Hooke: trong giới hạn đàn hồi σ = E·ε. Kết hợp với σ = P/A và ε = δ/L ta được δ = PL/(AE).

Ứng suất

A = π·12²/4 = 113,1 mm²

σ = P/A = 30·1000/113,1 = 265,3 MPa

Biến dạng (định luật Hooke)

E for đồng thau = 100 GPa = 100000 MPa.

ε = σ/E = 265,3/100000 = 0,002653 = 2653 µε

Đáp số

ε = 2653 µε

2.Ứng suất và biến dạng dọc trục

Đáp số: σ₂ = 31,83 MPa

Hai vật liệu: khi nối tiếp (cái này sau cái kia) mỗi đoạn chịu cùng một lực và các độ giãn dài cộng lại: δ = P·Σ L/(E·A). Khi song song (cạnh nhau giữa các tấm cứng) cả hai phần co lại cùng một lượng, nên biến dạng của chúng bằng nhau: phần cứng hơn nhận phần tải lớn hơn, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, và σ_i = E_i·ε. Một thanh bị giữ giữa hai vách cứng với tải đặt tại chỗ nối là siêu tĩnh: hai đoạn chia tải theo tỉ lệ độ cứng k = EA/L của chúng.

Các độ cứng

k₁ = 200000·706,9/300 = 471239 N/mm

k₂ = 120000·706,9/300 = 282743 N/mm

Phần của đoạn 2

F₂ = 60000·282743/753982 = 22500 N

Ứng suất

σ₂ = 22500/706,9 = 31,83 MPa (nén)

Đáp số

σ₂ = 31,83 MPa

3.Xoắn của trục

Đáp số: φ = 3,502 °

Xoắn thanh tròn: ứng suất tiếp tăng tuyến tính từ không ở tâm đến τ_max = T·r/J ở bề mặt, với J = πd⁴/32 cho trục đặc và J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 cho trục rỗng. Góc xoắn là φ = TL/(GJ) tính bằng radian. Công suất và mômen xoắn liên hệ với nhau qua P = T·ω.

Mômen quán tính độc cực của mặt cắt

J = π·50⁴/32 = 613592 mm⁴

Góc xoắn

φ = TL/(GJ) = 1000·1000·3000/(80000·613592) = 0,06112 rad

φ = 0,06112·180/π = 3,502°

Đáp số

φ = 3,502°

4.Xoắn của trục

Đáp số: d = 48,9 mm

Mômen xoắn

ω = 2πN/60 = 2π·1500/60 = 157,1 rad/s

T = P/ω = 10000/157,1 = 63,66 N·m

Đường kính theo điều kiện bền

T = 63,66 N·m = 63662 N·mm

d_τ = ∛(16·63662/(π·50)) = 18,65 mm

Đường kính theo điều kiện cứng

θ = 0,25·π/180/1000 = 4,363 × 10⁻⁶ rad/mm

G = 26 GPa = 26000 MPa

d_φ = (32·63662/(π·26000·4,363 × 10⁻⁶))^1/4 = 48,9 mm

Đường kính quyết định

Cả hai giới hạn đều phải thỏa, nên đường kính lớn hơn quyết định.

d = max(18,65, 48,9) = 48,9 mm

Đáp số

d = 48,9 mm

Ở đây điều kiện cứng quyết định.

5.Lực cắt và mômen uốn

Đáp số: D (x = 3 m)

Mômen uốn lớn nhất: M đổi độ dốc ở bất cứ chỗ nào lực cắt thay đổi, nên các đỉnh của nó nằm nơi lực cắt đi qua không: dưới một tải tập trung, bên trong một tải phân bố, hoặc trên một gối của phần công-xon. Tại ngàm của dầm công-xon, mômen lớn nhất ở chân tường. So sánh độ lớn của M tại những chỗ đó, dù là mômen làm võng hay làm vồng.

Phản lực gối

Lấy mômen quanh một gối tựa, rồi dùng cân bằng lực thẳng đứng.

R₁ = 20 kN, R₂ = 25 kN

Mômen uốn tại mỗi điểm đánh dấu

Cộng các mômen của mọi lực ở một phía của mặt cắt. Võng là dương, vồng là âm.

M_A = 0, M_B = 20, M_C = 35, M_D = 40 kN·m, M_E = 35, M_F = 25, M_G = 0

Đáp số

Điểm đánh dấu D: M_D = 40 kN·m

6.Lực cắt và mômen uốn

Đáp số: M_x = 95,63 kN·m

Phương pháp mặt cắt: cắt dầm tại vị trí cần tìm nội lực và giữ lại một phía. Lực cắt V cân bằng với các lực thẳng đứng ở phía đó, và mômen uốn M cân bằng với mômen của chúng quanh mặt cắt.

Phản lực gối

Cân bằng của cả dầm.

Hợp lực của tải phân bố đều: W = w·ℓ = 10·6 = 60 kN, đặt tại x̄ = 3 m

ΣM_A = 0: R_B·6 = 55·1,5 + 10·6·3

R_B = 262,5/6 = 43,75 kN

ΣF_y = 0: R_A = 115 − 43,75 = 71,25 kN

Cắt tại x = 1,5 m và giữ phần bên trái

Chỉ các lực bên trái mặt cắt xuất hiện. Phần tải phân bố đều được thay bằng một lực đặt tại giữa phần đó.

M = R_A·x − (mỗi tải bên trái mặt cắt × cánh tay đòn đến mặt cắt)

M_x = 71,25·1,5 − 10·1,5·0,75 = 95,63 kN·m

Đáp số

M_x = 95,63 kN·m

7.Trọng tâm và mômen quán tính mặt cắt

Đáp số: I_x = 34,69 × 10⁶ mm⁴

Diện tích ghép: chia mặt cắt thành các hình chữ nhật. Trọng tâm là trung bình có trọng số theo diện tích ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Mômen quán tính của mặt cắt đối với trục đi qua trọng tâm bằng tổng bh³/12 của từng phần và số hạng trục song song A·d², trong đó d là khoảng cách từ trọng tâm của phần đó đến trọng tâm chung. Ứng suất uốn là σ = M·y/I.

Chia thành hai hình chữ nhật

Đo mọi y từ mép dưới.

cánh: A_f = 220·10 = 2200 mm², y_f = 220 + 10/2 = 225 mm

bụng: A_w = 18·220 = 3960 mm², y_w = 220/2 = 110 mm

Trọng tâm

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (2200·225 + 3960·110)/6160 = 151,1 mm

Định lý trục song song

cánh: 220·10³/12 + 2200·(225 − 151,1)² = 1,204 × 10⁷ mm⁴

bụng: 18·220³/12 + 3960·(110 − 151,1)² = 2,265 × 10⁷ mm⁴

I_x = 1,204 × 10⁷ + 2,265 × 10⁷ = 3,469 × 10⁷ mm⁴ = 34,69 × 10⁶ mm⁴

Đáp số

I_x = 34,69 × 10⁶ mm⁴

8.Trọng tâm và mômen quán tính mặt cắt

Đáp số: σ_trên = 12,37 MPa

Chia thành hai hình chữ nhật

Đo mọi y từ mép dưới.

cánh: A_f = 260·20 = 5200 mm², y_f = 160 + 20/2 = 170 mm

bụng: A_w = 8·160 = 1280 mm², y_w = 160/2 = 80 mm

Trọng tâm

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (5200·170 + 1280·80)/6480 = 152,2 mm

Định lý trục song song

cánh: 260·20³/12 + 5200·(170 − 152,2)² = 1,817 × 10⁶ mm⁴

bụng: 8·160³/12 + 1280·(80 − 152,2)² = 9,407 × 10⁶ mm⁴

I_x = 1,817 × 10⁶ + 9,407 × 10⁶ = 1,122 × 10⁷ mm⁴

Ứng suất uốn

Mép trên cách trục h − ȳ.

y = 180 − 152,2 = 27,78 mm

σ = M·y/I = 5 × 10⁶·27,78/1,122 × 10⁷ = 12,37 MPa

Đáp số

σ_trên = 12,37 MPa

9.Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suất

Đáp số: τ_max = 99,62 MPa

Biến đổi ứng suất phẳng: trên một mặt xoay góc θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Vòng tròn Mohr cho thấy tất cả các mặt cùng lúc: tâm của nó ở C = (σₓ + σᵧ)/2 và bán kính là R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Các ứng suất chính là C ± R, và ứng suất tiếp lớn nhất trong mặt phẳng là R.

Bán kính vòng tròn Mohr

τ_max = R = √(((120 − −70)/2)² + 30²) = 99,62 MPa

Đáp số

τ_max = 99,62 MPa

10.Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suất

Đáp số: σ_θ = 90 MPa

Phương trình biến đổi

σ_θ = 70 + −10·0 + 20·1 = 90 MPa

Đáp số

σ_θ = 90 MPa

11.Độ võng của dầm

Đáp số: θ_A = 0,002241 rad

Độ võng của dầm: độ võng có được bằng cách tích phân độ cong M/(EI) hai lần. Các trường hợp tiêu chuẩn đã được lập bảng, ví dụ PL³/(3EI) cho dầm công xôn chịu tải ở đầu tự do và 5wL⁴/(384EI) cho dầm đơn giản chịu tải phân bố đều toàn nhịp. Độ võng do các tải riêng rẽ cộng lại (xếp chồng). Góc xoay θ = dv/dx là tích phân bậc một của M/(EI); với các đơn vị nhất quán, nó có đơn vị radian.

Đơn vị nhất quán

Làm việc theo N và mm: P theo N, w theo N/mm (kN/m = N/mm), L theo mm, E theo N/mm² (GPa × 1000), I theo mm⁴.

w = 4 N/mm, L = 2000 mm

EI = 5,95 × 10¹¹ N·mm²

Góc xoay ở đầu

θ_A = wL³/(24EI) = 4·2000³/(24·5,95 × 10¹¹) = 0,002241 rad

Đáp số

θ_A = 0,002241 rad

Đó là 0,1284°.

12.Độ võng của dầm

Đáp số: I_req = 736,4 × 10⁶ mm⁴

Giới hạn độ võng

δ_allow = L/360 = 6000/360 = 16,67 mm

Mômen quán tính mặt cắt yêu cầu

I = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·8·6000⁴/(384·11000·16,67) = 7,364 × 10⁸ mm⁴

I_req = 736,4 × 10⁶ mm⁴

Đáp số

I_req = 736,4 × 10⁶ mm⁴

13.Mất ổn định cột

Đáp số: P_cr = 48,83 kN

Mất ổn định Euler: một cột mảnh mất ổn định tại P_cr = π²EI/(KL)², trong đó KL là chiều dài tính toán: K = 1 cho khớp–khớp, 2 cho ngàm–tự do, 0,7 cho ngàm–khớp và 0,5 cho ngàm–ngàm. Cột oằn quanh trục có I nhỏ nhất. Công thức đúng với cột mảnh, có ứng suất tới hạn thấp hơn ứng suất chảy.

Mômen quán tính nhỏ nhất của mặt cắt

Mặt cắt tròn có cùng I đối với mọi trục.

I = πd⁴/64 = π·30⁴/64 = 39761 mm⁴

Chiều dài tính toán

KL = 0,5·1500 = 750 mm

Tải trọng tới hạn

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·39761/750² = 48835 N = 48,83 kN

Đáp số

P_cr = 48,83 kN

14.Mất ổn định cột

Đáp số: σ_cr = 39,34 MPa

Mômen quán tính nhỏ nhất của mặt cắt

Mặt cắt tròn có cùng I đối với mọi trục.

I = πd⁴/64 = π·50⁴/64 = 306796 mm⁴

Bán kính quán tính và độ mảnh

A = 1963 mm²

r = √(I/A) = √(306796/1963) = 12,5 mm

KL = 0,7·4000 = 2800 mm

KL/r = 2800/12,5 = 224

Ứng suất tới hạn

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/224² = 39,34 MPa

Đáp số

σ_cr = 39,34 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials