Sức bền vật liệu: gói ôn nước rút

Bảng công thức, các bước phương pháp chính cho từng chủ đề và 14 bài tập, kèm lời giải đầy đủ ở cuối.

Bài mớiQuay lại môn học

Trong cửa sổ in, hãy chọn “Lưu dưới dạng PDF” để giữ một bản trên thiết bị của bạn.

1Công thức và phương pháp

Ứng suất và biến dạng dọc trục

Ứng suất pháp
σ = F/A
Biến dạng
ε = ΔL/L
Định luật Hooke
σ = E·ε
Độ giãn dài
ΔL = FL/(EA)
Biến dạng nhiệt
εT = α·ΔT

Xoắn của trục

Ứng suất tiếp
τ = T·r/J
Trục đặc
J = πd⁴/32
Trục rỗng
J = π(D⁴ − d⁴)/32
Góc xoắn
φ = TL/(GJ)
Công suất
P = T·ω = 2πnT/60

Phương pháp

  1. Tìm mômen quán tính độc cực: J = πd⁴/32 cho trục đặc.
  2. Ứng suất tiếp ở bề mặt: τ = T·r/J, với r là bán kính ngoài.
  3. Góc xoắn: φ = TL/(GJ) theo radian.
  4. Nếu cho công suất, hãy tìm mômen xoắn trước bằng P = T·ω, ω = 2πn/60.

Lực cắt và mômen uốn

Lực cắt và mômen
V = ΣF ở một phía, M = ΣF·d ở một phía
Ứng suất uốn
σ = M·y/I
Hình chữ nhật
I = bh³/12
Mômen chống uốn của mặt cắt
W = I/ymax
Dầm đơn giản, tải phân bố đều
Mmax = wL²/8

Phương pháp

  1. Tìm phản lực gối từ cân bằng của cả dầm.
  2. Cắt dầm tại mặt cắt bạn cần và giữ lại một phía.
  3. Lực cắt: tổng các lực thẳng đứng ở phía đó. Mômen uốn: tổng mômen của chúng quanh mặt cắt.
  4. Để tìm mômen lớn nhất, hãy tìm nơi lực cắt bằng không.

Trọng tâm và mômen quán tính mặt cắt

Trọng tâm
ȳ = ΣAiyi/ΣAi
Hình chữ nhật
I = bh³/12
Định lý trục song song
I = Ic + A·d²
Mặt cắt ghép
I = Σ(Ic,i + Aidi²)

Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suất

Tâm
C = (σx + σy)/2
Bán kính
R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
Ứng suất chính
σ1,2 = C ± R
Phương chính
tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
Mặt phẳng nghiêng
σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ

Phương pháp

  1. Tính tâm của vòng tròn Mohr: C = (σx + σy)/2.
  2. Tính bán kính: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
  3. Các ứng suất chính là C ± R và ứng suất tiếp lớn nhất trong mặt phẳng là R.
  4. Các góc trên vòng tròn gấp đôi các góc trên phần tử: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Độ võng của dầm

Tải tập trung ở giữa nhịp
δ = PL³/(48EI)
Tải phân bố đều, dầm đơn giản
δ = 5wL⁴/(384EI)
Công xôn, tải ở đầu
δ = PL³/(3EI)
Công xôn, tải phân bố đều
δ = wL⁴/(8EI)
Nguyên lý xếp chồng
δ = δ1 + δ2

Mất ổn định cột

Tải Euler
Pcr = π²EI/(KL)²
Hệ số chiều dài tính toán
K = 1 khớp–khớp, 0,5 ngàm–ngàm, 0,7 ngàm–khớp, 2 ngàm–tự do
Ứng suất tới hạn
σcr = Pcr/A
Độ mảnh
λ = KL/r, r = √(I/A)

2Bài tập

1.Ứng suất và biến dạng dọc trụcTrung bình
100 kNØ20120 GPaØ120/60500 mmδ = ?

Một thanh thép (đường kính 20 mm, E = 200 GPa) nằm trong một ống làm bằng đồng (đường kính ngoài 120 mm, đường kính trong 60 mm, E = 120 GPa). Cả hai dài 500 mm và bị nén cùng nhau giữa các tấm cứng bởi 100 kN. Tìm độ co ngắn δ.

P = 100 kNthanh: Ø20 mm, E = 200 GPaống: Ø120/Ø60 mm, E = 120 GPaL = 500 mm
δ = mm
2.Ứng suất và biến dạng dọc trụcKhó
P = ?Ø30110 GPaØ120/70500 mm

Một thanh thép (đường kính 30 mm, E = 200 GPa, ứng suất cho phép 200 MPa) nằm trong một ống làm bằng đồng thanh (đường kính ngoài 120 mm, đường kính trong 70 mm, E = 110 GPa, ứng suất cho phép 80 MPa). Chúng bị nén cùng nhau giữa các tấm cứng. Tìm tải lớn nhất Pmax.

thanh: Ø30 mm, E = 200 GPa, σallow = 200 MPaống: Ø120/Ø70 mm, E = 110 GPa, σallow = 80 MPa
Pmax = kN
3.Xoắn của trụcTrung bình
d1​ = 60 mmd2​ = 20 mmT = 750 N·mABC3 m0,5 m

Một trục đặc thép có bậc được ngàm tại A. Đoạn AB có đường kính 60 mm và chiều dài 3 m; đoạn BC có đường kính 20 mm và chiều dài 0,5 m. Một mô-men xoắn 750 N·m tác dụng tại đầu tự do C. Tìm góc xoắn φC của đầu C, theo độ.

T = 750 N·md1 = 60 mm, L1 = 3 md2 = 20 mm, L2 = 0,5 mG = 80 GPa
φC = °
4.Xoắn của trụcKhó
Td = ?

Một trục đặc phải truyền 30 kW ở 750 rpm mà ứng suất tiếp không vượt quá 60 MPa. Tìm đường kính nhỏ nhất d thỏa mãn.

P = 30 kWN = 750 rpmτallow = 60 MPa
d = mm
5.Lực cắt và mômen uốnTrung bình
w = 10 kN/mABmặt cắt2 m2 m

Tìm mômen uốn Mx tại mặt cắt x = 2 m tính từ gối A. Coi mômen làm dầm võng xuống là dương và lực cắt hướng lên trên mặt trái là dương.

L = 4 mw = 10 kN/m từ 0 đến 4 mx = 2 m
Mx = kN·m
6.Lực cắt và mômen uốnKhó
w = 2 kN/mP = 50 kNABmặt cắt1 m1 m3 m

Tìm mômen uốn Mx tại mặt cắt x = 2 m tính từ gối A. Coi mômen làm dầm võng xuống là dương và lực cắt hướng lên trên mặt trái là dương.

L = 5 mP = 50 kN tại 1 mw = 2 kN/m từ 0 đến 5 mx = 2 m
Mx = kN·m
7.Trọng tâm và mômen quán tính mặt cắtTrung bình
200130t = 12ȳ = ?kích thước tính bằng mm

Một tiết diện chữ U đặt với mặt hở hướng lên: một bản đáy rộng 200 mm với hai cánh đứng, tổng chiều cao 130 mm. Đáy và các cánh đều dày 12 mm. Tìm độ cao ȳ của trọng tâm so với cạnh đáy.

b = 200 mmh = 130 mmt = 12 mm
ȳ = mm
8.Trọng tâm và mômen quán tính mặt cắtKhó
120 mm300 mm105 mm60 × 50xIx​ = ?

Một tấm 120 mm × 300 mm có một lỗ khoét hình chữ nhật rộng 60 mm và cao 50 mm, đặt giữa đường tâm thẳng đứng với tâm cách đáy 105 mm. Tìm mômen quán tính diện tích Ix quanh trục nằm ngang đi qua trọng tâm.

b = 120 mmh = 300 mmlỗ khoét: 60 × 50 mmtâm lỗ: y = 105 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
9.Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suấtTrung bình
σx​ = −60σy​ = −20τxy​ = 30MPa

Một điểm có σₓ = −60 MPa, σᵧ = −20 MPa và τₓᵧ = 30 MPa (kéo là dương). Phân tố được xoay 25° ngược chiều kim đồng hồ. Tìm ứng suất pháp σy′ trên các mặt của phân tố đã xoay vuông góc với trục y′ sau khi xoay.

σx = −60 MPaσy = −20 MPaτxy = 30 MPaθ = 25°
σy′ = MPa
10.Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suấtKhó
σx​ = 130σy​ = −80τxy​ = 10MPa

Một điểm trong chi tiết chịu tải có σₓ = 130 MPa, σᵧ = −80 MPa và τₓᵧ = 10 MPa (kéo là dương). Tìm ứng suất pháp σθ trên một mặt có pháp tuyến xoay 60° ngược chiều kim đồng hồ so với trục x.

σx = 130 MPaσy = −80 MPaτxy = 10 MPaθ = 60°
σθ = MPa
11.Độ võng của dầmTrung bình
P = 30 kNABδ1 m3 m

Một dầm đơn giản chịu lực tập trung P tại vị trí cách gối A một đoạn a = 1 m. Tìm độ võng δP dưới tải.

P = 30 kNa = 1 mL = 4 mE = 11 GPa (gỗ xẻ)I = 57 × 10⁶ mm⁴
δP = mm
12.Độ võng của dầmKhó
w = 5 kN/mP = 10 kNδL = 5 m

Một dầm đơn giản chịu tải phân bố đều w và một tải tập trung P ở giữa nhịp. Dùng nguyên lý xếp chồng, tìm độ võng giữa nhịp δmax.

P = 10 kNw = 5 kN/mL = 5 mE = 200 GPa (thép)I = 160 × 10⁶ mm⁴
δmax = mm
13.Mất ổn định cộtTrung bình
PL = 2,5 m20 × 80 mmmặt cắt ngang

Một cột dài L làm bằng thép được ngàm ở chân và khớp ở đỉnh. Dùng công thức Euler, tìm tải trọng oằn tới hạn Pcr của nó.

L = 2,5 mE = 200 GPa (thép)b × h = 20 × 80 mm
Pcr = kN
14.Mất ổn định cộtKhó
PL = 6 md = 30 mmmặt cắt ngang

Một cột dài L làm bằng thép được ngàm ở chân và khớp ở đỉnh. Tìm độ mảnh của nó và ứng suất oằn tới hạn σcr theo công thức Euler.

L = 6 mE = 200 GPa (thép)d = 30 mm
σcr = MPa

3Dung dịch

1.Ứng suất và biến dạng dọc trục

Đáp số: δ = 0,04627 mm

Hai vật liệu: khi nối tiếp (cái này sau cái kia) mỗi đoạn chịu cùng một lực và các độ giãn dài cộng lại: δ = P·Σ L/(E·A). Khi song song (cạnh nhau giữa các tấm cứng) cả hai phần co lại cùng một lượng, nên biến dạng của chúng bằng nhau: phần cứng hơn nhận phần tải lớn hơn, Pi = P·EiAi/ΣEA, và σi = Ei·ε. Một thanh bị giữ giữa hai vách cứng với tải đặt tại chỗ nối là siêu tĩnh: hai đoạn chia tải theo tỉ lệ độ cứng k = EA/L của chúng.

Diện tích

Ar = π·20²/4 = 314,2 mm²
At = π(120² − 60²)/4 = 8482 mm²

Độ cứng dọc trục kết hợp

ΣEA = 200·10³·314,2 + 120·10³·8482 = 1,081 × 10⁹ N

Độ co ngắn

δ = 100000·500/1,081 × 10⁹ = 0,04627 mm

Đáp số

δ = 0,04627 mm
2.Ứng suất và biến dạng dọc trục

Đáp số: Pmax = 699,7 kN

Hai vật liệu: khi nối tiếp (cái này sau cái kia) mỗi đoạn chịu cùng một lực và các độ giãn dài cộng lại: δ = P·Σ L/(E·A). Khi song song (cạnh nhau giữa các tấm cứng) cả hai phần co lại cùng một lượng, nên biến dạng của chúng bằng nhau: phần cứng hơn nhận phần tải lớn hơn, Pi = P·EiAi/ΣEA, và σi = Ei·ε. Một thanh bị giữ giữa hai vách cứng với tải đặt tại chỗ nối là siêu tĩnh: hai đoạn chia tải theo tỉ lệ độ cứng k = EA/L của chúng.

Diện tích

Ar = π·30²/4 = 706,9 mm²
At = π(120² − 70²)/4 = 7461 mm²

Độ cứng dọc trục kết hợp

ΣEA = 200·10³·706,9 + 110·10³·7461 = 9,621 × 10⁸ N

Biến dạng quyết định

ε = min(0,001, 0,0007273) = 0,0007273 (đồng thanh)

Tải lớn nhất

Pmax = 0,0007273·9,621 × 10⁸ = 699718 N = 699,7 kN

Đáp số

Pmax = 699,7 kN
3.Xoắn của trục

Đáp số: φC = 18,36 °

Xoắn thanh tròn: ứng suất tiếp tăng tuyến tính từ không ở tâm đến τmax = T·r/J ở bề mặt, với J = πd⁴/32 cho trục đặc và J = π(do⁴ − di⁴)/32 cho trục rỗng. Góc xoắn là φ = TL/(GJ) tính bằng radian. Công suất và mômen xoắn liên hệ với nhau qua P = T·ω.

Các mô-men quán tính độc cực

J1 = π·60⁴/32 = 1,272 × 10⁶ mm⁴
J2 = π·20⁴/32 = 15708 mm⁴

Góc xoắn của từng đoạn

T = 750 N·m = 750000 N·mm
G = 80 GPa = 80000 MPa
φAB = 750000·3000/(80000·1,272 × 10⁶) = 0,0221 rad
φBC = 750000·500/(80000·15708) = 0,2984 rad

Tổng góc xoắn

φC = 0,0221 + 0,2984 = 0,3205 rad = 18,36°

Đáp số

φC = 18,36°
4.Xoắn của trục

Đáp số: d = 31,89 mm

Xoắn thanh tròn: ứng suất tiếp tăng tuyến tính từ không ở tâm đến τmax = T·r/J ở bề mặt, với J = πd⁴/32 cho trục đặc và J = π(do⁴ − di⁴)/32 cho trục rỗng. Góc xoắn là φ = TL/(GJ) tính bằng radian. Công suất và mômen xoắn liên hệ với nhau qua P = T·ω.

Mômen xoắn

ω = 2πN/60 = 2π·750/60 = 78,54 rad/s
T = P/ω = 30000/78,54 = 382 N·m

Đường kính từ ứng suất cho phép

d = ∛(16T/(π·τallow)) = ∛(16·381972/(π·60)) = 31,89 mm

Đáp số

d = 31,89 mm

Trong thực tế bạn sẽ làm tròn lên kích thước tiêu chuẩn kế tiếp.

5.Lực cắt và mômen uốn

Đáp số: Mx = 20 kN·m

Phương pháp mặt cắt: cắt dầm tại vị trí cần tìm nội lực và giữ lại một phía. Lực cắt V cân bằng với các lực thẳng đứng ở phía đó, và mômen uốn M cân bằng với mômen của chúng quanh mặt cắt.

Phản lực gối

Cân bằng của cả dầm.

Hợp lực của tải phân bố đều: W = w·ℓ = 10·4 = 40 kN, đặt tại x̄ = 2 m
ΣMA = 0: RB·4 = 10·4·2
RB = 80/4 = 20 kN
ΣFy = 0: RA = 40 − 20 = 20 kN
w = 10 kN/mABRA​ = 20RB​ = 20mặt cắt2 m2 m

Cắt tại x = 2 m và giữ phần bên trái

Chỉ các lực bên trái mặt cắt xuất hiện. Phần tải phân bố đều được thay bằng một lực đặt tại giữa phần đó.

M = RA·x − (mỗi tải bên trái mặt cắt × cánh tay đòn đến mặt cắt)
Mx = 20·2 − 10·2·1 = 20 kN·m

Đáp số

Mx = 20 kN·m
6.Lực cắt và mômen uốn

Đáp số: Mx = 36 kN·m

Phương pháp mặt cắt: cắt dầm tại vị trí cần tìm nội lực và giữ lại một phía. Lực cắt V cân bằng với các lực thẳng đứng ở phía đó, và mômen uốn M cân bằng với mômen của chúng quanh mặt cắt.

Phản lực gối

Cân bằng của cả dầm.

Hợp lực của tải phân bố đều: W = w·ℓ = 2·5 = 10 kN, đặt tại x̄ = 2,5 m
ΣMA = 0: RB·5 = 50·1 + 2·5·2,5
RB = 75/5 = 15 kN
ΣFy = 0: RA = 60 − 15 = 45 kN
w = 2 kN/mP = 50 kNABRA​ = 45RB​ = 15mặt cắt1 m1 m3 m

Cắt tại x = 2 m và giữ phần bên trái

Chỉ các lực bên trái mặt cắt xuất hiện. Phần tải phân bố đều được thay bằng một lực đặt tại giữa phần đó.

M = RA·x − (mỗi tải bên trái mặt cắt × cánh tay đòn đến mặt cắt)
Mx = 45·2 − 50·(2 − 1) − 2·2·1 = 36 kN·m

Đáp số

Mx = 36 kN·m
7.Trọng tâm và mômen quán tính mặt cắt

Đáp số: ȳ = 41,18 mm

Diện tích ghép: chia mặt cắt thành các hình chữ nhật. Trọng tâm là trung bình có trọng số theo diện tích ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Mômen quán tính của mặt cắt đối với trục đi qua trọng tâm bằng tổng bh³/12 của từng phần và số hạng trục song song A·d², trong đó d là khoảng cách từ trọng tâm của phần đó đến trọng tâm chung. Ứng suất uốn là σ = M·y/I.

Chia thành các hình chữ nhật

Lấy đáy với toàn bộ chiều rộng và hai cánh phía trên nó (cao h − t), để không có phần nào bị tính hai lần.

nền: A1 = 200·12 = 2400 mm², y1 = 6 mm
hai cánh: A2 = 2·12·118 = 2832 mm², y2 = 12 + 118/2 = 71 mm

Trọng tâm

ȳ = (2400·6 + 2832·71)/5232 = 41,18 mm

Đáp số

ȳ = 41,18 mm
8.Trọng tâm và mômen quán tính mặt cắt

Đáp số: Ix = 262,7 × 10⁶ mm⁴

Tiết diện có lỗ: coi lỗ là một diện tích âm. Trọng tâm là ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), với A₁, y₁ cho tấm đầy đủ và A₂, y₂ cho lỗ. Với mômen quán tính diện tích quanh trục đi qua trọng tâm, dùng định lý trục song song cho từng phần rồi trừ lỗ: I = (Ic1 + A₁d₁²) − (Ic2 + A₂d₂²), trong đó d là khoảng cách từ trọng tâm riêng của mỗi phần đến trục đi qua ȳ. Hình chữ nhật có Ic = bh³/12 và hình tròn có Ic = πd⁴/64.

Trọng tâm

ȳ = (36000·150 − 3000·105)/(36000 − 3000) = 154,1 mm

Tấm đầy đủ quanh ȳ

120·300³/12 + 36000·−4,091² = 270,6 × 10⁶ mm⁴

Lỗ quanh ȳ

60·50³/12 + 3000·−49,09² = 7,855 × 10⁶ mm⁴

Trừ

Ix = 262,7 × 10⁶ mm⁴

Đáp số

Ix = 262,7 × 10⁶ mm⁴
9.Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suất

Đáp số: σy′ = −50,13 MPa

Biến đổi ứng suất phẳng: trên một mặt xoay góc θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Vòng tròn Mohr cho thấy tất cả các mặt cùng lúc: tâm của nó ở C = (σₓ + σᵧ)/2 và bán kính là R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Các ứng suất chính là C ± R, và ứng suất tiếp lớn nhất trong mặt phẳng là R.

Phương trình biến đổi cho mặt y′

σy′ = −40 − (−20)·0,6428 − 30·0,766 = −50,13 MPa

Kiểm tra

Tổng các ứng suất pháp không thay đổi khi xoay.

σx′ = −29,87 MPa, σx′ + σy′ = −80 = σx + σy

Đáp số

σy′ = −50,13 MPa
10.Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suất

Đáp số: σθ = −18,84 MPa

Biến đổi ứng suất phẳng: trên một mặt xoay góc θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Vòng tròn Mohr cho thấy tất cả các mặt cùng lúc: tâm của nó ở C = (σₓ + σᵧ)/2 và bán kính là R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Các ứng suất chính là C ± R, và ứng suất tiếp lớn nhất trong mặt phẳng là R.

Phương trình biến đổi

σθ = 25 + 105·−0,5 + 10·0,866 = −18,84 MPa

Đáp số

σθ = −18,84 MPa
11.Độ võng của dầm

Đáp số: δP = 35,89 mm

Độ võng của dầm: độ võng có được bằng cách tích phân độ cong M/(EI) hai lần. Các trường hợp tiêu chuẩn đã được lập bảng, ví dụ PL³/(3EI) cho dầm công xôn chịu tải ở đầu tự do và 5wL⁴/(384EI) cho dầm đơn giản chịu tải phân bố đều toàn nhịp. Độ võng do các tải riêng rẽ cộng lại (xếp chồng).

Đơn vị nhất quán

Làm việc theo N và mm: P theo N, w theo N/mm (kN/m = N/mm), L theo mm, E theo N/mm² (GPa × 1000), I theo mm⁴.

P = 30000 N, a = 1000 mm, b = 3000 mm, L = 4000 mm
EI = 6,27 × 10¹¹ N·mm²

Độ võng dưới tải

δP = Pa²b²/(3EIL) = 30000·1000²·3000²/(3·6,27 × 10¹¹·4000) = 35,89 mm

Đáp số

δP = 35,89 mm
12.Độ võng của dầm

Đáp số: δmax = 2,085 mm

Độ võng của dầm: độ võng có được bằng cách tích phân độ cong M/(EI) hai lần. Các trường hợp tiêu chuẩn đã được lập bảng, ví dụ PL³/(3EI) cho dầm công xôn chịu tải ở đầu tự do và 5wL⁴/(384EI) cho dầm đơn giản chịu tải phân bố đều toàn nhịp. Độ võng do các tải riêng rẽ cộng lại (xếp chồng).

Đơn vị nhất quán

Làm việc theo N và mm: P theo N, w theo N/mm (kN/m = N/mm), L theo mm, E theo N/mm² (GPa × 1000), I theo mm⁴.

P = 10000 N, w = 5 N/mm, L = 5000 mm, EI = 3,2 × 10¹³ N·mm²

Từng tải riêng rẽ

δP = PL³/(48EI) = 10000·5000³/(48·3,2 × 10¹³) = 0,8138 mm
δw = 5wL⁴/(384EI) = 5·5·5000⁴/(384·3,2 × 10¹³) = 1,272 mm

Cộng lại

δmax = 0,8138 + 1,272 = 2,085 mm

Đáp số

δmax = 2,085 mm
13.Mất ổn định cột

Đáp số: Pcr = 34,38 kN

Mất ổn định Euler: một cột mảnh mất ổn định tại Pcr = π²EI/(KL)², trong đó KL là chiều dài tính toán: K = 1 cho khớp–khớp, 2 cho ngàm–tự do, 0,7 cho ngàm–khớp và 0,5 cho ngàm–ngàm. Cột oằn quanh trục có I nhỏ nhất. Công thức đúng với cột mảnh, có ứng suất tới hạn thấp hơn ứng suất chảy.

Mômen quán tính nhỏ nhất của mặt cắt

Hình chữ nhật oằn quanh trục yếu, dùng kích thước nhỏ hơn lập phương.

Imin = h·b³/12 = 80·20³/12 = 53333 mm⁴

Chiều dài tính toán

KL = 0,7·2500 = 1750 mm

Tải trọng tới hạn

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·53333/1750² = 34376 N = 34,38 kN

Đáp số

Pcr = 34,38 kN
14.Mất ổn định cột

Đáp số: σcr = 6,294 MPa

Mất ổn định Euler: một cột mảnh mất ổn định tại Pcr = π²EI/(KL)², trong đó KL là chiều dài tính toán: K = 1 cho khớp–khớp, 2 cho ngàm–tự do, 0,7 cho ngàm–khớp và 0,5 cho ngàm–ngàm. Cột oằn quanh trục có I nhỏ nhất. Công thức đúng với cột mảnh, có ứng suất tới hạn thấp hơn ứng suất chảy.

Mômen quán tính nhỏ nhất của mặt cắt

Mặt cắt tròn có cùng I đối với mọi trục.

I = πd⁴/64 = π·30⁴/64 = 39761 mm⁴

Bán kính quán tính và độ mảnh

A = 706,9 mm²
r = √(I/A) = √(39761/706,9) = 7,5 mm
KL = 0,7·6000 = 4200 mm
KL/r = 4200/7,5 = 560

Ứng suất tới hạn

σcr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/560² = 6,294 MPa

Đáp số

σcr = 6,294 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials