Sức bền vật liệu: gói ôn nước rút

Bảng công thức, các bước phương pháp chính cho từng chủ đề và 14 bài tập, kèm lời giải đầy đủ ở cuối.

Bài mớiQuay lại môn học

Trong cửa sổ in, hãy chọn “Lưu dưới dạng PDF” để giữ một bản trên thiết bị của bạn.

1Công thức và phương pháp

Ứng suất và biến dạng dọc trục

Ứng suất pháp
σ = F/A
Biến dạng
ε = ΔL/L
Định luật Hooke
σ = E·ε
Độ giãn dài
ΔL = FL/(EA)
Biến dạng nhiệt
εT = α·ΔT

Xoắn của trục

Ứng suất tiếp
τ = T·r/J
Trục đặc
J = πd⁴/32
Trục rỗng
J = π(D⁴ − d⁴)/32
Góc xoắn
φ = TL/(GJ)
Công suất
P = T·ω = 2πnT/60

Phương pháp

  1. Tìm mômen quán tính độc cực: J = πd⁴/32 cho trục đặc.
  2. Ứng suất tiếp ở bề mặt: τ = T·r/J, với r là bán kính ngoài.
  3. Góc xoắn: φ = TL/(GJ) theo radian.
  4. Nếu cho công suất, hãy tìm mômen xoắn trước bằng P = T·ω, ω = 2πn/60.

Lực cắt và mômen uốn

Lực cắt và mômen
V = ΣF ở một phía, M = ΣF·d ở một phía
Ứng suất uốn
σ = M·y/I
Hình chữ nhật
I = bh³/12
Mômen chống uốn của mặt cắt
W = I/ymax
Dầm đơn giản, tải phân bố đều
Mmax = wL²/8

Phương pháp

  1. Tìm phản lực gối từ cân bằng của cả dầm.
  2. Cắt dầm tại mặt cắt bạn cần và giữ lại một phía.
  3. Lực cắt: tổng các lực thẳng đứng ở phía đó. Mômen uốn: tổng mômen của chúng quanh mặt cắt.
  4. Để tìm mômen lớn nhất, hãy tìm nơi lực cắt bằng không.

Trọng tâm và mômen quán tính mặt cắt

Trọng tâm
ȳ = ΣAiyi/ΣAi
Hình chữ nhật
I = bh³/12
Định lý trục song song
I = Ic + A·d²
Mặt cắt ghép
I = Σ(Ic,i + Aidi²)

Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suất

Tâm
C = (σx + σy)/2
Bán kính
R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
Ứng suất chính
σ1,2 = C ± R
Phương chính
tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
Mặt phẳng nghiêng
σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ

Phương pháp

  1. Tính tâm của vòng tròn Mohr: C = (σx + σy)/2.
  2. Tính bán kính: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
  3. Các ứng suất chính là C ± R và ứng suất tiếp lớn nhất trong mặt phẳng là R.
  4. Các góc trên vòng tròn gấp đôi các góc trên phần tử: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Độ võng của dầm

Tải tập trung ở giữa nhịp
δ = PL³/(48EI)
Tải phân bố đều, dầm đơn giản
δ = 5wL⁴/(384EI)
Công xôn, tải ở đầu
δ = PL³/(3EI)
Công xôn, tải phân bố đều
δ = wL⁴/(8EI)
Nguyên lý xếp chồng
δ = δ1 + δ2

Mất ổn định cột

Tải Euler
Pcr = π²EI/(KL)²
Hệ số chiều dài tính toán
K = 1 khớp–khớp, 0,5 ngàm–ngàm, 0,7 ngàm–khớp, 2 ngàm–tự do
Ứng suất tới hạn
σcr = Pcr/A
Độ mảnh
λ = KL/r, r = √(I/A)

2Bài tập

1.Ứng suất và biến dạng dọc trụcTrung bình
Ø 30 mmNhôm2,5 mP = 65 kN

Tìm độ giãn dài δ của thanh nhôm dưới tải trọng dọc trục.

P = 65 kNd = 30 mmL = 2,5 mE = 70 GPa
δ = mm
2.Ứng suất và biến dạng dọc trụcKhó
Ø 35 mmĐồng0,5 mØ 20 mmĐồng thau1 mP = 70 kN

Thanh bậc được ngàm vào tường và chịu tải ở đầu tự do. Tìm ứng suất pháp lớn nhất σmax trong thanh.

P = 70 kNđoạn 1: Ø35 mm, 0,5 m, đồng (E = 117 GPa)đoạn 2: Ø20 mm, 1 m, đồng thau (E = 100 GPa)
σmax = MPa
3.Xoắn của trụcTrung bình
T = 400 N·md = 40 mmL = 1 mφ = ?

Một trục đặc thép được ngàm vào tường và bị xoắn bởi mômen xoắn T ở đầu tự do. Tìm góc xoắn φ của đầu tự do, theo độ.

T = 400 N·md = 40 mmL = 1 mG = 80 GPa
φ = °
4.Xoắn của trụcKhó
d = 60 mmT0​ = 100 N·mACBa = 1,5 mb = 2 m

Một trục đặc thép đường kính 60 mm được ngàm vào các tường cứng ở cả hai đầu A và B. Một mô-men xoắn 100 N·m đặt tại C, cách A 1,5 m và cách B 2 m. Tìm mô-men phản lực TA tại tường A.

d = 60 mmT0 = 100 N·ma = 1,5 mb = 2 m
TA = N·m
5.Lực cắt và mômen uốnTrung bình
w = 8 kN/mP = 10 kNABmặt cắt0,5 m1 m1,5 m

Dầm công-xôn ngàm tại A. Dầm chịu tải phân bố đều w trên toàn bộ chiều dài và một lực tập trung P tại vị trí cách A 1,5 m. Tìm mô-men uốn Mx tại mặt cắt x = 0,5 m tính từ ngàm A. Dùng quy ước mô-men làm võng xuống là dương và lực cắt hướng lên trên mặt cắt bên trái là dương.

L = 3 mP = 10 kN tại 1,5 mw = 8 kN/m từ 0 đến 3 mx = 0,5 m
Mx = kN·m
6.Lực cắt và mômen uốnKhó
w = 4 kN/mABC4 m1,5 m

Dầm đặt trên gối cố định tại A và gối con lăn tại B, và đoạn công-xôn nhô ra khỏi B một đoạn 1,5 m tới đầu tự do C. Tải phân bố đều w tác dụng trên toàn bộ chiều dài A–C. Tìm mô-men uốn võng xuống lớn nhất Mmax giữa hai gối.

L = 5,5 mw = 4 kN/m từ 0 đến 5,5 mcác gối tại x = 0 và x = 4 m
Mmax = kN·m
7.Trọng tâm và mômen quán tính mặt cắtTrung bình
1801524016xkích thước tính bằng mm

Tìm mômen quán tính Ix của mặt cắt chữ T đối với trục ngang x đi qua trọng tâm.

bf = 180 mmtf = 15 mmtw = 16 mmhw = 240 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
8.Trọng tâm và mômen quán tính mặt cắtKhó
120 mm240 mm96 mm60 × 20xIx​ = ?

Một tấm 120 mm × 240 mm có một lỗ khoét hình chữ nhật rộng 60 mm và cao 20 mm, đặt giữa đường tâm thẳng đứng với tâm cách đáy 96 mm. Tìm mômen quán tính diện tích Ix quanh trục nằm ngang đi qua trọng tâm.

b = 120 mmh = 240 mmlỗ khoét: 60 × 20 mmtâm lỗ: y = 96 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
9.Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suấtTrung bình
σx​ = 120σy​ = 20MPaτxy​ = ?

Một điểm có σₓ = 120 MPa và σᵧ = 20 MPa. Ứng suất cắt τxy (độ lớn) có thể lớn đến mức nào trước khi ứng suất chính lớn nhất đạt 175 MPa?

σx = 120 MPaσy = 20 MPaσ1 = 175 MPa
τxy = MPa
10.Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suấtKhó
σx​ = 130σy​ = 10τxy​ = −50MPa

Một điểm trong một tấm mỏng ở trạng thái ứng suất phẳng: σₓ = 130 MPa, σᵧ = 10 MPa và τₓᵧ = −50 MPa (σz = 0). Vật liệu có giới hạn chảy 350 MPa. Tìm hệ số an toàn n chống chảy theo tiêu chuẩn Tresca (ứng suất cắt lớn nhất).

σx = 130 MPaσy = 10 MPaτxy = −50 MPaσY = 350 MPa
n =
11.Độ võng của dầmTrung bình
w = 6 kN/mABθ3 m

Một dầm đơn giản chịu tải phân bố đều w trên toàn bộ nhịp. Tìm góc xoay θA của dầm tại gối A, theo radian.

w = 6 kN/mL = 3 mE = 70 GPa (nhôm)I = 36 × 10⁶ mm⁴
θA = rad
12.Độ võng của dầmKhó
w = 5 kN/mδL = 8 m

Một dầm đơn giản chịu tải phân bố đều w. Độ võng của nó không được vượt quá nhịp/360. Tìm mômen quán tính nhỏ nhất của mặt cắt Ireq thỏa mãn giới hạn này.

w = 5 kN/mL = 8 mE = 200 GPa (thép)
Ireq = × 10⁶ mm⁴
13.Mất ổn định cộtTrung bình
PL = 1,5 m50 × 60 mmmặt cắt ngang

Một cột dài L làm bằng nhôm được hai đầu khớp. Dùng công thức Euler, tìm tải trọng oằn tới hạn Pcr của nó.

L = 1,5 mE = 70 GPa (nhôm)b × h = 50 × 60 mm
Pcr = kN
14.Mất ổn định cộtKhó
PL = 3 md = 50 mmmặt cắt ngang

Một cột dài L làm bằng thép được ngàm ở chân và khớp ở đỉnh. Tìm độ mảnh của nó và ứng suất oằn tới hạn σcr theo công thức Euler.

L = 3 mE = 200 GPa (thép)d = 50 mm
σcr = MPa

3Dung dịch

1.Ứng suất và biến dạng dọc trục

Đáp số: δ = 3,284 mm

Định luật Hooke: trong giới hạn đàn hồi σ = E·ε. Kết hợp với σ = P/A và ε = δ/L ta được δ = PL/(AE).

Ứng suất

A = π·30²/4 = 706,9 mm²
σ = P/A = 65·1000/706,9 = 91,96 MPa

Biến dạng (định luật Hooke)

E for nhôm = 70 GPa = 70000 MPa.

ε = σ/E = 91,96/70000 = 0,001314 = 1314 µε

Độ giãn dài

δ = ε·L = 0,001314·2500 mm = 3,284 mm

Đáp số

δ = 3,284 mm
2.Ứng suất và biến dạng dọc trục

Đáp số: σmax = 222,8 MPa

Cấu kiện chịu tải dọc trục: mỗi đoạn lăng trụ tuân theo δ = PL/(AE). Với các cấu kiện nối tiếp, độ giãn dài cộng lại.

Cùng một lực trong cả hai đoạn

Đầu tự do chịu lực P, nên mọi mặt cắt của thanh đều chịu cùng một lực dọc trục P. Chỉ có diện tích và vật liệu thay đổi.

A1 = π·35²/4 = 962,1 mm², A2 = π·20²/4 = 314,2 mm²
σ1 = 72,76 MPa
σ2 = 222,8 MPa

Ứng suất lớn nhất

Đoạn mảnh hơn có diện tích nhỏ hơn, nên chịu ứng suất lớn hơn.

σmax = 222,8 MPa

Đáp số

σmax = 222,8 MPa
3.Xoắn của trục

Đáp số: φ = 1,14 °

Xoắn thanh tròn: ứng suất tiếp tăng tuyến tính từ không ở tâm đến τmax = T·r/J ở bề mặt, với J = πd⁴/32 cho trục đặc và J = π(do⁴ − di⁴)/32 cho trục rỗng. Góc xoắn là φ = TL/(GJ) tính bằng radian. Công suất và mômen xoắn liên hệ với nhau qua P = T·ω.

Mômen quán tính độc cực của mặt cắt

J = π·40⁴/32 = 251327 mm⁴

Góc xoắn

φ = TL/(GJ) = 400·1000·1000/(80000·251327) = 0,01989 rad
φ = 0,01989·180/π = 1,14°

Đáp số

φ = 1,14°
4.Xoắn của trục

Đáp số: TA = 57,14 N·m

Xoắn thanh tròn: ứng suất tiếp tăng tuyến tính từ không ở tâm đến τmax = T·r/J ở bề mặt, với J = πd⁴/32 cho trục đặc và J = π(do⁴ − di⁴)/32 cho trục rỗng. Góc xoắn là φ = TL/(GJ) tính bằng radian. Công suất và mômen xoắn liên hệ với nhau qua P = T·ω. Khi cả hai đầu bị ngàm, tĩnh học chỉ cho TA + TB = T₀; phương trình thứ hai là điều kiện tương thích (góc xoắn của hai phần bằng nhau tại tiết diện chịu tải).

Cân bằng và tương thích

TA + TB = 100
TA·a = TB·b
TA = 100·2/3,5 = 57,14 N·m
TB = 100·1,5/3,5 = 42,86 N·m

Đáp số

TA = 57,14 N·m
5.Lực cắt và mômen uốn

Đáp số: Mx = −35 kN·m

Phương pháp mặt cắt: cắt dầm tại vị trí cần tìm nội lực và giữ lại một phía. Lực cắt V cân bằng với các lực thẳng đứng ở phía đó, và mômen uốn M cân bằng với mômen của chúng quanh mặt cắt.

Giữ phần đầu tự do

P: −10·1 = −10 kN·m
w: −8·2,5²/2 = −25 kN·m
Mx = −10 − 25 = −35 kN·m

Đáp số

Mx = −35 kN·m

Dấu âm nghĩa là uốn võng lên: thớ trên chịu kéo.

6.Lực cắt và mômen uốn

Đáp số: Mmax = 5,908 kN·m

Phương pháp mặt cắt: cắt dầm tại vị trí cần tìm nội lực và giữ lại một phía. Lực cắt V cân bằng với các lực thẳng đứng ở phía đó, và mômen uốn M cân bằng với mômen của chúng quanh mặt cắt. Mô-men lớn nhất: vì dM/dx = V, mô-men uốn đạt cực trị tại nơi lực cắt đi qua không, hoặc tại một lực tập trung hoặc bên trong một tải phân bố.

Phản lực gối

Cân bằng của toàn bộ dầm, kể cả tải trên đoạn công-xôn.

Hợp lực của tải phân bố đều: W = w·ℓ = 4·5,5 = 22 kN, đặt tại x̄ = 2,75 m
ΣMA = 0: RB·4 = 4·5,5·2,75
RB = 60,5/4 = 15,13 kN
ΣFy = 0: RA = 22 − 15,13 = 6,875 kN

Lực cắt bằng không

RA − w·x0 = 0 → x0 = 6,875/4 = 1,719 m

Mô-men võng xuống lớn nhất

Mmax = RA·x0 − w·x0²/2 = RA²/(2w) = 6,875²/(2·4) = 5,908 kN·m

Đáp số

Mmax = 5,908 kN·m
7.Trọng tâm và mômen quán tính mặt cắt

Đáp số: Ix = 44,25 × 10⁶ mm⁴

Diện tích ghép: chia mặt cắt thành các hình chữ nhật. Trọng tâm là trung bình có trọng số theo diện tích ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Mômen quán tính của mặt cắt đối với trục đi qua trọng tâm bằng tổng bh³/12 của từng phần và số hạng trục song song A·d², trong đó d là khoảng cách từ trọng tâm của phần đó đến trọng tâm chung. Ứng suất uốn là σ = M·y/I.

Chia thành hai hình chữ nhật

Đo mọi y từ mép dưới.

cánh: Af = 180·15 = 2700 mm², yf = 240 + 15/2 = 247,5 mm
bụng: Aw = 16·240 = 3840 mm², yw = 240/2 = 120 mm

Trọng tâm

ȳ = (Afyf + Awyw)/(Af + Aw) = (2700·247,5 + 3840·120)/6540 = 172,6 mm

Định lý trục song song

cánh: 180·15³/12 + 2700·(247,5 − 172,6)² = 1,518 × 10⁷ mm⁴
bụng: 16·240³/12 + 3840·(120 − 172,6)² = 2,907 × 10⁷ mm⁴
Ix = 1,518 × 10⁷ + 2,907 × 10⁷ = 4,425 × 10⁷ mm⁴ = 44,25 × 10⁶ mm⁴

Đáp số

Ix = 44,25 × 10⁶ mm⁴
8.Trọng tâm và mômen quán tính mặt cắt

Đáp số: Ix = 137,5 × 10⁶ mm⁴

Tiết diện có lỗ: coi lỗ là một diện tích âm. Trọng tâm là ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), với A₁, y₁ cho tấm đầy đủ và A₂, y₂ cho lỗ. Với mômen quán tính diện tích quanh trục đi qua trọng tâm, dùng định lý trục song song cho từng phần rồi trừ lỗ: I = (Ic1 + A₁d₁²) − (Ic2 + A₂d₂²), trong đó d là khoảng cách từ trọng tâm riêng của mỗi phần đến trục đi qua ȳ. Hình chữ nhật có Ic = bh³/12 và hình tròn có Ic = πd⁴/64.

Trọng tâm

ȳ = (28800·120 − 1200·96)/(28800 − 1200) = 121 mm

Tấm đầy đủ quanh ȳ

120·240³/12 + 28800·−1,043² = 138,3 × 10⁶ mm⁴

Lỗ quanh ȳ

60·20³/12 + 1200·−25,04² = 0,7926 × 10⁶ mm⁴

Trừ

Ix = 137,5 × 10⁶ mm⁴

Đáp số

Ix = 137,5 × 10⁶ mm⁴
9.Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suất

Đáp số: τxy = 92,33 MPa

Biến đổi ứng suất phẳng: trên một mặt xoay góc θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Vòng tròn Mohr cho thấy tất cả các mặt cùng lúc: tâm của nó ở C = (σₓ + σᵧ)/2 và bán kính là R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Các ứng suất chính là C ± R, và ứng suất tiếp lớn nhất trong mặt phẳng là R.

Bán kính cần thiết

C = (120 + 20)/2 = 70 MPa
R = σ1 − C = 175 − 70 = 105 MPa
στxyCσ1​σ2​

Ứng suất tiếp

τxy = √(R² − ((σₓ − σᵧ)/2)²) = √(105² − 50²) = 92,33 MPa

Đáp số

τxy = 92,33 MPa
10.Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suất

Đáp số: n = 2,241

Biến đổi ứng suất phẳng: trên một mặt xoay góc θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Vòng tròn Mohr cho thấy tất cả các mặt cùng lúc: tâm của nó ở C = (σₓ + σᵧ)/2 và bán kính là R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Các ứng suất chính là C ± R, và ứng suất tiếp lớn nhất trong mặt phẳng là R. Tiêu chuẩn chảy: von Mises dự đoán vật liệu chảy khi σvM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²) đạt σY; Tresca khi ứng suất cắt lớn nhất tuyệt đối đạt σY/2.

στxyCσ1​σ2​

Ứng suất chính

C = 70 MPa, R = 78,1 MPa
σ1 = 148,1 MPa, σ2 = −8,102 MPa, σ3 = 0

Tresca

σmax − σmin = 156,2 MPa
n = 350/156,2 = 2,241

Đáp số

n = 2,241

n > 1 nghĩa là điểm không bị chảy; Tresca thận trọng hơn von Mises một chút.

11.Độ võng của dầm

Đáp số: θA = 0,002679 rad

Độ võng của dầm: độ võng có được bằng cách tích phân độ cong M/(EI) hai lần. Các trường hợp tiêu chuẩn đã được lập bảng, ví dụ PL³/(3EI) cho dầm công xôn chịu tải ở đầu tự do và 5wL⁴/(384EI) cho dầm đơn giản chịu tải phân bố đều toàn nhịp. Độ võng do các tải riêng rẽ cộng lại (xếp chồng). Góc xoay θ = dv/dx là tích phân bậc một của M/(EI); với các đơn vị nhất quán, nó có đơn vị radian.

Đơn vị nhất quán

Làm việc theo N và mm: P theo N, w theo N/mm (kN/m = N/mm), L theo mm, E theo N/mm² (GPa × 1000), I theo mm⁴.

w = 6 N/mm, L = 3000 mm
EI = 2,52 × 10¹² N·mm²

Góc xoay ở đầu

θA = wL³/(24EI) = 6·3000³/(24·2,52 × 10¹²) = 0,002679 rad

Đáp số

θA = 0,002679 rad

Đó là 0,1535°.

12.Độ võng của dầm

Đáp số: Ireq = 60 × 10⁶ mm⁴

Độ võng của dầm: độ võng có được bằng cách tích phân độ cong M/(EI) hai lần. Các trường hợp tiêu chuẩn đã được lập bảng, ví dụ PL³/(3EI) cho dầm công xôn chịu tải ở đầu tự do và 5wL⁴/(384EI) cho dầm đơn giản chịu tải phân bố đều toàn nhịp. Độ võng do các tải riêng rẽ cộng lại (xếp chồng).

Giới hạn độ võng

δallow = L/360 = 8000/360 = 22,22 mm

Mômen quán tính mặt cắt yêu cầu

I = 5wL⁴/(384·E·δallow) = 5·5·8000⁴/(384·200000·22,22) = 6 × 10⁷ mm⁴
Ireq = 60 × 10⁶ mm⁴

Đáp số

Ireq = 60 × 10⁶ mm⁴
13.Mất ổn định cột

Đáp số: Pcr = 191,9 kN

Mất ổn định Euler: một cột mảnh mất ổn định tại Pcr = π²EI/(KL)², trong đó KL là chiều dài tính toán: K = 1 cho khớp–khớp, 2 cho ngàm–tự do, 0,7 cho ngàm–khớp và 0,5 cho ngàm–ngàm. Cột oằn quanh trục có I nhỏ nhất. Công thức đúng với cột mảnh, có ứng suất tới hạn thấp hơn ứng suất chảy.

Mômen quán tính nhỏ nhất của mặt cắt

Hình chữ nhật oằn quanh trục yếu, dùng kích thước nhỏ hơn lập phương.

Imin = h·b³/12 = 60·50³/12 = 625000 mm⁴

Chiều dài tính toán

KL = 1·1500 = 1500 mm

Tải trọng tới hạn

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·625000/1500² = 191909 N = 191,9 kN

Đáp số

Pcr = 191,9 kN
14.Mất ổn định cột

Đáp số: σcr = 69,94 MPa

Mất ổn định Euler: một cột mảnh mất ổn định tại Pcr = π²EI/(KL)², trong đó KL là chiều dài tính toán: K = 1 cho khớp–khớp, 2 cho ngàm–tự do, 0,7 cho ngàm–khớp và 0,5 cho ngàm–ngàm. Cột oằn quanh trục có I nhỏ nhất. Công thức đúng với cột mảnh, có ứng suất tới hạn thấp hơn ứng suất chảy.

Mômen quán tính nhỏ nhất của mặt cắt

Mặt cắt tròn có cùng I đối với mọi trục.

I = πd⁴/64 = π·50⁴/64 = 306796 mm⁴

Bán kính quán tính và độ mảnh

A = 1963 mm²
r = √(I/A) = √(306796/1963) = 12,5 mm
KL = 0,7·3000 = 2100 mm
KL/r = 2100/12,5 = 168

Ứng suất tới hạn

σcr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/168² = 69,94 MPa

Đáp số

σcr = 69,94 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials