Sức bền vật liệu: gói ôn nước rút

Bảng công thức, các bước phương pháp chính cho từng chủ đề và 14 bài tập, kèm lời giải đầy đủ ở cuối.

Bài mới Quay lại môn học

Trong cửa sổ in, hãy chọn “Lưu dưới dạng PDF” để giữ một bản trên thiết bị của bạn.

1Công thức và phương pháp

Ứng suất và biến dạng dọc trục

Ứng suất pháp: σ = F/A
Biến dạng: ε = ΔL/L
Định luật Hooke: σ = E·ε
Độ giãn dài: ΔL = FL/(EA)
Biến dạng nhiệt: ε_T = α·ΔT

Xoắn của trục

Ứng suất tiếp: τ = T·r/J
Trục đặc: J = πd⁴/32
Trục rỗng: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Góc xoắn: φ = TL/(GJ)
Công suất: P = T·ω = 2πnT/60

Phương pháp

Tìm mômen quán tính độc cực: J = πd⁴/32 cho trục đặc.
Ứng suất tiếp ở bề mặt: τ = T·r/J, với r là bán kính ngoài.
Góc xoắn: φ = TL/(GJ) theo radian.
Nếu cho công suất, hãy tìm mômen xoắn trước bằng P = T·ω, ω = 2πn/60.

Lực cắt và mômen uốn

Lực cắt và mômen: V = ΣF ở một phía, M = ΣF·d ở một phía
Ứng suất uốn: σ = M·y/I
Hình chữ nhật: I = bh³/12
Mômen chống uốn của mặt cắt: W = I/y_max
Dầm đơn giản, tải phân bố đều: M_max = wL²/8

Phương pháp

Tìm phản lực gối từ cân bằng của cả dầm.
Cắt dầm tại mặt cắt bạn cần và giữ lại một phía.
Lực cắt: tổng các lực thẳng đứng ở phía đó. Mômen uốn: tổng mômen của chúng quanh mặt cắt.
Để tìm mômen lớn nhất, hãy tìm nơi lực cắt bằng không.

Trọng tâm và mômen quán tính mặt cắt

Trọng tâm: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Hình chữ nhật: I = bh³/12
Định lý trục song song: I = I_c + A·d²
Mặt cắt ghép: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suất

Tâm: C = (σ_x + σ_y)/2
Bán kính: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Ứng suất chính: σ_1,2 = C ± R
Phương chính: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Mặt phẳng nghiêng: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Phương pháp

Tính tâm của vòng tròn Mohr: C = (σx + σy)/2.
Tính bán kính: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Các ứng suất chính là C ± R và ứng suất tiếp lớn nhất trong mặt phẳng là R.
Các góc trên vòng tròn gấp đôi các góc trên phần tử: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Độ võng của dầm

Tải tập trung ở giữa nhịp: δ = PL³/(48EI)
Tải phân bố đều, dầm đơn giản: δ = 5wL⁴/(384EI)
Công xôn, tải ở đầu: δ = PL³/(3EI)
Công xôn, tải phân bố đều: δ = wL⁴/(8EI)
Nguyên lý xếp chồng: δ = δ₁ + δ₂

Mất ổn định cột

Tải Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Hệ số chiều dài tính toán: K = 1 khớp–khớp, 0,5 ngàm–ngàm, 0,7 ngàm–khớp, 2 ngàm–tự do
Ứng suất tới hạn: σ_cr = P_cr/A
Độ mảnh: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Bài tập

1.Ứng suất và biến dạng dọc trụcTrung bình

Một thanh thép (đường kính 40 mm, E = 200 GPa) nằm trong một ống làm bằng nhôm (đường kính ngoài 120 mm, đường kính trong 50 mm, E = 70 GPa). Cả hai dài 500 mm và bị nén cùng nhau giữa các tấm cứng bởi 200 kN. Tìm độ co ngắn δ.

P = 200 kNthanh: Ø40 mm, E = 200 GPaống: Ø120/Ø50 mm, E = 70 GPaL = 500 mm

δ = mm

2.Ứng suất và biến dạng dọc trụcKhó

Một đoạn thép (đường kính 30 mm, chiều dài 500 mm, E = 200 GPa) và một đoạn làm bằng đồng thanh (đường kính 60 mm, chiều dài 400 mm, E = 110 GPa) được nối đầu với đầu và ngàm giữa hai vách cứng. Một tải dọc trục 40 kN tác dụng tại chỗ nối, hướng về phía đoạn 2. Tìm độ lớn ứng suất σ₂ trong đoạn 2.

đoạn 1: thép, Ø30 mm, 500 mm, E = 200 GPađoạn 2: đồng thanh, Ø60 mm, 400 mm, E = 110 GPaP = 40 kN

σ₂ = MPa

3.Xoắn của trụcTrung bình

Một trục đặc thép được ngàm vào tường và bị xoắn bởi mômen xoắn T ở đầu tự do. Tìm góc xoắn φ của đầu tự do, theo độ.

T = 250 N·md = 20 mmL = 1,5 mG = 80 GPa

φ = °

4.Xoắn của trụcKhó

Một trục rỗng phải truyền 50 kW ở 300 rpm. Đường kính trong của nó bằng 0,7 lần đường kính ngoài, và ứng suất cắt không được vượt quá 50 MPa. Tìm đường kính ngoài nhỏ nhất d_o.

P = 50 kWN = 300 rpmd_i/d_o = 0,7τ_allow = 50 MPa

d_o = mm

5.Lực cắt và mômen uốnTrung bình

Dầm công-xôn ngàm tại A. Dầm chịu tải phân bố đều w trên toàn bộ chiều dài và một lực tập trung P tại vị trí cách A 3 m. Tìm mô-men uốn M_x tại mặt cắt x = 1,5 m tính từ ngàm A. Dùng quy ước mô-men làm võng xuống là dương và lực cắt hướng lên trên mặt cắt bên trái là dương.

L = 3 mP = 35 kN tại 3 mw = 8 kN/m từ 0 đến 3 mx = 1,5 m

M_x = kN·m

6.Lực cắt và mômen uốnKhó

Dầm đặt trên gối cố định tại A và gối con lăn tại B, và đoạn công-xôn nhô ra khỏi B một đoạn 2,5 m tới đầu tự do C. Tải phân bố đều w tác dụng trên toàn bộ chiều dài A–C. Tìm mô-men uốn võng xuống lớn nhất M_max giữa hai gối.

L = 7,5 mw = 10 kN/m từ 0 đến 7,5 mcác gối tại x = 0 và x = 5 m

M_max = kN·m

7.Trọng tâm và mômen quán tính mặt cắtTrung bình

Một tấm 200 mm × 200 mm có một lỗ tròn đường kính 40 mm trên đường tâm thẳng đứng, tâm lỗ cách đáy 60 mm. Tìm mômen quán tính diện tích I_x quanh trục nằm ngang đi qua trọng tâm.

b = 200 mmh = 200 mmd = 40 mmtâm lỗ: y = 60 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Trọng tâm và mômen quán tính mặt cắtKhó

Mặt cắt chữ T được dùng làm dầm với cánh ở trên và chịu mômen uốn làm võng xuống 10 kN·m. Tìm độ lớn ứng suất uốn σ_trên ở mép trên.

b_f = 220 mmt_f = 15 mmt_w = 10 mmh_w = 200 mmM = 10 kN·m

σ_trên = MPa

9.Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suấtTrung bình

Một điểm trong chi tiết chịu tải có σₓ = 90 MPa, σᵧ = −50 MPa và τₓᵧ = −40 MPa (kéo là dương). Tìm ứng suất tiếp lớn nhất trong mặt phẳng τ_max.

σ_x = 90 MPaσ_y = −50 MPaτ_xy = −40 MPa

τ_max = MPa

10.Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suấtKhó

Một điểm trong chi tiết chịu tải có σₓ = 60 MPa, σᵧ = 80 MPa và τₓᵧ = −10 MPa (kéo là dương). Tìm ứng suất tiếp τ_θ trên một mặt có pháp tuyến xoay 20° ngược chiều kim đồng hồ so với trục x (dương cùng chiều với τₓᵧ).

σ_x = 60 MPaσ_y = 80 MPaτ_xy = −10 MPaθ = 20°

τ_θ = MPa

11.Độ võng của dầmTrung bình

Một dầm đơn giản chịu tải phân bố đều w trên toàn bộ nhịp. Tìm góc xoay θ_A của dầm tại gối A, theo radian.

w = 8 kN/mL = 8 mE = 200 GPa (thép)I = 23 × 10⁶ mm⁴

θ_A = rad

12.Độ võng của dầmKhó

Một dầm đơn giản chịu tải phân bố đều w. Độ võng của nó không được vượt quá nhịp/360. Tìm mômen quán tính nhỏ nhất của mặt cắt I_req thỏa mãn giới hạn này.

w = 10 kN/mL = 2,5 mE = 11 GPa (gỗ xẻ)

I_req = × 10⁶ mm⁴

13.Mất ổn định cộtTrung bình

Một cột dài L làm bằng thép được ngàm ở chân và khớp ở đỉnh. Dùng công thức Euler, tìm tải trọng oằn tới hạn P_cr của nó.

L = 4 mE = 200 GPa (thép)d = 30 mm

P_cr = kN

14.Mất ổn định cộtKhó

Một cột dài L làm bằng nhôm được ngàm ở chân và khớp ở đỉnh. Tìm độ mảnh của nó và ứng suất oằn tới hạn σ_cr theo công thức Euler.

L = 1,5 mE = 70 GPa (nhôm)d = 30 mm

σ_cr = MPa

3Dung dịch

1.Ứng suất và biến dạng dọc trục

Đáp số: δ = 0,1104 mm

Hai vật liệu: khi nối tiếp (cái này sau cái kia) mỗi đoạn chịu cùng một lực và các độ giãn dài cộng lại: δ = P·Σ L/(E·A). Khi song song (cạnh nhau giữa các tấm cứng) cả hai phần co lại cùng một lượng, nên biến dạng của chúng bằng nhau: phần cứng hơn nhận phần tải lớn hơn, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, và σ_i = E_i·ε. Một thanh bị giữ giữa hai vách cứng với tải đặt tại chỗ nối là siêu tĩnh: hai đoạn chia tải theo tỉ lệ độ cứng k = EA/L của chúng.

Diện tích

A_r = π·40²/4 = 1257 mm²

A_t = π(120² − 50²)/4 = 9346 mm²

Độ cứng dọc trục kết hợp

ΣEA = 200·10³·1257 + 70·10³·9346 = 9,056 × 10⁸ N

Độ co ngắn

δ = 200000·500/9,056 × 10⁸ = 0,1104 mm

Đáp số

δ = 0,1104 mm

2.Ứng suất và biến dạng dọc trục

Đáp số: σ₂ = 10,37 MPa

Các độ cứng

k₁ = 200000·706,9/500 = 282743 N/mm

k₂ = 110000·2827/400 = 777544 N/mm

Phần của đoạn 2

F₂ = 40000·777544/1,06 × 10⁶ = 29333 N

Ứng suất

σ₂ = 29333/2827 = 10,37 MPa (nén)

Đáp số

σ₂ = 10,37 MPa

3.Xoắn của trục

Đáp số: φ = 17,1 °

Xoắn thanh tròn: ứng suất tiếp tăng tuyến tính từ không ở tâm đến τ_max = T·r/J ở bề mặt, với J = πd⁴/32 cho trục đặc và J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 cho trục rỗng. Góc xoắn là φ = TL/(GJ) tính bằng radian. Công suất và mômen xoắn liên hệ với nhau qua P = T·ω.

Mômen quán tính độc cực của mặt cắt

J = π·20⁴/32 = 15708 mm⁴

Góc xoắn

φ = TL/(GJ) = 250·1000·1500/(80000·15708) = 0,2984 rad

φ = 0,2984·180/π = 17,1°

Đáp số

φ = 17,1°

4.Xoắn của trục

Đáp số: d_o = 59,75 mm

Mômen xoắn

ω = 2πN/60 = 2π·300/60 = 31,42 rad/s

T = P/ω = 50000/31,42 = 1592 N·m

Đường kính ngoài từ ứng suất cho phép

T = 1592 N·m = 1,592 × 10⁶ N·mm

1 − k⁴ = 1 − 0,7⁴ = 0,7599

d_o = ∛(16T/(π·τ_allow·(1 − k⁴))) = ∛(16·1,592 × 10⁶/(π·50·0,7599)) = 59,75 mm

d_i = 0,7·59,75 = 41,83 mm

Đáp số

d_o = 59,75 mm

Một trục đặc sẽ cần d = 54,53 mm; trục rỗng lớn hơn một chút nhưng nhẹ hơn nhiều.

5.Lực cắt và mômen uốn

Đáp số: M_x = −61,5 kN·m

Phương pháp mặt cắt: cắt dầm tại vị trí cần tìm nội lực và giữ lại một phía. Lực cắt V cân bằng với các lực thẳng đứng ở phía đó, và mômen uốn M cân bằng với mômen của chúng quanh mặt cắt.

Giữ phần đầu tự do

P: −35·1,5 = −52,5 kN·m

w: −8·1,5²/2 = −9 kN·m

M_x = −52,5 − 9 = −61,5 kN·m

Đáp số

M_x = −61,5 kN·m

Dấu âm nghĩa là uốn võng lên: thớ trên chịu kéo.

6.Lực cắt và mômen uốn

Đáp số: M_max = 17,58 kN·m

Phương pháp mặt cắt: cắt dầm tại vị trí cần tìm nội lực và giữ lại một phía. Lực cắt V cân bằng với các lực thẳng đứng ở phía đó, và mômen uốn M cân bằng với mômen của chúng quanh mặt cắt. Mô-men lớn nhất: vì dM/dx = V, mô-men uốn đạt cực trị tại nơi lực cắt đi qua không, hoặc tại một lực tập trung hoặc bên trong một tải phân bố.

Phản lực gối

Cân bằng của toàn bộ dầm, kể cả tải trên đoạn công-xôn.

Hợp lực của tải phân bố đều: W = w·ℓ = 10·7,5 = 75 kN, đặt tại x̄ = 3,75 m

ΣM_A = 0: R_B·5 = 10·7,5·3,75

R_B = 281,3/5 = 56,25 kN

ΣF_y = 0: R_A = 75 − 56,25 = 18,75 kN

Lực cắt bằng không

R_A − w·x₀ = 0 → x₀ = 18,75/10 = 1,875 m

Mô-men võng xuống lớn nhất

M_max = R_A·x₀ − w·x₀²/2 = R_A²/(2w) = 18,75²/(2·10) = 17,58 kN·m

Đáp số

M_max = 17,58 kN·m

7.Trọng tâm và mômen quán tính mặt cắt

Đáp số: I_x = 131,1 × 10⁶ mm⁴

Tiết diện có lỗ: coi lỗ là một diện tích âm. Trọng tâm là ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), với A₁, y₁ cho tấm đầy đủ và A₂, y₂ cho lỗ. Với mômen quán tính diện tích quanh trục đi qua trọng tâm, dùng định lý trục song song cho từng phần rồi trừ lỗ: I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²), trong đó d là khoảng cách từ trọng tâm riêng của mỗi phần đến trục đi qua ȳ. Hình chữ nhật có I_c = bh³/12 và hình tròn có I_c = πd⁴/64.

Trọng tâm

ȳ = (40000·100 − 1257·60)/(40000 − 1257) = 101,3 mm

Tấm đầy đủ quanh ȳ

200·200³/12 + 40000·−1,297² = 133,4 × 10⁶ mm⁴

Lỗ quanh ȳ

π·40⁴/64 + 1257·−41,3² = 2,269 × 10⁶ mm⁴

Trừ

I_x = 131,1 × 10⁶ mm⁴

Đáp số

I_x = 131,1 × 10⁶ mm⁴

8.Trọng tâm và mômen quán tính mặt cắt

Đáp số: σ_trên = 22,76 MPa

Diện tích ghép: chia mặt cắt thành các hình chữ nhật. Trọng tâm là trung bình có trọng số theo diện tích ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Mômen quán tính của mặt cắt đối với trục đi qua trọng tâm bằng tổng bh³/12 của từng phần và số hạng trục song song A·d², trong đó d là khoảng cách từ trọng tâm của phần đó đến trọng tâm chung. Ứng suất uốn là σ = M·y/I.

Chia thành hai hình chữ nhật

Đo mọi y từ mép dưới.

cánh: A_f = 220·15 = 3300 mm², y_f = 200 + 15/2 = 207,5 mm

bụng: A_w = 10·200 = 2000 mm², y_w = 200/2 = 100 mm

Trọng tâm

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (3300·207,5 + 2000·100)/5300 = 166,9 mm

Định lý trục song song

cánh: 220·15³/12 + 3300·(207,5 − 166,9)² = 5,492 × 10⁶ mm⁴

bụng: 10·200³/12 + 2000·(100 − 166,9)² = 1,563 × 10⁷ mm⁴

I_x = 5,492 × 10⁶ + 1,563 × 10⁷ = 2,112 × 10⁷ mm⁴

Ứng suất uốn

Mép trên cách trục h − ȳ.

y = 215 − 166,9 = 48,07 mm

σ = M·y/I = 1 × 10⁷·48,07/2,112 × 10⁷ = 22,76 MPa

Đáp số

σ_trên = 22,76 MPa

9.Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suất

Đáp số: τ_max = 80,62 MPa

Biến đổi ứng suất phẳng: trên một mặt xoay góc θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Vòng tròn Mohr cho thấy tất cả các mặt cùng lúc: tâm của nó ở C = (σₓ + σᵧ)/2 và bán kính là R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Các ứng suất chính là C ± R, và ứng suất tiếp lớn nhất trong mặt phẳng là R.

Bán kính vòng tròn Mohr

τ_max = R = √(((90 − −50)/2)² + −40²) = 80,62 MPa

Đáp số

τ_max = 80,62 MPa

10.Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suất

Đáp số: τ_θ = −1,233 MPa

Phương trình biến đổi

τ_θ = −−10·0,6428 + −10·0,766 = −1,233 MPa

Đáp số

τ_θ = −1,233 MPa

11.Độ võng của dầm

Đáp số: θ_A = 0,0371 rad

Độ võng của dầm: độ võng có được bằng cách tích phân độ cong M/(EI) hai lần. Các trường hợp tiêu chuẩn đã được lập bảng, ví dụ PL³/(3EI) cho dầm công xôn chịu tải ở đầu tự do và 5wL⁴/(384EI) cho dầm đơn giản chịu tải phân bố đều toàn nhịp. Độ võng do các tải riêng rẽ cộng lại (xếp chồng). Góc xoay θ = dv/dx là tích phân bậc một của M/(EI); với các đơn vị nhất quán, nó có đơn vị radian.

Đơn vị nhất quán

Làm việc theo N và mm: P theo N, w theo N/mm (kN/m = N/mm), L theo mm, E theo N/mm² (GPa × 1000), I theo mm⁴.

w = 8 N/mm, L = 8000 mm

EI = 4,6 × 10¹² N·mm²

Góc xoay ở đầu

θ_A = wL³/(24EI) = 8·8000³/(24·4,6 × 10¹²) = 0,0371 rad

Đáp số

θ_A = 0,0371 rad

Đó là 2,126°.

12.Độ võng của dầm

Đáp số: I_req = 66,58 × 10⁶ mm⁴

Giới hạn độ võng

δ_allow = L/360 = 2500/360 = 6,944 mm

Mômen quán tính mặt cắt yêu cầu

I = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·10·2500⁴/(384·11000·6,944) = 6,658 × 10⁷ mm⁴

I_req = 66,58 × 10⁶ mm⁴

Đáp số

I_req = 66,58 × 10⁶ mm⁴

13.Mất ổn định cột

Đáp số: P_cr = 10,01 kN

Mất ổn định Euler: một cột mảnh mất ổn định tại P_cr = π²EI/(KL)², trong đó KL là chiều dài tính toán: K = 1 cho khớp–khớp, 2 cho ngàm–tự do, 0,7 cho ngàm–khớp và 0,5 cho ngàm–ngàm. Cột oằn quanh trục có I nhỏ nhất. Công thức đúng với cột mảnh, có ứng suất tới hạn thấp hơn ứng suất chảy.

Mômen quán tính nhỏ nhất của mặt cắt

Mặt cắt tròn có cùng I đối với mọi trục.

I = πd⁴/64 = π·30⁴/64 = 39761 mm⁴

Chiều dài tính toán

KL = 0,7·4000 = 2800 mm

Tải trọng tới hạn

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·39761/2800² = 10011 N = 10,01 kN

Đáp số

P_cr = 10,01 kN

14.Mất ổn định cột

Đáp số: σ_cr = 35,25 MPa

Mômen quán tính nhỏ nhất của mặt cắt

Mặt cắt tròn có cùng I đối với mọi trục.

I = πd⁴/64 = π·30⁴/64 = 39761 mm⁴

Bán kính quán tính và độ mảnh

A = 706,9 mm²

r = √(I/A) = √(39761/706,9) = 7,5 mm

KL = 0,7·1500 = 1050 mm

KL/r = 1050/7,5 = 140

Ứng suất tới hạn

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/140² = 35,25 MPa

Đáp số

σ_cr = 35,25 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials