Sức bền vật liệu: gói ôn nước rút

Bảng công thức, các bước phương pháp chính cho từng chủ đề và 14 bài tập, kèm lời giải đầy đủ ở cuối.

Bài mớiQuay lại môn học

Trong cửa sổ in, hãy chọn “Lưu dưới dạng PDF” để giữ một bản trên thiết bị của bạn.

1Công thức và phương pháp

Ứng suất và biến dạng dọc trục

Ứng suất pháp
σ = F/A
Biến dạng
ε = ΔL/L
Định luật Hooke
σ = E·ε
Độ giãn dài
ΔL = FL/(EA)
Biến dạng nhiệt
εT = α·ΔT

Xoắn của trục

Ứng suất tiếp
τ = T·r/J
Trục đặc
J = πd⁴/32
Trục rỗng
J = π(D⁴ − d⁴)/32
Góc xoắn
φ = TL/(GJ)
Công suất
P = T·ω = 2πnT/60

Phương pháp

  1. Tìm mômen quán tính độc cực: J = πd⁴/32 cho trục đặc.
  2. Ứng suất tiếp ở bề mặt: τ = T·r/J, với r là bán kính ngoài.
  3. Góc xoắn: φ = TL/(GJ) theo radian.
  4. Nếu cho công suất, hãy tìm mômen xoắn trước bằng P = T·ω, ω = 2πn/60.

Lực cắt và mômen uốn

Lực cắt và mômen
V = ΣF ở một phía, M = ΣF·d ở một phía
Ứng suất uốn
σ = M·y/I
Hình chữ nhật
I = bh³/12
Mômen chống uốn của mặt cắt
W = I/ymax
Dầm đơn giản, tải phân bố đều
Mmax = wL²/8

Phương pháp

  1. Tìm phản lực gối từ cân bằng của cả dầm.
  2. Cắt dầm tại mặt cắt bạn cần và giữ lại một phía.
  3. Lực cắt: tổng các lực thẳng đứng ở phía đó. Mômen uốn: tổng mômen của chúng quanh mặt cắt.
  4. Để tìm mômen lớn nhất, hãy tìm nơi lực cắt bằng không.

Trọng tâm và mômen quán tính mặt cắt

Trọng tâm
ȳ = ΣAiyi/ΣAi
Hình chữ nhật
I = bh³/12
Định lý trục song song
I = Ic + A·d²
Mặt cắt ghép
I = Σ(Ic,i + Aidi²)

Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suất

Tâm
C = (σx + σy)/2
Bán kính
R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
Ứng suất chính
σ1,2 = C ± R
Phương chính
tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
Mặt phẳng nghiêng
σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ

Phương pháp

  1. Tính tâm của vòng tròn Mohr: C = (σx + σy)/2.
  2. Tính bán kính: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
  3. Các ứng suất chính là C ± R và ứng suất tiếp lớn nhất trong mặt phẳng là R.
  4. Các góc trên vòng tròn gấp đôi các góc trên phần tử: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Độ võng của dầm

Tải tập trung ở giữa nhịp
δ = PL³/(48EI)
Tải phân bố đều, dầm đơn giản
δ = 5wL⁴/(384EI)
Công xôn, tải ở đầu
δ = PL³/(3EI)
Công xôn, tải phân bố đều
δ = wL⁴/(8EI)
Nguyên lý xếp chồng
δ = δ1 + δ2

Mất ổn định cột

Tải Euler
Pcr = π²EI/(KL)²
Hệ số chiều dài tính toán
K = 1 khớp–khớp, 0,5 ngàm–ngàm, 0,7 ngàm–khớp, 2 ngàm–tự do
Ứng suất tới hạn
σcr = Pcr/A
Độ mảnh
λ = KL/r, r = √(I/A)

2Bài tập

1.Ứng suất và biến dạng dọc trụcTrung bình
Ø 12 mmNhôm3 mP = 35 kN

Tìm biến dạng dọc trục ε trong thanh nhôm, tính bằng microstrain (µε = 10⁻⁶).

P = 35 kNd = 12 mmL = 3 mE = 70 GPa
ε = µε
2.Ứng suất và biến dạng dọc trụcKhó
Ø 35 mmĐồng thau1 mØ 12 mmNhôm1 mP = 40 kN

Thanh bậc được ngàm vào tường và chịu tải ở đầu tự do. Tìm tổng độ giãn dài δ.

P = 40 kNđoạn 1: Ø35 mm, 1 m, đồng thau (E = 100 GPa)đoạn 2: Ø12 mm, 1 m, nhôm (E = 70 GPa)
δ = mm
3.Xoắn của trụcTrung bình
T = 400 N·md = 40 mmL = 1 mφ = ?

Một trục đặc nhôm được ngàm vào tường và bị xoắn bởi mômen xoắn T ở đầu tự do. Tìm góc xoắn φ của đầu tự do, theo độ.

T = 400 N·md = 40 mmL = 1 mG = 26 GPa
φ = °
4.Xoắn của trụcKhó
Td = ?

Một trục đặc phải truyền 10 kW ở 1500 rpm mà ứng suất tiếp không vượt quá 40 MPa. Tìm đường kính nhỏ nhất d thỏa mãn.

P = 10 kWN = 1500 rpmτallow = 40 MPa
d = mm
5.Lực cắt và mômen uốnTrung bình
w = 10 kN/mABmặt cắt1,5 m6,5 m

Tìm mômen uốn Mx tại mặt cắt x = 1,5 m tính từ gối A. Coi mômen làm dầm võng xuống là dương và lực cắt hướng lên trên mặt trái là dương.

L = 8 mw = 10 kN/m từ 0 đến 8 mx = 1,5 m
Mx = kN·m
6.Lực cắt và mômen uốnKhó
w = 5 kN/mP = 60 kNAB4 m2 m

Dầm đơn giản chịu tải phân bố đều w trên toàn bộ nhịp và một lực tập trung P. Tìm mô-men uốn lớn nhất Mmax trong dầm.

L = 6 mP = 60 kN tại 4 mw = 5 kN/m từ 0 đến 6 m
Mmax = kN·m
7.Trọng tâm và mômen quán tính mặt cắtTrung bình
1001018014xkích thước tính bằng mm

Tìm mômen quán tính Ix của mặt cắt chữ T đối với trục ngang x đi qua trọng tâm.

bf = 100 mmtf = 10 mmtw = 14 mmhw = 180 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
8.Trọng tâm và mômen quán tính mặt cắtKhó
120 mm150 mm60 mm40 × 30xIx​ = ?

Một tấm 120 mm × 150 mm có một lỗ khoét hình chữ nhật rộng 40 mm và cao 30 mm, đặt giữa đường tâm thẳng đứng với tâm cách đáy 60 mm. Tìm mômen quán tính diện tích Ix quanh trục nằm ngang đi qua trọng tâm.

b = 120 mmh = 150 mmlỗ khoét: 40 × 30 mmtâm lỗ: y = 60 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
9.Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suấtTrung bình
σx​ = −30σy​ = 30τxy​ = 40MPa

Một điểm trong một tấm mỏng ở trạng thái ứng suất phẳng: σₓ = −30 MPa, σᵧ = 30 MPa và τₓᵧ = 40 MPa, với σz = 0. Tìm ứng suất cắt lớn nhất tuyệt đối τabs tại điểm đó (xét mọi mặt trong không gian ba chiều).

σx = −30 MPaσy = 30 MPaτxy = 40 MPaσz = 0
τabs = MPa
10.Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suấtKhó
σx​ = 140σy​ = 60τxy​ = −10MPa

Một điểm trong một tấm mỏng ở trạng thái ứng suất phẳng: σₓ = 140 MPa, σᵧ = 60 MPa và τₓᵧ = −10 MPa (σz = 0). Vật liệu có giới hạn chảy 460 MPa. Tìm hệ số an toàn n chống chảy theo tiêu chuẩn Tresca (ứng suất cắt lớn nhất).

σx = 140 MPaσy = 60 MPaτxy = −10 MPaσY = 460 MPa
n =
11.Độ võng của dầmTrung bình
w = 8 kN/mP = 30 kNABδ3 m

Một dầm công-xôn chịu tải phân bố đều w trên toàn bộ chiều dài và một lực tập trung P tại đầu tự do. Dùng nguyên lý chồng chất, tìm độ võng δ tại đầu tự do.

P = 30 kNw = 8 kN/mL = 3 mE = 200 GPa (thép)I = 23 × 10⁶ mm⁴
δ = mm
12.Độ võng của dầmKhó
w = 8 kN/mP = 9 kNδL = 4 m

Một dầm đơn giản chịu tải phân bố đều w và một tải tập trung P ở giữa nhịp. Dùng nguyên lý xếp chồng, tìm độ võng giữa nhịp δmax.

P = 9 kNw = 8 kN/mL = 4 mE = 11 GPa (gỗ xẻ)I = 160 × 10⁶ mm⁴
δmax = mm
13.Mất ổn định cộtTrung bình
PL = 1,5 md = 40 mmmặt cắt ngang

Một cột dài L làm bằng nhôm được ngàm ở chân và tự do ở đỉnh. Dùng công thức Euler, tìm tải trọng oằn tới hạn Pcr của nó.

L = 1,5 mE = 70 GPa (nhôm)d = 40 mm
Pcr = kN
14.Mất ổn định cộtKhó
PL = 2,5 md = 50 mmmặt cắt ngang

Một cột dài L làm bằng thép được ngàm cả hai đầu. Tìm độ mảnh của nó và ứng suất oằn tới hạn σcr theo công thức Euler.

L = 2,5 mE = 200 GPa (thép)d = 50 mm
σcr = MPa

3Dung dịch

1.Ứng suất và biến dạng dọc trục

Đáp số: ε = 4421 µε

Định luật Hooke: trong giới hạn đàn hồi σ = E·ε. Kết hợp với σ = P/A và ε = δ/L ta được δ = PL/(AE).

Ứng suất

A = π·12²/4 = 113,1 mm²
σ = P/A = 35·1000/113,1 = 309,5 MPa

Biến dạng (định luật Hooke)

E for nhôm = 70 GPa = 70000 MPa.

ε = σ/E = 309,5/70000 = 0,004421 = 4421 µε

Đáp số

ε = 4421 µε
2.Ứng suất và biến dạng dọc trục

Đáp số: δ = 5,468 mm

Cấu kiện chịu tải dọc trục: mỗi đoạn lăng trụ tuân theo δ = PL/(AE). Với các cấu kiện nối tiếp, độ giãn dài cộng lại.

Cùng một lực trong cả hai đoạn

Đầu tự do chịu lực P, nên mọi mặt cắt của thanh đều chịu cùng một lực dọc trục P. Chỉ có diện tích và vật liệu thay đổi.

A1 = π·35²/4 = 962,1 mm², A2 = π·12²/4 = 113,1 mm²
σ1 = 41,58 MPa
σ2 = 353,7 MPa

Cộng độ giãn dài của các đoạn

δ1 = σ1L1/E1 = 41,58·1000/100000 = 0,4158 mm
δ2 = σ2L2/E2 = 353,7·1000/70000 = 5,053 mm
δ = δ1 + δ2 = 5,468 mm

Đáp số

δ = 5,468 mm
3.Xoắn của trục

Đáp số: φ = 3,507 °

Xoắn thanh tròn: ứng suất tiếp tăng tuyến tính từ không ở tâm đến τmax = T·r/J ở bề mặt, với J = πd⁴/32 cho trục đặc và J = π(do⁴ − di⁴)/32 cho trục rỗng. Góc xoắn là φ = TL/(GJ) tính bằng radian. Công suất và mômen xoắn liên hệ với nhau qua P = T·ω.

Mômen quán tính độc cực của mặt cắt

J = π·40⁴/32 = 251327 mm⁴

Góc xoắn

φ = TL/(GJ) = 400·1000·1000/(26000·251327) = 0,06121 rad
φ = 0,06121·180/π = 3,507°

Đáp số

φ = 3,507°
4.Xoắn của trục

Đáp số: d = 20,09 mm

Xoắn thanh tròn: ứng suất tiếp tăng tuyến tính từ không ở tâm đến τmax = T·r/J ở bề mặt, với J = πd⁴/32 cho trục đặc và J = π(do⁴ − di⁴)/32 cho trục rỗng. Góc xoắn là φ = TL/(GJ) tính bằng radian. Công suất và mômen xoắn liên hệ với nhau qua P = T·ω.

Mômen xoắn

ω = 2πN/60 = 2π·1500/60 = 157,1 rad/s
T = P/ω = 10000/157,1 = 63,66 N·m

Đường kính từ ứng suất cho phép

d = ∛(16T/(π·τallow)) = ∛(16·63662/(π·40)) = 20,09 mm

Đáp số

d = 20,09 mm

Trong thực tế bạn sẽ làm tròn lên kích thước tiêu chuẩn kế tiếp.

5.Lực cắt và mômen uốn

Đáp số: Mx = 48,75 kN·m

Phương pháp mặt cắt: cắt dầm tại vị trí cần tìm nội lực và giữ lại một phía. Lực cắt V cân bằng với các lực thẳng đứng ở phía đó, và mômen uốn M cân bằng với mômen của chúng quanh mặt cắt.

Phản lực gối

Cân bằng của cả dầm.

Hợp lực của tải phân bố đều: W = w·ℓ = 10·8 = 80 kN, đặt tại x̄ = 4 m
ΣMA = 0: RB·8 = 10·8·4
RB = 320/8 = 40 kN
ΣFy = 0: RA = 80 − 40 = 40 kN
w = 10 kN/mABRA​ = 40RB​ = 40mặt cắt1,5 m6,5 m

Cắt tại x = 1,5 m và giữ phần bên trái

Chỉ các lực bên trái mặt cắt xuất hiện. Phần tải phân bố đều được thay bằng một lực đặt tại giữa phần đó.

M = RA·x − (mỗi tải bên trái mặt cắt × cánh tay đòn đến mặt cắt)
Mx = 40·1,5 − 10·1,5·0,75 = 48,75 kN·m

Đáp số

Mx = 48,75 kN·m
6.Lực cắt và mômen uốn

Đáp số: Mmax = 100 kN·m

Phương pháp mặt cắt: cắt dầm tại vị trí cần tìm nội lực và giữ lại một phía. Lực cắt V cân bằng với các lực thẳng đứng ở phía đó, và mômen uốn M cân bằng với mômen của chúng quanh mặt cắt. Mô-men lớn nhất: vì dM/dx = V, mô-men uốn đạt cực trị tại nơi lực cắt đi qua không, hoặc tại một lực tập trung hoặc bên trong một tải phân bố.

Phản lực gối

Cân bằng của cả dầm.

Hợp lực của tải phân bố đều: W = w·ℓ = 5·6 = 30 kN, đặt tại x̄ = 3 m
ΣMA = 0: RB·6 = 60·4 + 5·6·3
RB = 330/6 = 55 kN
ΣFy = 0: RA = 90 − 55 = 35 kN

V = 0 ở đâu?

V(4⁻) = RA − w·4 = 15 kN
V(4⁺) = 15 − 60 = −45 kN
Lực cắt đổi dấu tại tải, nên giá trị lớn nhất nằm dưới tải.

Mô-men lớn nhất

Mmax = RA·4 − w·4²/2 = 35·4 − 5·4²/2 = 100 kN·m

Đáp số

Mmax = 100 kN·m

Nó xảy ra tại x = 4 m tính từ A.

7.Trọng tâm và mômen quán tính mặt cắt

Đáp số: Ix = 13,27 × 10⁶ mm⁴

Diện tích ghép: chia mặt cắt thành các hình chữ nhật. Trọng tâm là trung bình có trọng số theo diện tích ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Mômen quán tính của mặt cắt đối với trục đi qua trọng tâm bằng tổng bh³/12 của từng phần và số hạng trục song song A·d², trong đó d là khoảng cách từ trọng tâm của phần đó đến trọng tâm chung. Ứng suất uốn là σ = M·y/I.

Chia thành hai hình chữ nhật

Đo mọi y từ mép dưới.

cánh: Af = 100·10 = 1000 mm², yf = 180 + 10/2 = 185 mm
bụng: Aw = 14·180 = 2520 mm², yw = 180/2 = 90 mm

Trọng tâm

ȳ = (Afyf + Awyw)/(Af + Aw) = (1000·185 + 2520·90)/3520 = 117 mm

Định lý trục song song

cánh: 100·10³/12 + 1000·(185 − 117)² = 4,634 × 10⁶ mm⁴
bụng: 14·180³/12 + 2520·(90 − 117)² = 8,64 × 10⁶ mm⁴
Ix = 4,634 × 10⁶ + 8,64 × 10⁶ = 1,327 × 10⁷ mm⁴ = 13,27 × 10⁶ mm⁴

Đáp số

Ix = 13,27 × 10⁶ mm⁴
8.Trọng tâm và mômen quán tính mặt cắt

Đáp số: Ix = 33,37 × 10⁶ mm⁴

Tiết diện có lỗ: coi lỗ là một diện tích âm. Trọng tâm là ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), với A₁, y₁ cho tấm đầy đủ và A₂, y₂ cho lỗ. Với mômen quán tính diện tích quanh trục đi qua trọng tâm, dùng định lý trục song song cho từng phần rồi trừ lỗ: I = (Ic1 + A₁d₁²) − (Ic2 + A₂d₂²), trong đó d là khoảng cách từ trọng tâm riêng của mỗi phần đến trục đi qua ȳ. Hình chữ nhật có Ic = bh³/12 và hình tròn có Ic = πd⁴/64.

Trọng tâm

ȳ = (18000·75 − 1200·60)/(18000 − 1200) = 76,07 mm

Tấm đầy đủ quanh ȳ

120·150³/12 + 18000·−1,071² = 33,77 × 10⁶ mm⁴

Lỗ quanh ȳ

40·30³/12 + 1200·−16,07² = 0,3999 × 10⁶ mm⁴

Trừ

Ix = 33,37 × 10⁶ mm⁴

Đáp số

Ix = 33,37 × 10⁶ mm⁴
9.Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suất

Đáp số: τabs = 50 MPa

Biến đổi ứng suất phẳng: trên một mặt xoay góc θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Vòng tròn Mohr cho thấy tất cả các mặt cùng lúc: tâm của nó ở C = (σₓ + σᵧ)/2 và bán kính là R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Các ứng suất chính là C ± R, và ứng suất tiếp lớn nhất trong mặt phẳng là R. Trong không gian ba chiều, ứng suất cắt lớn nhất tuyệt đối là (σmax − σmin)/2 trên cả ba ứng suất chính; trong ứng suất phẳng, ứng suất thứ ba bằng không.

στxyCσ1​σ2​

Các ứng suất chính trong mặt phẳng

C = 0 MPa, R = √((−30)² + 40²) = 50 MPa
σ1 = 50 MPa, σ2 = −50 MPa, σz = 0

Vòng tròn lớn nhất trong ba vòng tròn

τ = max(|σ1 − σ2|, |σ1|, |σ2|)/2 = max(100, 50, 50)/2 = 50 MPa

Đáp số

τabs = 50 MPa

Ở đây σ₁ và σ₂ trái dấu, nên giá trị lớn nhất trong mặt phẳng R cũng là giá trị lớn nhất tuyệt đối.

10.Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suất

Đáp số: n = 3,257

Biến đổi ứng suất phẳng: trên một mặt xoay góc θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Vòng tròn Mohr cho thấy tất cả các mặt cùng lúc: tâm của nó ở C = (σₓ + σᵧ)/2 và bán kính là R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Các ứng suất chính là C ± R, và ứng suất tiếp lớn nhất trong mặt phẳng là R. Tiêu chuẩn chảy: von Mises dự đoán vật liệu chảy khi σvM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²) đạt σY; Tresca khi ứng suất cắt lớn nhất tuyệt đối đạt σY/2.

στxyCσ1​σ2​

Ứng suất chính

C = 100 MPa, R = 41,23 MPa
σ1 = 141,2 MPa, σ2 = 58,77 MPa, σ3 = 0

Tresca

σmax − σmin = 141,2 MPa
n = 460/141,2 = 3,257

Đáp số

n = 3,257

n > 1 nghĩa là điểm không bị chảy; Tresca thận trọng hơn von Mises một chút.

11.Độ võng của dầm

Đáp số: δ = 76,3 mm

Độ võng của dầm: độ võng có được bằng cách tích phân độ cong M/(EI) hai lần. Các trường hợp tiêu chuẩn đã được lập bảng, ví dụ PL³/(3EI) cho dầm công xôn chịu tải ở đầu tự do và 5wL⁴/(384EI) cho dầm đơn giản chịu tải phân bố đều toàn nhịp. Độ võng do các tải riêng rẽ cộng lại (xếp chồng).

Đơn vị nhất quán

Làm việc theo N và mm: P theo N, w theo N/mm (kN/m = N/mm), L theo mm, E theo N/mm² (GPa × 1000), I theo mm⁴.

P = 30000 N, w = 8 N/mm, L = 3000 mm
EI = 4,6 × 10¹² N·mm²

Từng tải riêng rẽ

δP = PL³/(3EI) = 30000·3000³/(3·4,6 × 10¹²) = 58,7 mm
δw = wL⁴/(8EI) = 8·3000⁴/(8·4,6 × 10¹²) = 17,61 mm

Cộng lại

δ = 58,7 + 17,61 = 76,3 mm

Đáp số

δ = 76,3 mm
12.Độ võng của dầm

Đáp số: δmax = 21,97 mm

Độ võng của dầm: độ võng có được bằng cách tích phân độ cong M/(EI) hai lần. Các trường hợp tiêu chuẩn đã được lập bảng, ví dụ PL³/(3EI) cho dầm công xôn chịu tải ở đầu tự do và 5wL⁴/(384EI) cho dầm đơn giản chịu tải phân bố đều toàn nhịp. Độ võng do các tải riêng rẽ cộng lại (xếp chồng).

Đơn vị nhất quán

Làm việc theo N và mm: P theo N, w theo N/mm (kN/m = N/mm), L theo mm, E theo N/mm² (GPa × 1000), I theo mm⁴.

P = 9000 N, w = 8 N/mm, L = 4000 mm, EI = 1,76 × 10¹² N·mm²

Từng tải riêng rẽ

δP = PL³/(48EI) = 9000·4000³/(48·1,76 × 10¹²) = 6,818 mm
δw = 5wL⁴/(384EI) = 5·8·4000⁴/(384·1,76 × 10¹²) = 15,15 mm

Cộng lại

δmax = 6,818 + 15,15 = 21,97 mm

Đáp số

δmax = 21,97 mm
13.Mất ổn định cột

Đáp số: Pcr = 9,646 kN

Mất ổn định Euler: một cột mảnh mất ổn định tại Pcr = π²EI/(KL)², trong đó KL là chiều dài tính toán: K = 1 cho khớp–khớp, 2 cho ngàm–tự do, 0,7 cho ngàm–khớp và 0,5 cho ngàm–ngàm. Cột oằn quanh trục có I nhỏ nhất. Công thức đúng với cột mảnh, có ứng suất tới hạn thấp hơn ứng suất chảy.

Mômen quán tính nhỏ nhất của mặt cắt

Mặt cắt tròn có cùng I đối với mọi trục.

I = πd⁴/64 = π·40⁴/64 = 125664 mm⁴

Chiều dài tính toán

KL = 2·1500 = 3000 mm

Tải trọng tới hạn

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·125664/3000² = 9646 N = 9,646 kN

Đáp số

Pcr = 9,646 kN
14.Mất ổn định cột

Đáp số: σcr = 197,4 MPa

Mất ổn định Euler: một cột mảnh mất ổn định tại Pcr = π²EI/(KL)², trong đó KL là chiều dài tính toán: K = 1 cho khớp–khớp, 2 cho ngàm–tự do, 0,7 cho ngàm–khớp và 0,5 cho ngàm–ngàm. Cột oằn quanh trục có I nhỏ nhất. Công thức đúng với cột mảnh, có ứng suất tới hạn thấp hơn ứng suất chảy.

Mômen quán tính nhỏ nhất của mặt cắt

Mặt cắt tròn có cùng I đối với mọi trục.

I = πd⁴/64 = π·50⁴/64 = 306796 mm⁴

Bán kính quán tính và độ mảnh

A = 1963 mm²
r = √(I/A) = √(306796/1963) = 12,5 mm
KL = 0,5·2500 = 1250 mm
KL/r = 1250/12,5 = 100

Ứng suất tới hạn

σcr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/100² = 197,4 MPa

Đáp số

σcr = 197,4 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials